PHÁƯN II : BI TÁÛP DAO ÂÄÜNG V SỌNG CÅ Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV aỡ nụng tập chơng : Dao động tử điều hòa ghép tợng lan truyền dao động @ Bài tập I: Dao động cỡng lực c¶n cđa hƯ mét bËc tù do: XÐt mét dao ®éng tư mét bËc tù nh− h×nh vÏ Hai lò xo có độ cứng K Quả cầu có khối lợng M Gọi (t ) dịch chuyển cầu so với vị trí cân Giả sử bỏ qua lực cản tác dụng lên cầu d 1) Giả sử thời điểm ban đầu, hệ chịu kích thích có dạng: ψ (0) = ; ⎜ ⎟ = v0 HÃy dt t =0 thiết lập phơng trình dao động tự xác định tần số góc dao động tự cầu Suy biểu thức dịch chuyển (t ) cầu 2) Bây nhờ cấu tay quay trợt, đầu A cầu chịu dịch chun d−íi d¹ng: ξ (t ) = ξ cos t HÃy xác định dịch chuyển cầu chế độ cỡng hình sin ổn định Vẽ đồ thị biên dộ dao động cỡng A( ) cầu theo tần số góc lực kích thích ( gọi tần số kích thích) ứng với giá trị , tợng cộng hởng xảy ? K A M K B x K B x ψ (t ) A K ξ (t ) M ψ (t ) H−íng dÉn: Phơng trình dao động tự hệ: + ω12 ψ = víi ω1 = π K DÞch chun M F0 víi F0 = Kξ M ω −ω ω1 Céng h−ëng xảy = (tần số kích thích tần số riêng hệ) cÇu: ψ (t ) = v0 cos(ω1t + ) Biên độ dao động: A( ) = @ Bài tập II: Dao động cỡng có lực cản nhớt hƯ mét bËc tù do: XÐt mét dao ®éng tư bậc tự nh hình vẽ Đầu A A lò xo đợc kích thích cấu tay quay trợt, tạo nên dịch chuyển có d¹ng: ξ (t ) = ξ cos ω t đầu A Lò xo có độ cứng K số Qủa cầu B có khối lợng M Gọi dịch chuyển cầu so với vị trí cân (t ) Giả sử cầu chịu tác dụng lực cản nhớt: K M ψ 52 x Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng Fc = −h ψ , h hệ số cản nhớt môi tr−êng (h = h»ng sè) Gäi Q= ω1M h víi K (Q đợc gọi hệ số phẩm chất) M 1) Viết phơng trình chuyển động dao động tử 2) Chúng ta nghiên cứu chế độ cỡng hình sin ổn định HÃy xác định biên độ dao ®éng c−ìng bøc A(ω ) cđa dao ®éng tư nói trên, cách biểu diễn (t ) F (t ) = K ξ (t ) d−íi d¹ng phức Khảo sát biến thiên A( ) theo tÇn sè gãc ω cđa lùc kÝch thÝch 1 trờng hợp Q > Q < Từ ®ã suy ®iỊu kiƯn ®Ĩ cã céng h−ëng vµ giá trị 2 xảy cộng hởng F (t ) Hớng dẫn: Phơng trình dao ®éng tù cđa hƯ: ψ + ψ + ω12 ψ = víi F (t ) = K ξ (t ) Q M 12 = Biên độ dao ®éng: A(ω ) = ®iỊu kiƯn Q > F0 M (ω 2 ⎛ω ω ⎞ −ω ) +⎜ ⎟ ⎝ Q ⎠ A(ω ) cực đại = 1 víi 2Q (®iỊu kiƯn ®Ĩ cã céng h−ëng) @ Bài (Trang 28): Dao động hai phao: Hai phao h×nh trơ gièng (tiÕt diƯn s Tiết diện s Hình khối lợng m) dao động nớc bình chứa có tiết diện S Gọi khối lợng riêng nớc Vị trí phao đợc xác định dịch chuyển x1 x2 chúng theo phơng thẳng đứng so với vị trí cân 1) Tìm hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động hai phao (thừa nhận mặt thoáng nớc nằm ngang áp dụng định lý Archimède) 2) Giải hệ phơng trình trên, giả sử Tiết diện S Tiết diện S thời điểm ban đầu, hai phao nằm vị trí cân bằng, với vận tốc ban đầu 2v0 phao thứ v0 phao thứ hai Bài giải : Câu : Khi phao dịch chuyển theo phơng thẳng đứng mực nớc bình bị thay đổi Gọi x dịch chuyển mặt thoáng chất lỏng so với vị trí lúc phao cân bằng; x1 x2 dịch chuyển hai phao so với vị trí cân Khi hai phao lên so với vị trí cân (x1 > 0, x2 > 0), mực nớc bình hạ xuống : x < ( x + x )s Do thÓ tÝch nớc bình không đổi, nên : ( x1 + x2 ).s = - x( S - 2s) ⇒ x = S 2s áp dụng định lý động lợng cho phao : mx1 = − mg + ρ ⎣V0,chim − ( x1 − x) s ⎦ g ⎡ ⎤ ⎪ ⎨ ⎪mx2 = − mg + ρ ⎡V0,chim − ( x2 − x) s ⎤ g ⎣ ⎦ ⎩ Víi : V0, chim : thể tích phần chìm nớc phao lúc phao c©n b»ng : V0,chim ρ g = mg 53 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng (1) ⎧mx1 = −( x1 − x) s ρ g ( x + x )s Suy : ⎨ víi : x = − (2) S − 2s ⎩mx2 = −( x2 − x) s ρ g ( x + x )s ⎞ sρ g ⎛ Tõ (1) suy : mx1 = − ⎜ x1 + ⎟ s ρ g = − ( x1S − 2sx1 + sx1 + sx2 ) S − 2s ⎠ S − 2s ⎝ sρ g s ρ g (S − s) s2 ρ g ⇒ mx1 = − x1 − x2 [ x1 (S − s) + sx2 ] ⇒ x1 = − S − 2s m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) Đặt : 12 = Suy : s g ( S − s) s2 ρ g ; ω12 = (Chó ý r»ng : ω1 > ω2 ) m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) x1 = −ω12 x1 − ω2 x2 T−¬ng tù, tõ (2) suy : x2 = − s2 ρ g s ρ g (S − s) x1 − x2 m ( S − 2s ) m ( S − 2s ) x2 = −ω2 x1 − 12 x2 Hay : Tóm lại, hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động hai phao : 2 ⎧ ⎪ x1 = −ω1 x1 − ω2 x2 (3) ⎨ 2 ⎪ x2 = −ω2 x1 − ω1 x2 ⎩ C©u : Céng vÕ theo vÕ hệ phơng trình (3) : 2 x1 + x2 = −ω12 x1 − ω12 x2 − ω2 x2 − ω2 x1 ⇒ x1 + x2 = −ω12 ( x1 + x2 ) − ω2 ( x1 + x2 ) 2 2 x1 + x2 = −(ω12 + ω2 )( x1 + x2 ) ⇒ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) víi Ω1 = ω12 + ω2 ⇒ T−¬ng tù, trõ vÕ theo vế hệ phơng trình (3) : 2 x1 − x2 = −(ω12 − ω2 )( x1 − x2 ) ⇒ x1 − x2 = −Ω ( x1 − x2 ) víi Ω = ω12 − ω2 A B ⎧ ⎪ x1 = sin Ω1 t + sin Ω 2t ⎧ x1 + x2 = −Ω1 ( x1 + x2 ) ⎧ x1 + x2 = A sin Ω1 t ⎪ ⎪ ⎪ Suy : ⎨ ⇒ ⎨ ⇒⎨ ⎪ x1 − x2 = −Ω ( x1 − x2 ) ⎪ x1 − x2 = B sin Ω 2t ⎪ x = A sin Ω t − B sin Ω t ⎩ ⎩ ⎪ 2 ⎩ A B A B Ta cã : x1 = Ω1 cos Ω1 t + Ω cos Ω 2t T¹i t = 0, x1 = 2v ⇒ 2v = Ω1 + Ω 2 2 A B A B Ta cã : x2 = Ω1 cos Ω1 t − Ω cos Ω 2t T¹i t = 0, x2 = v0 ⇒ v = Ω1 − Ω 2 2 3v v0 Tõ (4) vµ (5), suy : A= ; B= Ω2 Ω1 (4) (5) ⎧ ⎞ v0 ⎛ sinΩ1 t + sin Ω 2t ⎟ ⎪ x1 = ⎜ ⎝ Ω1 Ω2 ⎪ ⎠ Tãm l¹i : ⎨ ⎪ x = v0 ⎛ sinΩ t − sin Ω t ⎞ ⎟ ⎪ 2 ⎜Ω Ω2 ⎝ ⎠ @ Bài (Trang 28): Triệt tiêu dao động: Xét dao động tử nh hình vẽ (hình a) Dịch chuyển đầu A lò xo có dạng h×nh sin: y (t ) = y0 sin Ω t (giả sử K1 m1 ) 1) Xác định dịch chuyển x1(t) dao động tử so với vị trí cân chế độ cỡng hình sin ổn định 54 Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng 2) Mét dao ®éng tư thứ đợc đặt nối tiếp dao động tử trên, nh sơ đồ hình vẽ (hình b) Đầu A lò xo thực dịch chuyển hình sin nh đà nói Với điều kiện K2 m2, dịch chuyển x1 chế độ cỡng ổn định ? (a) (b) A m1 K1 A m1 K1 x m2 K2 x y (t ) x1 (t ) Hình y (t ) x1 (t ) x2 (t ) Bài giải : Câu : Phơng trình chuyển động khối lợng m1 cã d¹ng : K1 m1 x1 = −( x1 − y ) K1 ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y víi ω1 = ⇒ x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t (1) m1 NghiƯm riªng x1(t) phơng trình (1) biểu diễn dao động cỡng khối lợng m1 có dạng : x1 (t ) = A(Ω)sin Ω t ⇒ x1 = ΩA cos Ω t ⇒ x1 = −Ω A sin Ω t = x1 Thay tất vào (1) : −Ω x1 + ω12 x1 = ω12 y0 sin Ω t ⇒ (ω12 − Ω ) x1 = ω12 y0 sin Ω t ⇒ x1 = ω12 ω12 − Ω y0 sin Ω t ω12 y0 Céng h−ëng x¶y : Ω = ω1 , |A| Biên độ dao động cỡng : A(Ω) = ω1 − Ω →∞ C©u : Phơng trình chuyển động hệ hai dao ®éng tư liªn kÕt m1, m2 : ⎧m1 x1 = − K1 ( x1 − y ) + K ( x2 − x1 ) ⎨ ⎩m2 x2 = − K ( x2 − x1 ) Khi x1 = 0, phơng trình trở thành : = K1 y + K x2 (2) ⎨ ⎩m2 x2 = K x2 Nghiệm riêng x2 phơng trình (2) biểu diễn chế độ cỡng ổn định khèi l−ỵng m2 K1 K ⎧ y = − y0 sin Ωt K2 K2 ⎪ x2 = − K2 K2 cã d¹ng : ⎨ víi : Ω2 = ⇒ Ω= m2 m2 ⎪ x = A sin Ω t K2 dịch chuyển x1(t) chế ®é c−ìng bøc ỉn ®Þnh tháa m2 m·n x1(t) = Hệ lò xo nh đợc ứng dụng vào viƯc thiÕt kÕ hƯ thèng c¸ch rung kü tht Nh− vËy, víi ®iỊu kiƯn Ω = 55 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng @ Bài (Trang 30): Phơng trình truyền sóng Klein-Gordon: Oz Khảo sát lan truyền sóng dọc theo chuỗi lắc đơn giống nhau, khối lợng M, chiều dài L, liên kết với lò xo có độ cứng K, nh hình vẽ K g Ký hiƯu: ω = vµ: Ω0 = L M 1) Viết phơng trình lan truyền liên hệ dịch chuyển bé n L. n , n n +1 đầu tự lắc Viết hệ thức tán xạ sóng chạy đơn sắc đặc trng Hình bµi : cho sù lan trun nµy 2) BiĨu diễn hệ thức tán xạ rõ dải tần cho phép tần số góc dao động tự chuỗi lắc liên kết 3) Chỉ rõ dạng kết qủa nói phép gần cho môi trờng liên tục Bài giải : Câu : Phơng trình lan truyền : áp dụng định lý momen động lợng cho lắc thứ n trục Oz vuông góc với mỈt dLOz = ∑ M Oz ( Fi e ) víi LOz = J θ n ; J = ML2 phẳng chuyển động hệ : dt i ML θ n = − K (ψ n −ψ n −1 ) L cos θ n − MgL sin θ n + K (ψ n +1 −ψ n ) L cos θ n Víi gãc lƯch θn coi nh− rÊt bÐ ⇒ cos θ n ≈ 1;sin θ n ≈ θ n ;ψ n ≈ Lθ n ⇒ ML2θ n = − MgLθ n + − KL2 (θ n −1 − 2θ n + θ n +1 ) (1) K g = L M Phơng trình lan truyền sóng dọc(1) chuỗi lắc trở thành : θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − n + n+1 ) (2) Đặt : = Trong : tần số riêng dao động tự lắc đơn Nghiệm hình sin phơng trình truyền sóng : ta sử dụng phơng pháp khác với phơng pháp trình bày phần lý thuyết Để tìm nghiệm tổng quát phơng trình lan truyền (2), trớc hết ta tìm nghiệm n (t ) phơng trình (2), sau nghiệm tổng quát n (t ) đợc tìm dới dạng tổ hợp tuyến tính nghiƯm θ n (t ) Sư dơng ký hiƯu phøc : θ n (t ) = An eiωt víi An = An eiϕ ⇒ θ n (t ) = Aniω eiωt ⇒ θ n = An ( iω ) eit = n Thay vào phơng trình lan truyÒn (2) : 2 −ω An eiωt = −Ω An eiωt + ω0 ( An −1eiωt − An eiωt + An +1eiωt ) (3) 2 ⇒ ω02 An −1 + (ω − 2ω0 − Ω ) An + ω0 An +1 = 56 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng On (+) θn M Fn +1 = K (ψ n +1 −ψ n ) Fn −1 = K (ψ n −ψ n −1 ) Mg n Chúng ta tìm An dới dạng An = r n , suy : An −1 = r n −1 vµ An +1 = r n +1 2 HƯ thøc (3) trë thµnh : ω0 r n −1 + (ω − 2ω02 − Ω ) r n + ω0 r n +1 = 2 Hay : ω0 r + (ω − 2ω0 − Ω ) r + ω02 = (4) Biệt số phơng trình bậc hai (4) : 2 2 2 ∆ = (ω − 2ω0 − Ω ) − 4ω02ω0 ⇒ ∆ = (ω − 2ω0 − Ω − 2ω02 )(ω − 2ω02 − Ω + 2ω0 ) 2 2 ⇒ ∆ = (ω − Ω − 4ω0 )(ω − Ω ) 2 NÕu ∆ > (hay ω ∉ (Ω0 , Ω1 ) ®ã Ω1 = 4ω0 + Ω0 ), nghiƯm cđa (4) lµ nghiƯm thùc Do tích số hai nghiệm phơng trình (4) r1 r2 nghiệm hệ thức r1.r2 = ⇒ Mét hai nghiƯm thùc sÏ lín h¬n Khi đó, nghiệm An , tổ hợp tuyến tính r1n r2n phân kỳ Điều phơng diện vật lý chấp nhận đợc chuỗi vô hạn dao động tử lý tởng Do đó, phải có < hay < < Các tần số góc dao động tự 2 n»m miÒn Ω < ω < Ω1 tøc lµ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 Đây dải tần cho phép tần số góc dao động tự chuỗi lắc liên kết 2 2 Ta cã : Ω < ω < 4ω0 + Ω ⇒ < ω − Ω < 402 Do đó, đặt : ⎟ , víi Φ ∈ (0, π ) Ph−¬ng trình (4) trở thành: Φ ⎞⎞ ω02 r + ⎜ 4ω02 sin ⎜ ⎟ − 2ω02 ⎟ r + ω02 = ⇒ r − ⎜ − 2sin ⎜ ⎟ ⎟ r + = ⎝ ⎠⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ω − Ω = 4ω02 sin ⎜ (5) ⇒ r − 2r cos Φ +1 = Hai nghiƯm cđa phơng trình (5) r1 r2, hai số phức liên hợp tích chúng: r1.r2 = Φ ± iΦ Ta cã : ∆ = cos Φ − = i sin ( ) , ®ã : r1,2 = cos Φ ± i sin r1,2 = e Đặt k = , na xác định vị trí cân b»ng cđa vËt dao ®éng thø (n), suy ra: a ± ika r1,2 = e ⇒ θ n (t ) = e inka eit Do đó, sóng hình sin lan truyền dọc theo chuỗi lắc liên kết có dạng (dới dạng tổ hợp tuyến tính c¸c nghiƯm θ n (t ) = e ± inka eiωt ): 57 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng θ n (t ) = A+ e − inka eiωt + A− einka eiωt ⇒ θ n (t ) = A+ ei (ωt − nka +ϕ ) + A− ei (ωt + nka +ϕ Dao động lắc đơn đợc viết dới dạng thùc nh− sau: θ n (t ) = A+ cos(ωt − nka + ϕ0+ ) + A− cos(ωt + nka + ) Hệ thức tán xạ : Từ phơng trình truyền sóng, ta suy đợc hệ thức: 0+ ) Φ ⎛Φ⎞ ⎟ víi Φ ∈ (0, π ) vµ k = a ⎝2⎠ ⎛ ka ⎞ 2 (5) ⇒ ω = 4ω0 sin ⎜ ⎟ + Hệ thức (5) đợc gọi hệ thức tán xạ Hệ thức tán xạ (cách chøng minh gièng nh− phÇn lý thut): NghiƯm cđa phơng trình (2) dới dạng phức nh sau : n (t ) = A exp [i(ωt − kxn )] víi ω − Ω = 4ω02 sin ⎜ A = A exp(iϕ0 ) , víi A số thực dơng, số thực đó, số thực dơng Tính n (t ) vµ θ n (t ) : θ n (t ) = iω A exp [i (ωt − kxn )] ; θ n (t ) = −ω A exp [i (ωt − kxn )] Thay vµo (2), ®ång thêi l−u ý r»ng xn = n.a , suy ®−ỵc : θ n = −Ω0θ n + ω02 (θ n−1 − 2θ n + θ n+1 ) 2 −ω exp i (−kna) = −Ω0 exp(−ikna) + ω0 [ exp i (−kna + ka) − 2.exp i (− kna) + exp i (− kna − ka)] ⇒ 2 −ω = −Ω0 + ω0 [ exp(ika) − + exp(−ika)] ⇒ 2 −ω = −Ω0 + ω0 [ cos(ka) + i sin(ka) − + cos(ka) − i sin(ka)] ⇒ ω − Ω0 = 2ω02 [ cos(ka) − 1] ⇒ ⎛ ka ⎞ ⎟ ⎝ ⎠ ω − Ω = 4ω02 sin ⎜ ⎛ ka ⎞ ⎟ + Ω0 ⎝ ⎠ HƯ thøc nµy cho mối liên hệ k đợc gọi hệ thức tán xạ ka 2 2 Do ≤ sin ⎜ ⎟ ≤ ⇒ Ω ≤ ω − Ω ≤ 4ω0 ⇒ ⇒ Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 ⎝ ⎠ ⇒ ω = 4ω02 sin 2 Các tần số góc dao động tự nằm miỊn : Ω0 < ω < 4ω0 + Ω0 C©u : Đồ thị ( k ) nh hình vẽ, cần đợc vẽ vùng : π π øng víi cïng mét − < k < , giá trị k k + a a a nghiÖm vËt lý θ ( x, t ) T¹i k = ⇒ ω = Ω π π 2 T¹i k = − hay k = ⇒ ω = 4ω02 + Ω = Ω1 ⇒ ω = Ω1 a a ⎛ ka ⎞ ka cos ⎜ ⎟ dω ⎝ ⎠ Khi k = vµ k = ± 2π ⇒ = Đạo hàm theo k : dk a ka ⎞ 4sin ⎜ ⎟ + Ω0 ⎝ ⎠ d = đồ thị nhận đờng thẳng nằm ngang làm tiếp tuyến dk Các tần số góc dao động tự nằm miền : 58 Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV  nàơng 2 Ω0 < ω < 40 + Câu : Trong phép gần cho môi truờng liên tục (a