Đang tải... (xem toàn văn)
Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Ellpitic
Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 1 Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 2 I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số học là ngành lâu đời nhất và đầy hấp dẫn của toán học. Các bài toán của số học đã làm say mê nhiều người. Thế giới các con số rất quen thuộc với chúng ta trong cuộc sống hằng ngày, là một thế giới hết sức kỳ lạ và đầy bí ẩn. Không những thế, các vấn đề liên quan đến số học cũng rất phong phú và đa dạng như: đồng dư, thặng dư, phân tích thừa số nguyên tố, thuật toán giải mã đường cong elliptic và các ứng dụng… Trong các vấn đề trên thì “Đường cong elliptic và những ứng dụng của đường cong elliptic” là vấn đề mà em thích nhất. Vì vấn đề này có nhiều ứng dụng trong việc giải mã, nó được dùng trong việc xây dựng một số hệ mã hóa công khai. Ngoài ra, nó còn được dùng trong các phép thử và phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố bằng đường cong elliptic. Đường cong elliptic và ứng dụng là vấn đề mới, nó đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết số và hình học đại số. Vấn đề này có nhiều ứng dụng trong thực tiễn và cũng là các vấn đề được các nhà khoa học trên thế giới đặc biệt quan tâm trong việc mã hóa công khai dùng đường cong elliptic. Do đó, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của giáo viên hướng dẫn, em quyết định chọn đề tài “Đường cong elliptic và ứng dụng của đường cong elliptic” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp cho mình. 2. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ Đường cong elliptic xuất hiện lần đầu tiên trong các nghiên cứu về tích phân elliptic. Các đường cong này có mặt trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học vì nó rất phong phú về mặt cấu trúc. Một mặt, nó là đường cong không kỳ dị, mặt khác tập hợp các đường cong lập thành nhóm Abel. Vì thế mọi công cụ của toán học đều được áp dụng vào nghiên cứu đường cong elliptic. Ngược lại những kết quả về đường cong elliptic có ý nghĩa rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống. Trong số học, đường cong Elliptic được ứng dụng trong việc phân tích một số nguyên thành thừa số nguyên tố, bên cạnh đó là phép thử tính chất nguyên tố của một số nguyên lớn. Một số nhà toán học nổi tiếng như Pollard, Hendrik Lenstra đã có những đóng góp đáng kể cho phương pháp phân tích một số nguyên thành thừa số nguyên tố dùng đường cong Elliptic. Ngoài ra đường cong elliptic còn được dùng trong việc xây dựng một số hệ mã hóa công khai mà đã dược Koblits và Miller nghiên cứu vào Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 3 những năm giữa thập niên 80 của thế kỷ 20. Đây là sự khẳng định mạnh mẽ nhất của toán học hiện đại trong công nghệ mã hóa. Hiện nay, hệ mã hóa công khai dùng đường cong elliptic đã trở thành một hệ mã hóa công khai thông dụng, được nhiều người quan tâm nhất thế giới. Và trong những năm gần đây ở Việt Nam, loại mã này cũng tạo dược sự hấp dẫn đặc biệt đối với một số nhà toán học thuộc viện toán học Hà Nội như: Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển…Ngoài ra, trong hai năm 2002-2003, trung tâm khoa học tự nhiên và công nghệ Quốc gia về “mã hóa và bảo mật thông tin điện tử” được thực hiện bởi các bộ nghiên cứu của viện toán học. Họ đã tích cực tìm hiểu và nghiên cứu về nguyên lý, ứng dụng của hệ mã hóa công khai sử dụng đường cong elliptic. Cùng với sự hổ trợ của công cụ toán học và máy tính điện tử, hệ mã hóa công khai sử dụng đường cong elliptic đang có nhiều ứng dụng trong việc bảo mật thông tin, đặc biệt trong An ninh, Quốc phòng. 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Vấn đề được nghiên cứu trọng tâm trong luận văn này là “Đường cong elliptic và các ứng dụng”. Ở đây tôi không chỉ tìm hiểu về những khái niệm cơ bản của đường cong elliptic mà còn tìm hiểu về những ứng dụng của đường cong elliptic và đặc biệt chú trọng đến ứng dụng trong việc phân tích một số nguyên thành nhân tử và hệ mã hóa công khai dùng đường cong elliptic. 4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các khái niệm, tính chất cơ bản của đường cong elliptic. Bên cạnh đó tôi còn tìm hiểu hai ứng dụng quan trọng của đường cong này là phân tích một số nguyên thành nhân tử và hệ mã hóa công khai. 5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu về những khái niệm cơ bản của đường cong elliptic, việc phân tích một số nguyên thành nhân tử bằng đường cong elliptic và hệ mã hóa công khai dùng đường cong elliptic là vấn đề mà tôi đặc biệt quan tâm. 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU -Tham khảo tài liệu. -Tìm hiểu thông tin trên mạng. Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 4 -Phân tích, tổng hợp tài liệu. -So sánh với các tài liệu có liên quan. -Tham khảo ý kiến của GVHD. 7. CÁC BƯỚC NGHIÊN CỨU -Bước 1: Chọn đề tài. -Bước 2: Sưu tầm tài liệu từ GVHD và trên internet. -Bước 3:Tham khảo các tài liệu có được. -Bước 4:Xây dựng đề cương. -Bước 5: Viết nháp với sự góp ý của GVHD. -Bước 6: Hoàn chỉnh bài viết và chuẩn bị báo cáo. 8. NỘI DUNG LUẬN VĂN Chương I: Trình bày một số khái niệm, lý thuyết cơ bản giúp người đọc có một cái nhìn tổng quan về một lĩnh vực lý thuyết mới nhưng có rất nhiều ứng dụng như: đường cong Elliptic trên các trường số, phép cộng điểm, cấp, điểm tại vô cùng… Chương II: Trình bày khá tổng quát những ứng dụng của đường cong Ellitpic. Mặc dù đường cong Elliptic có rất nhiều ứng dụng, nhưng trong luận văn này, tôi chỉ trình bày hai ứng dụng nổi bật là: Phân tích số nguyên thành thừa số và một số nét sơ lược về mật mã đường cong Elliptic. Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 5 II. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA Đường cong Elliptic trên trường K là tập hợp các điểm (x,y) thỏa mãn phương trình 64 2 2 3 31 2 axaxaxyaxyay +++=++ (1) Với điểm O gọi là điểm tại vô cùng (sẽ nói rõ về sau). Phương trình (1) phải thỏa mãn điều kiện không kỳ dị, tức là nếu nó viết dưới dạng F(x,y) = 0 thì tại mọi điểm (x,y) thỏa phương trình, có ít nhất một trong các đạo hàm riêng 0, ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ y F x F . Điều kiện không kỳ dị nói trên tương đương với điều kiện, nếu xét tập hợp các điểm nói trên như một đường cong thì đường cong đó không có điểm bội. Như vậy nếu biểu diễn 2 y như là một đa thức bậc 3 của x thì đa thức đó không có nghiệm bội. Chú ý rằng phương trình trên đây không duy nhất, trong nhiều trường K, có thể tìm được “dạng tối thiểu” của phương trình biểu diễn đường cong. - Nếu K là trường có đặc số 2 thì đường cong elliptic trên K là tập hợp các điểm thỏa phương trình baxxcyy ++=+ 32 (2) Hoặc baxxxyy ++=+ 232 (3) Với một điểm ở vô tận O. (Ở đây ta không quan tâm phương trình bậc 3 ở vế phải có nghiệm bội hay không). - Nếu K là trường có đặc số 3, thì đường cong elliptic trên K là tập hợp các điểm thỏa phương trình Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 6 cbxaxxy +++= 232 (4) (Phương trình bậc 3 ở vế phải không có nghiệm bội), với một điểm ở vô tận O. Nếu ta xét phương trình (1) với các hệ số trong Z, thì vì Z có thể nhúng vào trong mọi trường K tùy ý nên có thể xem xét phương trình trên như là phương trình trên trường K. Lưu ý: phương trình đó có thể thỏa mãn điều kiện không kỳ dị đối với trường này, nhưng lại không thỏa mãn điều kiện đó đối với trường khác. Chẳng hạn nếu trường đang xét có đặc số 2 thì ta có 0)( '2 =x với mọi x! Điểm vô cùng O nói trong định nghĩa là điểm vô cùng trong đường cong xạ ảnh tương ứng. Ta xét trong không gian xạ ảnh P 2 , tức là không gian mà các điểm là các lớp tương đương của các bộ ba (x,y,z) trong đó x,y,z không đồng thời bằng 0, và bộ ba (x,y,z) tương đương với bộ ba 0),,,( ≠λλλλ zyx . Như vậy nếu z≠ 0 thì lớp tương đương của (x,y,z) chứa bộ ba )1,,( z y z x . Ta có thể xem mặt phẳng xạ ảnh P 2 như mặt phẳng thông thường (Aphin) trong đó “điểm tại vô tận” ứng với z = 0. Một đường cong trong mặt phẳng thông thường có thể tương ứng với đường cong trong mặt phẳng xạ ảnh bằng cách thêm vào các điểm tại vô cùng. Để làm việc đó, trong phương trình xác định đường cong, ta chỉ cần thay x bởi z x , y bởi z y và nhân hai vế với lũy thừa thích hợp của z để khử mẫu số. Ví dụ: Đường cong Elliptic với phương trình (1) được thêm vào các điểm tại vô cùng để có đường cong tương ứng trong không gian xạ ảnh 3 64 2 2 32 31 2 zaxazxaxyzaxyzazy +++=++ (5) Định lý sau đây cho ta thấy có thể định nghĩa phép cộng các điểm trên đường cong Elliptic để trang bị cho nó cấu trúc Abel. 1.1.2 ĐỊNH LÝ Xét đường cong Elliptic xác định trên trường tùy ý bởi phương trình: 64 2 2 3 31 2 axaxaxyaxyay +++=++ Ta có thể trang bị cho các điểm của đường cong cấu trúc nhóm Abel cộng tính như sau: Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 7 s Phần tử O = (0,1,0) là điểm tại vô cùng. s Điểm với tọa độ (x,y) có nghịch đảo là điểm với tọa độ ),( 31 axayx −−− . s Nếu 2 điểm P 1 (x 1 ,y 1 ), P 2 (x 2 ,y 2 ) không phải là nghịch đảo của nhau thì 321 PPP =+ , ),( 333 yxP = xác định theo công thức: )( )( 3131313 1213 xxmxaayy ammxxx −+−−−= ++−−= Trong đó: 21 3111 11412 2 1 21 21 21 2 23 PPkhi axay yaaxax m PPkhi xx yy m = ++ −++ =∗ ≠ − − =∗ Chứng minh: Bằng tính toán trực tiếp dựa vào phương trình xác định đường cong, dễ kiểm tra cách định nghĩa phép cộng trên thỏa mãn các tiên đề của nhóm Abel. 1.2 ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC Trong những trường với đặc số khác 2 và 3, phương trình (1) có thể đưa về dạng 64 32 4 CXCXY ++= Thật vậy chỉ cần dùng phép đổi biến 12 4 2 2 2 1 31 aa xX axayY + += ++= Để đơn giản ta thường dùng dạng sau đây, gọi là dạng Weierstrass của đường cong: baxxy ++= 32 (6) Trong trường hợp này biệt thức ∆ của đường cong là: )274(16 23 ba +−=∆ Như vậy điều kiện để đường cong không có điểm kỳ dị là: 0274 23 ≠+ ba . Ta sẽ sử dụng dạng Weierstrass của đường cong. Bằng tính toán trực tiếp tọa độ các điểm theo công thức đã cho trong định lý 1.1.2, ta có thể thấy luật cộng trong nhóm lập bởi các điểm của đường cong có mô tả hình học sau đây: Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 8 Nếu các điểm P, Q của đường cong có hoành độ x khác nhau thì đường thẳng đi qua P,Q sẽ cắt đường cong tại một điểm thứ ba. Điểm đối xứng với giao điểm đó qua trục hoành là điểm P+Q. Trong trường hợp P,Q có cùng hoành độ, tung độ của chúng là các giá trị đối nhau và P, Q là hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành. Khi đó đường thẳng PQ sẽ cắt đường cong tại vô cùng, chính là điểm O của nhóm cộng các điểm và P, Q là nghịch đảo của nhau. Rõ ràng cộng P với O, thực hiện bằng cách nối P với điểm tại vô cùng sẽ cắt đường cong tại điểm đối xứng với P qua trục hoành như vậy P+O=P. Trong trường số thực, điểm tại vô cùng được quy ước như là điểm “dính” hai đầu của các đường thẳng song song với trục tung. Nó được xem như là điểm “làm đầy” hay là “điểm đóng” đối với đường cong tạo bởi tập điểm thỏa mãn phương trình (1). Nó được xem như điểm “tột đỉnh” và cũng là điểm “đáy cùng” của mỗi đường thẳng đứng. Trên tập điểm của đường cong elliptic, ta sẽ thiết lập phép tính cộng các điểm để biến nó thành môt nhóm. Quy tắc cộng: tổng của ba điểm A, B, C thẳng hàng (cùng ở trên đường cong) là điểm tại vô cùng, tức A+B+C=O. Điểm tại vô cùng được quy ước là 0-điểm của phép cộng. Từ quy tắc chung này ta suy ra nguyên tắc lấy điểm nghịch đảo và phép cộng các cặp hai điểm như sau: Khi hai điểm P, Q của đường cong cùng nằm trên một đường thẳng đứng thì nó thẳng hàng với điểm vô cùng và ta có P+Q+O=O hay P=- Q. Như vậy hai điểm nằm trên đường cong có cùng hoành độ là nghịch đảo của nhau. Khi hai điểm A, B của đường cong không nằm trên cùng một đường thẳng đứng, tức khác nhau về hoành độ thì tồn tại điểm C trên đường cong thẳng hàng với hai điểm này và A + B + C = O hay C = -(A+B). Muốn cộng một điểm P trên đường cong với chính nó, ta ta coi nó như là điểm bội 2 (tiếp điểm của đường cong với tiếp tuyến tại điểm này) và ta sẽ tìm được một điểm khác trên đường cong, ký hiệu là G, nằm trên tiếp tuyến này và D+D+G=O hay G = -2D. Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 9 Để minh họa hình học cho phép cộng trên, ta xét ví dụ cụ thể với đường cong Elliptic cho bởi hình vẽ sau: Công thức giải tích cho các tính toán cộng điểm (như mô tả trên) hoàn toàn có thể tính được bằng cách viết ra các phương trình đường thẳng, phương trình đường tiếp tuyến (nhờ phép lấy đạo hàm của hàm ẩn), rồi cho giải các hệ phương trình. Tuy nhiên, các công thức này khá cồng kềnh trong trường hợp tổng quát. * Đối với đường cong dạng Weierstrass baxxy ++= 32 (a 1 = a 2 = a 3 = 0) thì công thức cộng hai điểm P 1 =(x 1 ,y 1 ), P 2 =(x 2 ,y 2 ) được xác định bởi công thức: s Khi 21 xx ≠ thì: − − − +−= +− − − = )( )( 31 12 12 13 21 2 12 12 3 xx xx yy yy xx xx yy x (7) s Khi P 1 = P 2 thì: − + +−= − + = )( 2 3 2 2 3 31 1 2 1 13 1 2 1 2 1 3 xx y ax yy x y ax x (8) * Công thức cộng điểm cho đường cong dạng (2): baxxcyy ++=+ 32 . O A B C D G 2D+G=O A+B+C=O -G x y Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 10 Điểm nghịch đảo của P = (x 1 ,y 1 )∈E là –P = (x 1 ,y 1 +c). Nếu Q≠ -P, thì P+Q=(x 3 ,y 3 ), trong đó s Nếu P≠ Q +++ + + = ++ + + = cyxx xx yy y xx xx yy x 131 21 21 3 21 2 21 21 3 )( (9) s Nếu P = Q +++ + = + = cyxx c ax y c ax x 131 22 1 3 2 24 1 3 )( (10) * Công thức cộng điểm cho đường cong dạng (3): baxxxyy ++=+ 232 . Điểm nghịch đảo của P=(x 1 ,y 1 )∈E là –P=(x 1 ,y 1 +x 1 ). Nếu Q≠ -P, thì P+Q=(x 3 ,y 3 ), trong đó s Nếu P ≠ Q +++ + + = +++ + + + + + = 1331 21 21 3 21 21 21 2 21 21 3 )( yxxx xx yy y axx xx yy xx yy x (11) s Nếu P = Q + ++= + = 33 1 1 1 2 13 2 1 2 1 3 xx x y xxy x x b x (12) Vì các điểm của đường cong là các phần tử của một nhóm Abel, ta sẽ dùng ký hiệu nP để chỉ phần tử nhận được bằng cách cộng liên tiếp n lần điểm P. Định nghĩa bậc của một điểm: Điểm P của đường cong được gọi là điểm bậc hữu hạn nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho nP = O. Số n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đó được gọi là bậc của P. [...]... nhớ rất nhỏ Nét đặc trưng thú vị nhất của thuật toán Lenstra là việc dùng đường cong elliptic lần đầu tiên Nó là một trong những chủ đề được ứng dụng mạnh và có cấu trúc phong phú nhất trong lý thuyết số và hình học đại số hiện đại SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai Trang 28 Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic 2.2 HỆ MÃ HÓA CÔNG KHAI DÙNG ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 2.2.2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ SƠ LƯỢC 2.2.1.1... nhiên, chú ý rằng p-2 = 3.19 và p-2 = 9.11 là 20-bậc trơn Phương pháp đường cong Elliptic của Lenstra thay thế (Z/pZ)* có cấp p-1, bởi nhóm các điểm trên đường cong Elliptic E trong Z/pZ #E(Z/pZ) = p+1 ± s SVTH: Nguyễn Thị Tuyết Mai với 0 . thuật toán giải mã đường cong elliptic và các ứng dụng Trong các vấn đề trên thì Đường cong elliptic và những ứng dụng của đường cong elliptic là vấn. thành thừa số và một số nét sơ lược về mật mã đường cong Elliptic. Đường cong Elliptic và ứng dụng của đường cong Elliptic
