26 CHƯƠNG 4: MA SÁT. I. KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI MA SÁT. 1. Định nghĩa. Trong thực tế do tính không tuyệt đối rắn và tuyệt đối nhẵn của hai mặt tựa nên vật rắn tiếp xúc với mặt tựa không phải tại một điểm mà tại vô số điểm. Có thể xem rằng tại mỗi tiếp điểm, mặt tựa tác dụng lên vật khảo sát một pháp tuyến k N ur và do đó vật khảo sát phải chịu tác dụng một hệ phản lực liên kết ( k N ur ). Thu gọn hệ lực đó về một điểm A trên mặt tiếp xúc, ta sẽ được phản lực A R ur và ngẫu lực có mômen A M uur . Phân tích A R ur thành 2 thành phần N ur và ms F r trong đó N ur nằm theo pháp tuyến An uuur và ms F r nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến π. Mômen A M uur cũng tách ra thành hai thành phần 1 M uur và 2 M uur . Trong đó 1 M uur hướng theo pháp tuyến An uuur , 2 M uur nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến π. Tác dụng của các phản lực thành phần như sau: - Phản lực pháp tuyến N ur cản vật khảo sát lún vào mặt tựa (giả thuyết rắn tuyệt đối). - Phản lực tiếp tuyến ms F r cản chuyển động trượt hay xu hướng trượt của vật khảo sát trên mặt tựa. - Ngẫu lực 1 M uur cản chuyển động xoay hoặc xu hướng xoay quanh An uuur . - Ngẫu lực 2 M uur cản chuyển động lăn hoặc xu hướng lăn của vật trên mặt tựa. Như vậy: Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các chuyển động hoặc các xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt của nhau. 2. Phân loại. a. Ma sát tĩnh và ma sát động: - Ma sát được gọi là tĩnh khi giữa hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương đối nhưng còn vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối. - Ma sát được gọi là động nếu hai vật tiếp xúc chuyển động tương đối với nhau. b. Ma sát trượt và ma sát lăn: - Nếu xu hướng chuyển động hoặc chuyển động xảy ra giữa hai vật là trượt, ta có ma sát trượt. - Nếu xu hướng chuyển động hoặc chuyển động xảy ra giữa hai vật là lăn, ta có ma sát lăn. c. Ma sát khô và ma sát ướt: - Ma sát được gọi là khô khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau. 1 N ur 2 N ur 3 N ur 4 N ur 5 N ur τ A n A R ur A M uur n π 1 M uur N ur A M uur 2 M uur A R ur ms F r 27 - Ma sát được gọi là ướt khi hai vật tiếp xúc gián tiếp với nhau thơng qua một màng bơi trơn (dầu, khí…) Ta chỉ khảo sát ma sát tĩnh và ma sát khơ. II. MA SÁT TRƯỢT . ĐỊNH LUẬT CULƠNG. GĨC VÀ NĨN MA SÁT. 1. Ma sát trượt. Xét vật rắn trên mặt nằm ngang, chịu lực ép Q ur thẳng góc với mặt ngang và chịu lực kéo P ur theo mặt ngang. Ta thấy vật vẫn cân bằng khi trị số của lực P ur khơng vượt q giá trị P 0 tức là 0 PP ≤ . Giá trị P 0 tỷ lệ với lực ép Q theo hệ số tỷ lệ f, nghĩa là: 0 Pf.Q = f phụ thuộc: + Vật liệu tạo các mặt tiếp xúc. + Trạng thái bề mặt tiếp xúc (thô , nhẵn) giữa các bề mặt.    Như vậy: - Ngồi phản lực pháp tuyến N ur cân bằng với lực ép Q ur cón có lực cân bằng với lực kéo P ur gọi là lực ma sát, ký hiệu ms F r . Lực ma sát ngược chiều với lực kéo P ur nghĩa là ngược chiều với xu hướng trượt. - Giá trị của lực ma sát trượt khơng thể lớn tuỳ ý mà bị hạn chế, giá trị cực đại của nó tỷ lệ với giá trị của lực ép Q ur , nghĩa là tỷ lệ với giá trị của phản lực pháp tuyến N ur , 2. Định luật Culơng. Lực ma sát trượt xuất hiện khi có xu hướng trượt tương đối, nằm theo tiếp tuyến của mặt tựa tiếp xúc, ngược hướng trượt và có giá trị bị chặn trên. F ms ≤ f.N = F ms max . (4.1) Dấu bằng xảy ra khi vật sắp bị trượt. Trong đó: f: Hệ số ma sát trượt tĩnh, khơ. N: Giá trị của lực pháp tuyến. 3. Góc và nón ma sát. - Góc ma sát, ký hiệu là ϕ, được xác định bởi hệ thức: msmax F tgf N ϕ== ⇒ ϕ = arctg(f) (4.2) - Nón ma sát là phần giới hạn bởi hai nửa đường thẳng xuất phát từ điểm tiếp xúc của hai vật và nghiêng với pháp tuyến một góc bằng góc ma sát ϕ (nếu f= tgϕ có cùng giá trị theo mọi hướng trượt thì trong khơng gian có nón ma sát tròn xoay). Có thể biểu diễn hình học định luật Culơng: ms ms F Ff.Nf N ≤⇒≤ . Ta có ms F tg N α= . (α là tạo bởi R ur , N ur ) ⇒ tgα ≤ f = tgϕ ⇔ α ≤ ϕ (4.3). Dấu bằng xảy ra khi vật sắp bị trượt. 4. Bài tốn cân bằng khi có ma sát trượt. Gồm các bước sau: - Phân tích hệ lực tác dụng lên vật khảo sát. - Viết hệ phương trình cân bằng cho hệ lực. - Viết phương trình ma sát trượt ở dạng tổng qt hoặc ở dạng tới hạn. - Biện luận tìm kết quả. * Điều kiện để vật chịu ma sát trượt cân bằng là: “Phản lực tồn phần của các liên kết tựa có ma sát trượt nằm trong nón ma sát” Q ur P ur ms F r R ur N ur ϕ ϕ α 28 Thí dụ: Một vật rắn nằm trên mặt phẳng không nhẵn có hệ số ma sát trượt f, nghiêng với mặt phẳng ngang một góc α. 1. Xác định góc α để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của lực P ur hướng thẳng đứng xuống dưới và có giá trị lớn tuỳ ý. 2. Giả sử lực P ur cho trước và vật chịu tác dụng của lực Q ur nằm ngang: xác định góc α để vật có thể trượt lên. Bài giải: 1. Vật chịu tác dụng của:  Trọng lực P ur hướng xuống.  Phản lực N ur hướng vuông góc với mặt tựa.  Lực ms F r hướng song song mặt tựa. Như vậy vật chịu tác dụng của hệ lực đồng quy ( ) ms P,N,F ururr . Điều kiện cân bằng của vật: ( ) ms P,N,F0 ≡ ururr kxms ky FFPsin0 FNPcos0  =−α=  ⇔  =−α=   ∑ ∑ (1) Từ (1) ⇒ ms FPsin =α ⇒ sinα= ms F P . Thay ms Ff.N ≤ vào ta được: sinα f.N P ≤ Mặt khác (1)⇒ NPcos =α tức sin f.P.c f.c os os P α ≤=α Với 0 2 π ≤α≤ thì cos0 α≥ ⇒ sin ftg cos α ≥=α α , Theo (4.2) thì ftg =ϕ nên ftgtg =ϕ≥α ⇔ α≤ϕ . Vậy điều kiện để vật cân bằng là:α ≤ ϕ. Cũng có thể xét theo điều kiện: để vật cân bằng thì phương của lực hoạt động P ur phải không được nằm ngoài nón ma sát ⇒ α ≤ ϕ. 2. Vật chịu tác dụng của hệ lực ( ) ms P,N,F,Q ururrur . Điều kiện cân bằng: ( ) ms P,N,F,Q0 ≡ ururrur kxms ky FQcosFPsin0 FNQsinPcos0  =α−−α=  ⇔  =−α−α=   ∑ ∑ (1) Ở trạng thái giới hạn: F ms = f.N (2). Từ (1) ⇒ ms FQcosPsin NQsinPcos =α−α   =α+α  ⇒ ms F Psin f NPcoss Qcos Qsin α−α == α+α ⇒ Q (cosα - fsinα) = P (sinα +fcosα). Vế phải luôn luôn dương do vậy để phương trình có nghiệm thì vế trái cũng phải dương ⇒ (cosα - fsinα) > 0 ⇔ tgα< 1 f =cotgϕ ⇔ 2 π α<−ϕ . Để vật trượt lên được thì P(sinfcos) Q cosfsin α+α ≥ α−α . α ϕ ϕ N ur Q ur P ur ms F r y x ϕ ϕ ϕ α α N ur R ur ms F r P ur 29 III. MA SÁT LĂN: 1. Ma sát lăn: Xét bánh xe có bán kính R, đặt trên mặt bàn nằm ngang chịu lực nén Q ur thẳng đứng qua tâm, và chịu lực kéo P ur đặt tại tâm nằm ngang như hình vẽ. Dời // lực P ur đến tiếp điểm ta được lực P ′ uur và một ngẫu lực cùng chiều quay của P ur quanh I có mômen M = P.R. Lực P ur gây trượt và mômen M = P.R gây lăn.  Để bánh xe lăn không trượt thì: P ≤ F ms = f.N = f.Q  Để bánh xe không lăn thì M ≤ M l M l được gọi là mômen ma sát lăn. Thực nghiệm chứng tỏ rằng mômen ma sát lăn tỷ lệ với lực nén Q ur , tức là lực N ur , qua hệ số tỷ lệ k: M l = k.N k: gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên độ dài, phụ thuộc vào vật liệu tạo thành 2 vật tiếp xúc và trạng thái bề mặt tiếp xúc. Thông thường k << f. 2. Ngẫu lực ma sát lăn và định luật ma sát lăn: M l gọi là mômen của ngẫu lực ma sát lăn có tác dụng chống lại sự lăn của bánh xe do ngẫu lực M gây lăn sinh ra. Có thể diễn ta khả năng chống lăn bằng cách dời song song lực N ur về phía bánh xe có xu hướng lăn một đoạn: l MkN dk NN =≤= ⇔ d ≤ k. Vậy khi có ma sát lăn, phản lực pháp tuyến N ur nằm ở phía vật có xu hướng lăn đến và cách pháp tuyến một đoạn d≤ k. * Định luật ma sát lăn: Ngẫu lực ma sát lăn xuất hiện khi có xu hướng lăn tương đối, có chiều ngược với chiều của xu hướng lăn và có giá trị: M l ≤ kN. Vì k << f nên trong nhiều trường hợp có thể bỏ qua. 3. Bài toán cân bằng khi có ma sát lăn: Gồm các bước sau: - Phân tích hệ lực tác dụng lên vật khảo sát. - Viết hệ phương trình cân bằng cho hệ lực. - Viết phương trình ma sát trượt, ma sát lăn ở dạng tổng quát hoặc ở dạng tới hạn. - Biện luận để tìm kết quả. Thí dụ: Trên mặt phẳng nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O bán kính R, trọng lượng P chịu tác dụng của ngẫu lực M uur và lực Q ur như hình vẽ. Biết hệ số ma sát trượt là f, hệ số ma sát lăn k. xác định trị số của mômen M uur và của lực Q ur để bánh xe có thể lăn không trượt. Q ur Q ur P ur P ′ uur ms F r M l M I I Q ur P ur N ur ms F r d P ur Q ur N ur F r l M M 30 Bài giải: Vật chịu tác dụng của hệ lực ( ) l P,Q,N,M,M urururuuruur . Điều kiện cân bằng: ( ) l P,Q,N,M,M0 ≡ urururuuruur ⇔ Xms Y Il FFQ0 FPN0 MQRMM0  =−=  =−=   =×+−=  ∑ ∑ ∑ ⇒ ms l FQ(1) PN(2) MMQ.R(3) =   =   =+   Để vật lăn thì : l MQ.RMk.NMk.NQ.Rk.PQ.R −>=⇔>+=+  Để vật không trượt thì: ms QFf.Nf.P <== Để vật lăn không trượt thì : Mk.PQ.R Qf.P >+   <  (4) . Mặt khác thay (1) vào (3) ta có lms MMF.R =+ . Mà ms Ff.Nf.P ≤= và l Mk.Nk.P ≤= ⇒ ( ) Mk.Pf.P.RPkf.R ≤+=+ (5). Kết hợp (4) và (5) ta có ( ) Pkf.RMk.PQ.R Qf.P  +≥>+  <  . 26 CHƯƠNG 4: MA SÁT. I. KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI MA SÁT. 1. Định nghĩa. Trong thực tế do tính không tuyệt đối rắn và tuyệt đối nhẵn của hai mặt tựa nên vật rắn tiếp xúc với. sát lún vào mặt tựa (giả thuyết rắn tuyệt đối). - Phản lực tiếp tuyến ms F r cản chuyển động trượt hay xu hướng trượt của vật khảo sát trên mặt tựa. - Ngẫu lực 1 M uur cản chuyển động. xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt của nhau. 2. Phân loại. a. Ma sát tĩnh và ma sát động: - Ma sát được gọi là tĩnh khi giữa hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương