Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 5 Chuỗi thời gian không dừng 1. đặt vấn đề Từ đầu những năm 1980, một số trào lu phát triển kinh tế lợng đã có ảnh hởng sâu sắc đến vấn đề ứng dụng kinh tế lợng trong thực tiễn. Những phơng pháp mới đợc các nhà kinh tế lợng quan tâm nhiều nhất đã tạo nên một cuộc cách mạng trong lĩnh vực mô hình hoá, đặc biệt trong các lớp mô hình cân bằng và mô hình động. Bài này sẽ trình bày những phơng pháp đó. Ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích kỹ hơn các đặc tính thống kê của các chuỗi số liệu sử dụng trong các mô hình kinh tế lợng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ý nghĩa quan trọng trong việc mô hình hóa mối quan hệ cân bằng. Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết các sai số ngẫu nhiên thoả mãn các điều kiện sau: + Có kỳ vọng toán bằng không, + phơng sai đồng đều, + Không tơng quan với nhau. Đây là trờng hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực tế đối với khá nhiều chuỗi thời gian các giả thiết trên có thể bị vi phạm. Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội 2. Chuỗi thống kê 'dừng' và 'không dừng' Chuỗi thời gian ( time series) có thể coi nh đợc tạo bởi tập hợp các biến ngẫu nhiên sắp xếp theo trình tự thời gian (đợc gọi là một quá trình ngẫu nhiên - Stochastic or Random process). Chuỗi quan sát X t , t = 1, 2 N, trong đó, mỗi quan sát ứng với một thời điểm có thể coi là 1 điểm ghi nhận của quá trình ngẫu nhiên tạo nên cơ sở số liệu đó. Chuỗi thời gian X t đợc coi là dừng yếu' nếu thoả mãn 3 điều kiện sau đây: - Kỳ vọng toán không đổi theo thời gian E[X t ] = ; - Phơng sai không đổi theo thời gian,var (X t ) = E[X t - ] 2 = 2 ; - Tơng quan giữa các số liệu chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà không phụ thuộc vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là: cov (X t ,X t+k ) = E[(X t - )( X t+k - )] = k Ví dụ: cov (X 1 , X 3 ) = cov (X 11 , X 13 ) = cov (X 26 , X 27 ); nghĩa là tơng quan chỉ phụ thuộc và k mà không vào t. Nếu một trong 3 tiêu chuẩn trên bị vi phạm thì chuỗi X t đợc gọi là không dừng'. Nh vậy k là hiệp phơng sai của X giữa hai thời điểm t và t+k. Nếu k=0 thì 0 chính là phơng sai Var(X t ). Vì vậy k k = 0 chính là hệ số tự tơng quan giữa X t và X t+k . Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Nếu xét các hệ số tự tơng quan k theo độ dài của trễ k ta sẽ thu đợc một hàm gọi là hàm tự tơng quan ( Autocorrelation function- ACF). Nh vậy tại điểm trễ k ta có: ACF(k) = k = k / 0 = Cov(X t , X t+k )/ Var(X t ) Chú ý rằng nếu k = 0 thì 0 = 1. k không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện: -1 k 1. Ví dụ: Tệp số liệu ch12bt20 gồm các biến GDP, PDI ( thu nhập sau thuế), PCE ( tiêu dùng cá nhân), PROFIT (lãi sau thuế) và DIVIDENT ( lợi tức ròng) của Mỹ từ quý 1-1970 quý 4-1991 quy đổi theo giá 1987. Hãy vẽ đồ thị của các biến trên theo thời gian và nhận xét về tính dừng của chúng. Các đồ thị đều cho thấy là các chuỗi thời gian trên đều là không dừng. 3. Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn 3.1. Nhiễu trắng ( White noise). Khái niệm nhiễu trắng đợc dùng để mô tả một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên. Xét chuỗi: X t = U t ~ iid (0, 2 ) Điều đó có nghĩa: chuỗi của ta là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với: Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội - Kỳ vọng toán bằng 0, không phụ thuộc vào thờì gian t . - Phơng sai 2 cũng có giá trị không đổi - Hiệp phơng sai cov (X t , X t+k ) = 0 k 0 Cả 3 tính chất trên đều đợc thoả mãn do đó chuỗi này dừng'. Hình 1: "Nhiễu trắng" - Đồ thị phần d trong phơng trình hồi quy cổ điển -2 -1 0 1 2 3 60 65 70 75 80 85 Y Residuals 3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR). Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây : X t = X t-1 + t Trong đó -1 < < 1 và t là nhiễu trắng, tức là t ~ iid (0, 2 ). Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Ví dụ: nếu =0.6 thì giá trị X t sẽ bằng 0.6 nhân với giá trị X tại thời điểm trớc đó cộng với phần d ngẫu nhiên, t . Trong mục trớc ta đã biết hiện tợng nhiễu trắng là dừng'. Để xác nhận X t có dừng hay không ta hãy biểu diễn X t dới dạng t và xem xét kết quả. Có thể chứng minh đợc rằng: E(X t ) = t E(X 0 ) Var(X t ) = 2 ( 2(t-1) + 2(t-2) + . . . + 2 + 1) Cov(X t , X t-k ) = k Var(X t ) Do đó, AR(1) là một quá trình dừng nếu -1 1. Trờng hợp chung, quá trình tự hồi quy bậc p - AR(p) có dạng: X t = 0 + 1 X t-1 + 2 X t-2 + . . . + p X t-p + u t Sẽ là dừng nếu -1 j 1 j. Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) X t = 0,6X t-1 + t trong đó X nhận các giá trị bắt đầu từ quan sát X 0 = 1. Hình 2: Dừng AR(1) Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội 3. 3: Bớc ngẫu nhiên ( Random walk ). Xét quan hệ: X t = X t-1 + t Trong đó, cũng nh trớc, t là sai số ngẫu nhiên t ~ iid (0, 2 ), giá trị đầu tiên của X tại thời điểm t = 0, X 0 đã xác định. Đây là hiện tợng rất quan trọng trong kinh tế tài chính và ngày càng đợc sử dụng phổ biến để mô tả đặc tính của chỉ số chứng khoán. Giá một chứng khoán hôm nay sẽ bằng giá ngày hôm trớc cộng thêm sai số ngẫu nhiên. Bớc ngẫu nhiên có thể coi là một trờng hợp đặc biệt của AR(1), trong đó = 1 Để xác định rõ bớc ngẫu nhiên có dừng hay không dừng, ta biểu diễn giá trị trung bình của nó dới dạng s và ớc lợng kết quả. Với giá trị đầu tiên là X 0 , chuỗi số gồm các giá trị sau: X 0 X 1 = X 0 + 1 X 2 = X 1 + 2 = X 0 + 1 + 2 X 3 = X 2 + 3 = X 0 + 1 + 2 + 3 X t = X 0 + 1 + 2 + t t X t = X 0 + i t = 1 Đối với một bớc ngẫu nhiên: a. Giá trị trung bình của chuỗi không đổi: E [X t ] = E [X 0 ] + E[ i ] = X 0 Vì giá trị ban đầu của X 0 là 1 số đã xác định nên nhiễu trắng có giá trị trung bình là hằng số. Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội b. Var (X t ) = var (X 0 + I ) = var (X 0 ) + var ( I ) Vì X 0 đã cho, var (X 0 ) = 0 Đồng thời: I = 1 + 2 + t Do đó: Var (X t )= var ( 1 + 2 + t ) = t 2 Vì Var(X t ) không phải là hằng số mà biến đổi theo t, bớc ngẫu nhiên là một chuỗi 'không dừng'. Tuy nhiên, cho một bớc ngẫu nhiên: X t = X t-1 + t Ta có : X t = X t - X t-1 = t Bởi vì t dừng, sai phân cấp 1 của một bớc ngẫu nhiên là dừng. Hình 3: Bớc ngẫu nhiên Hình 3 biểu diễn 250 quan sát của một hiện tợng bớc ngẫu nhiên, X t = X t-1 + t với giá trị đầu tiên X 0 = 0. So sánh Hình 3 với Hình 1 và Hình 2. Lu ý sự khác biệt về bản chất giữa bớc ngẫu nhiên không dừng' với nhiễu trắng dừng' và hiện tợng AR(1). Giá trị trung bình của bớc ngẫu nhiên là giá trị ban đầu của nó (X 0 =0), nhng lu ý khoảng giá trị của X. Dãy bớc ngẫu nhiên chạy rất xa khỏi giá trị trung bình của nó. Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội 3.4: Bớc ngẫu nhiên lệch ( Random Walk with Drift ). Bây giờ chúng ta xét mô hình sau: X t = a 0 + X t-1 + t Trong đó: t ~ iid (0, 2 ) và giá trị ban đầu của X 0 xác định. Mô hình này khác với mô hình trớc ở chỗ đa vào thêm một hằng số a 0 . áp dụng cách biến đổi nh đã làm với ví dụ trớc, ta có thể tìm ra giá trị trung bình và phơng sai của X t . Với giá trị ban đầu X 0 , chuỗi số tiến triển nh sau: X 0 X 1 = a 0 + X 0 + 1 X 2 = a 0 + X 1 + 2 = a 0 + a 0 + X 0 + 1 + 2 X 3 = a 0 + X 2 + 3 = a 0 + a 0 + a 0 + X 0 + 1 + 2 + 3 X t = ta 0 + X 0 + 1 + 2 + t X t = ta 0 + X 0 + i E[X t ] = ta 0 + X 0 Tơng tự, có thể chỉ ra rằng var (X t ) = t 2 . Giá trị trung bình không phải hằng số mà thay đổi theo t. Phơng sai cũng thay đổi theo t. Nh vậy, bớc ngẫu nhiên lệch là chuỗi 'không dừng' vì giá trị trung bình và phơng sai không phải là hằng số. Lu ý rằng, phơng trình biểu diễn giá trị trung bình gồm cả số hạng ta 0 , đó là đờng thẳng xác định bởi thay đổi của giá trị X t . Tuy nhiên, với Bớc ngẫu nhiên 'lệch' đã cho: Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội X 1 = a 0 + X 0 + 1 Trừ cả 2 vế cho X t-1 , ta có : X t = X t - X t-1 = a 0 + t Bởi vì a 0 + t là dừng, sai phân cấp 1 của Bớc ngẫu nhiên là chuỗi dừng. Trong Hình 4 minh hoạ 250 quan sát của Bớc ngẫu nhiên 'lệch'. X 1 = 0,6 + X 0 + 1 Với giá trị ban đầu X 0 = 0. Đờng xu hớng thể hiện rất rõ và Bớc ngẫu nhiên 'lệch' biểu diễn trong Hình 4 rất khác với đờng biểu diễn Bớc ngẫu nhiên trong Hình 3. Tuy nhiên, trong thực tế, rất khó có thể phân biệt 2 hiện tợng trên. Đối với những mẫu nhỏ, nếu nh phơng sai của chuỗi nhiễu trắng lớn và thành phần xác định 'lệch' a 0 mà nhỏ thì chuỗi số liệu của 2 mô hình trên nhìn khá tơng tự. Hình 4: Bớc ngẫu nhiên 'lệch' Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội 3.5. Quá trình trung bình trợt ( Moving Average). Chuỗi X t gọi là quá trình trung bình trợt bậc q - MA(q) nếu X t có dạng: X t = t + 1 t-1 + + q t-q t = 1,2, ,n Trong đó t là nhiễu trắng. Có thể chỉ ra rằng: E( X t ) = 0 Var(X t ) = 2 ( 1 + 1 2 + + q 2 ) k = cov ( X t , X t+k ) = 2 i i+k nếu k q và = 0 nếu k q 0 = 1 Quá trình trung bình trợt sẽ dừng nếu -1 i 1 I 4. Chuỗi không dừng và mô hình hồi quy cổ điển Một trong các giả thiết của OLS là các biến giải thích là phi ngẫu nhiên, chúng có giá trị xác định. Nếu trong mô hình chuỗi thời gian mà biến giải thích lại không dừng thì giả thiết của OLS bị vi phạm. Nói cách khác OLS không áp dụng đợc với các chuỗi không dừng. Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng là là vấn đề tơng quan giả tạo ( Spurious correlation). Nếu nh mô hình có ít nhất một biến giải thích không dừng và chứa đựng một xu thế tăng ( hoặc giảm) đồng thời biến phụ thuộc cũng chứa đựng một xu thế nh vậy thì khi uoc lợng có thể thu đợc các uoc lợng có ý nghĩa thống kê cao và R 2 cao song đó chỉ là giả tạo vì cả hai biến đều có cùng xu thế. [...]... kinh tế quốc dân Hà nội Bài 4: chuỗi thời gian không dừng So sánh 2 đồ thị trên, đối với chuỗi dừng nhiễu trắng ACF xấp xỉ giá trị 0 với mọi độ trễ lớn hơn không và chuỗi không dừng bước ngẫu nhiên có ACF giảm đều đặn và ở độ trễ 25 vẫn đạt giá trị lớn hơn 0 ,5 Đồ thị ACF đối với chỉ số Nikkei (2 25) giảm đều đặn theo đúng như mong đợi đối với một chuỗi động Sau khoảng chừng 2 ,5 năm quan sát, hàm tự tương... hạn giữa Y và X Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 4: chuỗi thời gian không dừng 5. Kiểm định tính dừng dựa trên lược đồ tự tương quan ( Correlogram) Một trong những đặc trưng rất cơ bản đối với một chuỗi dừng, như đã nói ở trên, là tương quan theo k thời gian không đổi Xét chuỗi thời gian Yt Để kiểm định đặc trưng này, một trong các kiểm định đơn giản là kiểm định... theo thứ tự từng trường hợp RWD là chuỗi không dừng - nhưng sai phân cấp 1 của chuỗi sẽ là chuỗi dừng Chuỗi phải thực hiện phép lấy sai phân cấp 1 để tạo ra chuỗi dừng được gọi là chuỗi liên kết bậc 1, ký hiệu là I(1) Xu hướng sẽ được loại bỏ bằng cách lấy sai phân Một chuỗi I(1) gọi là dừng sai phân và nói rằng được tạo ra bởi một phép dừng sai phân (DSP) Như vậy chuỗi dừng sai phân có dạng: Xt = Xt -... kê LB cho kết quả tốt hơn Q Ví dụ: Kiểm định tính dừng của chuỗi GDP của Mỹ trong ví dụ trên bằng lược đồ tự tương quan Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 4: chuỗi thời gian không dừng 6 Quá trình dừng Sai phân và quá tRình dừng xu thế Hình 5: Bước ngẫu nhiên lệch và chuỗi số có xu thế dừng RWD TS Hình 5 biểu diễn 2 chuỗi số liệu đều có 2 đường xu hướng thẳng Đường... tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 4: chuỗi thời gian không dừng 7 So sánh các số liệu tài chính Trong các mục trước ta đã sử dụng các chuỗi số liệu tự tạo nhằm mục đích nhấn mạnh các tính chất cơ bản của các chuỗi số Chuỗi số liệu trong 4 hình sau là số liệu quan sát hàng ngày giai đoạn từ 7/11/1983 đến 5/ 5/19 95 Mỗi biến có tất cả 3000 số liệu quan sát (5 quan sát mỗi tuần) Số liệu lấy từ Cơ... quát, một chuỗi không dừng cần phải thực hiện phép lấy sai phân d lần để tạo ra một chuỗi dừng gọi là chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu là I(d) Và rõ ràng một chuỗi dừng là chuỗi I(0) Chuỗi dừng xu thế có dạng sau : Xt = a0 + t + 1 Trong đó: a0 là một hằng số và t ~ iid (0, 2) Đường thẳng xu thế có phương trình là a0 + t Nếu loại bỏ đường xu thế, sẽ cho kết quả là: Xt - a0 - t = 1 là một chuỗi dừng vì... 0 7704 t 0 0432 PCE t 1.6 358 1.2983 t 1 -1.3276 P D I t 326 2089 2 8834 t 0 157 9 PDI t 2.7368 2 .52 43 t 1 -2 .57 51 (5) (6) Các giá trị của t (theo bảng MacKinnon) cho thấy các hệ số của các biến trễ khác không không có ý nghĩa, nói cách khác cả hai biến đang xét không dừng Quả thật, với hai hồi quy (5) và (6), ta thấy hồi quy PCE theo PDI với quan sát theo thời gian là một hồi quy giả tạo Granger... lãi suất - đó là mức lãi cho vay liên ngân hàng qua đêm Chuỗi này không dễ nhận dạng ở đây có sự biến động hàng ngày tương đối lớn Lãi suất cao 50 % không phải là một sai số mà nó tương ứng với thời kỳ bất ổn định khi Anh là còn là thành viên của EU Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế - Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Hình 8: Lãi suất cho vay qua đêm liên ngân hàng Hình... Mỗi chuỗi tạo nên đều có đường xu thế Tuy nhiên, chuỗi xây dựng bằng phương pháp xu thế dừng có khuynh hướng bám theo đường xu thế sát hơn chuỗi tạo nên bởi bước ngẫu nhiên lệch Tuy nhiên, nếu như phương sai của mô hình nhiễu trắng tạo ra chuỗi dừng xu thế mà lớn thì số liệu cũng sẽ tách xa khỏi đường xu thế Ví dụ: trong các chuỗi ở tệp số liệu ch12bt20 chuỗi nào là dừng sai phân, chuỗi nào là dừng. .. chuỗi không dừng tập trung vào dạng: có đường xu thế - bước ngẫu nhiên lệch và chuỗi dừng có xu thế - và dạng không có xu thế - dạng bước ngẫu nhiên Chúng ta sẽ xem xét 2 phép kiểm định chính; một loại áp dụng đối với chuỗi có đường xu thế và một loại không có Trong trường hợp còn có nghi ngờ không rõ chuỗi có đường xu thế hay không, ta vẫn giả sử là có xu thế và áp dụng kiểm định như loại "chuỗi có . Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội 2. Chuỗi thống kê &apos ;dừng& apos; và &apos ;không dừng& apos; Chuỗi thời gian (. một chuỗi không dừng cần phải thực hiện phép lấy sai phân d lần để tạo ra một chuỗi dừng gọi là chuỗi liên kết bậc d, ký hiệu là I(d). Và rõ ràng một chuỗi dừng là chuỗi I(0). Chuỗi dừng. khỏi đờng xu thế. Ví dụ: trong các chuỗi ở tệp số liệu ch12bt20 chuỗi nào là dừng sai phân, chuỗi nào là dừng xu thế? Bài 4: chuỗi thời gian không dừng Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh