Quan h th tệ ứ ự Th t toàn ph n và bán toà n ứ ự ầ ph nầ Bi u đ Hasseể ồ Ph n t min và maxầ ử Ph n t t i ti u và t i đ iầ ử ố ể ố ạ CH NG IV: QUAN HƯƠ Ệ 1 Đ nh nghĩa: ị M t quan h hai ngôi R trên t p m t t p A (khác r ng) ộ ệ ậ ộ ậ ỗ đ c g i là m t quan h th t n u và ch n u có ba ượ ọ ộ ệ ứ ự ế ỉ ế tính ch t: ph n x , ph n x ng và truy n ( b c c u ).ấ ả ạ ả ứ ề ắ ầ Ta kí hi u quan h th t là: ≺ệ ệ ứ ự C p (A, ) đ c g i là t p s p th t hay poset.≺ặ ượ ọ ậ ắ ứ ự 1. Quan H th tệ ứ ự 2 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd1: V i 2 s a và b trên t p N* ta nói a b có quan h lũy th a ớ ố ậ ệ ừ (“^”) n u t n t i m t s nguyên d ng k sao cho a mũ k b ng b. ế ồ ạ ộ ố ươ ằ Khi đó (N*, ^ ) là t p s p th t vì quan h “ ^ “ có tính:ậ ắ ứ ự ệ • Ph n x : ả ạ ∀a∈N* ta có , a^a vì a=a1 • Ph n x ng: a^b nghĩa là ả ứ ∃ k sao cho ak =b. b^a nghĩa là ∃ j sao cho bj =a (k, j nguyên) Khi đó , ta có ak = b ⇔ akj =bj akj = a ⇔ k=1 và j=1 ⇔ a = b • B c c u: a^b nghĩa là ắ ầ ∃ k sao cho ak = b b^c nghĩa là ∃ j sao cho bj = c Khi đ ó, akj = c t c là a^c ứ 1. Quan H th tệ ứ ự 3 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd2: V i 2 s a và b trên t p R*+ ta nói a và ớ ố ậ b có quan h ệ R n u ph ng trình: ax = b có ế ươ nghi m. Khi đó, (R*+ , ệ R ) khô ng là t p s p ậ ắ th t vì quan h ứ ự ệ R không có tính ph n ả x ng. Vì:ứ Ph ng trì nh: 2x =3 có nghi m và ươ ệ ph ng trình 3x =2 có nghi m, nh ng 2 ươ ệ ư ≠ 3. 1. Quan H th tệ ứ ự 4 Ch ng IV: Quan hươ ệ  Cho (S, ) là t p s p th t . Khi đó, v i 2 ph n t a và b ≺ ậ ắ ứ ự ớ ầ ử thu c S. N u a b ho c b a thì a và b đ c g i là so ≺ ≺ộ ế ặ ượ ọ sánh đ c. Ng c l i, ta nói a và b không so sánh đ c.ượ ượ ạ ượ  Cho (S, ) là 1 t p s p th t và v i m i hai ph n t a và b ≺ ậ ắ ứ ự ớ ỗ ầ ử tùy ý thu c S ta đ u có a và b so sánh đ c thì ta nói đó là ộ ề ượ t p s p th t toàn ph n.ậ ắ ứ ự ầ Ta cũng nói r ng là th t toàn ph n hay th t ≺ằ ứ ự ầ ứ ự tuy n tính.ế  Ng c l i, n u t n t i 2 ph n t a và b thu c S sao cho a ượ ạ ế ồ ạ ầ ử ộ và b không so sánh đ c thì ta nói (S, ) là t p s p th t ≺ượ ậ ắ ứ ự bán toàn ph n và là quan h bán toàn ph n.≺ầ ệ ầ 2. th t toàn ph n ứ ự ầ và bán toàn ph nầ 5 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd: Quan h (N*,^) là t p s p th t bán toàn ệ ậ ắ ứ ự ph n vì:ầ  Nó là 1 t p s p th t .ậ ắ ứ ự  Không t n t i 2^3 hay 3^2.ồ ạ 2. th t toàn ph n ứ ự ầ và bán toàn ph nầ 6 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd: Quan h “ ệ ≤ ” trên t p s nguyên d ng là th ậ ố ươ ứ t toàn ph n. Cho (R , ự ầ ≤) là t p s p th t vì quan ậ ắ ứ ự h “ệ ≤ “ có tính:  Ph n x : ả ạ ∀a∈R ta có, a ≤ a.  Ph n x ng: a ả ứ ≤ b và b ≤ a ⇒ a = b.  B c c u: a ắ ầ ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c. Ta có quan h “ ệ ≤ ” là m t quan h th t toàn ộ ệ ứ ự ph n vì ầ ∀ a ≤ b thì ta có b ≤ a (b=a). 2. th t toàn ph n ứ ự ầ và bán toàn ph nầ 7 Ch ng IV: Quan hươ ệ Đ nh nghĩa:ị Cho (A, ≤) và (B, ≤’) là hai t p s p th t toàn ph n. Ta đ nh ậ ắ ứ ự ầ ị nghĩa th t trên A x B nh sau:≺ứ ự ư (a1,b1) (a2,b2) n u a1 < a2 hay (a1 = a2 và b1 ≺ ế ≤’ b2 ). Ta th y đây là th t toàn ph n trên A x B vì nó có tính:ấ ứ ự ầ 1. Ph n x : ả ạ ∀(a,b) ∈ A x B thì ta có (a,b) vì a = a và b ≺ ≤’ b. 2. Ph n x ng: N u (a1,b1) (a2,b2)(1) và (a2,b2) (a1,b1)(2) thì ≺ ≺ả ứ ế ta có: n u a1 ế ≠ a2 thì (1) ⇒ a1 < a2 và (2) ⇒ a2 < a1 (Vô lý) V y a1 = a2.ậ T ng t , ta có b1 = b2 ươ ự V y, ta có: (a1,b1) = (a2,b2) ậ Th t t đi nứ ự ự ể 8 Ch ng IV: Quan hươ ệ 3. B c c u: N u (a1,b1) (a2,b2)(1) và (a2,b2) ≺ ≺ắ ầ ế (a3,b3)(2) thì ta có a1 ≤ a2 và a2 ≤ a3 ⇒ a1 ≤ a3 N u a1 < a3 thì ta đã có (a1,b1) (a3,b3) ≺ế N u a1 = a3 thì ch ng minh t ng t ta s có b1 ế ứ ươ ự ẽ ≤’ b3 Vây ta luôn có (a1,b1) (a3,b3) .≺ Quan h th t toàn ph n này đ c g i là th t ≺ệ ứ ự ầ ượ ọ ứ ự t đi n.ự ể Th t t đi n (tt)ứ ự ự ể 9 Ch ng IV: Quan hươ ệ Phần tử trội:  Ph n t b trong t p s p th t S đ c g i là ph n t ầ ử ậ ắ ứ ự ượ ọ ầ ử tr i c a ph n t a trong t p S n u a b.≺ộ ủ ầ ử ậ ế  Chúng ta cũng nói r ng a là đ c tr i b i b .Ph n t b ằ ượ ộ ở ầ ử đ c g i là tr i tr c ti p c a a n u b là tr i c a a, và ượ ọ ộ ự ế ủ ế ộ ủ không t n t i tr i c c a a sao cho: a c b, a ≺ ≺ồ ạ ộ ủ ≠ b ≠ c. Vd: V i t p s p th t (N, <) thì ta có:ớ ậ ắ ứ ự  5 là ph n t tr i c a 2 vì 2 < 5.ầ ử ộ ủ  3 là ph n t tr i tr c ti p c a 2 vì không t n t i s c ầ ử ộ ự ế ủ ồ ạ ố ∈ N sao cho 2 < c < 3 (2 ≠ c ≠ 3).  4 là ph n t tr i nh ng không tr i tr c ti p c a 2 vì ầ ử ộ ư ộ ự ế ủ t n t i ph n t c = 3 mà 2 < c < 4.ồ ạ ầ ử 3. Bi u đ hasseể ồ 10 Ch ng IV: Quan hươ ệ [...]... Phần tử cực đại: b = max(S, ≺) Nhận xét:  Trong một tập sắp thứ tự có thể không có phần tử cực đại và cực tiểu  Nếu tồn tại phần tử cực đại và cực tiểu thì chúng là duy nhất  Nếu tập sắp thứ tự (S, ≺) có |S| hữu hạn và ≺ là quan hệ thứ tự toàn  phần thì (S, ≺) luôn có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu Chương IV: Quan hệ Phần tử cực tiểu  và phần tử cực đại Vd:  Cho tập sắp thứ tự (S, “≤”) với S = [5, 10] (S ⊂ R). ... đi từ a đến b Vd: Cho (S, ≺) là một tập sắp thứ tự với S = {a,  b, c, d, e} a ≺ b, a ≺ c, b ≺ c, b ≺ d a e c b d Chương IV: Quan hệ 3. Biểu đồ hasse Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30},  “|”). Hãy vẽ biểu đồ Hasse của nó 2 1 8 5 7 15 3 0 Chương IV: Quan hệ 4. Phần tử cực tiểu  và phần tử cực đại Định nghĩa: Trong một tập sắp thứ tự (S, ≺), một phần tử a  ∈ S được gọi là:  Cực tiểu nếu: ∀x ∈ S ta đều có a ≺ x... Trong một tập sắp thứ tự thì luôn luôn tồn tại phần tử tối  tiểu và tối đại, nhưng chúng có thể không là duy nhất Trong biểu đồ Hasse:  Không có cung nào xuất phát từ phần tử tối đại  Không có cung nào kết thúc tại phần tử tối tiểu Chương IV: Quan hệ 5. Phần tử tối tiểu  và phần tử tối đại Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”}  Hãy tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của nó  Phần tử tối đại (màu đỏ) : 7, 8, 30... Khi đó ta có: • Min(S, “≤”) = 5 • Max(S, “≤”) = 10  Tập sắp thứ tự (S, “|”) với S  = {3, 4, 5, 6, 7}  không có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu  Tập sắp thứ tự (S, “^”) với S = {2, 4, 16, 256, 4096}  có: • Min (S, “^”)  = 2 • Không có phần tử cực đại Chương IV: Quan hệ 5. Phần tử tối tiểu  và phần tử tối đại Định nghĩa: Một phần tử a trong tập sắp thứ tự (S, ≺) được  gọi là:  Tối tiểu nếu không tồn tại bất kì phần tử a’ ∈ S (a’ ≠ a) mà a’ ≺ ... Vd: Cho tập sắp thứ tự ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”}  Hãy tìm các phần tử tối đại và tối tiểu của nó  Phần tử tối đại (màu đỏ) : 7, 8, 30  Phần tử tối tiểu (màu xanh) : 1, 5, 7 2 1 8 5 1 5 3 0 Chương IV: Quan hệ 7 Các dạng bài tập  Sẽ thêm vào sau.  Cảm ơn . Quan h th tệ ứ ự Th t toàn ph n và bán toà n ứ ự ầ ph nầ Bi u đ Hasseể ồ Ph n t min và maxầ ử Ph n t t i ti u và t i đ iầ ử ố ể ố ạ CH NG IV: QUAN HƯƠ Ệ 1 Đ nh nghĩa: ị M t quan h hai. đ c g i là t p s p th t hay poset.≺ặ ượ ọ ậ ắ ứ ự 1. Quan H th tệ ứ ự 2 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd1: V i 2 s a và b trên t p N* ta nói a b có quan h lũy th a ớ ố ậ ệ ừ (“^”) n u t n t i m t s nguyên. sao cho bj = c Khi đ ó, akj = c t c là a^c ứ 1. Quan H th tệ ứ ự 3 Ch ng IV: Quan hươ ệ Vd2: V i 2 s a và b trên t p R*+ ta nói a và ớ ố ậ b có quan h ệ R n u ph ng trình: ax = b có ế ươ nghi