Trần Só Tùng Tích phân Trang 61 Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)tgxtgxtgx 33 pp ỉưỉư =-+ ç÷ç÷ èøèø Giải: Ta có: sinx.sinx.sinx 33 f(x)(1) cosx.cosx.cosx 33 pp ỉưỉư -+ ç÷ç÷ èøèø = pp ỉưỉư -+ ç÷ç÷ èøèø Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng, ta được: 12 sinx.sinx.sinxsinxcos2xcos 3323 ppp ỉưỉưỉư -+=- ç÷ç÷ç÷ èøèøèø 12 cosx.cosx.cosxcoscoscos2x 3323 ppp ỉưỉưỉư -+=+ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø 11111 cosxcos2x.cosxcosx(cos3xcosx)cos3x. 42444 =-+=-++= Suy ra: f(x) = tg3x Khi đó: 11sin3x1d(cos3x)1 F(x)tg3xdxdxlncos3xC. 44cos3x12cos3x12 ===-=-+ òòò 2.2. Sử dụng phép hạ bậc: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau: a/ 2 1cos2x sinx 2 - = c/ 3 3sinxsin3x sinx 4 - = b/ 2 1cosx cosx 2 + = d/ 3 3cosxcos3x cosx 4 + = được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức: 22 sinxcosx1. += được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như: 44222222 11 sinxcosx(sinxcosx)2sinx.cosx1sin2x1(1cos 4x) 24 13 cos4x 44 +=+-=-= =+ 66223222 3 sinxcosx(sinxcosx)3sinxcosx)1sin2x 4 335 1(1cos4x)cos4x. 888 +=+-+=- = =+ Ví dụ 13: (HVQHQT_98): Tìm họ nguyên hàm của hàm số : a/ 3 f(x)sinx.sin3x = b/ 33 f(x)sinx.cos3xcosx.sin3x. =+ Giải: Tích phân Trần Só Tùng Trang 62 a/ Biến đổi f(x) về dạng: 2 3sinxsinx31 f(x).sin3xsin3x.sinxsin3x. 444 - ==- ( ) 311 cos2xcos4xx(1cos6x)(3cos2x3cos4xcos6x1) 888 = =-+- . Khi đó: 1 F(x)(3cos2x3cos4xcos6x1)dx 8 =-+- ò 1331 sin2xsin4xsin6xxC. 8246 ỉư =-+-+ ç÷ èø b/ Biến đổi f(x) về dạng: 3sinxsin3xcos3x3cosx f(x).cos3x.sin3x 44 -+ =+ 33 (cos3x.sinxsin3x.cosx)sin4x. 44 =+= Khi đó: 33 F(x)sin4xdxcos4xC. 416 ==-+ ò 2.3. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các em học sinh còn cần thiết biết các đònh hướng trong phép biến đổi. Ví dụ 14: (ĐHNT TP.HCM_99): Tìm họ nguyên hàm của hàm số : a/ sinxcosx f(x); sinxcosx - = + b/ cos2x f(x). sinxcosx = + Giải: a/ Ta có: sinxcosxd(sinxcosx) F(x)ln(sinxcosx)C sinxcosxsinxcosx -+ ==-=-++ ++ òò b/ Ta có: 22 cos2xcosxsinx F(x)dxdx sinxcosxsinxcosx - == ++ òò (cosxsinx)dxsinxcosxC. =-=++ ò Ví dụ 15: (ĐHNT HN_97): Tính tích phân bất đònh: sin3x.sin4x I. tgxcotg2x = + ò Giải: Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng: sin3x.sin4xsin3x.sin4x1 sin4x.sin3x.sin2x(cosxcos7x)sin2x cosx tgxcotg2x2 cosx.sin2x ===- + Trần Só Tùng Tích phân Trang 63 11 (sin2x.cosxcos7x.sin2x)(sin3xsinxsin9xsi n5x). 24 =-=+-+ Khi đó: 1 I(sinxsin3xsin5xsin9x)dx 4 =++- ò 1111 (cosxcos3xcos5xcos9x)C. 4359 =-+-+ Tổng quát: Cách tính phân dạng: mn sinx.cosxdx ò với m, n là những số nguyên được tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công tức hạ bậc. 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tính tích phân bất đònh sau: IR(sinx,cosx)dx = ò trong đó R là hàm hữu tỉ. Ta lựa chọn một trong các hướng sau: – Hướng 1: Nếu R(sinx,cosx)R(sinx,cosx) -=- thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = cosx – Hướng 2: Nếu R(sinx,cosx)R(sinx,cosx) -=- thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = sinx – Hướng 3: Nếu R(sinx,cosx)R(sinx,cosx) =- thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = tgx (đôi khi có thể là t = cotgx). Do đó với các tích phân dạng: 1. n Itgxdx,vớinZ =Ỵ ò được xác đònh nhờ phép đổi biến t = tgx. 2. n Icotgxdx,vớinZ =Ỵ ò được xác đònh nhờ phép đổi biến t = cotgx. – Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến x ttg. 2 = Ví dụ 16: (ĐHNT Tp.HCM_97): Tính tích phân bất đònh: cosxsinx.cosx Idx. 2sinx + = + ò Giải: Biến đổi I về dạng: (1sinx)cosx I 2sinx + = + ò Đặt t = sinx Suy ra: (1sinx)cosx1t dtcosxdx&dxdt 2sinx2t ++ == ++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 64 Khi đó: 1t1 Idt1dttln|2t|Csinxln|2sinx|C 2t2t + ỉư ==-=-++=-++ ç÷ ++ èø òò Nhận xét: Trong bài toán trên sở dó ta đònh hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do đó sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = sinx. Ví dụ 17: (ĐHTCKT HN_96): Tính tích phân bất đònh: 435 dx I. sinx.cosx = ò Giải: Biến đổi I về dạng: 3823 44 dxdx I tgx.cosxcosxtgx == ò Đặt: t = tgx Suy ra: 2 2343 4 dxdxdt dt& cosx cosxtgxt == Khi đó: 4 4 43 dt 4tC4tgxC. t =+=+ ò Chú ý: Như chúng ta đã thấy trong vấn đề 8 là 2 11 |t| t = điều này rất quan trọng, khởi khi đó ta phải xét hai trường hợp t > 0 và t < 0. Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh: 2 sinxdx I cosxsinx1 = + ò Giải: Đặt t = cosx Þ dt = –sinxdx do đó: 2 dt I t2t =- - ò Ta cần xét hai trường hợp t > 0 và t < 0. Cụ thể: · Với t > 0, ta được: 2 22 2 22 1 d dt122122t t Iln1ClnC. t tt 2222 t11 tt ỉư ç÷ +- èø ===+-+=+ òò · Với x < 0, ta được: 2 2 22 22 1 d dt122 t Iln1C tt 222 t11 tt 122t121sinx lnClnC. tcosx 22 ỉư ç÷ èø ==-=-+-+ +-++ =-+=+ òò Tóm lại ta được: Trần Só Tùng Tích phân Trang 65 22 122t121sinx IlnClnC. tcosx 22 +-++ =+=+ 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Chúng ta đã được biết trong vấn đề: Xác đònh nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần, đối với các dạng nguyên hàm: Dạng 1: Tính: P(x)sinxdxhoặcP(x)cosxdx aa òò với P là một đa thức thuộc R[x] và * R. Khi đó ta đặt: uP(x)uP(x) hoặc dvsinxdxdvcosxdx == ìì íí =a=a ỵỵ Dạng 2: Tính: axax ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0 ¹ òò Khi đó ta đặt: axax ucos(bx)usin(dx) hoặc dvedxdvedx == ìì íí == ỵỵ Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: 2 x Idx cosx = ò Giải: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, bằng cách đặt: 2 ux dudx dx vtgx dv cosx = ì = ì ï Þ íí = = ỵ ï ỵ Khi đó: sinxd(cosx) Ix.tgxtgxdxx.tgxdxx.tgxx.tgxln|cosx|C. cosxcosx =-=-=+=++ òòò Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh: 2 3 cosxdx I. sinx = ò Giải: Biến đổi I về dạng: 3 cosx.d(sinx) I. sinx = ò Đặt: 32 ucosxdusinxdx d(sinx)1 dvv sinxsinx ==- ìì ïï Þ íí ==- ïï ỵỵ Khi đó: 222 cosxdxcosxxcosxx IdlntglntgC. sinx22sinxsinxsinx ỉư = = = + ç÷ èø òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 66 BÀI TẬP Bài 28. Tìm họ nguyên hàm của hàm số: a/ 1 f(x) cosxcosx 4 = p ỉư + ç÷ èø b/ 1 f(x) 2sinxcosx = +- c/ 2 cosx f(x) sinx3cosx = + d/ sinx f(x) 1sin2x = + e/ f(x)sinx.sin2x.cos5x = f/ f(x)(sin4xcos4x)(sin6xcos6x) =++ g/ ( ) f(x)sinx.2sin2x 4 p ỉư =-+ ç÷ èø ĐS: a/ 2ln1tgxC; + b/ 1x cotgC; 28 2 p ỉư -++ ç÷ èø c/ 11x sinxlntgC; 26826 pp ỉưỉư ++++ ç÷ç÷ èøèø d/ 1x1 lntgC; 282(sinxcosx) 22 p ỉư +++ ç÷ + èø e/ 1111 sin2xsin4xsin8xC; 4248 ỉư +-+ ç÷ èø f/ 13 (33x7sin4xsin8x)C; 648 +++ g/ 11 4cosxsinxsin3xC. 24434 éùppp ỉưỉưỉư ++ + ç÷ç÷ç÷ êú èøèøèø ëû Bài 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: a/ 3 sinx f(x) 3sin4xsin6x3sin2x = (ĐHSP II Hà Nội _1999) b/ Icos5x.tgxdx = ò Kcos3x.tgxdx = ò (ĐHNT Tp.HCM– A_2000) c/ 1 f(x)= sin2x2sinx - d/ 2 x f(x) sinx = e/ cotgx f(x) 1sinx = + f/ f(x)tgx.cotgx 36 pp ỉưỉư =++ ç÷ç÷ èøèø g/ 2 f(x)(x2)sin2x =+ ĐS: a/ 1sin3x1 lnC; 48sin3x1 - -+ + b/ I2sinx2sin3xsin5xC; =-++ 1 Kcos3x2cosxC; 3 =-++ c/ 12cosx1 lnC; 81cosxcosx1 ỉư- ++ ç÷ èø d/ xcotgxlnsinxC; -++ e/ sinx lnC; 1sinx + + f/ cosx 1 3 xlnC; 3 cosx 3 p ỉư - ç÷ èø ++ p ỉư + ç÷ èø g/ 2 113 xcos2xxsin2xcos2xC. 224 -+-+ Trần Só Tùng Tích phân Trang 67 Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp đổi biến. 2. Phương pháp tích phân từng phần. 3. Sử dụng các phép biến đổi. Hai công thức thường sử dụng: 1. 2 2 xdx xaC xa =±+ ± ò 2. 2 2 dx lnxxaC. xa =+±+ ± ò 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến Dạng 1: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và n axb cxd + + có dạng: n axxb IRx,dxvớiadbc0. cxd ỉư + =-¹ ç÷ + èø ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: Đặt: n n n n axbaxbbdt ttx cxdcxd cta ++- =Þ=Û= ++ - · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(t)dt. = ò Chú ý: Với hai dạng đặc biệt: axax IRx,dxhoặcIRx,dx axax ỉưỉư +- == ç÷ç÷ -+ èøèø òò chúng ta đã biết với phép đổi biến: x = acos2t. Trường hợp đặc biệt, với ax Idx ax + = - ò , ta có thể xác đònh bằng cách: Vì ax ax + - có nghóa khi 2 axanênxa0,dó(ax)ax. -£<+>+=+ Khi đó: 22 2222 xxaxdxxdx Idxdxa ax ax axax ++ ===+ - - òòòò Tích phân Trần Só Tùng Trang 68 Trong đó: 22 dx ab + ò được xác đònh bằng phép đổi biến x = asint. 22 22 xdx aaxC. ax = + - ò Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 2 3 3 dx I x1[x1)1] = +++ ò Giải: Đặt: 3 3 tx1tx1 =+Þ=+ . Suy ra: 2 2 22 2 3 3 dx3tdt3tdt 3tdtdx& t(t1)t1 x1[(x1)1] === ++ +++ Khi đó: 2 22 3 22 3tdt3d(t) Iln(t1)Cln[(x1)1]C. 2t1t1 ===++=+++ ++ òò Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: dx I 2x2x1 = + ò Giải: Đặt: 2 t2x1t2x1 =+Þ=+ . Suy ra: 22 dxtdtdt 2tdt2dx& (t1)tt1 2x2x1 === + Khi đó: 2 dt1t112x11 IlnClnC. 2t12t1 2x11 -+- ==+=+ +- ++ ò Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: 3 2 4 xdx I xx = - ò Giải: Ta nhận xét: 2 11 3 2 4 3 24 xx,xxvàxx === , từ đó 12 là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số, do đó đặt x = t 12 Suy ra: 17144 1194 8355 3 2 4 xdx12tdt12tdtt dx12tdt&12ttdt ttt1t1 xx ỉư ====++ ç÷ èø - Khi đó: 4105 945 5 ttt1 I12ttdt12ln|t1|C. 1055t1 ỉưỉư =++=++-+ ç÷ç÷ - èøèø ò Dạng 2: Tính tích phân bất đònh dx I (xa)(xb) = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét hai trường hợp: · Trường hợp 1: Với xa0 xb0 +> ì í +> ỵ Trần Só Tùng Tích phân Trang 69 Đặt: txaxb =+++ · Trường hợp 2: Với xa0 xb0 +< ì í +< ỵ Đặt: t(xa)(xb) =-++-+ Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I x5x6 = -+ ò Giải: Biến đổi I về dạng: dx I (x2)(x3) = ò Ta xét hai trường hợp: · Với x20 x3 x30 -> ì Û> í -> ỵ . Đặt: tx2x3 =-+- suy ra : 11(x2x3)dxdx2dt dtdx t 2x22x32(x2)(x3)(x2)(x3) -+- ỉư =+=Û= ç÷ + èø Khi đó: dt I22ln|t|C2ln|x2x3|C t ==+=-+++ ò · Với x20 x2 x30 -< ì Û< í -< ỵ . Đặt: tx23x =-+- suy ra : 11[2x3x]dxdx2dt dtdx t 22x23x2(x2)(x3)(x2)(x3) -+- éù =+=Û=- êú ëû Khi đó: dt I22ln|t|C2ln|2x3x|C t =-=-+= +-+ ò Dạng 3: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và 22 ax - có dạng: 22 IR(x,ax)dx,vớiadbc0. = ¹ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 22 x|a|sintvớit (hoặccóthểtxax) 22 x|a|costvới0t pp é =-££ ê =+- ê =££p ë · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt. = ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 70 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: 3 2 xdx I. 1x = - ò Giải: · Cách 1: Đặt: xsint,t 22 pp =-<< Suy ra: 33 3 2 xdxsint.cosdt1 dxcostdt&sintdt(3sintsin3t)dt cost4 1x ====- - Khi đó: 131 I(3sintsin3t)dttgtCcostcos3tC 4412 =-=+=-++ ò 332 3111 cost(4cost3cosxt)CcostcostCcost1costC 41233 ỉư =-+-+=-+=-+ ç÷ èø 22222 111 (1sint)1C(1x)11xC(x2)1xC 333 éùéù = += +=-+-+ êúêú ëûëû Chú ý: Trong cách giải trên sở dó ta có: 2 22 costcost tcost0 22 cost1sint1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í ï =-=- ỵ · Cách 2: Đặt 222 t1xx1t =-Þ=- Suy ra: 3222 2 222 xdxx.xdxx.xdx(1t)(tdt) 2xdx2tdt&(t1)dt t 1x1x1x =====- Khi đó: 23222 111 I(t1)dtttC(t3)tC(x2)1xC 333 =-=-+=-+=-+-+ ò Dạng 4: Xác đònh nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và 22 ax + có dạng: 22 IR(x,ax)dx,vớiadbc0. =+-¹ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 22 x|a|tgtvớit (hoặccóthểtxax) 22 x|a|cotgtvới0t pp é =-<< ê =++ ê =<<p ë · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt. = ò Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 2 I1xdx. =+ ò Giải: [...]... Với tích phân bất đònh sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1: dx ò (a2 + x2 )2 k +1 , với k Ỵ Z 4 Với tích phân bất đònh: Đặt: t = x + ò (x + a)(x + b)dx ta có thể thực hiện như sau: a+b (b - a)2 &A=2 4 suy ra: dt = dx & (x + a)(x + b)dx = t 2 + Adt Khi đó: I = ò t 2 + Adt = A t 2 ln t + t 2 + A + t +A +C 2 2 (b - a)2 a+b 2x + a + b = ln x + + (x + a)(x - b) + (x + a)(x + b) + C 8 2 4 Dạng 5: Tính tích. .. - 2 ÷ + 4 ln | t |ú + C = é 4x 1 + x 2 + 4 ln x + 1 + x 2 + C ù ë û 8 ëè t ø 8 û 1 = (ln x + 1 + x 2 + x 1 + x 2 ) + C 2 · Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần xdx ì ìu = x2 + 1 ï ïdu = Đặt : í Þí x2 + 1 ï ïv = x ỵdv = dx ỵ Trang 71 Tích phân Trần Só Tùng Khi đó: I = x x 2 + 1 - ò Với J = ò x 2dx x2 + 1 x 2dx [(x 2 + 1) - 1]dx dx =ò = ò x 2 + 1dx - ò 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 = I - ln x + x 2... Trần Só Tùng Tích phân – Bước 3: Bài toán được chuyển về: I = ò S(t, t 2 - 1)dt · Cách 2: Sử dụng phép thế Euler: Ta xét các trường hợp sau: 1 Nếu a > 0, đặt ax 2 + bx + c = t - x a hoặc t + x a 2 Nếu c > 0, đặt ax 2 + bx + c = tx + c hoặc tx - c 3 Nếu tam thức ax 2 + bx + c có biệt số D > 0 thì ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) Khi đó đặt: ax 2 + bx + c = t(x - x1 ) Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:... Adt = A t 2 ln t + t 2 + A + t +A +C 2 2 (b - a)2 a+b 2x + a + b = ln x + + (x + a)(x - b) + (x + a)(x + b) + C 8 2 4 Dạng 5: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và x 2 - a2 có dạng: I = ò R(x, x 2 - a2 )dx, với ad - bc ¹ 0 Trang 72 Trần Só Tùng Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: é |a| é p pù x= với t Ỵ ê - ; ú \ {0} ê sin t ë... dụng đồng nhất thức: t 4 + 4 = [(t + 1) - 1]4 + 4 = (t + 1)4 - 4(t + 1)3 + 6(t + 1)2 - 4(t + 1) + 5 Do đó: I = 1 6 4 1 t2 4 ò [t + 1 - 4 + t + 1 - (t + 1)2 ]dt = 4 [ 2 - 3t + 6 ln | t + 1 | + t + 1] + C 4 1 ( x 2 + 2x + 2 + x)2 = [ - 3( x 2 + 2x + 2 + x) + 4 2 +6 ln x 2 + 2x + 2 + x + 1 + Dạng 7: Tính tích phân bất đònh I = ò 4 x 2 + 2x + 2 + x + 1 ] + C dx (lx + m) ax 2 + bx + c PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta... 2 Suy ra: dx = sin tdt , cos2 t 1 sin t dt 2 (1 + tg 2 t)tgt.dt (1 + tg2 t)tgt.dt = cos t cos t = = 2 2 2 2x 2 - 1 + 3 x 2 - 1 - 1 + 3tgt 2(1 + tg t) - 1 + 3tgt 2tg t + 3tgt + 1 cos2 t xdx Trang 73 Tích phân Trần Só Tùng Khi đó: I = ò Đặt: u = tgt (1 + tg2 t)tgt.dt 2tg 2 t + 3tgt + 1 dt (1 + tg 2 t)tgt.dt u.du 2 Suy ra: du = = (1 + tg t)dt & = 2 2 2 cos t 2tg t + 3tgt + 1 2u + 3u + 1 1 1 ư 1 1 (u... đó: I = ò ç + +C ÷ dt = - ln 2u + 1 + ln u + 1 + C = ln 2 2 | 2u + 1 | è 2u + 1 u + 1 ø = – 1 (tgt + 1)2 1 ( x 2 - 1 + 1)2 ln + C = ln + C 2 2tgt + 1 2 2 x2 - 1 + 1 Với x < –1 (tự làm) Dạng 6: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và ax 2 + bx + c có dạng: I = ò R(x, ax 2 + bx + c)dx, với ad - bc ¹ 0 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: Đưa I về các dạng...Trần Só Tùng · Tích phân Cách 1: Đặt: x = tgt, Khi đó: I = ò Suy ra: dx = dt dt & 1 + x 2 dx = 2 cos t cos3 t dt cos tdt cos tdt =ò =ò cos3 t cos4 t (1 - sin 2 t)2 Đặt: u = sint Khi đó: I = ò = p p . 17144 1194 8 355 3 2 4 xdx12tdt12tdtt dx12tdt&12ttdt ttt1t1 xx ỉư ====++ ç÷ èø - Khi đó: 41 05 9 45 5 ttt1 I12ttdt12ln|t1|C. 1 055 t1 ỉưỉư =++=++-+ ç÷ç÷ - èøèø ò Dạng 2: Tính tích phân bất. Tùng Tích phân Trang 65 22 122t121sinx IlnClnC. tcosx 22 +-++ =+=+ 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng. Trần Só Tùng Tích phân Trang 63 11 (sin2x.cosxcos7x.sin2x)(sin3xsinxsin9xsi n5x). 24 =-=+-+ Khi đó: 1 I(sinxsin3xsin5xsin9x)dx 4 =++- ò 1111 (cosxcos3xcos5xcos9x)C. 4 359 =-+-+ Tổng