CHƯƠNG 3: HỆ LỰC KHƠNG GIAN I VECTƠ CHÍNH VÀ MƠMEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN Vectơ hệ lực không gian uu r a Định nghĩa: Vectơ hệ lực khơng gian, ký hiệu R′ , tổng hình học vectơ biểu diễn lực hệ lực n r r uu r r r R ′ = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fk (3.1) k =1 b Phương pháp xác định: - Phương pháp vẽ: Lấy điểm O không gian, vẽ vectơ uuuur r uuuuur r r uuuuuuur r uu OA1 = F1 , A1A = F2 ,⋅⋅⋅ , A ( n −1) A = Fn = Fn uuuur uu r Đường gãy khúc OA1A A ( n-1) A n gọi đa giác lực Vectơ OA n = R ′ gọi vectơ khép kín đa giác lực - Phương pháp giải tích (chiếu): n  R ′ = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fkx  x k =1  n  R ′y = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fky  k =1  n  R ′ = F1z + F2z + L + Fnz = ∑ Fkz  z k =1  R ′ = R ′ + R ′ + R ′ x y z   R′ R′ R′ Cosα = x ;Cosβ = y ; Cosγ = z R′ R′ R′  uu r Với α,β,γ góc hợp R′ trục Ox, Oy, Oz (3.2) (3.3) (3.4) Mơmen hệ lực khơng gian uu O r a Định nghĩa: Mơmen hệ lực không gian tâm O, ký hiệu M , vectơ tổng hình học vectơ mơmen lực thuộc hệ lực tâm O n uu O n uu r r r r r (3.5) M = ∑ m O Fk = ∑ rk ∧ Fk k =1 ( ) k =1 ( ) b Phương pháp xác định: - Phương pháp vẽ: Lấy điểm O không gian, vẽ vectơ : uuuur uu r uuuuur uu r uuuuuuur uu r uu r r uu r r uu r r OA1 = mO1 = m O F1 , A1A = mO2 = m O F2 , ⋅⋅⋅ , A n −1A n = m On = m O Fn uuuur uu O r Đa giác OA1A A ( n-1) A n gọi đa giác vectơ mômen OA n = M gọi vectơ khép ( ) ( ) kín đa giác - Phương pháp chiếu: 13 ( ) n n n r r  Ox M = ∑ m Ox Fk = ∑ m x Fk = ∑ ( y k Fkz − z k Fky )  k =1 k =1 k =1  n n r r  Oy n (3.6) M = ∑ m Oy Fk = ∑ m y Fk = ∑ ( z k Fkx − x k Fkz )  k =1 k =1 k =1  n n r r  Oz n  M = ∑ m Oz Fk = ∑ m z Fk = ∑ ( x k Fky − yk Fkx ) k =1 k =1 k =1  u r u r Trong đó: x k , y k , z k toạ độ điểm đặt lực F k Fkx , Fky , Fkz hình chiếu F k trục Ox, Oy, Oz  O Ox Oy Oz (3.7) + M + M M = M   Ox Oy Oz Cosα= M ;Cosβ= M ;Cosγ = M (3.8) O O O   M M M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c Định lý biến thiên mơmen chính: Định lý: Biến thiên mơmen hệ lực tâm lấy mơmen thay đổi từ O đến O’ mơmen vectơ đặt O lấy điểm O’ uu O′ uu O uu uu r r r r M − M = m O′ R ′O (3.9) ( ) Chứng minh: n uu O′ n uu r r r r r Ta có: M = ∑ m O′ Fk = ∑ rk′ ∧ Fk ( ) k =1 n uu O n uu r r r r r M = ∑ m O Fk = ∑ rk ∧ Fk ( ) k =1 k =1 ( k =1 ( ) r rk ) k =1 ( r rk′ O’ O uu O′ uu O r r r r u ⇒ M - M = ∑ rk′ ∧ F k n r Fk Z ) Y X n r r r r r u rk ∧ F k = ∑ ( rk′ − rk ) ∧ Fk  ∑   k =1 k =1 r r r uuuu Ta có rk′ − rk = O′O nên: uuuu uu r r uu uu uu O′ uu O n uuuu r r r r uuuu n r r r r M - M = ∑ O′O ∧ Fk = O′O ∧ ∑ Fk = O′O ∧ R ′O = m O′ R ′O n ( ) k =1 ( ) k =1 ( ) ( ) Nhận xét: uu O r uu O′ uu uu r r r Trường hợp hệ lực đồng quy O ta có: M = ⇒ M = m O′ R ′ r O Trường hợp hệ lực phẳng: M = ∑ m O Fk n k =1 ( ) ( ) (3.10) (3.11) II.THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN Định lý dời lực song song ur uu r Định lý: Lực F đặt A tương đương với lực F ′ song song, chiều, cường ur ur độ với lực F đặt O ngẫu lực có mơmen mômen lực F lấy điểm O Chứng minh: 14 uu r uu r Đặt O hai lực F′ F′′ với u r u uu uu r r r uu r ⇒ F ≡ F, F′,F′′ ≡ F′ u r uu u r r uu r ⇒ F ≡ F′ m O F ( ) ( ( ) ) ( ) uu uu r r u uu r r ( F′,F′′) ≡ F = F′ u uu r r ( F,F′′) uu r r mO F ( ) ur r F F′ O Nhận xét: r uu uu r r r Nhận thấy M = m O F ⊥ F () A uu r F′′ uu r ⇒ Hệ lực gồm lực F′ vectơ mômen uu r uu r u r M vng góc với F′ tương đương với lực F uu r u r uu r M cách F′ đoạn d = Điểm đặt lực F phụ thuộc vào chiều M F Thu gọn hệ lực không gian tâm Định lý: Hệ lực không gian tương đương với lực ngẫu lực đặt điểm tuỳ ý, chúng gọi lực thu gọn ngẫu lực thu gọn Lực thu gọn biểu diễn vectơ hệ lực đặt tâm thu gọn, cịn ngẫu lực thu gọn có vectơ mơmen mơmen hệ lực tâm thu gọn Chứng minh: r r r Lần lượt dời lực F1 , F2 , , Fn tâm tâm thu gọn (giả sử O) u r uu r uu uu u r r r F1 ≡ F′1 vaø m1 = m O F1 u r uu r uu r uu u r r F ≡ F′2 vaø m = m O F    r uu r uu r uu u r r u F n ≡ F′n vaø m n = m O F n  u u r r u r uu uu r r uu r uu uu r r uu r Cộng vế ta được: F1 , F , , F n = F′1 , F′2 , , F′n vaø m1 , m , , m n uu uu r r uu r Vì F′1 , F′2 , , F′n hệ lực đồng quy O nên: ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) uu uu r r uu r uu r ur r ( F′ , F′ , , F′ ) ≡ R ′ = ∑ F′ = ∑ F n n O ( ) k =1 n k k =1 uu uu r r uu r uu O n uu r r r Và m1 , m , , m n = M = ∑ m O Fk ( k ) uu r = R′ k =1 ( ) n r r uu r  uu R ′O = ∑ Fk = R ′   k =1 Vậy thu gọn hệ lực không gian O ta được:  uu O n uu r r r  M = m O Fk ∑   k =1 ( ) (3.12) Các bất biến hệ lực khơng gian ur uu r Từ (3.12) Ta có: R O = R ′ = Const (3.13) Đây bất biến thứ hệ lực không gian Mặt khác theo định lý biến thiên ur uu O′ uu O uu uu r r r r mơmen thay đổi tâm thu gọn ta có: M − M = m O′ R ′O , nhân hai vế với R O ta ( ) được: nên: uuu r ur ur uu O′ ur r uu O ur r uu uu r r uu uu r r uu uu r r M R O – M R O = m O′ R ′O R O Mà m O′ R ′O ⊥ R O ⇒ m O′ R ′O R O = ( ) ( ) ( ) uu O′ ur r uu O ur r uu O′ ur r uu O ur r Thay vào ta có M R O – M R O = hay M R O = M R O = const 15 (3.14) Đây bất biến thứ hai hệ lực khơng gian: “Tích vô hướng mômen thu gọn lực thu gọn hệ lực không gian số” Hay “Hình chiếu mơmen thu gọn lên lực thu gọn số” * Các trường hợp xảy ra: uu O uu r r uu r uu O r M = M Trường hợp a R′O = 0, M = ⇔ hệ lực không gian cân ur uu r uu O r R ur ur R′O = 0, M ≠ ⇔ hệ lực không gian R O = R tương đương với ngẫu lực O uu r uu O r R′O ≠ 0, M = ⇔ hệ lực không gian O tương đương với hợp lực đặt O uu r uu O r Trường hợp b R′O ≠ 0, M ≠ uu O uu r r uu r uu O r r r M = M uu O uu ′O ⊥ M ⇔ Hệ lực không gian tương a) R M =M ur uu r đương với hợp lực R vectơ R′ ur ur RO = R MO cách O đoạn d = O R′ O ur ur uu r uu O r RO = R b) R′O // M : O uu r uu O r ü R′O ↑↑ M ⇔ Hệ lực không gian Hệ xoắn Hệ xoắn tương đương với hệ xoắn thuận thuận ngược uu r uu O r ü R′O ↑↓ M ⇔ Hệ lực không gian tương đương với hệ xoắn ngược uu uu O r r π c) R′O , M = α ≠ ⇒ Hệ lực không gian tương đương hệ xoắn trục xoắn không qua tâm thu gọn Chứng minh: uu O uu O uu O r r r uu r ur Phân tích M = M1 + M2 Rr′O = R uu ur uu uu O r r uu uu O r r uu O r R ′O1 = R ⇒ R′O , M ≡ R′O ,M vaø M1 ) ( )( ( ) Theo trường hợp ta có: uu uu O r r uu r uu r R′O , M ≡ R ′O1 với R ′O1 có điểm ) ( đặt cách O đoạn d = uu uu O r r Vậy R′O , M ( uu O r M2 R′ uu O uu r r ≡ M1 , R′O1 )( ) uu O r uu O r M1 M uu O r M1 d O Or uu O M2 O1 Rõ ràng hệ xoắn trục xoắn không qua tâm thu gọn O mà qua O1 cách O khoảng d III CÁC KẾT QUẢ KHI THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN VỀ TÂM THU GỌN (CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN) Định lý Varinhơng Nếu hệ lực khơng gian có hợp lực mơmen hợp lực tâm tổng mômen lực thành phần tâm 16 n uu uu ur r r r m O R = ∑ m O Fk ( ) ( ) (3.15) ur Chứng minh: Giả sử hệ lực khơng gian có hợp lực R Gọi O1 ur điểm nằm đường tác dụng R Theo định lý biến thiên uu O uu O1 uu uu r r r r mơmen ta có: M − M = m O R ′O1 uu r uu O r uu O uu uu r r r Dễ dàng thấy M = nên M = m O R ′O1 Mặc khác R′O1 = k =1 ( n uu ur uu O uu uu r r r r r R ⇒ M = m O R ′O1 = ∑ m O Fk ( ) k =1 ) ( ) ( ) uu O uu r r M =M uu r R ′O1 O ur R O1 (ĐPCM) Các dạng chuẩn hệ lực không gian uu r uu O r R′ = 0, M = 0: Hệ lực không gian cân uu r uu O r R′ = 0, M ≠ 0: Hệ lực không gian tương đương với ngẫu lực (không phụ thuộc vào tâm thu gọn) uu r uu O r R ′ ≠ 0, M = 0: Hệ lực không gian tương đương với hợp lực uuu r uu O r R′ ≠ 0, M ≠ O uuu uu O r r ur a) R′ ⊥ M : Hệ lực không gian tương đương với hợp lực R vectơ O uu r MO R ′ cách O đoạn d = R′ O uuu uu O r r b) R′ // M : Hệ lực không gian tương đương với hệ xoắn O uuu uu O r r π c) ( R′ , M ) = α ≠ : Hệ lực không gian tương đương hệ xoắn trục O xoắn không qua tâm thu gọn IV CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶC BIỆT Hệ lực đồng quy uu r uu O n uu r r r R′ =  Hệ lự c đồ ng quy câ n bằ ng Vì M = ∑ m O Fk =0 ⇒  uu ⇔  r k =1  Hệ lự c đồ ng quy có hợ p lự c R ′ ≠  ( ) Hệ ngẫu lực uu r n r Vì R ′ = ∑ Fk = nên ⇒ k =1 uu r MO =  Hệ ngẫ u lự c câ n bằ ng  uu ⇔  rO M ≠  Hệ ngẫ u lự c tương đương vớ i mộ t ngẫ u lự c  Hệ lực song song n uu r uu r r uu O n uu r r r uu r Vì ∑ Fk = R ′ // Fk ⇒ M = ∑ m O Fk ⊥ R ′ k =1 uu r MO  uu r MO ⇒  uu O r M  uu r MO   uu r = 0, R ′ = uu r ≠ 0, R ′ = uu r = 0, R ′ ≠ uu r uu O uu r r ≠ 0, R ′ ≠ 0; M ⊥ R ′ ( k =1 ⇔ ) ( )  Hệ câ n bằ ng  Hệ có ngẫ u lự c   Hệ có hợ p lự c   Hệ có hợ p lự c khô ng qua tâ m thu gọ n 17 uu r n r * Nếu hệ lực song song chiều thì: R ′ = ∑ Fk ≠ ⇔ Hệ có hợp lực k =1 Hệ lực phẳng u r uu u r r uu O uu r r Lấy tâm thu gọn O mặt phẳng tác dụng hệ lực m O F k ⊥ F k ⇒ M ⊥ R′ uu r uu r  M O = 0, R′ =  uu  Hệ câ n bằ ng r uu r  M O ≠ 0, R′ =  Heä có ngẫ u lự c  r uu r ⇔ ⇒  uu O  M = 0, R′ ≠  Hệ có hợ p lự c  uu  r uu r uu r uu r  M O ≠ 0, R′ ≠ 0, M O ⊥ R′  Hệ có hợ p lự c khô ng qua tâ m thu gọ n   ( ) ( ) Hệ lực phân bố Xét dầm thẳng chịu tác dụng hệ lực song song phân bố theo quy luật: ∆q q ( x ) = lim ∆x → ∆ x q ( x ) :Được gọi cường độ phân bố lực dầm theo chiều dài Ta xét hàm q = q ( x ) đơn trị Chia nhỏ dầm thành n đoạn Xét đoạn dầm ∆x k Hệ lực phân bố ∆x k xem không đổi tương đương với lực u r F = q(x′ ) ∆x k với x k < x ′ < x ( k +1) k k r Fk = q ( x ′ ) ∆x k K x ∆x k xk l u r Vectơ hệ lực song song chiều F k có giá trị: n n R ′ = ∑ q ( x ′ ) ∆x k Cho n→ ∞ ta có: R ′ = lim ∑ q ( x ′ ).∆x k k k n →∞ k =1 k =1 l Hay R ′ = ∫ q ( x ).dx = Diện tích biểu đồ lực phân bố (3.16) Mơmen hệ lực điểm O (đầu mút dầm) là: n l k =1 M = lim ∑ q ( x′ ) ∆x k x k = ∫ q ( x ) x.dx k O n →∞ (3.17) uu r Vậy hệ lực tương đương với hợp lực R ′ cách O đoạn: l O M d= = R′ ∫ q ( x ) x.dx l ∫ q ( x ) dx (3.18) * Các trường hợp đặc biệt hệ lực phân bố: a Cường độ lực phân bố đều: [q(x) = q0] l qo l R = ∫ q dx = q l ; 18 l ∫ q x.dx d= l ∫ q dx l2 = l = q l q0 Vậy hợp lực đặt điểm dầm, có trị số diện tích hình chữ nhật phân bố lực x  b Cường độ lực phân bố tuyến tính: q ( x ) = q  l  l x q x.dx q × l l ∫ l q0 x l R = ∫ q dx = q ; d = l = l = l q l2 l x × q dx ∫ l l l Vậy hệ lực phân bố tam giác có hợp lực l R = q (Diện tích tam giác phân bố lực), cách đỉnh tam giác phân bố lực 2 đoạn d = l (qua trọng tâm tam giác) V ĐKCB VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CB CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN Điều kiện cân hệ lực không gian Định lý: Điều kiện cần đủ hệ lực cân vectơ mơmen tâm hệ lực triệt tiêu r n r  uu R ′ = ∑ Fk =  u u r r u r  k =1 (3.19) F1 , F , , F n ≡ ⇔  uu O n uu r r r  M = m O Fk = ∑  k =1  ( ) ( ) Các phương trình cân hệ lực không gian Chiếu hệ (3.19) lên trục toạ độ ta được: n r n r n r ∑ Fkx = 0; ∑ Fky = 0; ∑ Fkz =   k =1 k =1 k =1 (3.20) n n n r r r  m x Fk = 0; m y Fk = 0; m z Fk = ∑ ∑ ∑ k =1 k =1  k =1 ( ) ( ) ( ) VI ĐKCB VÀ CÁC PT CÂN BẰNG CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶT BIỆT Hệ lực đồng quy Điều kiện cần đủ để hệ lực đồng quy cân vectơ hệ lực triệt tiêu n n n uu r n r ⇔ ∑ Fkx = 0; ∑ Fky = 0; ∑ Fkz = (3.22) R ′ = ∑ Fk = (3.21) k =1 k =1 k =1 k =1 Đối với hệ lực phẳng đồng quy số phương trình cịn lại uu uu r r uu r Hệ ngẫu lực Điều kiện cần đủ để hệ ngẫu lực m1 ,m , , m n cân ( ngẫu lực tổng cộng triệt tiêu 19 ) uu r n uu r M = ∑ mk ⇔ k =1 r r r ∑ m ( F ) = 0; ∑ m ( F ) = 0; ∑ m ( F ) = n x n k y k =1 n k z k =1 k (3.23) k =1 Đối với hệ ngẫu lực phẳng số phương trình cân Hệ lực song song Điều kiện cần đủ để hệ lực song song cân tổng hình chiếu chúng trục z song song với lực thành phần tổng mômen chúng hai trục vng góc với x,y (và vng góc với trục z) triệt tiêu n n n r r (3.24) Fkz = 0; ∑ m x Fk = 0; ∑ m y Fk = ∑ k =1 ( ) k =1 ( ) k =1 Đối với hệ lực song song phẳng, số phương trình cân cịn hai Hệ lực phẳng a Dạng 1: Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng hình chiếu lực hai trục toạ độ vng góc tổng mơmen lực điểm O mặt phẳng tác dụng hệ lực triệt tiêu n n n r (3.25) Fkx = 0; ∑ Fky = 0; ∑ m O Fk = ∑ k =1 k =1 ( ) k =1 Chứng minh: Chọn hệ trục Oxyz có Oz vng góc với mặt phẳng tác dụng lực Các n n n r r phương trình ∑ Fkz = 0; ∑ m x Fk = 0; ∑ m y Fk = tự thỏa mãn Như điều kiện cân k =1 k =1 ( ) k =1 ( ) cịn ba phương trình b Dạng 2: Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng mômen lực hai điểm A,B tổng hình chiếu lực trục khơng vng góc với đoạn AB triệt tiêu n n n r r (3.26) m A Fk = 0; ∑ m B Fk = 0; ∑ Fkx = Với Ox không ⊥ AB ∑ k =1 ( ) k =1 ( ) k =1 Chứng minh: * Điều kiện cần: Dựa vào dạng chuẩn hệ lực không gian, điều kiện khơng thỏa mãn hệ lực tương đương với hệ ngẫu lực có hợp lực nên khơng thỏa tiên đề 1, nghĩa hệ lực không cân * Điều kiện đủ: uu r n R′ = uu uu ∑ Fkx = ⇒  Rr′ ≠ ⇒ Rr′ ⊥ Ox k =1   uu r uu r uu r Giả sử R ′ ≠ R′ ⊥ Ox Vì Ox khơng ⊥ AB nên R′ không // AB n n uu r r r Mặt khác R′ ≠ 0, ∑ m A Fk = 0; ∑ m B Fk = nên theo định lý biến thiên mômen k =1 A B ( ) ( ) uu r uu r ( R ′ ) = ⇒ R′ phải có đường tác dụng qua A,B uu r k =1 ta có: M − M = m A B uu r ⇒ Mâu thuẫn với R′ không // AB ⇒ R′ = uu A uu B uu O r r r uu r Từ điều kiện R′ =0, M = M = M = (Điểm O thuộc mặt phẳng tác dụng lực) ⇒ Hệ lực phẳng cân c Dạng 3: Điều kiện cần đủ để hệ lực phẳng cân tổng mômen lực điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu n n n r r r (3.27) ∑ mA Fk = 0; ∑ mB Fk = 0; ∑ mC Fk = k =1 ( ) k =1 n ( ) k =1 ( ) n r r A B Chứng minh: Ta có: M = ∑ m A Fk = 0; M = ∑ m B Fk = theo (3.9) ta có: k=1 ( ) k=1 20 ( ) uu r uu r R′ = M − M = m A R′B =0 ⇒  uu r uu r  R ′ ≠ ⇒ Đườ ng tá c dụ ng R ′ qua A,B  uu r uu r R′ = B C Tương tự : M − M = m B R ′C = ⇒  uu r uu r  R ′ ≠ ⇒ Đườ ng tá c dụ ng R ′ qua B,C  uu r uu r Nếu R′ ≠ R′ qua A, B, C ⇒ Điều vô lý A, B, C không thẳng hàng uu r uu r O A O A B C Nếu R′ = ⇒ M − M = m O R′A = ⇒ M = M = M = M = 0, với O A B ( ) ( ) ( ) ⇒ Hệ lực phẳng cân VII PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TĨNH CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT BÀI TOÁN SIÊU TĨNH Phương pháp giải toán tĩnh a Phương pháp giải toán tĩnh: - Đặt lực hoạt động vào vật khảo sát - Giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết tương ứng, với chiều tuỳ ý chọn trước - Xác định loại hệ lực tác dụng lên vật khảo sát - Viết hệ phương trình cân tương ứng với loại hệ lực - Giải hệ phương trình - Đổi lại chiều phản lực liên kết chúng có giá trị âm – Biện luận b Bài toán hệ vật Điều kiện cân Phương pháp tách vật hóa rắn: Ngoại lực nội lực: re - Ngoại lực, ký hiệu F lực vật không thuộc hệ tác dụng lên vật thuộc hệ ri - Nội lực, ký hiệu F , lực tác dụng tương hỗ vật thuộc hệ mà trường hợp riêng lực liên kết liên kết trong, tức liên kết vật thuộc hệ Theo tiên đề tác dụng phản tác dụng ta được: uu i n r i r uu i n uu i r r R ′ = ∑ Fk = ; M = ∑ M k = k =1 k =1 Phương pháp tách vật: re Khảo sát hệ vật rắn gồm n vật rắn nằm cân tác dụng hệ ngoại lực Fk ( k = → n ) Vì hệ vật rắn cân nên vật rắn phải cân áp dụng tiên đề giải phóng liên kết ta lập điều kiện cân cho hệ lực tác dụng lên vật Gọi S1 : hệ lực tác dụng lên vật S2 : hệ lực tác dụng lên vật Sk : hệ lực tác dụng lên vật k ( k = → n ) uu r uu O r ⇒ R ′ (Sk ) = ; M (Sk ) = ( k = → n ) (3.28) Như ta có 6n phương trình cân Giải hệ 6n phương trình ta tìm phản lực liên kết Phương pháp hoá rắn: Áp dụng tiên đề hoá rắn, coi hệ vật rắn nằm cân hệ lực (S) Suy (S) hệ ngoại lực Khi tất nội lực hệ lực triệt tiêu 21 a uu O r uu r R ′ ( S) = ; M ( S ) = (3.29) Để giải toán cần phải tách thêm số vật riêng thích hợp viết phương trình cho vật cho số ẩn số phương trình * Nhận xét: Phương pháp hoá rắn trường hợp riêng phương pháp tách vật Thí dụ: Hai đồng chất AC = 2m, DB=1m, có trọng lượng tương ứng P1 P2 nối với lề hình vẽ Tại C treo vật nặng có trọng lượng P Tìm phản lực liên kết A,D lực liên kết B P = 50 N, P1=10 N, P2=5 D N, a=1m Bài giải: 1) Phương pháp tách u r u r vật: P P2 Giả sử lực hoạt động u u u r r r B P , P1 , P (ngoại lực) A u r lực liên kết có chiều hình C P1 vẽ Xét AC Lực tác a a dụng lên AC gồm: u u r r ur + Ngoại lực: P , P1 , Y D ur ur ur XD XA , Y A D uu uu r r ′ B , Y′ B + Nội lực: X Vì OA cân ur nên: YB u r u r ur P P u u ur ur uu uu r r r r YA ur P,P1 , XA , Y A , X′B , Y′B ≡ ur uu r XB XA Đây hệ lực phẳng cân X′ B B A nên ta có: uu r C Y′ B  ∑ X = X A − X′ = B u r  ′ ∑ Y = YA − YB − P1 − P = P1  M = P×a + Y ×a = A ∑ B ( ) (a) Lực tác dụng lên DB gồm: u ur ur r + Ngoại lực: P , XD , Y D ur ur + Nội lực: XB , Y B Vì DB cân nên: u ur ur ur ur r P , XD , Y D , XB ,Y B ≡ ( ) Đây hệ lực phẳng cân nên ta có: ∑ X = X D + X B =  ∑ Y = YD − P2 + YB =  M = P × 0,5a − Y × a − X × a = D D ∑ B (b) Từ (a) (b) ta có phương trình với ẩn là: XA, YA, XB, YB, X’B, Y’B, XD, YD Ta có XB= X’B, YB= Y’B nên hệ phương trình cịn lại ẩn 22 X A = X′ B Y = Y′ + P + P = Y′ + 10 + 50 B B  A YA = −P = −50 ( a )   ⇔  ⇔  ( b ) X D = −X B  YD = P2 − YB = − YB  YD = 0,5P2 − X D  2) Phương pháp hoá rắn: X A = 112,5N Y = −50N  A X B = 112, 5N = X′  B  YB = −110N X D = −112,5N  YD = 115N  u u u ur ur ur ur r r r Xem hệ vật rắn chịu tác dụng hệ lực sau P, P1 , P , X A , Y A , XD , Y D u u u ur ur ur ur r r r Vì hệ cân nên: P, P1 , P , XA , Y A , XD ,Y D ≡ ( ( ) Đây hệ lực phẳng cân nên ta có: ∑ X = X D + X A =   ∑ Y = YA + YD − P1 − P2 − P =  ∑ M A = P × 2a + P1 × a + P2 × 0, 5a + X D × a =  ⇒XD= -112,5 N; XA= 112,5 N Để tìm YD ta xét DB viết phương trình mơmen với điểm B Ta có ∑ MB = XD × a + YD × a − P2 0,5a = ⇒ YD = 0,5.P2 − XD =2,5-(-112,5)=115 N Thay vào (2) ta có: YA=50+10+5-115=-50 D ) ur Y D ur XD u r P2 u r P u r P1 A B C N Muốn biết XB,YB ta tách DB viết phương trình cân ta tìm XB,YB Các tốn đặc biệt a Bài tốn địn Định nghĩa: Địn vật rắn quay quanh trục cố định chịu tác dụng hệ lực hoạt động nằm mặt phẳng vng góc với trục quay đòn u u r r u r Điều kiện cân bằng: Giả sử tác dụng lên đòn hệ lực F1 , F , , F n phản lực u u r r u ur ur r ur ur liên kết trục quay XO , Y O Điều kiện để đòn cân bằng: F1 , F , , F n , XO , Y O ≡ ( ( ) ) n r  F2 ∑ Fx = ∑ Fkx + XO =  k =1  r r n  F1 F3 ⇒ ∑ Fy = ∑ Fky + YO = k =1  n r r  r O  ∑ m O F = ∑ m O Fk = F4 k =1  Hai phương trình đầu ln thỏa mãn nhờ trục O tạo ur ur phản lực XO , Y O Vậy đòn cân điều kiện thứ định Định lý: Điều kiện cần đủ để đòn cân tổng mômen lực hoạt động trục quay phải triệt tiêu n u r (3.30) ∑ mO F k = () ( ) k =1 ( ) 23 b Bài toán vật lật: Định nghĩa: Vật lật vật có liên kết hai điểm hai liên kết tựa, liên kết tựa liên kết lề Điều kiện cân (không lật): Giả sử vật lật chịu tác dụng hệ lực u u r r u r ur ur F1 , F , , F n hai phản lực liên kết N A , N B Vật xem bị lật liên kết ( ) B (lật quanh A) liên kết A (lật quanh B) Khi vật xem địn Ta cần tìm điều kiện để vật khơng lật,giả sử quanh A Chia lực hoạt động thành nhóm: - Nhóm gồm lực gây lật: lực có mơmen với A theo chiều vật bị lật, có tổng mơmen M A t Laä r F1 r F2 ur NA r F2 ur NB - Nhóm gồm lực chống lật: lực có mơmen B A A A ngược chiều vật bị lật, có tổng mơmen M Chống Định lý: Điều kiện cần đủ để vật không bị lật mômen lật khơng lớn mơmen chống lật M Lật ≤ M Chống (3.31) Thật vậy, muốn vật khơng bị lật quanh A, tức cịn cân liên kết B cịn hoạt động thì: u r ur ur ∑ m A F = mA N B + M Lật − M Chống = ⇒ MLật = MChoáng - m A N B uuu r mà m A N B ≥ 0⇒ M Laät ≤ M Choáng (đpcm) ( ) ( ) ( ) ( ) Thí dụ: Cho cần trục hình vẽ Khoảng cách bánh xe m Trọng lượng thân cần trục P1=60 KN Trọng lượng đối trọng P2=10 KN đặt cách tâm quay 2m Trọng lượng thùng bê tơng Q=10 KN Tìm tầm với cần trục (là khoảng cách từ tâm quay đến lực Q) Bài giải: Giả sử tầm với cần trục a (m) Kiểm tra khả lật quanh A M Lật =P2x(2-0,5); M Chống = P1x0,5 + Qx(a+0,5) u r M Lật ≤ M Chống ⇔ 1,5P2≤0,5P1+Q.(a+0,5) ur P2 Q 1,5 × 10 − 0,5 × 60 ⇔ a≥ − 0,5 = -2 m (< 0) 10 Vậy cần trục lật quanh A Kiểm tra khả lật quanh B M Lật =Qx(a-0,5) M Chống = P1 x0,5 + P2x(2+0,5) M Lật ≤ M Chống ⇔ Qx(a-0,5)≤ P1 x0,5 + 0,5 × 60 + 2,5 × 10 + 0,5 = m 10 Vậy tầm với cần trục a≤ 6m ur NA ur NB P2(2+0,5) ⇔ a≤ A B Bài toán siêu tĩnh Khi lập hệ phương trình cân cho vật hệ vật, nếu: - Số phương trình số ẩn ta có tốn tĩnh định - Số phương trình nhỏ số ẩn ta có tốn siêu tĩnh Một nguyên nhân gây nên toán siêu tĩnh biến dạng mà vật ta xét vật rắn tuyệt đối, tức bỏ qua biến dạng nên khơng thể giải tốn 24 Bài tốn siêu tĩnh giải giáo trình học vật biến dạng 25 ... XD × a + YD × a − P2 0,5a = ⇒ YD = 0,5.P2 − XD =2, 5-( -1 1 2,5) =11 5 N Thay vào (2) ta có: YA=50 +10 + 5 -1 15 =-5 0 D ) ur Y D ur XD u r P2 u r P u r P1 A B C N Muốn biết XB,YB ta tách DB viết phương trình... YB = ? ?11 0N X D = ? ?11 2,5N  YD = 11 5N  u u u ur ur ur ur r r r Xem hệ vật rắn chịu tác dụng hệ lực sau P, P1 , P , X A , Y A , XD , Y D u u u ur ur ur ur r r r Vì hệ cân nên: P, P1 , P ,... k =1 k =1 k =1  n n r r  Oy n (3. 6) M = ∑ m Oy Fk = ∑ m y Fk = ∑ ( z k Fkx − x k Fkz )  k =1 k =1 k =1  n n r r  Oz n  M = ∑ m Oz Fk = ∑ m z Fk = ∑ ( x k Fky − yk Fkx ) k =1 k =1 k =1 