Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 1 Một vài ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho các số    và  (  ) = ( +   )( +   ) … ( +   )  .Khi đó a) ∑ ( −1 )      (  )   = ( −1 )  ! b) ∑ (  )        (  )   =   (    )     − ( 0 ) Giải: a) Đặt 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) 1 ( 1)( 2) ( ) 1 2 n n x a x a x a x x x g x x x x n x x x n                Quy đồng mẫu số, ta có ( −  ) … ( −  ) = ( + 1 )( + 2 ) … ( +  ) +   ( + 2 ) … ( +  ) +   ( + 1 )( + 3 ) … ( +  ) + ⋯ +   ( + 1 )( + 2 ) … ( + −1 ) Cho = −1,−2,…,− ta nhận được ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧   = ( −1 )   ( 1 ) ( −1 ) !   = ( −1 )   ( 2 ) ( −2 ) ! ….    = ( −1 )  (  ) ( −1 ) ! Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 2 Vậy ( −  )( −  ) … ( −  ) ( + 1 )( + 2 ) … ( +  ) −1 = ( −1 )   ( 1 ) ( + 1 )( −1 ) ! + ( −1 )   ( 2 ) ( + 2 ) 1! ( −2 ) ! + ⋯+ ( −1 )  (  ) ( +  )( −1 ) !  Cho = 0 ,ta có : ( −1 )  (0) ! −1= ( −1 )   ( 1 ) ( −1 ) ! + ( −1 )   ( 2 ) 2! ( −2 ) ! + ⋯+ ( −1 )  (  ) !  Từ đây suy ra  ( −1 )      (  ) = ( −1 )  !   b)Ta biểu diễn 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( 1)( 2) ( )(2 1) 1 2 2 1 n n x a x a x a x x x y x x x n x x x x n x                 Từ đó suy ra 1 2 1 ( )( ) ( ) ( 1) ( ) [x ( 2) ( ) ( 1) ( 1)](2 1) n n x a x a x a y x x n x x n x x x n x                Cho x=-1/2,-1,-2, ,-n, ta có Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 3 1 ( 1) ( ) 2 à 1 1 1 (1 )(2 ) ( ) 2 2 2 n f y n      v 1 1 2 ( 1) (1) ( 1)! ( 1) (2) 3.1!( 2)! ( ) (2 1)( 1)! n n n f x n f x n f n x n n           Do đó ta có : 1 2 1 1 ( 1) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 ( 1)( 2) ( ) (2 1)(1 )(2 ) ( ) 2 2 2 ( 1) (1) ( 1) (2) ( ) 1.( 1)( 1)! 3.( 2)1!( 2)! (2 1)( )( 1)! n n n n f x a x a x a x x x n x n f f f n x n x n n x n n                          + Vậy :  ∑ (  )        (  )   =   (    )     − ( 0 ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ( 2n ) ! ( 1+1  )( 1+2  ) … ( 1+n  ) =  2n 2 +2 ( −1 )  1 +     2n n + k  Giải:Biểu diễn ( 2 ) !  (   + 1  )(   + 2  ) … (   +   ) =   +   +     + 1 + ⋯+   +     +   . Quy đồng mẫu số và so sánh tử số ta nhận được ( 2 ) ! =  (   + 1  ) … (   +   ) +  [(   +   )(   + 2  ) … (   +   ) + (   +   )(   + 1  ) … (   +   ) + ⋯ + (   +   )(   + 1  ) … (   + ( −1 )  )] Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 4 Cho = 0 ta nhận được =  2  . Cho = ,2,…, với   = −1, ta có ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧   = 2 ( −1 )   2 + 1 ,  = 0   = 2 ( −1 )   2 + 1 ,  = 0 …   = 2 ( −1 )   2 + 1 ,  = 0 Từ đó suy ra ( 2 ) !  (   + 1  )(   + 2  ) … (   +   ) =   +      + 1 + ⋯+      +   Cho = 1 ta nhận được ( 2 ) ! ∏ ( 1 +  )   =  2  +2 ( −1 )  1 +      2n n + k  Bài tập: Bài tập 3: Ký hiệu 1 1 1 ( ) (1 ) 1 i i n j i i j a f x a x a         Chứng minh rằng: 1+f n (x)-f n (ax)= 1 (1 ) i j j a x    Chứng minh: Ta có f n (ax)= 2 2 2 (1 ax) (1 ax)(1 ) (1 ax) (1 ) 1 1 1 n n n a a a a x a x a a a            f n (x)= 2 1 2 (1 ) (1 )(1 ax) (1 ) (1 ) 1 1 1 n n n a a a x x x a x a a a             Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 5 Từ đó ta suy ra : 1+f n (x)-f n (ax) = 1+ 2 2 2 1 2 (ax ) ( )(1 ax) ( )(1 ax)(1 ) (1 ) 1 1 1 n n n n a a a x a x x a x x a x a x a a a               = 1 (1 ) i j j a x    . Bài tập 5: Chứng minh 1 1 2 1 2 ( 1) 2 1 n n j j n n n j n C j j C       Với mọi n nguyên dương. Giải: Ta biểu diễn ( −  )( −  ) … ( −  )  ( + 1 )( + 2 ) … ( +  )( 2+ 1 ) =   + 1 +   + 2 + ⋯+   +  +  2+ 1 Từ đó suy ra ( −  )( −  ) … ( −  ) − ( + 1 ) … ( +  ) = [   ( + 2 ) … ( +  ) + ⋯+  ( + 1 ) … ( + −1 )]( 2+ 1 ) Đồng nhất thức Eucler: (   +   +   +   )(   +   +   +   ) =   +   +   +   ớ = −−− = + −+ = + +− = −+ +  Chứng minh : Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 6 Ta có : det + + −+ − =   +   +   +   Từ đồng nhất thức  + + −+ −  + + –+ = =  ++  −+ −  trong đó  = −−− = + −+  = + + − = −+ +  ta có đồng nhất thức Euler bằng cách lấy định thức hai vế Đồng nhất thức lagrange: Với mọi   ,   ta có           =         + + ∑     −       . Với hai ma trận =      ⋯       …       ⋯   ,=      ⋯       …       ⋯    gọi B’ là ma trận chuyển của B ,thì theo công thức Bine-Cauchy ,ta có det (   ) = ∑        …              ⋯  ,trong đó        …  ,       …   là những định thức con cấp r của A và B tương ứng với các cột thứ   ,  ,  …   .Từ tích hai ma trận Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 7      ⋯   ⋮ ⋱ ⋮     ⋯            ……     = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛                          ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ nên áp dụng công thức trên ta suy ra đồng nhất thức cần chứng minh. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng tập = {   +   +   +   | ,,,∈ đóng kín đối với phép nhân. Từ đó chỉ ra phương trình   +   +   +   = 2005  luôn có nghiệm nguyên cho mọi số nguyên dương n. Giải : Ta chứng minh T đóng kín đối với phép nhân T đóng kín đối với phép nhân suy ra từ đồng nhất thức Euler Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên với mọi số nguyên dương n bằng cách quy nạp theo n -Khi n=1 ,phương trình   +   +   +   = 2005  có nghiệm là (x,y,x,t)=(44,7,4,2) là nghiệm -Giả sử   ,  ,  ,  là các nghiệm nguyên của phương trình : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧   = 44  −7  −4  −2    = 7  + 44  −2  + 4    = 4  + 2  + 44  −7    = 2  −4  + 7  + 44   Theo đồng nhất thức Euler ta có    +    +    +    = 2005  (    +    +    +    ) = 2005  Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 8 Từ đó suy ra   ,  ,  ,  cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 2 : Chứng minh rằng tập = {  +   +   −3|,,∈} đóng kín đối với phép nhân .Từ đó suy ra phương trình   +   +   −3= 1944  luôn luôn có nghiệm nguyên ,, cho mọi số nguyên dương n. Giải: Ta có T đóng kín đối với phép nhân do đồng nhất thức (1) đã trình bày ở trên. Ta chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên dựa vào tính đóng của T -Ta chứng minh quy nạp theo n với n=1 ta có : Phương trình   +   +   −3= 1944 nhận nghiệm nguyên ( ,, ) = ( 2,11,11 )  là nghiệm Giả sử   ,  ,  là nghiệm của của phương trình đã cho .Khi đó thì    = 2  + 11  + 11    = 11  + 2  + 11_   = 11  + 11  + 2  là nghiệm của phương trình đã cho .Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài tập: . Theo đồng nhất thức Euler ta có    +    +    +    = 2005  (    +    +    +    ) = 2005  Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G . Chứng minh : Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 6 Ta có : det + + −+ − =   +   +   +   Từ đồng nhất thức  + + −+. Chuyên đề: Một số đồng nhất thức cơ bản – Đỗ Trường Sơn K56-G 1 Một vài ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho các số    và  (  ) = ( +   )( +   ) …