Tích phân Trần Só Tùng Trang 46 Ví dụ 17: Tính tích phân bất đònh: 2 42 x3 Idx. x(x3x2) - = ++ ò Giải: Đặt 2 tx = . Suy ra: 328 t3 dt2xdx&x(23x)dxdt. t(t1)(t2) - =-= ++ Khi đó: t3 Idt t(t1)(t2) - = -+ ò Ta có: 2 t3abc(abc)t(2a2bc)t2a t(t1)(t2)tt1t2t(t1)(t2) -++++++ =++= +-++++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: abc0a3/2 3a2bc1b4 2a3c5/2 ++==- ìì ïï ++=Û= íí ïï =-=- ỵỵ Khi đó: t331451 t(t1)(t2)2tt12t2 - =-+- ++++ Do đó: 3145135 Idtlnt4ln|t1|ln|t2|C 2tt12t222 ỉư =-+-=-++-++ ç÷ ++ èø ò 222 35 ln(x)4ln(x1)ln(x2)C. 22 =-++-++ Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh: 62 dx I. t(x1) = + ò Giải: Đặt 3 tx = . Suy ra: 2 6222 dx1dt dt3xdx&. 3 x(x1)t(t1) == ++ Khi đó: 22 1dt I 3 t(t1) = + ò Ta có: 42 2222222 1abtct(ab)t(2abc)ta tt(t1)t1(t1)t(t1) +++++ =++= ++++ Đồng nhất, ta được: ab0a1 2abc0b1 a1c1 +== ìì ïï ++=Û=- íí ïï ==- ỵỵ Þ 22222 dt1tt . t t(t1)t1(t1) = +++ Do đó: 2 2222 1tt111 Idtln|t|ln|t1|.C t22 t1(t1)t1 éù = =-+++ êú +++ ëû ò 26 2266 1t11x1 (ln)C(ln)C. 22t1t1x1x1 =++=++ ++++ Trần Só Tùng Tích phân Trang 47 Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: 4 4 1x Idx. x(1x) - = + ò Giải: Đặt 4 tx = . Suy ra: 4 3 4 1x11t dt4xdx&. 4t(1t) x(1x) == + + Khi đó: 11t Idt 4t(1t) - = + ò Ta có: 22 1tab(ab)ta t(1t)tt1 t(t1) -++ =+= +++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: ab1a1 a1b2 +=-= ìì Û íí ==- ỵỵ Þ 1t12 t(1t)tt1 - =- ++ Do đó: 4 242 12|t|x Idtln|t|2ln|t1|ClnClnC. tt1 (t1)(x1) ỉư =-=-++=+=+ ç÷ + ++ èø ò Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh: 3 34 (x1)dx I x(x4)(x4x1) - = + ò . Giải: Biến đổi I về dạng: 3 44 (x1)dx I (x4x)(x4x1) - = + ò Sử dụng đồng nhất thức: 44 1(x4x1)((x4x) =-+ Ta được: 44333 4444 [(x4x1)(x4x)](x1)dx(x1)dx(x1)dx I (x4x)(x4x1)x4xx4x1 -+ ==- + + òòò 4 44 4 11x4x (ln|x4x|ln|x4x1|)ClnC. 44 x4x1 - = ++=+ -+ Ví dụ 21: Tính tích phân bất đònh: 2 432 x1 Idx. x2xx2x1 - = +-++ ò Giải: Chia cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân cho 2 x0, ¹ ta được: 2 22 2 2 11 1 dxdx1 1 xx x Idx 21 111 x2x1 x2x3x14 xx xxx ỉưỉư +++ - ç÷ç÷ èøèø === ỉưỉưỉư +-++ +++-++- ç÷ç÷ç÷ èøèøèø òòò 2 2 1 x12 11xx1 x lnClnC. 1 44 x3x1 x12 x ++- -+ =+=+ ++ +++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 48 BÀI TẬP Bài 20. Tính tích phân sau: a/ 2 dx ; 4x8x3 ++ ò b/ 2 dx ; x7x10 -+ ò c/ 2 dx . 3x2x1 ò ĐS: a/ 12x1 lnC; 42x3 + + + b/ 1x5 lnC; 3x2 - + - c/ 13x3 lnC. 43x1 + + + Bài 21. Tính các tích phân sau: a/ 2 2x7 dx; x3x2 - -+ ò b/ 2 5x7 dx; x3x2 - -+ ò c/ 2 2x7 dx; x5x6 + ++ ò d/ 2 2x5 dx; 9x6x1 + -+ ò ĐS: a/ 5lnx13lnx2C; + b/ 9x1 5lnx1lnC; 2x1 - +-+ + c/ 3lnx2lnx3C; +-++ d/ 2171 ln3x1.C. 993x1 ỉư + ç÷ - èø Bài 22. Tính các tích phân sau: a/ xdx ; (x1)(2x1) ++ ò b/ 2 2 2x41x91 dx; (x1)(xx12) +- ò c/ 32 dx ; 6x7x3x ò d/ 3 3 x1 dx; 4xx - - ò e/ 3 2 (x3x2)dx ; x(x2x1) -+ ++ ò f/ 2 2 (x2)dx . x(x2x1) + -+ ò ĐS: a/ 11 lnx1lnxC; 22 +-++ b/ 4lnx15lnx47lnx3C; -+-+++ c/ 12331 lnxlnxlnxC; 3332113 -+-+++ d/ 17191 xlnxlnxlnxC; 4162162 + ++ e/ 4 x2lnx4lnx1C; x1 ++-+ + f/ 9 4lnx2lnx1C. x1 + - Bài 23. Tính các tích phân sau: a/ 42 xdx ; x3x2 -+ ò b/ 7 42 xdx ; (x1) + ò c/ 42 xdx ; x2x1 ò d/ 5 63 xdx ; xx2 ò e/ 2 2dx ; x(x1) + ò f/ 5 63 xdx ; xx2 ò g/ 102 dx ; x(x1) + ò h/ 2 4 x1 dx; x1 - + ò i/ 3 22 x dx; (x1)+ ò k/ 2 10 xdx . (1x) - ò ĐS: a/ 2 2 1x2 lnC; 2x1 - + - b/ 4 4 11 lnx1C; 4x1 ỉư -++ ç÷ +èø c/ 2 2 1x(12) lnC; 42x(12) -+ + d/ 3 63 3 11x2 lnxx2lnC; 618x1 - ++ + Trần Só Tùng Tích phân Trang 49 e/ 2 2 x lnC; x1 + + f/ 2 2 1x lnC; 8x4 + + g/ 10 1010 1x9 lnC; 9x1x1 ỉư ++ ç÷ ++èø h/ 1 x2 1 x lnC; 1 22 x2 x éù +- êú + êú êú ++ ëû i/ 2 2 11 ln(x1)C; 2x1 éù +++ êú +ëû k/ 789 111 C. 7(x1)4(x1)9(x1) + Bài 24. Cho hàm số 2 2 2x2x5 f(x) x3x2 ++ = -+ a/ Tìm m, n, p để 2 mnp f(x) (x1)x1x2 =++ + b/ Tìm họ nguyên hàm của f(x) (ĐHTM_1994) ĐS: a/ m3;n1;p1. === b/ 3 ln(x1)(x2)C. x1 -+-+ - Bài 25. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a/ 4 3 x2 f(x); xx - = - b/ 2 2 1x1 lnC. 2x - + (ĐHTM_1994) ĐS: a/ 22 11 x2lnxlnx1C; 22 + + b/ 2 2 1x1 lnC. 2x - + Bài 26. Cho hàm số 2 3 3x3x3 y x3x2 ++ = -+ . a/ Xác đònh các hằng số a, b, c để 2 abc y. (x1)x1x2 =++ b/ Tìm họ nguyên hàm của y (ĐHQG–Hà Nội_1995) ĐS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/ 3 2lnx1lnx2C. x1 -+-+++ - Bài 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: a/ 2001 21002 x f(x) (1x) = + b/ 1999 1 f(x) x(x2000) = + c/ 2 22 x1 f(x) (x5x1)(x3x1) - = ++-+ ĐS: a/ 1001 2 2 1x C; 20021x ỉư + ç÷ +èø b/ 1999 1999 1x lnC; 19992000x2000 + -+ c/ 2 2 1x3x1 lnC. 8x5x1 -+ + -+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 50 Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản. 2. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản. 3. Phương pháp đổi biến. 4. Phương pháp tích phân từng phần. 1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng việc sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản. Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: dx I sin(xa)sin(xb) = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức: sin(ab)sin[(xa)(xb) 1 sin(ab)sin(ab) -+-+ == · Bước 2: Ta được: dx1sin[(xa)(xb)] Idxdx sin(xa)sin(xb)sin(ab)sin(xa)sin(xb) + == ++-++ òò 1sin(xa).cos(xb)cos(xa).sin(xb) dx sin(ab)sin(xa)sin(xb) 1cos(xb)cos(xa) dxdx sin(ab)sin(xb)sin(xa) 1 [ln|sin(xb)}ln|sin(xa)|]C sin(ab) 1sin(xb) lnC. sin(ab)sin(xa) ++-++ = -++ ++éù =- êú -++ ëû =+-++ - + =+ -+ ò òò Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: 1. dx I cos(xa)cos(xb) = ++ ò , sử dụng đồng nhất thức sin(ab) 1. sin(ab) - = - 2. dx I sin(xa)cos(xb) = ++ ò , sử dụng đồng nhất thức cos(ab) 1. cos(ab) - = - Trần Só Tùng Tích phân Trang 51 Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f(x) sinx.cosx 4 = p ỉư + ç÷ èø . Giải: · Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản Sử dụng đồng nhất thức: cosxx cos 4 4 12cosxx. 4 2 cos 4 2 éùp ỉư p +- ç÷ êú éù p ỉư èø ëû ===+- ç÷ êú p èø ëû Ta được: cosxx cosxcosxsinxsinx 4 44 F(x)2dx2 sinx.cosxsinx.cosx 44 éù p ỉư pp ỉưỉư +- +++ ç÷ ç÷ç÷ êú èø ëûèøèø == pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø òò sinx cosx 4 2dxdx sinx cosx 4 sinx 2ln|sinx|lncosxC2lnC 4 cosx 4 éùp ỉư + ç÷ êú èø êú =+ p ỉư êú + ç÷ êú èø ëû éù p ỉư =-++=+ êú ç÷ p ỉư èø ëû + ç÷ èø òò · Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm f(x) Ta có: 2 dxdx F(x)22 sinx.(cosxsinx) sinx(cotgx1) == - - òò d(cotgx)d(cotgx1) 222lncotgx1C. cotgx1cotgx1 - =-=-= + òò Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: dx I sinxsin = +a ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi I về dạng: dx1dx I(1) xx sinxsin2 sin.cos 22 == +a-a +a òò · Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1). Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: 1. dx I,với|m|1 sinxm =£ + ò 2. dxdx IvàI,với|m|1 cosxcoscosxm ==£ +a+ òò . Tích phân Trần Só Tùng Trang 52 Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f(x) 2sinx1 = + . Giải: Biến đổi f(x) về dạng: 11111 f(x) (1) 6x6x 1 24 sinxsinsin.cos 2sinx 61212 2 === p+p-p ỉư + + ç÷ èø Sử dụng đồng nhất thức: 6x6x cos cos 26x6x 1212 6 1cos 1212 33 cos 6 2 +p-p p ỉư - ç÷ +p-p ỉư èø ===- ç÷ p èø Ta được: 3x6x cos 1 1212 F(x) 66x 23 sin.cos 1212 +p-p ỉư - ç÷ èø = +p-p ò 6x6x6x6x cos.cossin.sin 1 12121212 6x6x 23 sin.cos 1212 6x6x cossin 1 1212 dxdx 6x6x 23 sincos 1212 6x sin 16x6x1 12 lnsinlncosClnC. 6x 1212 233 cos 12 +p-p+p-p + = +p-p +p-p éù êú =+ êú +p-p êú ëû +p éù+p+p =-+=+ êú -p ëû ò òò Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: Itgx.tg(x)dx. =+a ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi I về dạng: sinx.sin(x) Itgx.tg(x)dxdx cosx.cos(x) cosx.cos(x)sinx.sin(x) 1dx cosx.cos(x) cosdxdx dxcosx(1) cosx.cos(x)cosx.cos(x) +a =+a= +a +a++a ỉư =- ç÷ +a èø a =-=a- +a+a òò ò òòò · Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1). Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: Trần Só Tùng Tích phân Trang 53 1. Itg(x).cotg(x)dx. =+a+b ò 2. Icotg(x).cotg(x)dx. =+a+b ò Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)tgx.tgx 4 p ỉư =+ ç÷ èø . Giải: Biến đổi f(x) về dạng: sinx.sinxcosx.cosxsinx.sinx 444 f(x)1 cosx.cosxcosx.cosx 44 ppp ỉưỉưỉư ++++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø ==- pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø cos 21 4 1.1. 2 cosx.cosxcosx.cosx 44 p =-=- pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø Khi đó: 2dx2dx F(x)dxx(1) 22 cosx.cosxcosx.cosx 44 =-=-+ pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø òòò Để đi xác đònh : dx J cosx.cosx 4 = p ỉư + ç÷ èø ò ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản. Sử dụng đồng nhất thức: sinxx sin 4 4 12sinxx 4 2 sin 4 2 éù p ỉư p +- ç÷ êú éù p ỉư èø ëû ===+- ç÷ êú p èø ëû Ta được: sinxx sinxcosxcosxsinx 4 44 J2dx2dx cosx.cosxcosx.cosx 44 sinx sinx 4 2dxdx2lncosxxlncosxC cosx4 cosx 4 cosx 2ln éùp ỉư pp ỉưỉư +- +-+ ç÷ ç÷ç÷ êú èø ëûèøèø == pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø éùp ỉư + ç÷ êú éù p ỉư èø =-=-+++ êú ç÷ êú p èøỉư ëû êú + ç÷ êú èø ëû = òò òò C2ln1tgxC. cosx 4 += + p ỉư + ç÷ èø · Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm dưới dấu tích phân Ta có: 2 dxdx J22 cosx.(cosxsinx) cosx(1tgx) == òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 54 d(tgx)d(1tgx) 222ln1tgxC 1tgx1tgx - ==-= + òò Vậy ta được: F(x)xln1tgxC. = + Dạng 4: Tính tích phân bất đònh: dx I asinxbcosx = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi: · Cách 1: Ta có: 2222 2222 2 22 1dx1dx I xx sin(x) abab 2sincos 22 x dtg 1dx1 2 xxx abab 2tgcostg 222 1x lntgC. 2 ab == +a+a +a ++ +a ỉư ç÷ èø == +a+a+a ++ +a =+ + òò òò · Cách 2: Ta có: 2 2222 2 2222 1dx1sin(x)dx I sin(x) sin(x) abab 1d[cos(x)]1cos(x)1 lnC. cos(x)1cos(x)1 ab2ab +a == +a +a ++ +a+a- =-=-+ +a++a- ++ òò ò Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hoá với việc đổi biến: x ttg. 2 = Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 f(x) 3sinxcosx = + . Giải: Ta có: 2dxdxdx F(x) xx 3sinxcosx sinx2sincos 6212212 === ppp ỉưỉưỉư + +++ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø òòò 2 x dtg dxx 212 lntgC. xxx 212 2tgcostg 212212212 éù p ỉư + ç÷ êú p èø ëû ===++ ppp ỉưỉưỉư +++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø òò Dạng 5: Tính tích phân bất đònh: 11 22 asinxbcosx Idx. asinxbcosx + = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Trần Só Tùng Tích phân Trang 55 · Bước 1: Biến đổi : 112222 asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx) +=++- · Bước 2: Khi đó: 2222 22 A(asinxbcosx)B(acosxbsinx) Idx asinxbcosx ++- = + ò 22 22 22 acosxbsinx AdxBdxAxBlnasinxbcosxC asinxbcosx - =+=+++ + òò Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4sinx3cosx f(x) sinx2cosx + = + . Giải: Biến đổi: 4sinx3cosxa(sinx2cosx)b(cosx2sinx) +=++- (a2b)sinx(2ab)cosx =-++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: a2b4a2 2ab3b1 -== ìì Û íí +==- ỵỵ Khi đó: 2(sinx2cosx)(cosx2sinx)cosx2sinx f(x)2. sinx2cosxsinx2cosx + ==- ++ Do đó: cosx2sinxd(sinx2cosx) F(x)2dx2dx sinx2cosxsinx2cosx -+ ỉư =-=- ç÷ ++ èø òò 2xlnsinx2cosxC =-++ Dạng 6: Tính tích phân bất đònh: 11 2 22 asinxbcosx Idx (asinxbcosx) + = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi : 112222 asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx) +=++- · Bước 2: Khi đó: 2222 2 22 A(asinxbcosx)B(acosxbsinx) Idx (asinxbcosx) ++- = + ò 22 2 22 22 dxacosxbsinx ABdx asinxbcosx(asinxbcosx) - =+ + + òò 22 22 22 22 22 22 AdxB sin(x)asinxbcosx ab AxB ln|tg|C 2asinxbcosx ab =- +a+ + +a =-+ + + ò Trong đó 22 2222 2222 ba sinvàcos abab a=a= ++ [...]... Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx 3sin x - 2sin x cos x - cos2 x 2 Trang 59 Tích phân Trần Só Tùng Giải: Sử dụng đẳng thức: Ta có: dx = d(tgx) cos2 x 1ư ỉ d ç tgx - ÷ dx 1 d(tgx) 1 3ø è I=ò = ò = ò 2 2 2 2 (3tg x - 2tgx - 1) cos x 3 ỉ 1ư 4 3 ỉ 1ư 4 ç tgx - ÷ ç tgx - ÷ 3ø 9 3ø 9 è è 1 2 tgx - 1 3 3 + C = 1 ln tgx - 1 + C = 1 ln sin x - cos x + C = ln 4 tgx - 1 + 2 4 3tgx + 1 4 3sin x + cos... PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc Các phép biến đổi thường dùng bao gồm: · Phép biến đổi tích thành tổng (chúng ta đã thấy trong phương pháp phân tích) · Hạ bậc · Các kỹ thuật biến đổi khác Chúng ta sẽ lần lượt xem xét các ví dụ mẫu 2.1 Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau: 1 a/ cosx.cosy... 1 2dt Đặt: t = tg , ta được: dt = dx = ç1 + tg2 ÷ dx = (1 + t 2 )dx Þ dx = 2 2 cos2 x 2è 2ø 2 1 + t2 2 4dt x tg - 1 2 2dt d(t + 1) t -1 1+ t Khi đó: I = ò =ò 2 = 2ò = ln + C = ln 2 +C 2 2 x t +1 4t 1- t t + 2t (t + 1) - 1 tg + 1 +1 2 1 + t2 1 + t2 ỉ x pư = ln tg ç - ÷ + C è2 4 Dạng 8: Tính tích phân bất đònh: I = ò a1 sin x + b1 cos x + c1 dx a1 sin x + b2 cos x + c2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện... Trần Só Tùng Tích phân 1 1 1 1 = = asin x + b cos x + c c[1 - cos(x - a )] 2c sin 2 x - a 2 trong đó sin a = a a2 + b 2 và cos a = b a2 + b 2 ỉ x -a ư dç ÷ 1 dx 1 è 2 ø 1 x-a Khi đó: I = ò = ò = cot g + C 2c sin 2 x - a c sin 2 x - a c 2 2 2 3 Nếu c2 ¹ a2 + b 2 x Ta thực hiện phép đổi biến t = tg 2 Khi đó: dx = 2dt 2t 1 - t2 , sin x = & cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh... (Asinx + Bcos x)dx + C ò dx a2 sin x + b 2 cos x Trang 58 Trần Só Tùng Tích phân = - A cos x + Bsin x + C dx ò a2 + b2 sin(x + a) 2 = - A cos x + Bsin x + trong đó sin a = b2 2 2 a +b 2 2 2 C a2 + b 2 2 2 ln | tg x+a | +C 1 a2 và cos a = 2 2 a + b2 2 4sin 2 x + 1 Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 sin x + cos x Giải: Giả sử: 4sin2 x + 1 = 5sin2 x + cos2 x = (asinx + bcosx)( 3sinx + cosx) +... 2 3ò 3 sin x + cos x ( 3 sin x + cos x)2 1 2 3 ỉx p ư ln tg ç + ÷ + C 2 è 2 12 ø 3 sin x + cos x Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: ò 2dx 1 ỉx p ư = ln tg ç + ÷ + C è 2 12 ø 3 sin x + cos x 2 Dạng 7: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx asin x + b cos x + c PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét 3 khả năng sau: 1 Nếu c = a2 + b2 Ta thực hiện phép biến đổi: 1 1 1 1 = = asin x + b cos... sin x - cos x)dx - ò 2dx 3 sin x + cos x 1 ỉx p ư = - 3 cos x - sin x - ln tg ç + ÷ + C 2 è 2 12 ø Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: ò 2dx 1 ỉx p ư = ln tg ç + ÷ + C è 2 12 ø 3 sin x + cos x 2 Dạng 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx asin x + b sin x cos x + ccos2 x 2 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: dx (atg x + btgx + c) cos2 x · Bước 1: Biến đổi... I=ò a2 sin x + b2 cos x + c2 = A ò dx + Bò a2 cos x - b2 sin x dx dx + C ò a2 sin x + b 2 cos x + c2 a2 sin x + b2 cos x + c2 Trang 57 Tích phân Trần Só Tùng = Ax + Bln a2 sin x + b2 cos x + c2 + C ò trong đó òa dx a2 sin x + b 2 cos x + c2 dx được xác đònh nhờ dạng 4 2 sin x + b 2 cos x + c2 Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5sin x 2 sin x - cos x + 1 Giải: Giả sử: 5sinx = a(2sinx – cosx... + ln | 2sin x - cos x + 1 | - ln tg ç - ÷ + C è2 2ø Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: 2dx ỉx pư ò 2sin x - cos x + 1 = ln tg ç 2 - 4 ÷ + C è ø a1 sin 2 x + b1 sin x cos x + c1 cos2 x dx Dạng 9: Tính tích phân bất đònh: I = ò a2 sin x + b2 cos x PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi: a1 sin 2 x + b1 sin x.cos x + c1 cos2 x = (A sin x +.. .Tích phân Trần Só Tùng Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 8cos x 2 + 3 sin 2x - cos2x Giải: Biến đổi: f(x) = 8cos x 8cos x = 2 3sin x + 2 3 sin x cos x + cos x ( 3 sin x + cos x)2 2 Giả sử: 8cosx . 3 44 (x1)dx I (x4x)(x4x1) - = + ò Sử dụng đồng nhất thức: 44 1(x4x1)((x4x) =-+ Ta được: 44 333 44 44 [(x4x1)(x4x)](x1)dx(x1)dx(x1)dx I (x4x)(x4x1)x4xx4x1 -+ ==- + + òòò 4 44 4 11x4x (ln|x4x|ln|x4x1|)ClnC. 44 x4x1 - =. Tùng Tích phân Trang 47 Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: 4 4 1x Idx. x(1x) - = + ò Giải: Đặt 4 tx = . Suy ra: 4 3 4 1x11t dt4xdx&. 4t(1t) x(1x) == + + Khi đó: 11t Idt 4t(1t) - = + ò . sinxx sin 4 4 12sinxx 4 2 sin 4 2 éù p ỉư p +- ç÷ êú éù p ỉư èø ëû ===+- ç÷ êú p èø ëû Ta được: sinxx sinxcosxcosxsinx 4 44 J2dx2dx cosx.cosxcosx.cosx 44 sinx sinx 4 2dxdx2lncosxxlncosxC cosx4 cosx 4 cosx 2ln éùp ỉư