Đang tải... (xem toàn văn)
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Đây là một trong những chương quan trọng trong chương trình toán lớp 12 và cũng là một phần trong các đề thi Đại học và Cao đẳng. Mong đây sẽ là một trong những tài liệu bổ ích mà các em cũng như các thầy cô đang tìm kiếm .
Trần Só Tùng Khảo sát hàm số 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f khơng đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y ′ . Tìm các điểm mà tại đó y ′ = 0 hoặc y ′ khơng tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y ′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 2 2 4 5y x x= - + + b) 2 5 4 4 x y x= + − c) 2 4 3y x x= − + d) 3 2 2 2y x x x= − + − e) 2 (4 )( 1)y x x= − − f) 3 2 3 4 1y x x x= − + − g) 4 2 1 2 1 4 y x x= − − h) 4 2 2 3y x x= − − + i) 4 2 1 1 2 10 10 y x x= + − k) 2 1 5 x y x − = + l) 1 2 x y x − = − m) 1 1 1 y x = − − Trang 1 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Khảo sát hàm số Trần Só Tùng n) 2 2 26 2 x x y x + + = + o) 1 3 1 y x x = − + − − p) 2 4 15 9 3 x x y x − + = Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a) 4 3 2 6 8 3 1y x x x= − + − − b) 2 2 1 4 x y x − = − c) 2 2 1 1 x x y x x − + = + + d) 2 2 1x y x − = e) 2 3 2 x y x x = − + f) 3 2 2y x x= + + − g) 2 1 3y x x= − − − h) 2 2y x x= − i) 2 2y x x= − k) sin2 2 2 y x x = − < < ÷ π π l) sin2 2 2 y x x x = − − < < ÷ π π VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y ′ ≤ 0, ∀ x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y ′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ax bx c 2 ' = + + thì: • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≥ ≥ ∀ ∈ ⇔ > ≤ ∆ • 0 0 ' 0, 0 0 a b c y x R a = = ≤ ≤ ∀ ∈ ⇔ < ≤ ∆ 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + : • Nếu ∆ < 0 thì g(x) ln cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x = 2 b a − ) • Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 2 ( )g x ax bx c= + + với số 0: • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > < ∆ • 1 2 0 0 0 0 x x P S > < < ⇔ > > ∆ • 1 2 0 0x x P< < ⇔ < 5) Để hàm số 3 2 y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y ′ . Trang 2 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 0 0 a ≠ > ∆ (1) • Biến đổi 1 2 x x d− = thành 2 2 1 2 1 2 ( ) 4x x x x d+ − = (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 3 5 13y x x= + + b) 3 2 3 9 1 3 x y x x= − + + c) 2 1 2 x y x − = + d) 2 2 3 1 x x y x + − = + e) 3 sin(3 1)y x x= − + f) 2 2 1x mx y x m − − = − Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau ln nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) 5 cot( 1)y x x= − + − b) cosy x x= − c) sin cos 2 2y x x x= − − Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: a) 3 2 3 ( 2)y x mx m x m= − + + − b) 3 2 2 1 3 2 x mx y x= − − + c) x m y x m + = − d) 4mx y x m + = + e) 2 2 1x mx y x m − − = − f) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − Bài 4. Tìm m để hàm số: a) 3 2 3y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 1 2 3 1 3 2 y x mx mx m= − + − + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x= − + − + + − đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Bài 5. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng biến trên khoảng (1; +∞). Trang 3 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng d) x m y x m + = − đồng biến trong khoảng (–1; +∞). e) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − đồng biến trên khoảng (1; +∞). f) 2 2 3 2 1 x x m y x − − + = + nghịch biến trên khoảng 1 ; 2 − +∞ ÷ . VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: • Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ≥ , ≤ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định. • Xét dấu f ′ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. • Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ′ (x) thì ta đặt h(x) = f ′ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h ′ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3 sin , 0 6 x x x x với x− < < > b) 2 1 sin tan , 0 3 3 2 x x x với x+ > < < π c) tan , 0 2 x x với x< < < π d) sin tan 2 , 0 2 x x x với x+ > < < π Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tan , 0 tan 2 a a với a b b b < < < < π b) sin sin , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π c) tan tan , 0 2 a a b b với a b− < − < < < π Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 sin , 0 2 x x với x> < < π π b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x− < < − + > c) x x x với xsin cos 1, 0 2 π + > < < Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 1 , 0 x e x với x> + > b) ln(1 ) , 0x x với x+ < > c) 1 ln(1 ) ln , 0 1 x x với x x + − > > + d) ( ) 2 2 1 ln 1 1x x x x+ + + ≥ + Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 0 tan55 1,4> b) 0 1 7 sin20 3 20 < < c) 2 3 log 3 log 4> Trang 4 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số HD: a) 0 0 0 tan55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1 ( ) 1 x f x x + = − . b) Xét hàm số 3 ( ) 3 4f x x x= − . f(x) đồng biến trong khoảng 1 1 ; 2 2 − ÷ và 0 1 7 ,sin20 , 3 20 ∈ 1 1 ; 2 2 − ÷ . c) Xét hàm số ( ) log ( 1) x f x x= + với x > 1. VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: • Chọn được nghiệm x 0 của phương trình. • Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hồnh độ x 0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) 5 5x x+ − = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ − − + = c) 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = d) 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 5 5 5 1 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x− = − c) 3 4 5 x x x + = d) 2 3 5 38 x x x + + = Bài 3. Giải các bất phương trình sau: a) 3 4 5 1 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + − + − + − < b) 2 2 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < Bài 4. Giải các hệ phương trình sau: a) 3 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 x y y y y z z z z x x x + = + + + = + + + = + + b) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x = + + − = + + − = + + − c) 3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z = − + = − + = − + d) x y y x x y x y tan tan 5 2 3 4 , 2 2 π π π − = − + = − < < e) x y x y x y x y sin sin 3 3 5 , 0 π − = − + = > f) x y y x x y x y sin2 2 sin2 2 2 3 0 , 2 π π − = − + = < < Trang 5 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng g) x y x y x y x y cot cot 5 7 2 0 , π π − = − + = < < h) HD: a, b) Xét hàm số 3 2 ( )f t t t t= + + c) Xét hàm số 2 ( ) 6 12 8f t t t= − + d) Xét hàm số f(t) = tant + t I. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x 0 ∈ D. a) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) < f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. b) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f(x) > f(x 0 ), với ∀x ∈ (a; b) \ {x 0 }. Khi đó f(x 0 ) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. c) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f(x 0 )) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x 0 ) = 0. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x 0 } a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f′ (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . a) Nếu f′′ (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . b) Nếu f′′ (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . Trang 6 II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Trần Só Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. • Tìm f ′ (x). • Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm. • Xét dấu f ′ (x). Nếu f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Qui tắc 2: Dùng định lí 2. • Tính f ′ (x). • Giải phương trình f ′ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …). • Tính f ′′ (x) và f ′′ (x i ) (i = 1, 2, …). Nếu f ′′ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f ′′ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i . Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 2 3 3 2y x x= − b) 3 2 2 2 1y x x x= − + − c) 3 2 1 4 15 3 y x x x= − + − d) 4 2 3 2 x y x= − + e) 4 2 4 5y x x= − + f) 4 2 3 2 2 x y x= − + + g) 2 3 6 2 x x y x − + + = + h) 2 3 4 5 1 x x y x + + = + i) 2 2 15 3 x x y x − − = − Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 4 ( 2) ( 1)y x x= − + b) 2 2 4 2 1 2 3 x x y x x + − = + − c) 2 2 3 4 4 1 x x y x x + + = + + d) 2 4y x x= − e) 2 2 5y x x= − + f) 2 2y x x x= + − Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: a) 3 2 1y x= + b) 3 2 2 1 x y x = + c) 4 x x y e e − = + d) 2 5 5 2lny x x x = − + + e) 2 4siny x x= − f) 2 ln(1 )y x x= − + VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ′ (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 khơng có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f ′ (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d= + + + có cực trị ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng Trang 7 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng hai cách: + 3 2 0 0 0 0 ( )y x ax bx cx d= + + + + 0 0 ( )y x Ax B= + , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y ′ . • Hàm số 2 ' ' ax bx c y a x b + + = + = ( ) ( ) P x Q x (aa ′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác ' ' b a − . Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) P x y x Q x = hoặc 0 0 0 '( ) ( ) '( ) P x y x Q x = • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. • Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et. Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) 3 2 2 3 3 3( 1)y x mx m x m= − + − − b) 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + c) 2 2 4 ( 1) 1x m m x m y x m + − − + = − d) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + Bài 2. Tìm m để hàm số: a) 3 2 ( 2) 3 5y m x x mx= + + + − có cực đại, cực tiểu. b) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − − có cực đại, cực tiểu. c) 3 2 2 3 ( 1) 2y x mx m x= − + − + đạt cực đại tại x = 2. d) 4 2 2( 2) 5y mx m x m= − + − + − có một cực đại 1 . 2 x = e) 2 2 2x mx y x m − + = − đạt cực tiểu khi x = 2. f) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − có cực đại, cực tiểu. g) 2 1 x x m y x − + = − có một giá trị cực đại bằng 0. Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị: a) 3 2 3 3 3 4y x x mx m= − + + + b) 3 2 3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − − c) 2 5 3 x mx y x − + + = − d) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số: a) 3 2 y ax bx cx d= + + + đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng Trang 8 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số 4 27 tại x = 1 3 b) 4 2 y ax bx c= + + có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 . c) 2 1 x bx c y x + + = − đạt cực trị bằng –6 tại x = –1. d) 2 ax bx ab y bx a + + = + đạt cực trị tại x = 0 và x = 4. e) 2 2 2 1 ax x b y x + + = + đạt cực đại bằng 5 tại x = 1. Bài 5. Tìm m để hàm số : a) 3 2 2 2 2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 1 2 1 1 1 ( ) 2 x x x x + = + . b) 3 2 1 1 3 y x mx mx= − + − đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 8x x− ≥ . c) 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 sao cho: 1 2 2 1x x+ = . Bài 6. Tìm m để hàm số : a) 2 2 1 x mx m y x m + − + = − + có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu. b) 2 2 ( 1) 4 2 1 x m x m m y x − + − + − = − có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. c) 2 3 4 x x m y x − + + = − có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả 4M m− = . d) 2 2 3 2 2 x x m y x + + − = + có 12 CĐ CT y y− < . Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 3 2 4y x mx= − + − có hai điểm cực trị là A, B và 2 2 900 729 m AB = . b) 4 2 4y x mx x m= − + + có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. c) 2 2x mx m y x m + + − = − có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục hồnh. Trang 9 Khảo sát hàm số Trần Só Tùng d) 2 1 x mx y x + = − có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. e) 2 2 5 1 x mx y x − + + = − có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. f) 2 2 3x x m y x m + + + = − có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 3 2 2 12 13y x mx x= + − − có hai điểm cực trị cách đều trục tung. b) 3 2 3 3 4y x mx m= − + có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. c) 3 2 3 3 4y x mx m= − + có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3 2 8 0x y− + = . d) 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d): 2 3 1 0x y− − = . Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số : a) 2 ( 1) 2 1x m x m y x m − + + − = − có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ. b) 2 2 2 2 (4 1) 32 2 2 mx m x m m y x m + + + + = + có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ. c) 2 2 2 ( 1) 4mx m x m m y x m − + + + = − có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. d) 2 2 (2 1) 1 1 x m x m y x + + + + = + có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hồnh (tung). VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba 3 2 ( )y f x ax bx cx d= = + + + . • Chia f(x) cho f ′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f ′ (x) + Ax + B. • Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì: 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) y f x Ax B y f x Ax B = = + = = + ⇒ Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B. 2) Hàm số phân thức 2 ( ) ( ) ( ) P x ax bx c y f x Q x dx e + + = = = + . Trang 10 [...]... trình f(x) ≤ β đúng với mọi x ⇔ M ≤ β Bài 1 Giải các phương trình sau: a) 4 x −2 + 4 4− x = 2 c) x 5 + (1 − x )5 = b) 3 x + 5x = 6 x + 2 Bài 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x + 2 x 2 + 1 = m c) b) 3 + x + 6 − x − (3 + x )(6 − x ) = m Trang 14 1 16 2 − x + 2 + x − (2 − x )(2 + x ) = m d) Trần Só Tùng Khảo sát hàm số 7 − x + 2 + x − (7 − x )(2 + x ) = m Bài 3 Tìm m để các bất phương trình... x 2 + 2(m − 1) x + m 2 − 2 2 x 2 + 2mx + m − 1 Bài 6 Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên: x 2 + (3m + 2) x + 2m − 1 mx 2 + (2m + 1) x + m + 3 b) y = x+5 x+2 Bài 7 Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn trên hai trục toạ độ: a) y = 3x 2 + x + 1 −3 x 2 + x − 4 x2 + x − 7 b) y = c) y = x −1 x+2 x −3 Bài 8 Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm... y = x 3 − 3 x 2 + 6 ; x 3 − 3 x 2 + 6 − m + 3 = 0 d) 3 3 (C ) : y = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x − 4; (T ) : y = 2 x − 9 x 2 + 12 x − 4; 2 x − 9 x 2 + 12 x + m = 0 e) (C ) : y = ( x + 1)2 (2 − x ); (T ) : y = ( x + 1)2 2 − x ;( x + 1)2 2 − x = (m + 1)2 (2 − m ) x2 + 1 x2 + 1 ; (T ) : y = ; (m − 1) x 2 + 2 x − 1 = 0 x x x+2 Bài 6 Cho hàm số y = f ( x ) = x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của... −2 x + 5 b) (C): y = x2 − x + 3 ; d : y = − x + 1; α = 60 0 x −2 Bài 11 Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra vng góc với đường thẳng d cho trước: e) (C ) : y = a) (C): y = của (C) x 2 + (2m + 1) x − 2 + m tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên x +1 2 x 2 + mx − 1 ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 x −3 Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm được chỉ ra song song với... + 3x + 3 ; d: y = –5 x+2 Bài 5 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = − x 3 + 3 x 2 − 2 ; d: y = 2 b) (C ) : y = x 3 − 3 x ; d: x = 2 c) (C ) : y = c) (C ) : y = − x 3 + 3 x + 2 ; d là trục hồnh d) (C ) : y = x 3 − 12 x + 12 ; d: y = –4 e) (C ) : y = x 4 − x 2 − 2 ; d là trục tung e) (C ) : y = − x 4 + 2 x 2 − 1 ; d là trục tung Bài 6 Từ điểm A có thể kẻ... + 2 x 2 + 2 f) y = −2 x 4 + 4 x 2 + 8 x4 5 − 3x 2 + 2 2 Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: x +1 2x + 1 3− x b) y = c) y = x+2 x −1 x−4 1− 2x 3x − 1 x −2 d) y = e) y = f) y = 1+ 2x x −3 2x +1 Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) y = a) y = x2 + x + 1 x +1 b) y = x2 + x + 2 x −1 1 x2 e) y = x −1 1− x Bài 5 Vẽ đồ thị của các hàm số: d) y = − x + 1 + a) y =... y = x2 − x + 2 x −1 Trang 22 f) y = x 2 + 3x + 3 x+2 Trần Só Tùng Khảo sát hàm số VII MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN VII MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1 Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C 2): y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm của phương... lim [ f ( x ) − ax ] b = lim [ f ( x ) − ax ] x →+∞ x →−∞ Bài 1 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2x − 5 10 x + 3 b) y = x −1 1− 2x 2 x − 4x + 3 ( x − 2)2 d) y = e) y = x +1 1− x Bài 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: x 2+ x a) y = 2 b) y = x − 4x + 5 9 − x2 a) y = d) y = 2 x 2 + 3x + 3 e) y = x3 + x + 1 x2 + x + 1 x2 + 1 Bài 3 Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 4x + 2... yCĐ C xC o yCT y yCĐ A x1 B C xA xB x2 xC o yCT f(0) x x Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6 mx − 2 = 0 b) x 3 − 3 x 2 + 3(1 − m) x + 1 + 3m = 0 c) 2 x 3 − 3mx 2 + 6(m − 1) x − 3m + 12 = 0 d) x 3 − 6 x 2 − 3(m − 4) x + 4m − 8 = 0 e) 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x + 2 − m = 0 f) x 3 − 3mx + 2m = 0 Bài 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: a)... nghiệm: f ( x) = k( x − x A ) + yA f '( x ) = k (*) • Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆ Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): y = 3 x 3 − x 2 − 7 x + 1 tại A(0; 1) b) (C): y = x 4 − 2 x 2 + 1 B(1; 0) 3x + 4 2 c) (C): y = tại C(1; –7) d) (C): y = x + 1 − 2x − 3 2x −1 D(0; 3) Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được . 2 3 2 2 2 2 x y y y y z z z z x x x = + + − = + + − = + + − c) 3 2 3 2 3 2 6 12 8 6 12 8 6 12 8 y x x z y y x z z = − + = − + = − + d) x y y x x y x y tan tan 5 2 3 4 , 2. minh các bất đẳng thức sau: a) 2 sin , 0 2 x x với x> < < π π b) 3 3 5 sin , 0 6 6 120 x x x x x x với x− < < − + > c) x x x với xsin cos 1, 0 2 π + > < < Bài 4 số: a) 3 2 ( 1) ( 1) 1 3 x y m x m x= + + − + + đồng biến trên khoảng (1; +∞). b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2y x m x m x= − + + + + đồng biến trên khoảng (2; +∞). c) mx y m x m 4 ( 2) + = ≠ ± + đồng