TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008 TỐC ĐỘ HỘI TỤ TRONG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ĐỐI VỚI TỔNG NGẪU NHIÊN QUA KHOẢNG CÁCH TROTTER Trần Lộc Hùng, Trần Thiện Thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế TÓM TẮT Mục đích chính của bài báo này là thiết lập tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập bằng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter. 1. Đặt vấn đề Phương pháp khoảng cách xác suất được sử dụng rộng rãi trong Lý thuyết xác suất, nhấ t là trong các bài toán liên quan đến các định lý giời hạn (xem các tài liệu [1], [2], [4], [7], [8], [9], [10]). Một trong số đó là khoảng cách Trotter được xây dựng trên cơ sở toán tử Trotter trong [3]. Khoảng cách Trotter được dùng nhiều trong việc đánh giá tốc độ hội tụ của luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm của tổng các biến ngẫu nhiên (xem [1], [2], [9]). Mục đích của bài báo này là thiết lập tốc độ hội tụ của một số định lý giới hạn đói với tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối bằng khoảng cách Trotter. Các kết quả nhận được là sự tiếp tục và tổng quát các kết quả trong [11], [12]. 2. Toán tử và khoảng cách Trotter Giả sử X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất F X (x) = P(X < x). Ký hiệu C B (R) là lớp các hàm thực liên tục đều, bị chặn xác định trên R và C r B (R) = {f ∈ C B (R) : f (j) ∈ C B (R), 1 ≤ j ≤ r} Chuẩn của hàm f ∈ C B (R) xác định bởi f = sup x∈R |f(x)|. Định nghĩa 0.1. Toán tử Trotter T X : C B (R) → C B (R) xác định bởi T X f(t) := Ef(X + t) =  R f(x + t)dF X (x), t ∈ R, f ∈ C B (R). (1) Kết quả này được tài trợ một phần kinh phí bởi Chương trình NCCB 2006-2008 (Bộ KHCN, mã số 101806), Đề tài KHCN 2007-2008 (Bộ GD & ĐT) và Trung tâm Hỗ trợ Nghiên cứu Châu Á (VNU) 2007-2008 41 Toán tử Trotter được nhà toán học Trotter H. F. [3] đặt ra đầu tiên và được sử dụng trong nhiều bài báo. Nó được xem như là một phương pháp dùng trong chứng minh các định lý giới hạn như hàm đặc trưng trong xác suất. Định nghĩa 0.2. Khoảng cách Trotter d T (X, Y ; f) của 2 biến ngẫu nhiên X, Y ứng với hàm f ∈ C B (R) xác định bởi d T (X, Y ; f) = sup t∈R |T X f(t) −T Y f(t)|. (2) Dựa vào các tính chất của toán tử Trotter (xem [3]), ta chứng minh được các tính chất sau của khoảng cách Trotter. a. d T (X, Y ; f) là một khoảng cách xác suất. b. Nếu d T (X, Y ; f) = 0 với mọi f ∈ C B (R), thì F X ≡ F Y . c. Cho {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên và X là một biến ngẫu nhiên. Nếu lim n→+∞ d T (X n , X; f) = 0, với mọi hàm f ∈ C B (R), thì lim n→+∞ F X n (x) = F X (x), ∀x ∈ C(F ). d. Giả sử X 1 , X 2 , . . . X n ; Y 1 , Y 2 , . . . Y n là các biến ngẫu nhiên độc lập (theo mỗi nhóm). Khi đó d T  n  j=1 X j , n  j=1 Y j ; f  ≤ n  j=1 d T (X j , Y j ; f) Hơn nữa, nếu các biến ngẫu nhiên trong mỗi nhóm cùng phân phối thì d T  n  j=1 X j , n  j=1 Y j ; f  ≤ nd T (X 1 , Y 1 ; f) e. Nếu N là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với X 1 , X 2 , , X n và Y 1 , Y 2 , , Y n thì d T  N  j=1 X j , N  j=1 Y j ; f  ≤ ∞  k=1 P (N = k) k  j=1 d T (X j , Y j ; f) Hơn nữa, nếu các biến ngẫ u nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập, cùng phân phối, Y 1 , Y 2 , , Y n độc lập, cùng phân phối và E(N) < ∞, thì d T  N  j=1 X j , N  j=1 Y j ; f  ≤ E(N).d T (X j , Y j ; f) 42 Định ng hĩa 0.3. Môđun liên tục của hàm f với δ > 0, ký hiệu ω(f, δ), xác định bởi ω(f, δ) = sup |h|≤δ {|f(x + h) −f(x)|, x ∈ R} Một số tính chất của môđun liên tục được sử dụng trong bài báo a. ω(f, δ) → 0 khi δ → 0. b. Với λ ≥ 0 thì ω(f, λδ) ≤ (1 + λ)ω(f, δ). 3. Kết quả chính Trong phần này, ta giả sử {X n , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với X. {N n } là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, dương và độc lập với mỗi X j . Xét tổng ngẫu nhiên S N n = X 1 + X 2 + ···+ X N n (3) Trong các bài báo [11], [12] (cùng tác giả) đã đưa ra một số kết quả về giới hạn của tổng ngẫu nhiên (3) bằng phương pháp hàm đặc trưng. Dưới đây, ta sẽ thiết lập một số kết quả về tốc độ hội tụ của tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách Trotter (2). Những kết quả này là sự mở rộng cho các kết quả đã có. Để đơn giản các kết quả, ta ký hiệu X o là biến ngẫu nhiên suy biến tại 0 và X  là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N(0, 1). Định lý 0.1. Giả sử X có kỳ vọng 0 và moment tuyệt đối cấp r+1 hữu hạn (r ≥ 2). ϕ(n) là hàm số không âm, xác định trên N và thỏa mãn lim n→∞ ϕ(n) = 0, lim n→∞ ϕ(n)E(N n ) < ∞. (4) Khi đó, với f ∈ C r+1 B (R), d T (ϕ(n)S N n , X o ; f) = O[ϕ(n)]. Nhận xét. Theo tính chất c) của khoảng cách Trotter và mối liên hệ giữa các dạng hội tụ trong lý thuyết xác suất, kết quả của định lý trên kéo theo rằng ϕ(n)S N n P −→ 0, khi n → ∞. Chứng minh. Trước hết, do X o suy biến tại 0 nên P  ϕ(n) N n  j=1 X o = X o  = 1, ∀n. 43 Do giả thiết cùng phân phối nên theo tính chất e) của khoảng cách Trotter, với f ∈ C r+1 B (R), suy ra d T (ϕ(n)S N n , X o ; f) ≤ E(N n ).d T (ϕ(n)X, ϕ(n)X o ; f) = E(N n ) sup t∈R |T ϕ(n)X f(t) −T ϕ(n)X o f(t)| (5) Mặt khác, khai triển Taylor hàm f và lấy kỳ vọng 2 vế, ta được T ϕ(n)X f(t) = Ef(ϕ(n)X + t) = r  j=0 f (j) (t) j! ϕ j (n)E(X j ) + ϕ r (n) r! E([f (r) (η) − f (r) (t)]X r ) = f(t) + r  j=2 f (j) (t) j! ϕ j (n)E(X j ) + ϕ r (n) r!  R x r [f (r) (η) − f (r) (t)]dF X (x) (6) (do EX = 0), trong đó |η − t| ≤ ϕ(n)|x|. Hơn nữa, áp dụng tính chất của môđun liên tục, ta có      R x r [f (r) (η) − f (r) (t)]dF X (x)     ≤  R |x| r ω(f (r) , ϕ(n)|x|)dF X (x) ≤ ω(f (r) , ϕ(n))  R |x| r (1 + |x|)dF X (x) = [α r + α r+1 ]ω(f (r) , ϕ(n)) (7) trong đó α j = E(|X| j ) < ∞ (0 < j ≤ r + 1). Kết hợp (5), (6) và (7) với chú ý rằng T ϕ(n)X o f(t) = f(t), suy ra d T (ϕ(nS N n ,X o ; f)) ≤ E(N n )  r  j=2 ||f (j) || j! ϕ j (n)α j + ϕ r (n) r! [α r + α r+1 ]ω(f (r) , ϕ(n))  = ϕ(n)E(N n )  r  j=2 ||f (j) || j! ϕ j−1 (n)α j + ϕ r−1 (n) r! [α r + α r+1 ]ω(f (r) , ϕ(n))  Với giả thiết (4) của định lý và tính chất môđun liên tục, kéo theo d T (ϕ(n)S N n , X o ; f) → 0 khi n → ∞. Hơn nữa tốc độ hội tụ ở đây là O[ϕ(n)]. Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 0.2. Giả sử X có kỳ vọng 0 và EX 2 < ∞. Chỉ số N n thỏa mãn lim n→∞ E(N n ) = ∞. Khi đó S N n E(N n ) P −→ 0. Chứng minh. Áp dụng định lý 0.1 với hàm ϕ(n) = [EN n ] −1 . 44 Hệ quả 0.3. Giả sử X có kỳ vọng µ = E(X) và EX 2 < ∞. Chỉ số N n thỏa mãn N n /n P −→ 1. Khi đó S N n n P −→ µ. Chứng minh. Áp dụng định lý 0.1 với dãy biến ngẫu nhiên Y n = X n − µ và hàm ϕ(n) = n −1 . Định lý 0.4. Giả sử X có kỳ vọng 0, moment tuyệt đối cấp r + 1 hữu hạn (r ≥ 2). ϕ(n) là hàm số không âm, xác định trên N và thỏa mãn lim n→∞ ϕ(n) = 0, lim n→∞ E[N n ϕ 2 (N n )] = 0. (8) Khi đó, với f ∈ C r+1 B (R), d T (ϕ(N n )S N n , X o ; f) = O[EN n ϕ 2 (N n )]. Nhận xét. Kết quả của định lý 0.4 kéo theo rằng ϕ(N n )S N n P −→ 0 khi n → ∞. Chứng minh. Hoàn toàn tương tự trong chứng minh định lý 0.1, ta được d T (ϕ(N n )S N n ,X o ; f) ≤ ∞  k=1 kP(N n = k)d T (ϕ(k)X, ϕ(k)X o ; f) ≤ ∞  k=1 kP(N n = k)  r  j=2 ||f (j) || j! ϕ j (k)α j + ϕ r (k) r! [α r + α r+1 ]ω(f (r) , ϕ(k))  = r  j=2 ||f (j) || j! α j E[N n ϕ j (N n )] + E  N n ϕ r (N n ) r! [α r + α r+1 ]ω(f (r) , ϕ(N n ))  (9) Mặt khác, do lim n→∞ ϕ(n) = 0 nên tồn tại hằng số M : ϕ(n) ≤ M ∀n. Khi đó, với j > 2, E[N n ϕ j (n)] ≤ M j−2 E[N n ϕ 2 (N n )] (10) Với giả thiết (8) của định lý và kết hợp (9), (10), suy ra d T (ϕ(N n )S N n , X o ; f) → 0 khi n → ∞. Và tốc độ hội tụ là O[EN n ϕ 2 (N n )]. Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 0.5. Giả sử X có kỳ vọng µ = E(X) và EX 2 < ∞. Chỉ số N n thỏa mãn N n P −→ ∞. Khi đó S N n N n P −→ µ. Chứng minh. Áp dụng định lý 0.4 với dãy biến ngẫu nhiên Y n = X n − µ và hàm ϕ(n) = n −1 . 45 Định lý 0.6. Giả sử X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0, 1) và chỉ số N n thỏa mãn các điều kiện EN n → ∞, E|N n − EN n | EN n → 0 khi n → ∞. Khi đó, với f ∈ C 2 B (R), d T (S N n /  EN n , X  ; f) → 0 khi n → ∞. S N n  E(N n ) d −→ N(0, 1). Chứng minh. Trước hết, ta có đồng nhất sau (về phân phối) X  d = k  j=1 X  √ k Đặt a n = √ EN n . Theo tính chất của khoảng cách Trotter, ta có d T  S N n a n , X  ; f  ≤ ∞  k=1 P (N n = k).d T  k  j=1 X  a n , k  j=1 X  √ k ; f  ≤ ∞  k=1 kP(N n = k).d T  X  a n , X  √ k ; f  (11) Mặt khác khai triển Taylor hàm f ∈ C 2 B (R) và lấy kỳ vọng 2 vế, ta được T X  a n f(t) = Ef  X  a n + t  = f(t) + f (2) (t) 2a 2 n + 1 2a 2 n  R x 2 [f (2) (η 1 ) −f (2) (t)]dF X  (x) T X  √ k f(t) = Ef  X  √ k + t  = f(t) + f (2) (t) 2k + 1 2k  R x 2 [f (2) (η 2 ) −f (2) (t)]dF X  (x) (12) trong đó |η 1 −t| ≤ a −1 n |x| và |η 2 −t| ≤ k −1/2 |x|. Khi đó, kết hợp (11), (12) và tương tự trong chứng minh định lý 0.1, ta suy ra d T  S N n a n , X  ; f  ≤ ∞  k=1 kP(N n = k)  f (2)  2     1 a 2 n − 1 k     + C 1 2a 2 n ω(f (2) , a −1 n ) + C 2 2k ω(f (2) , k −1/2 )  = ∞  k=1 P (N n = k)  f (2)  2 |k − a 2 n | a 2 n + C 1 k 2a 2 n ω(f (2) , a −1 n ) + C 2 2 ω(f (2) , k −1/2 )  = f (2)  2 E|N n − EN n | EN n + C 1 2 ω(f (2) , (EN n ) −1/2 ) + C 2 2 Eω(f (2) , N −1/2 n ). trong đó C 1 = C 2 = 1 + E|X  | 3 . Với các giả thiết của định lý, ta suy ra điều phải chứng minh. 46 Tài liệu tham khảo [1] P. L. Butzer, L. Hahn, U. Westphal, On the rate of approximation in the central limit theorem, Journal of approximation theory, Vol 13, N. 3, (1975), 327-340. [2] R. Cioczek, D. Szynal, On the convergence rate in terms of the Trotter operator in the central limit theorem without moment conditions, Bulletin of the Polish Academy of Sciences Mathematics, Vol 35, No. 9-10, (1987), 617-627. [3] H. F. Trotter, An elementary proof of the central limit theorem, Arch. Math (Basel), 10(1959), 226-234. [4] V. M. Zolotarev, Probability metrics, Theory Prob., 28(1983), 278- 30 2. [5] V. Kruglov, V. Korolev Các định lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên, Trường Đại học Tổng hợp Quốc gia Mátxcơva (Bản tiếng Nga), Mátxcơva, 1990. [6] H. Robbins, The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (194 8), 1151 -1 16 1. [7] Trần Lộc Hùng, Ứng dụng của phương pháp toán tử trong luật các số lớn, Tạp chí Toán học Việt Nam, Số 2, (1983), 20-24. [8] Trần Lộc Hùng, Phương pháp Trotter trong luật các số lớn với tổng ngẫu nhiên, Tạp chí Toán học Việt Nam, Số 2, (1988), 4-9. [9] Tran Loc Hung, On Trotter metric and its an application in weak law of large numbers, Proc. International Conference on Theory Probability, Random Processes, Mathematical Statistics and Applications, 21-23 Feb. BSU, Minsk (Belarus), 519.2 (063), N. 22, T. 33, (2005), 344-349, ISBN 985-485-370-5. [10] Tran Loc Hung, On a probability metric based on Trotter operator, Vietnam Journal of Mathematics, N. 3, (2007), 21-32, ISSN 0866-7179. [11] Trần Lộc Hùng và Trần Thiện Thành, Một số kết quả về các định lý giới hạn ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật, Học Viện Kỹ thuật Quân sự, N. 120, III (2007), 12-22, ISSN-1859- 0209. [12] Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, Some results on random sum of in- dependent random variables, Submitted to Statistics and Probability Letters, (2008). THE RATES OF CONVERGENCE IN LIMIT THEOREMS FOR RANDOM SUMS VIA TROTTER’S DISTANCE Tran Loc Hung, Tran Thien Thanh College of sciences, Hue University SUMMARY The main aim of this paper is established the rates of convergence in some limit theorems for random sums via Trotter’s distance. The received results are extensions of authors in [11] và [12]. 48 . của định lý và tính chất môđun liên tục, kéo theo d T (ϕ(n)S N n , X o ; f) → 0 khi n → ∞. Hơn nữa tốc độ hội tụ ở đây là O[ϕ(n)]. Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 0.2. Giả sử X có kỳ vọng 0. Trotter (2). Những kết quả này là sự mở rộng cho các kết quả đã có. Để đơn giản các kết quả, ta ký hiệu X o là biến ngẫu nhiên suy biến tại 0 và X  là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc N(0,. hĩa 0.3. Môđun liên tục của hàm f với δ > 0, ký hiệu ω(f, δ), xác định bởi ω(f, δ) = sup |h|≤δ {|f(x + h) −f(x)|, x ∈ R} Một số tính chất của môđun liên tục được sử dụng trong bài báo a. ω(f,