Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 2/94: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: = 1 |  |  + 1 |  |  =   +       + (  +     ) với m và n nguyên dương; = √   + + + √   + +  với > 0 và   −4< 0;   −4< 0 LG: = 1 |  |  + 1 |  |  ≥ 2   |cossin|   = 2.2   | sin2 |   ≥2    Dấu đẳng thức xảy ra khi sin2= 1 ⟺=   + 2 Vậy min=2    . =   +       + (  +     ) với m và n nguyên dương Áp dụng bất đẳng thức   +   2 ≥ +  2   Ta được =   + 1      +   + 1      ≥ 1 2  sin  + 1 sin   + cos  + 1 cos     ≥ 1 2   1 2  ( sin  + cos   )  + 1 2   1 sin   + 1 cos        = 1 2   1 2  1 + 4  sin  2   ≥ 2 2   2 2  ( 1 + 4  )   = 2 1 + 4  2    Dấu đẳng thức xảy ra khi =   + 2 Vậy min= 2       khi =   + 2. = √   + + + √   + +  với > 0 và   −4< 0;   −4< 0 Ta có = √ .   −−  2   +   −   4  +  +  2   +   −   4   = √ .   −−  2   + 4−  4  +  +  2   + 4−  4   Đặt  ⃗ =  −−  2 , √ 4−  2  ⇒ |  ⃗ | =  −−  2   + 4−  4  ⃗=  +  2 , √ 4−  2   ⇒ | ⃗ | =  +  2   + 4−  4   ⟹ ⃗ + ⃗=  − 2 , √ 4−  + √ 4−  2   |  ⃗ + ⃗ | =   − 2   +  √ 4−  + √ 4−  2   Mặt khác |  ⃗ | + | ⃗ | ≥ |  ⃗ + ⃗ | Suy ra ta có ≥ √ .   − 2   +  √ 4−  + √ 4−  2   Dấu đẳng thức xảy ra khi −−  2 +  2 = √ 4−  2 √ 4−  2 ⟺ −2− 2+  = √ 4−  √ 4−   ⟺ ( −2− ) .  4−  = ( 2+  ) .  4−   ⟺2  4−  −  4−  =−  4−  −  4−  ⟺= −  √ 4−  +  √ 4−  2 √ 4−  − √ 4−  Vậy min= √ .   − 2   +  √ 4−  + √ 4−  2   Khi = −  √ 4−  +  √ 4−  2 √ 4−  − √ 4−  Chương 5: Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bài 3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I.Một số phép biến đổi cơ bản 1.   (  ) >   (  ) ⇔ () > () () ≥ 0 2   (  ) ≥   (  ) ⇔ () ≥ () () ≥ 0 . 3.   (  ) ≥   (  ) ⇔  (  ) >  (  )  (  ) ≥ 0 4. () ≥()⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡   (  ) ≥   (  )  (  ) ≥ 0   (  ) ≥ 0  (  ) < 0 5.   (  ) < () ⇔ 0 <() < () () > 0 6.   (  ) ≥() ⇔ 0 ≤() ≤   () () ≥ 0 7.  (  ) .() > 0⟺ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡   (  ) >  (  )  (  ) > 0  () < 0 () < 0 II.Bất phương trình bậc nhất và hệ bất phương trình bậc nhất 1.Bpt bậc nhất,hệ bpt bậc nhất một ẩn +)Xét bất phương trình dạng +> 0ℎặ+ ≥0ℎặ+ < 0ℎặ+ ≤0,trong đó ≠0, được gọi là bất phương trình bậc nhất, một ẩn. +) Hệ các phương trình trên gọi là hệ bất phương trình bậc nhất, một ẩn. Để giải và biện luận hệ bpt bậc nhất trên ta đi giải từng bpt rồi kết hợp miền nghiệm. Vì các dạng bpt trên có cách giải tương tự nhau nên ta chỉ cần xét bpt dạng + > 0 Giải và biện luận bpt này như sau TXD: = ℝ Nếu > 0 tập nghiệm là = > −    Nếu < 0 tập nghiệm là = < −    Nếu = 0,<0 tập nghiệm là ℝ Nếu = 0,>0 bpt vô nghiệm. Bài tập áp dụng Bài 3.(gt-182) Tìm m để 2 bất phương trình sau tương đương ( −1 ) −+ 3 >0 (1) ( +1 ) −+ 2 >0 (2) Giải Gọi   ,  lần lượt là tập nghiệm của các bpt ( 1 ) ,(2).Ta tìm m sao cho   =   . Để tiện so sánh   và   ta ghi kết quả giải và biện luận các bpt ( 1 ) ,(2) ra bảng sau m     + ∞   − 3  − 1 ; + ∞    − 2  + 1 ; + ∞  1 ℝ  − 1 2 ; + ∞   − ∞ ;  − 3  − 1    − 2  + 1 ; + ∞  -1 ( − ∞ ; 2 ) ℝ − ∞  − ∞ ;  − 3  − 1   − ∞ ;  − 2  + 1  Từ bảng trên ta suy ra   =   ⟺    =     > 1  < −1 ⟺=5 Bài tập tự luyện Bài 1.Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây vô nghiệm  2+ 3 ≥ 0 ( −1 ) + −2 ≤ 0 . Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 2/94: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: = 1 |  |  + 1 |  |  .  √ 4−  2 √ 4−  − √ 4−  Chương 5: Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bài 3.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I .Một số phép biến đổi cơ bản 1.   (  ) >   (  ) ⇔ (). bậc nhất,hệ bpt bậc nhất một ẩn +)Xét bất phương trình dạng +> 0ℎặ+ ≥0ℎặ+ < 0ℎặ+ ≤0,trong đó ≠0, được gọi là bất phương trình bậc nhất, một ẩn. +) Hệ các phương