Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Nguyễn Văn Quảng (a) , Nguyễn Trần Thuận (b) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Một số kết quả chúng tôi đa ra là tổng quát hơn các kết quả trớc đó. 1 Mở đầu Năm 1973, Smythe [8] đã thu đợc luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chiều đợc Gut [2], Klesov [3], thiết lập. Năm 2005, L. V. Thanh [9] đã mở rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên (nhận giá trị thực) trong trờng hợp không cùng phân phối. Luật mạnh số lớn cho mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach Rademacher dạng p đã đợc A. Rosalsky và L. V. Thanh nghiên cứu trong [6] và [7]. Tuy nhiên các kết quả trên chỉ xét cho mảng nhiều chiều các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng không. Bằng việc giới thiệu khái niệm mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale, chúng tôi đã thiết lập đợc luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của Luật mạnh số lớn Kolmogorov - và luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên. Trong bài báo này, ta luôn giả sử (, F, P) là không gian xác suất đầy đủ cố định. Với a, b R, max{a, b} và min{a, b} đợc kí hiệu lần lợt là a b và a b. Kí hiệu C là một hằng số dơng, nhng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong các lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log + x = log(1 x). Với x 0, kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt quá x. Định nghĩa 1.1. Không gian Banach khả li X đợc gọi là không gian Banach p-trơn đều (1 p 2) nếu () = sup x + y + x y 2 1; x, y X ; x = 1, y = C p với C là một hằng số nào đó. Ví dụ. Mọi không gian Hillbert thực, khả li là không gian Banach 2-trơn đều. Các không gian p , L p với 1 < p < là các không gian p 2-trơn đều. Định lý sau đây của Assouad đa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach khả li X là không gian Banach p-trơn đều. Định lý 1.2. (Assouad [10]) Không gian Banach khả li X là p-trơn đều (1 p 2) nếu và chỉ nếu với mọi q 1, tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi martingale {S n , F n , n 1} nhận giá trị trên X đều có ES n q CE n i=1 S i S i1 p q/p , n N. (1.1) (Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund) 1 Nhận bài ngày 01/6/2009. Sửa chữa xong 05/8/2009. Định lý 1.3. (Assouad, Hoffmann Jrgensen [10]) Không gian Banach thực X là p- trơn đều (1 p 2) khi và chỉ khi tồn tại số dơng L sao cho với mọi x, y X , ta có x + y p + x y p 2x p + Ly p . (1.2) Cho (, F, P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là -đại số tất cả các tập Borel trong X . Cho mảng hai chiều {F mn , m 1, n 1} các -đại số con của F với chỉ số trong N ì N. Khi đó mảng hai chiều {X mn , F mn , m 1, n 1} đợc gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1. X mn là F mn /B(X ) đo đợc. 2. Với mỗi n N và m 2 > m 1 thì F m 1 n F m 2 n , với mỗi m N và n 2 > n 1 thì F mn 1 F mn 2 . Chú ý rằng định nghĩa mảng phù hợp ở đây của chúng tôi khác với định nghĩa mảng phù hợp đã đợc nêu trong [4] và [5]. Trong các định nghĩa đó, khái niệm mảng phù hợp đợc xây dựng dựa trên quan hệ thứ tự tần số trên N 2 . Kí hiệu F mn = (F m1 F n1 ) với F n = ( m1 F mn ) và F m = ( n1 F mn ). Ta quy ớc rằng F 0 = F 0 = {, }. Một mảng phù hợp {X mn , F mn ; m 1, n 1} đợc gọi là mảng các hiệu martingale nếu E{X mn |F mn } = 0 hầu chắc chắn (h.c.c) m, n N. Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy đợc sự tồn tại của khái niệm mảng các hiệu martingale. Ví dụ 1. Cho {X mn , m 1, n 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng 0. Với mọi m 1, n 1, gọi F mn là -đại số sinh bởi X mn , khi đó E(X mn |F mn ) = EX mn = 0 và {X mn , F mn ; m 1, n 1} lập thành một mảng các hiệu martingale. Ví dụ 2. Cho dãy (X n , F n , n 1) là một hiệu martingale nào đó nhng (X n , n 1) không độc lập. Với mọi n 1, đặt X mn = X n nếu m = 1 và X mn = 0 nếu m > 1; F mn = F n , m 1. Ta có X mn F mn với mọi m 1, n 1; F mn = F n1 nếu m = 1; F mn = n=1 F n nếu m > 1. Khi đó {X mn , F mn , m 1, n 1} là mảng các hiệu martingale nhng không là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {X mn , m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < thỏa mãn P{X mn > t} CP{X > t}, với mọi t 0, m 1, n 1. Từ điều kiện trên chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu {X mn , m 1, n 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X 11 và khi đó C = 1. Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên và nó rất hay đợc sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Bổ đề 1.4. Giả sử {X mn , m 1, n 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên. 1. Với > 0 bất kì, nếu m=1 n=1 P(X mn > ) < , thì X mn 0 h.c.c khi m n . 2. Với p > 0, nếu m=1 n=1 EX mn p < , thì X mn 0 h.c.c và trong L p khi m n . Chứng minh. Với mỗi > 0, đặt A k () = mn=k (X mn > ), k 1, khi đó dãy {A k (), k 1} là dãy giảm các biến cố, đặt A() = k=1 A k () và A = >0 A() = l=1 A 1 l . 1. Với mọi k 1, vì chuỗi kép m=1 n=1 P(X mn > ) hội tụ nên phần đuôi mnk P{X mn > } của nó sẽ dần tới 0 khi k . Ta có: P(A k ()) = P{ sup mnk X mn > } mnk P{X mn > } 0 khi k . Từ đây ta suy ra P(A()) = lim k P(A k ()) = lim k P{ sup mnk X mn > } = 0, điều này kéo theo P(A( 1 l )) = 0 với l 1. Do đó ta có P(A) = 0. Nếu / A thì / A( 1 l ) với l 1, từ đây ta suy ra rằng ứng với mỗi l N, tồn tại k l sao cho X mn () 1 l với mọi m n k l , điều này kéo theo lim mn X mn () = 0. Vì P(A) = 0 nên X mn 0 h.c.c khi m n . 2. Với p > 0, do chuỗi kép m=1 n=1 EX mn p hội tụ nên hiển nhiên suy ra EX mn p 0 khi m n . Do đó X mn 0 trong L p khi m n . Mặt khác, với mọi k 1 và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có m=1 n=1 P(X mn > ) 1 p m=1 n=1 EX mn p < . (do giả thiết) Theo ý thứ nhất ta suy ra X mn 0 h.c.c khi m n . 2 Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Bổ đề sau sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều. Bổ đề 2.1. Cho 0 < p 2. Cho {X ij ; 1 i m, 1 j n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p 2 ta giả thiết thêm {X ij , F ij ; 1 i m, 1 j n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều thì E max 1km 1ln k i=1 l j=1 X ij p C m i=1 n j=1 EX ij p , (2.1) với hằng số C không phụ thuộc vào m và n. Chứng minh. Trong trờng hợp 1 < p 2 : Đặt S kl = k i=1 l j=1 X ij , Y l = max 1km S kl với mỗi l = 1, 2, , n. Nếu l là -đại số sinh bởi {X ij ; 1 i m, 1 j l} thì l F i l+1 với mọi i 1, điều này kéo theo E(X i l+1 | l ) = E(E(X i l+1 |F i l+1 )| l ) = 0 h.c.c. Do đó ta có E(S k l+1 | l ) = E(S kl + X 1 l+1 + ã ã ã + X k l+1 | l ) = E(S kl | l ) + E(X 1 l+1 | l ) + ã ã ã + E(X k l+1 | l ) = S kl h.c.c. Suy ra {S kl , l ; 1 l n} là martingale. Vì {S kl , l ; 1 l n} là martingale dới không âm với mỗi k = 1, 2, , m nên { max 1km S kl = Y l , l ; 1 l n} là martingale dới không âm. Theo bất đẳng thức Doob (xem [1], tr. 255) E max 1km 1ln S kl p = E( max 1ln Y l ) p CEY p n . (2.2) Mặt khác, vì {S kn , F k+1 1 } m k=1 là martingale nên {S kn , F k+1 1 } m k=1 là martingale dới không âm. Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có EY p n = E max 1km S kn p CES mn p . (2.3) Ta lại có {S ml , F 1 l+1 } n l=1 và { k i=1 X il , F k+1 l } m k=1 (với mỗi l = 1; ; n) là các martingale. Vì vậy theo Định lý 1.2 ta có ES mn p =E n l=1 (S ml S m l1 ) p C n l=1 ES ml S m l1 p = C n l=1 E m k=1 X kl p C m k=1 n l=1 EX kl p . (2.4) Kết hợp (2.2), (2.3) và (2.4) cho ta (2.1). Trờng hợp còn lại 0 < p 1, ta có E max 1km 1ln k i=1 l j=1 X ij p E max 1km 1ln k i=1 l j=1 X ij p = E m i=1 n j=1 X ij p m i=1 n j=1 EX ij p . Ta cũng nhận đợc (2.1). Bổ đề đợc chứng minh hoàn toàn. Định lý sau đây sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của Luật mạnh số lớn Kolmogorov trong trờng hợp không cùng phân phối. Định lý 2.2. Cho > 0, > 0 và 1 p 2. Cho {X ij , F ij ; i 1, j 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu i=1 j=1 EX ij p (i j ) p < , (2.5) thì 1 m n m i=1 n j=1 X ij E{X ij |F ij } 0 h.c.c khi m n . (2.6) Chứng minh. Theo giả thiết, {X ij , F ij ; i 1, j 1} là mảng phù hợp nên X ij E{X ij |F ij }, F ij ; i 1, j 1 lập thành mảng các hiệu martingale. Theo Định lý 1.3 và sử dụng bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta có EX ij E{X ij |F ij } p E 2X ij p + LE{X ij |F ij } p 2EX ij p + L E E{X ij p |F ij } = (L + 2)EX ij p . (2.7) Đặt S mn = m i=1 n j=1 X ij E{X ij |F ij } và T kl = max 2 k m<2 k+1 2 l n<2 l+1 S mn m n S 2 k 2 l (2 k 2 l ) . Víi mäi ε > 0, theo bÊt ®¼ng thøc Markov ta cã ∞  k=1 ∞  l=1 P      S 2 k 2 l (2 αk 2 βl )     > ε   ∞  k=1 ∞  l=1 1 (2 αk 2 βl ) p ε p ES 2 k 2 l  p  C ∞  k=1 ∞  l=1  2 k i=1  2 l j=1 EX ij − E{X ij |F ∗ ij } p (2 αk 2 βl ) p (do (2.4))  C ∞  k=1 ∞  l=1  2 k i=1  2 l j=1 EX ij  p (2 αk 2 βl ) p (do (2.7))  C ∞  i=1 ∞  j=1 ∞  k=[logi] ∞  l=[logj] EX ij  p (2 αk 2 βl ) p  C ∞  i=1 ∞  j=1 EX ij  p (2 α[logi] 2 β[logj] ) p  C ∞  i=1 ∞  j=1 EX ij  p (i α j β ) p < ∞. (theo (2.5)) Theo Bæ ®Ò 1.4 ta thu ®−îc S 2 k 2 l (2 αk 2 βl ) −→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞. (2.8) TiÕp theo, víi ε > 0 tïy ý, ta cã P{|T kl | > ε}  P  S 2 k 2 l  (2 αk 2 βl ) > ε 2  + P  max 2 k m<2 k+1 2 l n<2 l+1 S mn  m α n β > ε 2   P  S 2 k 2 l  (2 αk 2 βl ) > ε 2  + P  max 2 k m<2 k+1 2 l n<2 l+1 S mn  (2 αk 2 βl ) > ε 2   P  S 2 k 2 l  > (2 αk 2 βl )ε 2  + P  max 1m2 k+1 1n2 l+1 S mn  > (2 αk 2 βl )ε 2   2 p (2 αk 2 βl ) p ε p ES 2 k 2 l  p + 2 p (2 αk 2 βl ) p ε p E  max 1m2 k+1 1n2 l+1 S mn   p  C2 p (2 αk 2 βl ) p ε p 2 k  i=1 2 l  j=1 EX ij  p + C2 p (2 αk 2 βl ) p ε p 2 k+1  i=1 2 l+1  j=1 EX ij  p (do Bæ ®Ò 2.1 vµ (2.7))  C 2 k  i=1 2 l  j=1 EX ij  p (2 αk 2 βl ) p + C 2 k+1  i=1 2 l+1  j=1 EX ij  p (2 α(k+1) 2 β(l+1) ) p  C 2 k+1  i=1 2 l+1  j=1 EX ij  p (2 α(k+1) 2 β(l+1) ) p . Điều này kéo theo k=1 l=1 P{|T kl | > } C k=1 l=1 2 k+1 i=1 2 l+1 j=1 EX ij p (2 (k+1) 2 (l+1) ) p C i=1 j=1 EX ij p (i j ) p < . Theo Bổ đề 1.4 ta thu đợc T kl 0 h.c.c khi k l . (2.9) Mặt khác, với 2 k m < 2 k+1 và 2 l n < 2 l+1 ta có S mn m n S mn m n S 2 k 2 l 2 k 2 l + S 2 k 2 l 2 k 2 l T kl + S 2 k 2 l 2 k 2 l . (2.10) Khi cho k l thì m n . Kết hợp (2.8) và (2.9) với (2.10) ta có (2.6). Hệ quả sau đây đợc suy trực tiếp từ Định lý 2.2. Hệ quả 2.3. Cho > 0, > 0 và 1 p 2. Cho {X ij , F ij ; i 1, j 1} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu i=1 j=1 EX ij p (i j ) p < , thì 1 m n m i=1 n j=1 X ij 0 h.c.c khi m n . (2.11) Nhận xét 1. Trờng hợp 0 < p 1, ta cũng nhận đợc (2.11) trong Hệ quả 2.3 mà không cần đến điều kiện hình học của không gian Banach và điều kiện E{X mn |F mn } = 0. Nhận xét 2. Khi = = 1 và X = R (tơng ứng p = 2), Định lý 2.2 chính là một mở rộng đối với dạng hai chỉ số của định lý Kolmogorov đã đợc Smythe [8] chứng minh. Định lý tiếp theo sẽ thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên. Định lý 2.4. Cho 1 < r < p 2 và {X mn , F mn ; m 1, n 1} là mảng phù hợp trong không gian Banach p-trơn đều X . Giả sử {X mn , m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu nhiên X. Nếu EX r log + X < thì 1 (mn) 1 r m i=1 n j=1 X ij E{X ij |F ij } 0 h.c.c khi m n . (2.12) Chứng minh. Gọi F là hàm phân phối của X, d(k) là số ớc số dơng của số nguyên dơng k. Đặt X ij = X ij I(X ij (ij) 1 r ), X ij = X ij I(X ij > (ij) 1 r ). Khi đó với mỗi i và j ta có X ij E{X ij |F ij } = (X ij E{X ij |F ij }) + (X ij E{X ij |F ij }). (2.13) Đầu tiên ta chứng minh rằng 1 (mn) 1 r m i=1 n j=1 X ij E{X ij |F ij } 0 h.c.c khi m n . (2.14) Sử dụng k=i d(k) k p r = O(i 1 p r log i) ta có các đánh giá i=1 j=1 EX ij p (ij) p r C i=1 j=1 1 (ij) p r (ij) 1 r 0 x p dF (x) = C k=1 d(k) k p r k 1 r 0 x p dF (x) = C k=1 d(k) k p r k i=1 i 1 r (i1) 1 r x p dF (x) = C i=1 k=i d(k) k p r i 1 r (i1) 1 r x p dF (x) C i=1 logi i p r 1 i 1 r (i1) 1 r x p dF (x) C i=1 i 1 r (i1) 1 r x p (x p r 1 ) r log + x dF (x) C 0 x r log + x dF (x) CEX r log + X < . Theo Định lý 2.2 khi = = 1 r ta thu đợc (2.14). Tiếp theo ta sẽ chứng minh 1 (mn) 1 r m i=1 n j=1 (X ij E{X ij |F ij }) 0 h.c.c khi m n . (2.15) Thật vậy, sử dụng n k=1 d(k) k 1 r = O( n 1 1 r log n) ta có các đánh giá i=1 j=1 EX ij (ij) 1 r C i=1 j=1 1 (ij) 1 r (ij) 1 r |x| dF (x) C k=1 d(k) k 1 r k 1 r |x|dF (x) C i=1 i k=1 d(k) k 1 r (i+1) 1 r i 1 r |x|dF (x) C i=1 i 1 1 r logi (i+1) 1 r i 1 r |x|dF (x) C 1 |x| r log + |x| dF (x) CEX r log + X < . Theo Định lý 2.2 khi = = 1 r và p = 1 ta thu đợc (2.15). Kết hợp (2.13) và (2.14) với (2.15) ta có (2.12). tµi liÖu tham kh¶o [1] Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 3rd Ed. Springer-Verlag, New York, 1997. [2] A. Gut, Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices, Ann. Probab., 6, 1978, pp. 469-482. [3] O. I. Klesov, The law of large numbers for multiple sums of independent identically distributed random variables, Theory Probab. Math. Statist, 50, 1995, pp. 77-87. [4] N. V. Quang and N. V. Huan, On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, Journal of Probability and Statistical Science, 6, No. 2, 2008, pp. 125-134. [5] N. V. Quang and N. N. Huy, Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables, J. Korean Math. Soc. 45, No 3, 2008, pp. 795-805. [6] A. Rosalsky and L. V. Thanh, Strong and weak law of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochas- tic Analysis and Applications, 24, 2006, pp. 1097-1117. [7] A. Rosalsky and L. V. Thanh, On almost sure and mean convergence of normed double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis and Ap- plications, 25, 2007, pp. 895-911. [8] R. T. Smythe, Strong law of large numbers for r-dimensional arrays of random variables, Ann. Probab 1, 1973, pp. 164-170. [9] L. V. Thanh, Strong law of large numbers and L p -convergence for double arrays of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No. 3, 2005, pp. 225-232. [10] W. A. Woyczynski, Geometry and martingale in Banach spaces II. Independent increments, Marcel Dekker, Press New York, 1978. Summary strong law of large numbers for adapted double arrays of random elements of p-uniformly smooth Banach space In this paper, we study the strong law of large numbers for adapted double arrays of random elements in a p-uniformly smooth Banach space. Some our results are more general than well-known ones. (a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh (b) 46A To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh. . Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Bổ đề sau sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn. mở rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên (nhận giá trị thực) trong trờng hợp không cùng phân phối. Luật mạnh số lớn cho mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận. Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều Nguyễn Văn Quảng (a) , Nguyễn Trần Thuận (b) Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật mạnh