Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007 5 Về đối khối lợng của tích các dạng phức Nguyễn Duy Bình (a) , Thái Thị Bích Hờng (b) Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi chứng minh rằng đẳng thức về đối khối lợng của tích hai dạng phức là đúng trong trờng hợp khi một trong các nhân tử là phức hóa của một dạng tách đợc hoặc hai nhân tử là các 3-dạng phức. Một ứng dụng của đẳng thức trên đã đợc chỉ ra. 1. Lời giới thiệu Bài toán xác định hớng cực đại của một dạng vi phân và đồng thời với nó là bài toán tính đối khối lợng của một dạng vi phân có vai trò quan trọng trong việc tìm đa tạp con cực tiểu trong lớp các đa tạp cùng biên hoặc cùng lớp đồng điều trong một đa tạp Riemann theo nguyên lý dạng cỡ (xem [1]). Với việc phức hóa một dạng thực chúng ta nhận đợc dạng trên không gian có số chiều gấp đôi. Câu hỏi về đối khối lợng của dạng phức hóa có bằng đối khối lợng của dạng thực ban đầu hay không, tập các hớng cực đại của phần thực dạng phức hóa quan hệ với tập các hớng cực đại của dạng thực ban đầu nh thế nào vẫn còn là một bài toán mở. Trong [4] đã cho một số kết quả về vấn đề trên trong trờng hợp phức hóa của các dạng tách đợc. Trong việc khảo sát đối khối lợng của các dạng phức hóa, tổng quát hơn là của các dạng phức, bài toán về đối khối lợng của tích các dạng đợc đặt ra: liệu đối khối lợng của tích có thể tính qua đối khối lợng của các nhân tử hay không? Trên các dạng thực, đẳng thức về đối khối lợng của tích các dạng có ý nghĩa quan trọng trong việc chứng tỏ tích Đề Các của hai đa tạp con cực tiểu là cực tiểu trong đa tạp tích và đã đợc chứng minh trong một số trờng hợp. Đối khối lợng của tích hai dạng bằng tích các đối khối lợng của các nhân tử trong các trờng hợp sau: một trong hai nhân tử có bậc 2 hoặc đối bậc 2; cả hai nhân tử đều có bậc là 3; một trong hai nhân tử là dạng xuyến; một trong hai nhân tử là dạng E-tách đợc; cả hai nhân tử đều có bậc là 3; một nhân tử là dạng bậc 3 trên không gian 6 chiều (xem [5]). Mục đích của bài báo này là khảo sát đối khối lợng của một số tích hai dạng phức, đặc biệt khi chúng là các dạng phức hóa. Kết quả chính thu đợc ở đây là đối khối lợng tích các dạng phức hóa bằng tích các đối khối lợng của các nhân tử khi một trong hai dạng là phức hóa của một dạng E- tách đợc (Định lý 3.1, Định lý 3.2) hoặc hai nhân tử là các 3-dạng phức trên các không gian phức trực giao (Định lý 4.2) và áp dụng các đẳng thức tích này chúng ta nhận đợc tính chất của đối khối lợng và tập các hớng cực đại của một lớp các 6-dạng thực (Hệ quả 4.3). Nhận bài ngày 18/9/2007. Sửa chữa xong 07/12/2007. Nguyễn D. Bình, Thái T. B. Hờng của tích các dạng phức, tr. 5-14 6 2. Dạng thực tách đợc và phức hóa một dạng thực Trong mục này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả cần thiết cho các phần sau. Cho là một k-dạng (k-côvectơ) trên không gian vectơ Ơclit n với tích vô hớng tiêu chuẩn <a, b> = ii ba , ở đây a = (a i ), b = (b i ). Chuẩn đối khối lợng của , ký hiệu * , xác định bởi * =max{ ( ), G(k, n )}, ở đây G(k, n ) là tập tất cả các không gian con định hớng k chiều trong n và có thể đồng nhất với tập tất cả các k-vectơ đơn, đơn vị trong n . Tập G( ) các hớng cực đại của đợc cho bởi G( )= { G(k, n ), ( )= * }. Trên không gian n xét tích vô hớng Hecmit <z, w>= ii wz , ở đây z=(z i ), w=(w i ). Khi đó n là không gian Ơclit 2n chiều với tích vô hớng thực <z, w> R = Re<z, w>=Re ii wz và không gian n ={(w i ) C n , w i } với tích vô hớng tiêu chuẩn là không gian con của không gian Ơclit n . Hệ vectơ trực chuẩn đối với tích vô hớng thực và đối với tích vô hớng Hecmit trên n đợc gọi gọn là trực chuẩn thực và trực chuẩn phức tơng ứng. Trên không gian vectơ Ơclit n , không gian con thực V n đợc gọi là không gian con đẳng hớng nếu iu V với mọi u V. Một k- vectơ đơn, đơn vị trên không gian vectơ thực n đợc gọi là k-vectơ đẳng hớng nếu không gian con liên kết với nó, span R , là không gian con đẳng hớng. Để ý rằng một hệ vectơ u 1 , u 2 , ,u k n là trực chuẩn phức nếu và chỉ nếu hệ u 1 , u 2 , ,u k là trực chuẩn thực và span R { u 1 , u 2 , ,u k } là không gian con đẳng hớng của n . Với một k-dạng trên n , dạng phức hóa của nó trên n (xem [4]) đợc xây dựng nh sau: Giả sử e 1 , e 2 , e n là một cơ sở trực chuẩn của n . Khi đó e 1 , e 2 , e n , ie 1 , ie 2 , , ie n là cơ sở trực chuẩn thực của n = n + i n . Ký hiệu dx 1 , dx 2 , , dx n , dy 1 , dy 2 , ,dy n là cơ sở đối ngẫu của cơ sở e 1 , e 2 , e n , ie 1 , ie 2 , , ie n . Cho là một k-dạng trên n , khi đó = JJ dxa , J = (i 1 , i 2 , ,i k ), 1 i 1 < i 2 < <i k n, dx J = dx 1 i dx 2 i dx k i , a J . Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007 7 Xét k-dạng phức c = JJ dza , ở đây dz = dx +idy và dz J = dz 1 i dz 2 i dz k i . c đợc gọi là phức hóa của dạng . Đối với một k-dạng phức bất kỳ trên không gian n , đối khối lợng và tập các hớng cực đại của nó đợc định nghĩa nh sau: * = max{ )( , G(k, n 2n ) }, G( )= { G(k, n 2n ): * )( = c }. Dới đây là khái niệm các dạng tách đợc, đợc định nghĩa bởi Hoàng Xuân Huấn (xem [3]). Dạng = dx V 1 + 2 trên n , trong đó dx V là dạng thể tích đơn vị trên một không gian con định hớng p chiều V n (p 2) và 1 , 2 là các dạng trên V đợc gọi là các dạng tách đợc đối với V. Tổng quát, giả sử n = V 1 V 2 V p+1 , k-dạng trên n đợc gọi là tách đợc đối với (V 1 , , V p ) nếu tồn tại các dạng 1 , , 1+ p với i là dạng trên W i (W i = t it V > với i p và W p+1 = V p+1 ) sao cho = 1 +dx 1 V 2 + + dx 1 V dx p V 1 +p . Bây giờ giả sử n có sự phân tích thành tổng trực tiếp n = V 1 V 2 V p . Với mọi đa chỉ số I = (i 1 , , i q ), 1 i 1 < <i q sao cho k = I = j i V dim , ta ký hiệu dx I = dx 1 i V dx q i V . k-dạng đợc gọi là tách đợc đơn giản đối với (V 1 , , V p ) nếu có thể biểu diễn dới dạng = =kI II dxa , dimV 2 j i với mọi i j p. Một k-dạng tách đợc đối với (V 1 , , V m ) = 1 +dx 1 V 2 + + dx 1 V dx m V 1+m đợc gọi là E-tách đợc đối với (V 1 , , V m ) nếu mỗi i tách đợc đơn giản đối với một phân tích trực giao thích hợp của W i = { t it V > } . Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số kết quả về dạng chính tắc của k-vectơ đẳng hớng, tính chất của hớng cực đại của một dạng phức và mối liên hệ giữa đối khối lợng của một k-dạng và đối khối lợng của dạng phức hoá của nó (chi tiết xem [4]). Nguyễn D. Bình, Thái T. B. Hờng của tích các dạng phức, tr. 5-14 8 2.1. Bổ đề ([4, Lemma 2.1]). Giả sử G R (k, n ) là một k-vectơ đẳng hớng, V là một không gian con phức của n và V là phần bù trực giao của v đối với tích vô hớng Hecmit trong n . Khi đó tồn tại hai hệ trực chuẩn phức e 1 , , e r V và f 1 , ,f s V và các số 0 ba , thỏa mãn 1 22 =+ ba , =1, , p, sao cho =(a 1 e 1 + b 1 f 1 ) (a p e p + b p f p ) e p+1 e r f p+1 f s , ở đây p s r , k và r+s-p = k. Chú ý: Đối với trờng hợp dimV = q k, ta có thể lấy r = q, s = k sao cho = (a 1 e 1 + b 1 f 1 ) (a q e q + b q f q ) f q+1 f k (nếu a i = 0 (hoặc b i = 0) thì f i (hoặc e i ) chỉ là ký hiệu hình thức). 2.2. Bổ đề ([4, Lemma 2.2]). Cho c là k-dạng phức trên n đợc sinh ra bởi một k-dạng trên n và giả sử G( c ). Khi đó là một k-vectơ đẳng hớng trên n . Chú ý: Bổ đề 2.2 vẫn đúng cho k- dạng phức bất kỳ trên n , phép chứng minh không thay đổi. 2.3. Mệnh đề ([4, Proposition 2.3]). Giả sử c là k-dạng phức trên n đợc sinh ra bởi một k-dạng trên n . Khi đó (i) ** Re cc = ; (ii) )()(Re cc GG . Nhận xét. Từ mệnh đề trên, ta có nếu )(Re c G thì 0)(Im = c . Thật vậy, * 22 * )())((Im))((Re)(ReRe cccccc =+= , vì ** Re cc = nên các dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra, do đó 0)(Im = c . Khi là k-dạng tách đợc đơn giản trên n , ta có k-dạng Re c trên n 2n với * * Re = c ([4,Theorem 2.5]). 2.4. Mệnh đề ([4, Proposition 2.4]). Giả sử c =dz c V + c 1 c 2 là dạng phức hóa đợc cảm sinh bởi dạng tách đợc =dx V 21 + trên n . Khi đó = * c max{ * 2 * 1 , cc }. Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007 9 Đẳng thức về đối khối khối lợng của tích hai dạng thực trên hai không gian trực giao: *** . = , đã đợc chứng minh trong một số trờng hợp (xem [2],[5]). Dới đây chúng ta khảo sát đẳng thức này đối với các dạng phức hóa. 3. Đối khối lợng của tích hai dạng phức hóa khi một nhân tử là phức hóa của dạng tách đợc Đẳng thức về đối khối khối lợng của tích hai dạng thực trên hai không gian trực giao khi một nhân tử là dạng tách đợc đã đợc chứng minh trong [3]. Mục này chúng ta chứng minh đẳng thức trên các dạng phức hoá khi một nhân tử là phức hóa một dạng tách đợc. Cho V là một không gian con của n , ký hiệu V c =V+iV n = n +i n . Khi đó nếu n =V 1 V 2 V q thì n =V c 1 V c 2 V c q . Xét hai không gian vectơ Ơclit trực giao n , m và các không gian phức hóa tơng ứng n , m . 3.1. Định lý. Giả sử c là k-dạng phức trên n đợc cảm sinh từ k-dạng trên n tách đợc đơn giản đối với (V 1 , V 2 , ,V q ) và c là một p-dạng phức hóa bất kỳ trên m . Khi đó đối khối lợng của dạng phức c c trên n m m+n thỏa mãn *** cccc = . Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phơng pháp qui nạp theo q. Với q=1. Khi đó c = dz 1 dz k , , ta chứng minh * cc = * c = ** . cc . Giả sử G( cc ), từ chú ý sau Bổ đề 2.1 ta có thể biểu thị dới dạng =(a 1 1 +b 1 f 1 ) (a k k +b k f k ) f k+1 f k+p , trong đó a i , b i , 1 22 =+ ii ba , 1 , , k là cơ sở trực chuẩn phức của k và f 1 , , f k+p là hệ trực chuẩn phức của m . Ta có ( cc )( )= a 1 a k dz 1 dz k ( 1 k ). c (f k+1 f k+p ), do đó * cc = ))(( cc = ) ( 11 pkk c k ffaa ++ ) ( 1 pkk c ff ++ * c . Từ đó * cc = * c và ))(( cc = * c nếu và chỉ nếu 1= i a với i = 1, ,k (từ đó b i = 0) và f k+1 f k+p G( ) c . Định lý đúng với q = 1. Nguyễn D. Bình, Thái T. B. Hờng của tích các dạng phức, tr. 5-14 10 Giả sử định lý đúng với q = t-1. Ta chứng minh định lý đúng đối với q = t. Vì c tách đợc đơn giản trên n = V c 1 V c 2 V c t nên c có thể biểu diễn c =dz c V 1 I II dza 1 '' + I II dza 1 , trong đó I' = (i 2 , ,i k ) khi I = (1, i 2 , ,i k ). Đặt c 1 = I II dza 1 '' và c 2 = I II dza 1 , thế thì c 1 , c 2 là tách đợc đơn giản đối với (V c 2 , ,V c t ). Theo giả thiết qui nạp ta có * 1 cc = ** 1 . cc , * 2 cc = ** 2 . cc . Từ Mệnh đề 2.4 ta có * cc = * 21 1 cccc V c dz + = max{ * 1 cc , * 2 cc } = max{ * 2 * 1 , cc }. * c = ** . cc . Định lý đợc chứng minh với q = t. Tiếp theo, khi một nhân tử của tích các dạng phức trên hai không gian trực giao là phức hóa của một dạng E- tách đợc, đẳng thức nh trong định lý trên cũng đúng. 3.2. Định lý. Giả sử c là phức hóa của k-dạng E- tách đợc đối với (V 1 , V q ) trong n và c là phức hóa của một p-dạng tùy ý trên không gian m trực giao với n . Khi đó *** cccc = . Chứng minh. Ta chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo q. Với q =1. Ta có c = c 1 + dz c V 1 c 2 , trong đó c 1 , c 2 là phức hóa của các dạng tách đợc đơn giản trên V 1 . Sử dụng Mệnh đề 2.4 và Định lý 3.1 ta có * cc = max{ * 1 cc , * 2 cc = max{ * 2 * 1 , cc }. * c = ** . cc . Vậy định lý đúng với q = 1. Giả sử định lý đúng đối với q = t-1, ta chứng minh đúng với q = t. Ta có cc = cc 1 +dz c V 1 cc 2 + dz 1 c V dz cc t V c t + 1 = cc 1 +dz cc V c 1 1 , Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007 11 trong đó c 1 = c 2 + +dz 2 c V dz c t V c t 1 + . Theo giả thiết qui nạp ** 1 * 1 . cccc = , ** 1 * 1 . cccc = . Từ Mệnh đề 2.4 ta có = * cc max{ * 1 * 1 , cccc = max{ ** 1 ** 1 .,. cccc } = max{ * 1 * 1 , cc }. * c = ** . cc . Định lý đợc chứng minh. 4. Đối khối lợng của tích khi hai nhân tử là các 3-dạng phức trên hai không gian trực giao Đẳng thức về đối khối lợng của tích các 3-dạng thực trên hai không gian trực giao đã đợc khảo sát trong [2]. Sử dụng một tính chất của hai k- vectơ đẳng hớng có quan hệ đặc biệt khi xét các dạng phức, với phép chứng minh tơng tự nh trong trờng thực chúng ta cũng nhận đợc đẳng thức về đối khối lợng của tích cho các 3-dạng phức. 4.1. Bổ đề. Giả sử 0 , 1 là các k-vectơ đẳng hớng trong n thỏa mãn dim(span R 0 span R 1 ) = k-1, và là k-dạng phức trên n sao cho * 0 )( = . Khi đó )( 1 =0. Chứng minh. Giả sử ngợc lại: )( 1 =b 0. Trong n có hệ trực chuẩn phức 111 ,,, , + kkk sao cho 0 = kk 11 , 1 = 111 + kk . Với = ).sin.(cos 111 + + kk i k tet , kkk i ie .sin.cos += , 0 2 , 0 2 t , ta có )( = ) (.sin) ( cos 11111 + + kkkk i tet ) (.cos 11 kk t + ) (.sin 111 + kk t = btt .sin.cos * + 2 1 2* )( 2 b+ . Chọn sao cho ) (. 11 kk i e và ) ( 111 + kk có cùng acgumen, và chọn t sao cho * cos sin b t t = , khi đó các bất đẳng thức trên dấu bằng xảy ra và ta có Nguyễn D. Bình, Thái T. B. Hờng của tích các dạng phức, tr. 5-14 12 )( = 2 1 2* )( 2 b+ > * , điều này mâu thuẫn. Vậy )( 1 = 0. 4.2. Định lý. Giả sử m+n là tổng trực giao của n và m . và là các 3- dạng phức trên các không gian n và m tơng ứng. Khi đó *** . = . Chứng minh. Giả sử G( ), theo Bổ đề 2.2 ta có là 6-vectơ đẳng hớng. Ký hiệu span C =span R +ispan R . Giả sử là 3-vectơ đẳng hớng sao cho ( )= * C span . Lấy vectơ đơn vị 1 trong không gian span C và hệ trực chuẩn phức { 65 , } trong không gian {span C } (bù vuông góc trong span C ) để )( 651 đạt cực đại. Tiếp theo lấy 32 , trong span C sao cho { 1 , 32 , } là cơ sở trực chuẩn phức của span C và 4 trong {span C } sao cho { 4 , 65 , } là cơ sở trực chuẩn phức của {span C } . Khi đó { 1 , 32 , , 4 , 65 , } là cơ sở trực chuẩn phức của span C và =detA. 61 , với A là phép biến đối unita trên span C . Theo Bổ đề 4.1 ta có ),,( 21 i = ),,( 32 i = ),,( 31 i = 0, với mọi i = 1, , 6. Với phép chứng minh nh trong Bổ đề 4.1, ta cũng có ),,(),,(),,(),,( 641541653652 === = 0. Do đó trên span C , có thể biểu thị dới dạng = +++ 321 dzdzdza I , trong đó dz 1 , ,dz 6 là các dạng phức đối ngẫu với cơ sở phức { 1 , , 6 }của span C và tổng đợc lấy với mọi tập chỉ số { ,, } {0,3}, (ở đây 0 153126 == aa ). Từ đó * = ))(( = ) )(() )(.(det 6161 =A = +++ ++ )().()1( 654321 = +++ ++ )().()1( 654321 QQQPPP +++ )(.)( 654321 QQQPPP = +++ 654321 ** QQQPPP = ** = ++ + 3 1 33 ) ( i iiii QPQP = ++ ++ 3 1 2 3 2 3 22** )).(( i iiii QPQP = ** . , ( QP , tơng ứng là các phép chiếu n+m lên các thành phần trực giao n , m ). Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 4A-2007 13 Bất đẳng thức ngợc lại đúng vì với G( ) và G( ), ta có ** . = )(.)( = )().( = ))(( * . Đẳng thức đợc chứng minh. Nhận xét. Từ định lý trên chúng ta nhận đợc đẳng thức về đối khối lợng khi , là các dạng phức hóa của các 3-dạng thực trên hai không gian trực giao. 4.3. Hệ quả. Giả sử , là các 3-dạng trên hai không gian trực giao n , m và c , c là các dạng phức hóa tơng ứng. Khi đó 6-dạng )Re( cc trên n+m 2(n+m) có i) **** )(Re)(ReRe.Re)Re( cccccc == , ii) )(Im)(Im)(Re)(Re cccc GGGG ))(Re( cc G . Chứng minh. i) Sử dụng Mệnh đề 2.3 và Định lý 4.2 ta có **** )()Re()Re( cccccc === = ** . cc = ** Re.Re cc = * )(Re)(Re cc (đẳng thức sau cùng đúng vì các nhân tử là 3-dạng thực trên hai không gian trực giao, xem [1]). ii) Giả sử )(Re c G và )(Re c G , theo nhận xét sau Mệnh đề 2.3 0)(Im)(Im == cc . Suy ra ))(Re( cc = ))(Im(Im))(Re(Re cccc = )(Im).(Im)(Re).(Re cccc = ** Re.Re cc = * )Re( cc Vậy ))(Re( cc G , do đó ))(Re()(Re)(Re cccc GGG . Nh đối với phần thực của một dạng phức hóa, đối với mọi dạng xảy ra ** Im cc = và nếu )(Im c G thì 0)(Re = c . Lý luận tơng tự nh trên ta có nếu )(Im c G và )(Im c G thì ))(Re( cc G , tức là ))(Re()(Im)(Im cccc GGG . Từ đó có điều phải chứng minh. NguyÔn D. B×nh, Th¸i T. B. H−êng cña tÝch c¸c d¹ng phøc, tr. 5-14 14 Tµi liÖu tham kh¶o [1] R. Harvey and H. B. Lawson, Calibrated geometries, Acta Math., 148, 1982, 47-157. [2] F. Morgan, The exterior algebra nk R Λ and area minimization, Linear Algebra Appl., 66, 1985, 1-28. [3] Hoang Xuan Huan, Separable calibrations and minimal surfaces, Acta Math.,. Vietnam, 19, 1994, 77-96. [4] Dao Trong Thi and Nguyen Duy Binh, On an expansion of the special Lagrangian form, Acta Math., Vietnam, 22, 1997, 527-540. [5] Dao Trong Thi and Doan The Hieu, Some recent Trends in Calibrated Geometries, Vietnam J. Math., 31 (1), 2003, 1-25. Summary On the comass of complex forms-products In this paper we prove that the equality on the comass of complex forms- products holds when one of factors is the complexification of a separable form or both factors are complex 3-forms. An application of the above equality is given. (a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 11 h×nh häc, Tr−êng §¹i häc Vinh. . hợp phức hóa của các dạng tách đợc. Trong việc khảo sát đối khối lợng của các dạng phức hóa, tổng quát hơn là của các dạng phức, bài toán về đối khối lợng của tích các dạng đợc đặt ra: liệu đối. thức này đối với các dạng phức hóa. 3. Đối khối lợng của tích hai dạng phức hóa khi một nhân tử là phức hóa của dạng tách đợc Đẳng thức về đối khối khối lợng của tích hai dạng thực trên hai. hóa. Kết quả chính thu đợc ở đây là đối khối lợng tích các dạng phức hóa bằng tích các đối khối lợng của các nhân tử khi một trong hai dạng là phức hóa của một dạng E- tách đợc (Định lý 3.1, Định