Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET max= 2     khi =   . = √   − √ −  với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤ Ta có = √   − √ −  =    − ( − )     = 1 2     + 1 2 ( − )    > 0 ⟹ hàm số đã cho luôn đồng biến. ⟹ ( 0 ) ≤ (  ) ≤ (  ) ,∀∈ [ 0, ] Vậy min= ( 0 ) = − √   max=  (  ) = √   = |  |  . |  |  với p và q lớn hơn 1 Đặt = | cos |  ,∈ [ 0,1 ] ⟹ | sin |  = 1− ⟹= (  ) =    . ( 1 − )   ⟹  (  ) =  2 .    . ( 1 − )   −   .  2 . ( 1 − )    =     . ( 1 − )    .  2 ( 1 − ) −  2  =     . ( 1 − )    .  2 −. +  2    (  ) = 0⟺ = 0 1 −= 0  2 −. +  2 = 0 ⟺ = 0 = 1 =  +   ( 0 ) =  ( 1 ) = 0   +  =  +       +     > 0 Vậy min= ( 0 ) =  ( 1 ) = 0 max=   +  =  +       +     Bài 2/91:Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3  + 17  ≥18  với mọi a và b không âm;   > ∑   !   với mọi > 0 và hãy mở rộng kết quả này. LG: 3  + 17  ≥18  với mọi a và b không âm. Nếu = 0 ⟹3  ≥0 luôn đúng do ≥0. Nếu ≠0 chia cả hai vế của bất phương trình cho   ta được: 3    + 17 ≥ 18    ⟺3     −18   + 17 ≥0 ( 1 ) Đặt=   ,≥0 ⟹ ( 1 ) ⟺3  −18+ 17≥0 Xét  (  ) = 3  −18+ 17   (  ) = 9  −18   (  ) = 0⟺  = − √ 2 <0(ạ) = √ 2 Bảng biến thiên   √ 2  = 6 √ 2 −18 √ 2 + 17 =−12 √ 2 + 17> 0 ⟹ (  ) ≥0∀∈ [ 0,+∞ ) ⟹3  + 17  ≥18   ( đ ) a.   > ∑   !   với mọi > 0 Ta có:   >    !   ⟺  −   !   > 0 Đặt  (  ) =   −   !    ⟹′ (  ) =   −   ( −1 ) !    ′′ (  ) =   −   ( −2 ) !   ………………  () (  ) =   > 0∀ ⟹ () (  ) đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ () (  ) >  () ( 0 ) > 0∀ ⟹ () (  ) đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ () (  ) >  () ( 0 ) > 0∀ ……………………  Tương tự như vậy ta có   (  ) > 0∀∈ [ 0,+∞ ) ⟹() đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ (  ) =   −   !   > ( 0 ) > 0∀∈ [ 0,+∞ ) Bài 3/91: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4   +    + 4     LG: Đặt= 4   +    + 4     Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho   ta được: = 4      +      + 4    Đặ=   ,> 0⇒= (  ) = 4  + √   + 4   Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi  (  ) đạt giá trị lớn nhất. Ta có   (  ) = 4  + √   + 4   −4.3  + √   + 4   .1 +  √   + 4   + √   + 4   = 4 √   + 4 −12  + √   + 4   . √   + 4   (  ) = 0⟺4    + 4 −12= 0⟺    + 4 = 3 ⟺  + 4 = 9  ⟺8  = 4⟺ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 √ 2 < 0 ( ạ )  = 1 √ 2  Bảng biến thiên Vậymax= 1 8 Bài 1/94: Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: = |  |  − |  |  với > 0; = √ −  ± √ −  với > ; = 3 |  |  −4 |  |  với > 0; =           với n nguyên dương. LG: = |  |  − |  |  với > 0 Ta có −1 ≤− |  |  ≤ |  |  − |  |  ≤ |  |  ≤1 nên −1 ≤≤1 = −1 ⟺=  2 +  = 1⟺=  Vậy min=−1 và max= 1. = √ −  ± √ −  với >  = √ −  + √ −  Điều kiện ≤≤ Ta có = √ −  + √ −  = ( − )   + ( − )     = 1 2 ( − )    − 1 2 ( − )      = 0⟺ 1 2 ( − )    = 1 2 ( − )    ⟺= +  2  (  ) =  (  ) = √−   +  2 =2  +  2  > √−   Vậy min= √ −  khi =  hoặc = . max= 2     khi =   . = √ −  − √−  Ta có − √ −  ≤− √ −  ≤ √ −  − √ −  ≤ √ −  ≤ √ −  ⟹−√−  ≤≤ √−   = −√−  ⟺= = √−  ⟺=  Vậy min=− √ −  max= √ −  = 3 |  |  −4 |  |  với > 0 Ta có −4 ≤−4 |  |  ≤3 |  |  −4 |  |  ≤3 |  |  ≤3 ⟹−4 ≤≤3 = −4 ⟺ |  | = 1 |  | = 0 ⟺x=  2 +  = 3⟺ |  | = 1 |  | = 0 ⟺=  Vậy min=−4 max= 3 =           với n nguyên dương Ta có  0 ≤sin  ≤1 0 ≤cos  ≤1 ⟹ 0 ≤sin  ≤sin  ≤1 0 ≤cos  ≤cos  ≤1 ⇒sin  + cos  ≤sin  + cos   ⇒ đạt giá trị lớn nhất ⟺sin  + cos  = sin  + cos   ⟺  cos= 0 sin= ±1  cos= ±1 sin= 0 ⟺=  2 . Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET max= 2     khi =   . = √   − √ −  với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤. 4   .1 +  √   + 4   + √   + 4   = 4 √   + 4 −12  + √   + 4   . √   + 4   (  ) = 0 4    + 4 −12= 0⟺    + 4 = 3 ⟺  + 4 = 9  ⟺8  = 4 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 √ 2 <. 4    Đặ=   ,> 0⇒= (  ) = 4  + √   + 4   Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi  (  ) đạt giá trị lớn nhất. Ta có   (  ) = 4  + √   + 4   4 .3  + √   + 4   .1