9 CHƯƠNG 2: HỆ LỰC ĐỒNG QUY – HỆ NGẪU LỰC §I. HỆ LỰC ĐỒNG QUY. 1. Khái niệm về hệ lực đồng quy. Ø Hệ lực đồng quy là một hệ lực mà các đường tác dụng của chúng đồng quy tại một điểm. Ø Theo hệ quả trượt lực, bao giờ ta cũng có thể trượt các lực đã cho theo đường tác dụng của chúng tới điểm đồng quy của các đường tác dụng. 2. Hợp lực của hệ lực đồng quy. a. Định lý: Hệ lực đồng quy tương đương với một hợp lực đặt tại điểm đồng quy của chúng. Vectơ biểu diễn hợp lực bằng tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho. b.Chứng minh: Giả sử ta có hệ lực đồng quy ( ) 12n F,F, ,F rrr đặt lên vật rắn tại điểm O. Theo tiên đề 3 ta có: 121 F+ FR ≡ ururur đặt tại O, hợp 1 R ur và 3 F ur ta được 213123 RR+ FFFF ≡=++ urururururur đặt tại O. Tiếp tục như vậy ta được: () 12n n-2n RR+ F =FFF ≡+++ urururururur 3. Phương pháp xác định hợp lực của hệ lực đồng quy. a. Phương pháp vẽ: Lấy một điểm A chọn tuỳ ý làm cực, vẽ các vectơ A 1 A uuuur = 1 F ur , 1 AA 2 uuuuur = 2 F ur ,…, n1n AA − uuuuuuur = n F ur như hình vẽ. Ta có: n AA uuuur = A 1 A uuuur + 1 AA 2 uuuuur +…+ n1n AA − uuuuuuur = 12n FFF +++ ururur = R ′ uur Vậy R ′ uur = 12n FFF +++ ururur (2.1) n A,A uuuuuur = n k k1 F = ∑ ur được gọi là vectơ chính của hệ lực đã cho, ký hiệu là R ′ uur . Như vậy vectơ biểu diễn hợp lực của hệ lực đồng quy bằng vectơ chính của hệ lực ấy. Sự khác nhau giữa vectơ chính R ′ uur và hợp lực R ur . - Vectơ R ur biểu diễn hợp lực của hệ lực đồng quy nên là vectơ trượt và đi qua điểm đồng quy của hệ lực đã cho. - Vectơ R ′ uur là tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực đã cho nên là vectơ và vẽ ở đâu cũng được. b. Phương pháp chiếu (giải tích): Gọi các hình chiếu của lực bất kỳ k F uur thuộc hệ lực đã cho là kx F , ky F , kz F hoặc là X k ,Y k ,Z k . Hình chiếu vectơ R ur lên các trục toạ độ sẽ lần lượt bằng tổng đại số của các hình chiếu ấy. 1 F r 2 F r 3 F r i F r n F r i F r 2 F r 3 F r n F r Trượt lực A A 1 A 2 A n R ′ uur A 3 10 nn xx1x2xnxkxk K1K1 nn yy1y2ynykyk K1K1 nn zz1z2znzkzk K1K1 RRFFFFX RRFFFFY RRFFFFZ == == ==  ′ ==+++==    ′ ==+++==    ′ ==+++==   ∑∑ ∑∑ ∑∑ L L L (2.2) Cường độ và hướng của R ur được xác định như sau: 222 xyz y xz RRRR R RR Cos,Cos,Cos RRR  =++    α=β=γ=  (2.3) (α, β,γ là góc hợp bởi R ur với Ox, Oy, Oz.) II.HỆ NGẪU LỰC. 1. Khái niệm về ngẫu lực. a. Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ lực gồm hai lực song song ngược chiều và cùng cường độ, ký hiệu ( ) ′ uruur F,F , gọi tắt là ngẫu. b. Các đặc trưng của ngẫu lực: Ngẫu lực có 3 đặc trưng cơ bản như sau: - Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa hai lực thành phần . - Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng. - Cường độ tác dụng của ngẫu lực: bằng tích số Fd × . Trong đó F là giá trị lực thành phần, d là khoảng cách hai đường tác dụng. c. Vectơ mômen của ngẫu lực: Để biểu diễn các đặc trưng của ngẫu lực, người ta dùng vectơ mômen ngẫu lực, ký hiệu m uur có: - Gốc nằm tuỳ ý trong mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực. - Phương vuông góc với mặt phẳng tác dụng. - Chiều sao cho khi nhìn từ đầu mút của vectơ xuống mặt phẳng tác dụng thì thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều quay kim đồng hồ. - Độ lớn bằng tích Fd × . 2. Các định lý về biến đổi tương đương ngẫu lực. a. Định lý 1-Định lý về hai ngẫu lực tương đương: Hai ngẫu lực cùng nằm trong mặt phẳng có cùng chiều quay và cùng giá trị mômen thì tương đương nhau. h 2 F ′ ur 1 F ′ ur F ′ ur B A 2 F r F r 1 F r d Φ ur ′ Φ uur F r F ′ ur P ur P ′ uur Φ ur ′ Φ uur R ur R ur Trường hợp a Trường hợp b m uur F r F ′ ur d 11 Chứng minh: Giả sử hai ngẫu lực ( ) F,F ′ uruur và ( ) , ′ ΦΦ uruur cùng nằm trong một mặt phẳng, có cùng chiều quay và có cùng giá trị mômen Φ F.d = .h như hình vẽ. - Trường hợp a: xét trường hợp F ur không // Φ ur . Đường tác dụng của F ur và Φ ur cắt nhau tại A, của F ′ uur và ′ Φ uur cắt nhau tại B. Trượt F ur và F ′ uur về các giao điểm A, B như hình vẽ. Theo tiên đề 3, biến đổi F ur , F ′ uur thành hai thành phần 1 F ur , 2 F ur và 1 F ′ uur , 2 F ′ uur theo hai phương. Ta có: ( ) ( ) 1212 FF,F,FF,F ′′′ ≡≡ urururuuruuruur ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 12121122 F,FF,F,F,FF,F vaø F,F ′′′′′ ≡≡ uruurururuuruururuururuur . Rõ ràng ( ) 11 F,F0 ′ ≡ uruur ⇒ ( ) ( ) 22 F,FF,F ′′ ≡ uruururuur 2 F.dF.h ⇒= Theo giả thiết =Φ F.d.h ⇒ 2 F = Φ , ta dễ thấy 2 F ur và Φ ur , 2 F ′ uur và ′ Φ uur cùng đường tác dụng và cùng chiều ⇒ ( ) ( ) ( ) 22 F,F,F,F ′′′ ≡ΦΦ≡ uruururuururuur - Trường hợp b: ur F // Φ ur : Biến đổi ( ( ) ( ) F,FP,P ′′ ≡ uruururuur với P ur không // F ur rồi trở về trường hợp đầu. b. Định lý 2- Định lý về dời ngẫu lực theo mặt phẳng song song: Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi dời ngẫu lực đến những mặt phẳng song song. Chứng minh: Giả sử ngẫu lực ( ) F,F ′ uruur ∈ mặt phẳng π. Ta lấy mặt phẳng π 1 song song với mặt phẳng π. Trên mặt phẳng π 1 chọn A 1 , B 1 sao cho 11 AB uuuuur = AB uuur ⇒ ABB 1 A 1 là hình bình hành. Gọi I là giao điểm của AB 1 và A 1 B. Tại I ta đặt thêm hai lực cân bằng Φ ur và ′ Φ uur sao cho Φ ur = F ur ⇒ ( ) F,F ′ uruur ≡ ( ) ( ) ( ) F,F,,F, vaø F, ′′′′ ΦΦ=ΦΦ uruururuururuuruurur . Áp dụng định lý 1 ta được: ( ) ( ) 1 F,,F ′′ Φ≡Φ uruuruur với 1 F ′ uur = ′ Φ uur = F ′ uur đặt tại B 1 . ( ) ( ) 1 F,,F ′′ Φ≡Φ uururuurur với 1 F ur = Φ ur = F ur đặt tại A 1 . ⇒ ( ) F,F ′ uruur ≡ ( ) 1 ,F ′ Φ uur và ( ) 1 ,F ′ Φ uurur ≡ ( ) 11 ,,F,F ′′ ΦΦ uururuur Ta có: ( ) ,0 ′ ΦΦ≡ uur ⇒ ( ) F,F ′ uruur ≡ ( ) 11 F,F ′ uruur Như vậy ngẫu lực ( ) 11 F,F ′ uruur chính là ngẫu lực ( ) F,F ′ uruur dời đến mặt phẳng π 1 . Nhận xét: - Vectơ mômen của ngẫu lực m uur là vectơ tự do (có điểm đặt tự do). - Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi: • Dời tuỳ ý ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó. • Dời đến các mặt song song. • Thay đổi cánh tay đòn hoặc thay đổi giá trị của lực thành phần mà không làm thay đổi giá trị của mômen ngẫu lực. π 1 π B A A 1 B 1 I F ′ ur F r 1 F r 1 F ′ ur Φ ur ′ Φ uur 12 c. Định lý 3- Định lý về hợp ngẫu lực. - Định lý về hợp hai ngẫu lực: Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có vectơ mômen bằng tổng các vectơ mômen của hai ngẫu lực đã cho. Chứng minh: Giả sử có hai ngẫu lực nằm trong hai mặt phẳng π 1 và π 2 giao nhau theo giao tuyến AB. Ta có thể biến đổi hai ngẫu lực trên thành hai ngẫu lực ( ) F,F ′ uruur và ( ) P,P ′ uruur như hình vẽ có vectơ mômen tương ứng 1 m uur , 2 m uur . Rõ ràng F ur và F ′ uur , P ur và P ′ uur đối xứng qua tâm I (trung điểm AB). Theo tiên đề 3 ta có: ( ) F,P urur ≡ Φ ur và ( ) F,P ′′ uuruur ≡ ′ Φ uur ⇒ ( ) F,F,P,P ′′ uruururuur ≡ ( ) , ′ ΦΦ uruur . Do tính chất đối xứng nên ( ) , ′ ΦΦ uruur cũng là một ngẫu lực.Ta có: 1 m uur = BAF ∧ uuurur , 2 m uur = BAP ∧ uuurur ⇒ 1 m uur + 2 m uur = BAF ∧ uuurur + BAP ∧ uuurur = BA(FP) ∧+ uuururur = BA ∧Φ uuurur = m uur . Với m uur là vectơ mômen ngẫu lực ( ) , ′ ΦΦ uruur . - Định lý về hợp hệ ngẫu lực: Hợp hệ ngẫu lực được một ngẫu lực có vectơ mômen bằng tổng các vectơ mômen của các ngẫu lực đã cho. n i i1 mm = = ∑ uuruur (2.4) Chứng minh: Giả sử ta có hệ ngẫu lực như sau: ( ) ( ) ( ) 1122nn F,F,F,F, ,F,F ′′′ uruururuururuur . Các hệ ngẫu lực này có các vectơ mômen ngẫu lực tương ứng là 12n m,m, ,m uuruuruur Theo định lý 3 ta có: ( ) ( ) ( ) 112211 F,F vaø F,FR,R ′′′ ≡ uruururuururuur ⇔ 121 mmm ′ += uuruuruur . ( ) ( ) ( ) 113322 R,R vaø F,FR,R ′′′ ≡ uruururuururuur ⇔ 132 mmm ′′ += uuruuruur ()() ( ) ( ) ( ) n2n2nn R,R vaø F,FF,F −− ′′ ≡ uruururuururur ⇔ () n2n mmm − ′′ += uuruuruur ………………………………………………………………………………… ( ) ( ) ( ) ( ) 1122nn F,F +F,FF,FF,F ′′′′ ++= uruururuururuururuur L ⇔ 12n mmmm +++= uuruuruuruur L Hệ quả: Khi các ngẫu lực có cùng chung mặt phẳng tác dụng thì: n i i1 mm = = ∑ (2.5) Như vậy hệ ngẫu lực phẳng tương đương với một ngẫu lực tổng hợp có mômen đại số bằng tổng đại số của những mômen ngẫu lực đã cho. π 2 π 1 B A P ur F r Φ ur P ′ uur F ′ ur ′ Φ uur I 1 m uur 2 m uur m uur . ấy. 1 F r 2 F r 3 F r i F r n F r i F r 2 F r 3 F r n F r Trượt lực A A 1 A 2 A n R ′ uur A 3 10 nn xx1x2xnxkxk K1K1 nn yy1y2ynykyk K1K1 nn zz1z2znzkzk K1K1 RRFFFFX RRFFFFY RRFFFFZ == == ==  ′ ==+++==    ′ ==+++==    ′ ==+++==   ∑∑ ∑∑ ∑∑ L L L . F ur , F ′ uur thành hai thành phần 1 F ur , 2 F ur và 1 F ′ uur , 2 F ′ uur theo hai phương. Ta có: ( ) ( ) 12 12 FF,F,FF,F ′′′ ≡≡ urururuuruuruur ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 21 1 22 F,FF,F,F,FF,F vaø F,F ′′′′′ ≡≡ uruurururuuruururuururuur ( ) ( ) ( ) 11 22 nn F,F,F,F, ,F,F ′′′ uruururuururuur . Các hệ ngẫu lực này có các vectơ mômen ngẫu lực tương ứng là 12 n m,m, ,m uuruuruur Theo định lý 3 ta có: ( ) ( ) ( ) 11 2 211 F,F vaø