Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị GIO N MễN LÝ THUYẾT ĐỒ THN Số tiết học: 60 tiết ( 45 tiết lý thuyết + 15 tiết thực hành) Tài liệu tham khảo: 1) Toán rời rạc, PGS TS Đỗ Đức Giáo, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 2002 2) Toán rời rạc, Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 2003 3) Giáo trình Lý thuyết đồ thị, Nguyễn Thanh Hùng, Nguyễn Đức Nghĩa 4) Toán học rời rạc ứng dụng tin học, Dịch từ Discrete Mathematics and Its Applications, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THN (9 tiết) 1.1 Giới thiệu Lý thuyết đồ thị nghành khoa học có từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng sở ban đầu đưa từ năm đầu kỷ 18 nhà toán học người Thuỵ Sỹ Leonhard Euler Lý thuyết đồ thị dùng để giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn: Dùng mơ hình đồ thị để xác định xem hai máy tính mạng máy tính có trao đổi thơng tin với hay không? Đồ thị với trọng số gắn cho cạnh dùng để giải tốn tìm đường ngắn hai thành phố mạng lưới giao thông Chúng ta phân biệt hợp chất hố học có cơng thức phân tử có cấu trúc khác nhờ vào đồ thị 1.2 Các định nghĩa tính chất Định nghĩa 1: Giả sử V tập khác rỗng phần tử E ⊆ VxV (E tập tích đề VxV) Bộ G = (V, E) gọi đồ thị Mỗi phần tử v ∈ V gọi đỉnh đồ thị, V gọi tập đỉnh đồ thị Mỗi phần tử e = (u, v) ∈ E gọi cạnh đồ thị, E gọi tập cạnh đồ thị Ví dụ 1: G = (V = {v1, v2, v3, v4, }, E = {e1 = (v1,v2), e2 = (v1,v3), e3 = (v2,v3), e4 = (v3,v4), }) v2 e1 v1 e3 v3 e2 e4 v4 Như ta hình dung đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh với Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Chỳ ý: Nu V l tập hữu hạn phần tử G = (V,E) gọi đồ thị hữu hạn Từ sau chủ yếu ta nghiên cứu đồ thị hữu hạn (có thể coi định nghĩa đồ thị) Ví dụ 2: G = (V={Thanh hố, Nghệ an, Hà nội, TP.HCM},E={(Thanh hoá,Nghệ an),(Thanh hoá, Hà nội), (Nghệ an, Hà nội), (Hà nội, TP.HCM) }) Thanh hoá Nghệ an Hà nội TP.HCM Định nghĩa 2: a) Hai đỉnh gọi kề có cạnh nối hai đỉnh với Cạnh nối hai đỉnh gọi cạnh liên thuộc b) Hai cạnh gọi kề chúng có đỉnh chung c) Nếu e = (v,v) cạnh đồ thị e gọi khuyên Trong trường hợp đồ thị gọi giả đồ thị Ví dụ 3: v1 v2 e1 v3 e2 e3 v1 v2 gọi hai đỉnh kề nhau, e1 gọi cạnh liên thuộc hai đỉnh v1 v2 e1 e2 gọi hai cạnh kề nhau, e3 gọi khuyên Định nghĩa 3: a) Nếu cạnh e = (u , v) ∈ E không phân biệt thứ tự đỉnh u v, (tức từ u tới v không kể hướng) ta nói đồ thị G = (V,E) đồ thị vô hướng b) Nếu cạnh e = (u , v) ∈ E có phân biệt thứ tự đỉnh u v, (tức từ u tới v khác với từ v tới u) ta nói đồ thị G = (V,E) đồ thị có hướng Cạnh đồ thị có hướng cịn gọi cung Tây hồ Ví dụ 4: v1 v2 CVThủ lệ Hồ gươm v3 TTCPQG Đồ thị vô hướng Đồ thị cú hng Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị nh ngha 4: Đồ thị G =(V,E) gọi đơn đồ thị hai đỉnh đồ thị nối với khơng q cạnh (cung) Ví dụ 5: Định nghĩa 5: Đồ thị G = (V,E) gọi đa đồ thị có cặp đỉnh nối với hai cạnh (hai cung) trở lên Ví dụ 6: Định nghĩa 6: Đồ thị G = (V,E) gọi đồ thị phẳng có dạng biểu diễn hình học mặt phẳng mà cạnh (cung) cắt đỉnh Cách vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Trong trường hợp ngược lại đồ thị khơng phẳng Ví dụ 7: Đồ thị phẳng Đồ thị không phẳng Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền Ví dụ biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền R2 R3 R1 R5 R1 Định nghĩa 7: Đồ thị G = (V,E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh có cạnh (cung) nối chúng Ví dụ 8: Ngun Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết §å ThÞ Định nghĩa 8: Cho đồ thị vơ hướng G = (V,E) Với v ∈ V đỉnh đồ thị, ta kí hiệu deg(v) số cạnh thuộc đỉnh v, riêng với khun đựơc tính deg(v) gọi bậc đỉnh v Nếu deg(v) = v gọi đỉnh lập, deg(v) = v gọi đỉnh treo Bậc đồ thị vô hướng G = (V,E) kí hiệu deg(G) tính deg(G) = ∑ deg(v) v∈V Ví dụ 9: v1 v2 v3 v4 v5 Với đồ thị ta có: deg(v5) = 0, v5 gọi đỉnh cô lập deg(v4) = 1, v4 gọi đỉnh treo deg(v3) = 4, deg(v2) = 3, deg(v1) = Định nghĩa 9: Cho đồ thị có hướng G = (V,E) Với v ∈ V đỉnh đồ thị, ta ký hiệu deg-(v) số cung vào đỉnh v, deg+(v) số cung đỉnh v Khi deg-(v) gọi bậc vào đỉnh v, deg+(v) gọi bậc đỉnh v bậc đỉnh v deg(v) = deg-(v) + deg+(v) Nếu deg+(v) = deg-(v) = v gọi đỉnh cô lập, deg+(v) = 0, deg-(v) = deg+(v) = 1, deg-(v) = v gọi đỉnh treo Bậc đồ thị có hướng G = (V,E) kí hiệu deg(G) tính deg(G) = ∑ deg − (v) + ∑ deg + (v) v∈V v∈V Ví dụ 10: v2 v1 v6 v3 v5 v4 Với đồ thị ta có: deg-(v1) = 2, deg+(v1) = deg-(v2) = 2, deg+(v2) = deg-(v3) = 1, deg+(v3) = 0, đỉnh v3 gọi đỉnh treo deg-(v4) = deg+(v4) = 0, đỉnh v4 gọi đỉnh cô lập deg-(v5) = 3, deg+(v5) = deg-(v6) = 1, deg+(v6) = Định lý 1: Giả sử G = (V,E) đồ thị hữu hạn Khi bậc đồ thị G hai lần số cạnh đồ thị, tức deg(G) = 2|E| Chứng minh: Ngun Minh §øc - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Giả sử u,v ∈ V e = (u,v) ∈ E Nhận xét: Giả sử u ≠ v Khi xố cạnh (cung) e bậc đồ thị giảm Nếu ta xoá tất cạnh có dạng đồ thị cịn lại gồm đỉnh lập đỉnh có khun Tại đỉn u có khun, ta xố khuyên bậc đồ thị giảm Như ta xoá cạnh khuyên bậc đồ thị giảm sau xoá hết tất cạnh khun đồ thị bậc đồ thị cịn lại Từ nhận xét trên, hiên nhiên ta có đẳng thức deg(G) = 2|E| (đpcm) Định lý 2: Giả sử G = (V,E) đồ thị hữu hạn Khi số đỉnh bậc lẽ đồ thị số chẵn Chứng minh: Giả sử V = {v1,v2, } n đỉnh có k đỉnh bậc lẻ v1,v2, ,vk Các đỉnh lại có bậc chẵn vk+1, vk+2, I Ở ta có deg(vi) = 2mi+1 với i=1,2 ,k deg(vj) = 2mj với j=k+1, ,n mi,mj số nguyên dương Theo định lý ta có: deg(G) = k n ∑ deg(v ) + ∑ deg(v i i =1 k k i =1 n j = k +1 i =1 j ) = 2|V| = 2n k ∑ deg(vi ) = ∑ (2m i +1) = 2∑ mi + k Do ∑ deg(v j = k +1 j )= i =1 n n ∑ 2m j = k +1 j = ∑mj j = k +1 n  k deg(v j ) = 2∑ mi + k + ∑ m j = 2 ∑ mi + ∑  i =1 j = k +1 i =1 j = k +1  i =1 Từ suy k số chẵn (đpcm) Suy deg(G) = k ∑ deg(vi ) + n k n ∑m j = k +1 j   + k =2n   Ví dụ 11: Có cạnh đồ thị có 10 đỉnh, đỉnh có bậc 5? Giải: Vì bậc đồ thị 10.5 = 50, mà 2.e = 50 Suy e = 25 1.3 Đường chu trình đồ thị Định nghĩa 10: Cho đồ thị G = (V,E) Một đường đồ thị dãy vi1ei1vi2ei2 vijeij vikeikvik+1, Trong vij ∈ V đỉnh, eij ∈ E cạnh cho với ∀j ∈ {1,2, , k} đỉnh vij đỉnh vij+1 hai đỉnh kề Đường xuất phát từ đỉnh vij kết thúc đỉnh vik+1(hoặc ngược lại) Độ dài đường số cạnh (hoặc cung) đường Chu trình đồ thị đường có đỉnh xuất phát đỉnh kết thúc trùng Ví dụ 12: a c b d e Trong đồ thị ta co: Ngun Minh §øc - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ ThÞ a,b,e,d đường có độ dài c,e,b,a,d đường có độ dài a,d,c,a chu trình có độ dài d,a,b,c,d chu trình có độ dài a,b,d khơng phải đường a,d,e,a chu trình Ví dụ 13: a b d c Trong đồ thị ta có: a,c,d đường có độ dài c,d,a,b đường có độ dài a,b,d,a chu trình có độ dài a,c,d,b,d,a chu trình có độ dài a,c,b đường a,b,c,a chu trình Định nghĩa 11: Đường hay chu trình đồ thị gọi đơn qua cạnh (cạnh đường hay chu trình) khơng q lần Đường hay chu trình đồ thị gọi sơ cấp qua đỉnh lần Ví dụ 14: a b d c Với đồ thị ta có: a,b,c,d đường đơn đồ thị d,a,b,c,d chu trình đơn đồ thị a,b,c,d,a chu trình sơ cấp đồ thị a,b,c đường sơ cấp Định lý 3: Giả sử G = (V,E) đồ thị vô hướng Nếu đồ thị mà đỉnh v ∈V có bậc deg(v) ≥ đồ thị có chu trình sơ cấp Chứng minh: Xét tất đường sơ cấp có đồ thị Rõ ràng số đường hữu hạn, số đường sơ cấp tồn đường có độ dài lớn Giả sử đường w: vi1ei1vi2ei2 vijeijvij+1dạng hình học là: vi1 vi2 ei1 vi3 ei2 vij vij+1 eij Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị vi0 Theo gi thiết deg(vij) ≥ nên phải tồn đỉnh vi0 cạnh nối đỉnh vi1 vi0 Đỉnh vi0 phải trùng với đỉnh, chẳng hạn đỉnh vij đường w, khơng trùng đường w khơng phải đường sơ cấp dài nhất, điều trái với giả thiết w đường có độ dài lớn Điều chứng tỏ phải tồn chu trình đồ thị xét Vì đường xét đường sơ cấp, chu trình chu trình sơ cấp Định lý chứng minh 1.4 Đồ thị con, đồ thị phận đồ thị liên thông Định nghĩa 12: Cho đồ thị G = (V,E) a) Nếu đồ thị G ta bỏ số đỉnh cạnh chứa đỉnh phần lại đồ thị gọi đồ thị đồ thị G b) Nếu đồ thị G ta bỏ số cạnh giữ ngun đỉnh phần cịn lại đồ thị gọi đồ thị phận đồ thị G Ví dụ 15: Đồ thị G Một số đồ thị đồ thị G Mộ số đồ thị phận đồ thị G Định nghĩa 13: Cho đồ thị G = (V,E) a) Hai đỉnh u,v ∈ V gọi liên thông tồn đường nối hai đỉnh u,v với b) Đồ thị G gọi liên thông với hai đỉnh phân biệt đồ thị liên thơng Ví dụ 16: Các đồ thị liờn thụng Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Cỏc th khơng liên thơng Định nghĩa 14: Cho đồ thị có hướng G = (V,E) a) Đồ thị G gọi liên thơng mạnh ln tìm đường hai đỉnh b) Đồ thị G gọi liên thông yếu đồ thị vơ hướng tương ứng với đồ thị liên thơnng Ví dụ 17: Đồ thị liên thơng mạnh Đồ thị liên thông yếu Định nghĩa 15: Cho đồ thị G = (V,E), H = (W,F) đồ thị G Nếu H đồ thị liên thơng H gọi thành phần liên thông G Ví dụ 18: I H G Trong ví dụ H, I thành phần liên thông G Định lý 4: Đồ thị G = (V,E) liên thơng có thành phần liên thông Chứng minh: Điều khẳng định trực tiếp suy từ định nghĩa Định lý 5: (Công thức Euler) Cho G = (V,E) đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh v đỉnh Gọi r số miền biểu diễn phẳng G Khi r = e – v +2 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Chng minh: Trc tiờn ta xỏc định biểu diễn phẳng G Ta chứng minh định lý cách xây dựng dãy đồ thị G1, G2, ,Ge = G, bước ghép thêm cạnh vào đồ thị bước trước Để làm điều ta sử dụng định nghĩa đệ quy say: Lấy tuỳ ý cạnh G để nhận G1 Để nhận Gn từ Gn-1 ta thêm tuỳ ý cạnh liên thuộc với cạnh Gn-1 thêm đỉnh khác liên thuộc với cạnh đỉnh chưa có Gn-1, điều làm G liên thơng G nhận sau e cạnh ghép thêm vào đồ thị tạo trước Gọi rn, en, tương ứng số miền, số cạnh, số đỉnh biểu diễn phẳng Gn sinh Ta chứng minh quy nạp biểu thức r = e – v +2 Với G1 biểu thức r1 = e1 – v1 + đúng, r1 = 1, e1 = 1, v1 = 2, điều thể hình sau: R1 G1 Giả sử ta có rn = en – + Gọi (an+1, bn+1) cạnh gộp vào Gn để Gn+1 Khi có hai khả xảy Trường hợp thứ hai đỉnh an+1, bn+1 thuộc Gn Khi phải biên miền chung R khơng khơng thể gộp cạnh (an+1,bn+1) vào Gn mà khơng có cạnh cắt (Gn+1 phẳng) Cạnh chia miền R thành hai miền Do rn+1 =rn+1, en+1 = en+1, vn+1 = Do ta có cơng thức rn+1 = en+1 – vn+1 +2 Trường hợp minh hoạ sau: an+1 R bn+1 Trường hợp thứ hai, hai đỉnh cạnh chưa thuộc Gn Ta giả sử an+1 thuộc Gn cịn bn+1 khơng thuộc Trong trường hợp cạnh thêm (an+1, bn+1) không sinh miền bn+1 phải nằm miền có an+1 biên (Gn+1 phẳng) Do rn+1 = rn Nhưng en+1 = en+1 vn+1 = vn+1 Mỗi vế công thức không đổi nên công thức đúng, hay rn+1=en+1 – vn+1 +2 Trường hợp minh hoạ sau: an+1 bn+1 R Vậy với n ta có rn = en – +2 Vì đồ thị gốc Ge nhận sau thêm e cạnh, định lý chứng minh Ví dụ 19: Cho đơn đồ thị G phẳng liên thông có 20 đỉnh, đỉnh có bậc Hỏi biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền? Giải: Ta có v = 20, deg(G) = v.3 = 20.3 = 60 = 2.e Suy e = 30 Áp dụng công thức Euler : r = e – v +2 = 12 Vậy mặt phẳng bị chia thành 12 miền NguyÔn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết §å ThÞ Bài tập chương Bài 1: Hãy gọi tên (Đồ thị đơn, đa, đầy đủ, ) đồ thị cho G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 Bài 2: Vẽ đồ thị vô hướng đồ thị có hướng cho G = (V,E) V = {A, B, C, D, E, G, H} G = {(A,B), (B,C), (A,C), (G,H), (H,E), (E,A), (D,A)} Bài 3: Hãy tìm số đỉnh, số cạnh, bậc đỉnh đồ thị vô hướng cho Xác định đỉnh cô lập đỉnh treo Xác định bậc đồ thị kiểm tra xem có hai lần số cạnh không? a b c d e f Bài 4: G1 v1 v2 v3 v4 v5 G2 10 Nguyễn Minh Đức - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Hóy tỡm s nh, s cạnh, bậc ra, bậc vào bậc đỉnh đồ thị vô hướng cho Xác định đỉnh cô lập đỉnh treo Xác định bậc đồ thị kiểm tra xem có hai lần số cạnh không? a b c d e v2 f v1 v3 G2 G1 Bài 5: Có tồn đồ thị đơn có 10 đỉnh, đỉnh có bậc khơng? Bài 6: Trong liện hoan người bắt tay Hãy tổng số lượt người bắt tay bắt tay số chẵn.(Giả sử không tự bắt tay mình) Bài 7: Liệt kê tất đồ thị đồ thị sau a e c d b G Bài 8: Cho đơn đồ thị phẳng liên thông G với đỉnh cạnh Hỏi đồ thị chia mặt phẳng thành miền? Bài 9: Có cạnh đồ thị có đỉnh mà hai đỉnh có bậc 4, hai đỉnh có bậc 6, hai đỉnh có bậc ? Bài 10: Chỉ môt vài đường đơn chu trình đơn có đồ thị sau: v1 e1 e2 v2 e3 e4 11 Ngun Minh §øc - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị v3 e5 v5 e6 v4 Bài 11: Chỉ tất đường sơ cấp chu trình sơ cấp có đồ thị sau v1 e6 v2 e5 e3 e2 e1 e4 v3 v4 Bài 12: Mỗi danh sách đỉnh sau có tạo nên đường đồ thị cho hay không? Đường đơn? Đường chu trình? Độ dài đường bao nhiêu? a) a, b, e, c, b b c a b) a, d, b, e, a c) a, d, a, d, a d) a, b, e, c, b, d, a d e Bài 13: Trong đồ thị cho đây, đồ thị liên thông, đồ thị không liên thông? G1 G2 G4 G3 G5 12 Ngun Minh §øc - §HQG Hµ Néi ... cịn lại đồ thị gọi đồ thị đồ thị G b) Nếu đồ thị G ta bỏ số cạnh giữ ngun đỉnh phần lại đồ thị gọi đồ thị phận đồ thị G Ví dụ 15 : Đồ thị G Một số đồ thị đồ thị G Mộ số đồ thị phận đồ thị G Định... dụ 4: v1 v2 CVThủ lệ Hồ gươm v3 TTCPQG Đồ thị vô hướng Đồ thị có hướng Ngun Minh §øc - ĐHQG Hà Nội Giáo án môn: Lý Thuyết Đồ Thị Định nghĩa 4: Đồ thị G =(V,E) gọi đơn đồ thị hai đỉnh đồ thị nối... liên thông yếu đồ thị vơ hướng tương ứng với đồ thị liên thơnng Ví dụ 17 : Đồ thị liên thông mạnh Đồ thị liên thông yếu Định nghĩa 15 : Cho đồ thị G = (V,E), H = (W,F) đồ thị G Nếu H đồ thị liên thơng