CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị lĩnh vực có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Lenhard Eurler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, đồ thị sử dụng để xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hợp chất hóa học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị Chúng ta xác định hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với hay khơng nhờ mơ hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải tốn như: Tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta cịn sử dụng đồ thị để giải tốn lập lịch, thời khóa biểu, phân bố tần số cho trạm phát truyền hình… ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác nhau, nêu ví dụ sử dụng chúng để mơ tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại (gọi tắt kênh thoại) nối máy tính Chúng ta biểu diễn vị trí đặt náy tính điểm kênh thoại nối chúng đoạn nối, xem hình Hình Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1, hai máy có nhiều kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc hai chiều khơng có máy tính lại nối với Sơ đồ mạng máy cho hình gọi đơn đồ thị vơ hướng Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Trong trường hợp hai máy tính thường xun phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nàu nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy cho hình Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thơng báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh Trong mạng máy tính có kênh thoại nối náy với (chẳng hạn vời mục đính thơng báo) Mạng cho hình Khi đa đồ thị khơng thể mơ tả mạng vậy, có khun (cạnh nối đỉnh với nó) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khun có dạng e = (u, u) Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều Chẳng hạn, hình máy chủ Hà Nội nhận tin từ máy địa phương, có số máy gửi tin đi, cịn kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiều thay hai cạnh có hướng ngược chiều Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều, ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc v?i đơn đồ thị vơ hướng đơn đồ thị có hướng Vì vậy, ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN Trong mục trình bày số thuật ngữ lý thuyết đồ thị Trước tiên, ta xét thuật ngữ mô tả đỉnh cạnh đồ thị vô hướng Định nghĩa Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G Nếu e = (u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) Để biết có vao nhiêu cạnh liên thuộc với đỉnh, ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) Hình Đồ thị vơ hướng Thí dụ Xét đồ thị cho hình 1, ta có deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau: Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng với m cạnh Khi tơng bậc tất đỉnh hai lần số cung Chứng minh Rõ ràng cạnh e = (u, v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Thí dụ Đồ thị với n đỉnh có bậc có cạnh? Giải: Theo định lý ta có 2m = 6n Từ suy tổng cạnh đồ thị 3n Hệ Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa có bậc số lẻ) số chẵn Chứng minh Thực vậy, gọi O U tương ứng tập đỉnh bậc lẻ tập đỉnh bậc chẵn đồ thị Ta có 2m = å deg(v) + å deg(v) vỴ U vỴ O Do deg(v) chẵn với v đỉnh U nên tổng thứ số chẵn Từ suy tổng thứ hai (chính tổng bậc đỉnh bậc lẻ) phải số chẵn, tất số hạng số lẻ, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải số chẵn Ta xét thuật ngữ tương tự cho đồ thị vô hướng Định nghĩa Nếu e = (u, v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u v kề nhau, nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đỉnh u(v) gị đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Tương tự khái niệm bậc, đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc bán bậc vào đỉnh Định nghĩa Ta gọi bán bậc (bán bậc vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) ký hiệu deg+(v) (deg-(v)) Hình Đồ thị có hướng Thí dụ Xét đồ thị cho hình Ta có deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = deg+(a)=3, deg+(b)=1, deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+(e)=2 Do cung (u, v) tính lần bán bậc vào đỉnh v lần bán bậc đỉnh u nên ta có: Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Khi 2m = å deg+(v) + å deg-(v) vỴ V vỴ V Rất nhiều tính chất đồ thị có hướng khơng phụ thuộc vào hướng cung Vì vậy, nhiều trường hợp thuận tiện ta bỏ qua hướng cung đồ thị Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho ĐƯỜNG ĐI CHU TRÌNH ĐỒ THỊ LIÊN THƠNG Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0 , v = xn , (xi , xi+1)Ỵ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng dãy cạnh: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị vơ hướng cho hình 1: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Cịn d, e, c, a khơng đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Hình Đường đồ thị Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vơ hướng, khác ta có ý đến hướng cung Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, A) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0, v = xn, (xi, xi+1)Ỵ E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng dãy cung: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị có hướng cho hình 1: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Xét mạng máy tính Một câu hỏi đặt hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với trực tiếp qua kênh nối chúng thơng qua vài máy tính trung gian mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu diễn mạng máy tính (trong đỉnh đồ thị tương ứng với máy tính, cịn cạnh tương ứng với kênh nối) câu hỏi phát biểu ngơn ngữ đồ thị sau: Tồn hay không đường cặp đỉnh đồ thị Định nghĩa Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thông ln tìm đường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với đồ thị tương ứng với mạng đồ thị liên thơng Thí dụ Trong hình : Đồ thị G liên thơng, cịn đồ thị H khơng liên thơng Hình Đồ thị G H Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), WÍ V FÍ E Trong trường hợp đồ thị khơng liên thơng, rã thành số đồ thị liên thơng đơi khơng có đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Thí dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 Trong mạng máy tính có máy (Những kênh nối) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thơng đồ thị Thí dụ Trong đồ thị G hình2, đỉnh d e đỉnh rẽ nhánh, cạnh (d,g) (e,f) cầu Đối với đồ thị có hướng có hai khái niệm liên thơng phụ thuộc vào việc ta có xét đến hướng cung hay không Định nghĩa Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thơng mạnh ln tìm đường hai đỉnh Định nghĩa Đồ thị có hướng G = (V, A) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với vơ hướng liên thơng Rõ ràng đồ thị liên thơng mạnh liên thông yếu, điều ngược lại không đúng, ví dụn Thí dụ Trong hình đồ thị G liên thơng mạnh, cịn H liên thơng yếu khơng liên thơng mạnh Hình Đồ thị liên thơng mạnh G đồ thị liên thông yếu H Một câu hỏi đặt định hướng cạnh đồ thị vô hướng liên thơng để thu đồ thị có hướng liên thông mạnh? Ta gọi đồ thị đồ thị định hướng Định lý cho ta tiêu chuẩn nhận biết đồ thị có định hướng hay không Định lý Đồ thị vô hướng liên thông định hướng cạnh nằm chu trình Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (u,v) cạnh đồ thị Từ tồn đường có hướng từ u đến v ngược lại suy (u, v) phải nằm chu trình Điều kiện đủ Thủ tục sau cho phép định hướng cạnh đồ thị để thu đồ thị có hướng liên thơng mạnh Giả sử C chu trình đồ thị Định hướng cạnh chu trình theo hướng vịng theo Nếu tất cạnh đồ thị định hướng kết thúc thủ tục Ngược lại, chọn e cạnh chưa định hướng có chung đỉnh với số cạnh định hướng Theo giả thiết tìm chu trình C’ chứa cạnh e Định hướng cạnh chưa định hướng C’ theo hướng dọc theo chu trình (khơng định hướng lại cạnh có định hướng) Thủ tục lặp lại tất cạnh đồ thị định hướng Khi ta thu đồ thị có hướng liên thông mạnh MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Trong mục ta xét số đơn đồ thị vô hướng dạng đặc biệt xuất nhiều vấn đề ứng dụng thực tế Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị vô hướng mà hai đỉnh ln có cạnh nối Các đồ thị K3, K4, K5 cho hình Hình Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n-1)/2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn, n≥3 gồm n đỉnh v1, v2, .vn cạnh (v1,v2), (v2,v3) (vn1,vn), (vn,v1) Đồ thị vịng C3, C4, C5, C6 cho hình Hình Đồ thị vịng C3, C4, C5, C6 Đồ thị bánh xe Đồ thị Wn thu từ Cn cách bổ sung vào đỉnh nối với tất đỉnh Cn (xem hình 3) Hình Đồ thị bánh xe W3, W4, W5, W6 Đồ thị lập phương Đồ thị lập phương n đỉnh Qn đồ thị với đỉnh biểu diễn 2n xâu nhị phân độ dài n Hai đỉnh gọi kề hai xâu nhị phân tương ứng khác bit Hình cho thấy Qn với n=1,2,3 Hình Đồ thị lập phương Q1, Q2, Q3 Đồ thị hai phía Đơn đồ thị G=(V,E) gọi hai phía tập đỉnh V phân hoạch thành hai tập X Y cho cạnh đồ thị nối đỉnh X với đỉnh Y Khi ta sử dụng ký hiệu G=(XÈ Y, E) để đồ thị hai phía với tập đỉnh XÈ Y Định lý sau cho phép nhận biết đơn đồ thị có phải hai phía hay khơng Định lý Đơn đồ thị đồ thị hai phía khơng chứa chu trình độ dài lẻ Để kiểm tra xem đồ thị liên thơng có phải hai phía hay khơng áp dụng thủ tục sau Cho v đỉnh đồ thị Đặt X={v}, Y tập đỉnh kề v Khi đỉnh kề đỉnh Y phải thuộc vào X Ký hiệu tập đỉnh T Vì phát T ầ Y # ặ thỡ th khụng phi hai phía, kết thúc ngược lại, đặt X=X È T Tiếp tục xét T’ tập đỉnh kề T, Đồ thị hai phớa G=(X ẩ Y, E) vi ỗ Xỗ= m,ỗYỗ = n gọi đồ thị hai phía đầy đủ ký hiệu K2,3, K3,3, K3,4 cho hình Khi E… Hình Đồ thị hai phía Đồ thị phẳng Đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt đỉnh Cách vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Thí dụ đồ thị K4 phẳng, vẽ mặt phẳng cho cạnh khơng cắt ngồi đỉnh (xem hình 6) Hình Đồ thị K4 đồ thị phẳng Một điều đáng lưu ý đồ thị phẳng ln vẽ mặt phẳng với cạnh nối đoạn thẳng khơng cắt ngồi đỉnh (ví dụ xem cách vẽ K4 hình 6) Để nhận biết xem đồ thị có phải đồ thị phẳng sử dụng định lý Kuratovski, mà để phát biểu ta cần số khái niệm sau: Ta gọi phép chia cạnh (u,v) đồ thị việc loại bỏ cạnh khỏi đồ thị thêm vào đồ thị đỉnh w với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai đồ thị G(V,E) H=(W,F) gọi đồng cấu chúng thu từ đồ thị nhờ phép chia cạnh Định lý (Kuratovski) Đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng cấu với K3,3 K5 Trong trường hợp riêng, đồ thị K3,3 K5 đồ thị phẳng Bài tốn tính phẳng đồ thị K3,3 toán đố tiếng ba hộ ba hệ thống cung cấp lượng cho chúng: Cần xây dựng hệ thống đường cung cấp lượng với hộ nói cho chúng khơng cắt Đồ thị phẳng cịn tìm ứng dụng quan trọng công nghệ chế tạo mạch in Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền, có miền khơng bị chặng Thí dụ, biểu diễn phẳng đồ thị cho hình chia mặt phẳng thành miền R1, R2, .R6 Hình Các miền tương ứng với biểu diễn phẳng đồ thị Euler chứng minh cách biểu diễn phẳng khác đồ thị chia mặt phẳng thành số miền Để chứng minh điều đó, Euler tìm mối liên hệ số miền, số đỉnh đồ thị số cạnh đồ thị phẳng sau Định lý (Công thức Euler) Giả sử G đồ thị phẳng liên thông với n đỉnh, m cạnh Gọi r số miền mặt phẳng bị chia biểu diễn phẳng G Khi r = m-n + Có thể chứng minh định lý qui nạp Xét thí dụ minh hoạ cho áp dụng cơng thức Euler Thí dụ Cho G đồ thị phẳng liên thơng với 20 đỉnh, đỉnh có bậc Hỏi mặt phẳng bị chia làm phần biểu diễn phẳng đồ thị G? Giải Do đỉnh đồ thị có bậc 3, nên tổng bậc đỉnh 3x20=60 Từ suy số cạnh đồ thị m=60/20=30 Vì vậy, theo cơng thức Euler, số miền cần tìm r=30-20+2=12  ... nối Các đồ thị K3, K4, K5 cho hình Hình Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n -1 ) /2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn, n≥3 gồm n đỉnh v1, v2, .vn cạnh (v1,v2), (v2,v3)... Hai đồ thị G(V,E) H=(W,F) gọi đồng cấu chúng thu từ đồ thị nhờ phép chia cạnh Định lý (Kuratovski) Đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng cấu với K3,3 K5 Trong trường hợp riêng, đồ thị K3,3 K5 đồ thị. .. thơng, cịn đồ thị H khơng liên thơng Hình Đồ thị G H Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), WÍ V FÍ E Trong trường hợp đồ thị khơng liên thơng, rã thành số đồ thị liên thơng