C n ý r ng: ∑p i =1 i = 0,3 + 0,4 +0,3 = M t s phân ph i xác su t thư ng dùng c a bi n ng u nhiên liên t c r i r c ñư c li t kê dư i ñây Phân ph i ñ u [0,1): X nh n giá tr thu c n a kho ng [0,1) v i kh “như nhau” Hàm m t đ xác su t f(x) c a ñư c bi n di n hình IV.1 f(x) Hình IV.1 ð th hàm m t đ phân ph i đ u Phân ph i Pốt−xơng: V i m t h th ng hàng ch m t kênh (xem m c 3), s lư ng X tín hi u ñ n m t kho ng th i gian m t bi n ng u nhiên, X có th nh n giá tr ngun khơng âm 0, 1, , k, Gi s s tín hi u đ n trung bình m t kho ng th i gian bi t đư c (kí hi u s λ) v i m t s u ki n nh t đ nh có th coi X tuân theo lu t phân ph i xác su t Pốt−xơng (Poisson) sau: Các giá tr c a X: xi Xác su t pi tương ng +∞ D th y: ∑p i =0 i P(X = 0) P(X = 0) +∞ k P(X = k) = λ k e−λ k!  λ λ1 λ  λk = e −λ  + + + + +  = e −λ × eλ = k!   0! 1! 2! Chú ý r ng s ñ c trưng cho giá tr trung bình c a bi n ng u nhiên X ñư c g i kì v ng Trong phân ph i Pốt−xơng, kì v ng c a X λ S ñ c trưng cho ñ phân tán giá tr c a X xung quanh giá tr kì v ng c a đư c g i đ l ch chu n σ V i phân ph i Pốt−xơng σ2 = λ Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 100 Phân ph i mũ: Trên ta xét phân ph i Pốt−xơng c a s tín hi u đ n m t ñơn v th i gian M t ki u bi n ng u nhiên thư ng xét kho ng th i gian gi a hai tín hi u liên ti p s tuân theo phân ph i mũ ðây bi n ng u nhiên liên t c ch nh n giá tr không âm v i hàm m t ñ xác su t f (τ) = λe −λτ Kí hi u bi n ng u nhiên xét τ xác su t P(τ ≤ t) = t ∫ λe −λτ dτ có th hi u xác su t c ng d n t t cho t i t Do hàm phân ph i xác su t c a τ là: F(t) = ∫ f (τ)dτ = ∫ λe −λτ dτ = −e −λτ t = − e−λt Phân ph i chu n t c N(0, 1): Gi s X bi n ng u nhiên có phân ph i chu n t c N(0,1) Lúc có kì v ng m = đ l ch chu n σ = Hàm phân ph i xác su t c a X có d ng: x F(x) = P (X≤ x) = ∫ f (x)dx −∞ x = ∫ (1/ 2π ) exp(− x / 2)dx −∞ Cho X bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n N(m, σ2) có kì v ng m, đ l ch chu n σ Lúc đó, th c hi n phép đ i bi n Z = X−m Z m t bi n ng u nhiên σ tuân theo lu t phân ph i chu n t c N(0,1) Mô ph ng phân ph i xác su t Ví d 1: Mơ ph ng phân ph i ñ u [0, 1) Cách 1: Dùng b ng s ng u nhiên (xem ph l c 2A 2B) ðây b ng s ghi l i s (gi ) ng u nhiên ñư c phát sinh nh hàm sinh s ng u nhiên máy tính Ch ng h n, s d ng ph l c 2B nh n ñư c m t dãy s ng u nhiên: 0,10; 0,09; 0,73; 0,25 Cách 2: S d ng hàm sinh s ng u nhiên (Random number generator) ñã ñư c cài ñ t máy tính Dù dùng b ng s ng u nhiên hay s d ng hàm sinh s ng u nhiên máy tính, ta l y ho c tính đư c liên ti p s ng u nhiên xi [0, 1) v i i = 1, 2, , n T n s giá tr rơi vào k kho ng nh v i ñ dài b ng 1/k ñư c chia t [0, 1) g n (≈ n/k) V i n l n t n s sát g n n/k Vì v y ta coi giá tr phát sinh ñư c th hi n c a bi n ng u nhiên X tuân theo phân ph i ñ u [0, 1) Trong trư ng h p c n mơ ph ng bi n Y phân ph i đ u [a, b), ta ch vi c tính yi = a + (b − a)xi Chú ý r ng ñ phát sinh s ng u nhiên nh n giá tr nguyên 0, 1, 2, , N, ch c n áp d ng công th c yi = [(N + 1)xi], v ph i ph n nguyên c a (N + 1)xi M t s b ng s ng u nhiên nguyên hay hàm sinh s ng u nhiên nguyên cài ñ t s n h máy tính giúp gi i quy t v n đ Ví d 2: Mơ ph ng phân ph i r i r c v i lu t phân ph i xác su t sau Các giá tr c a X: xi 12 Xác su t pi 0,3 0,4 0,3 Mu n mô ph ng phân ph i trên, trư c h t c n t o m t dãy ch s ng u nhiên b ng cách tra b ng s ng u nhiên hay dùng hàm sinh s ng u nhiên ñã ñư c cài ñ t máy tính Ch ng h n ta có th ch n dãy sau 1009732533 7652013586 3467354876 l y t hàng ñ u b ng s ng u nhiên ph l c 2B Ta quy ñ nh n u ch s 0, 1, xu t hi n coi X = 6, n u 3, 4, 5, xu t hi n coi X = 9, cịn n u có 7, 8, xu t hi n coi X = 12 Lúc ng v i 10 ch s ñ u tiên c a dãy a1a2 a10 = 1009732533 ta có b ng sau cho bi t giá tr c a X có th l y: 0 3 Các giá tr c a X: xi 6 12 12 9 9 Như v y, có 10 giá tr (th hi n) c a X ñư c t o Tương t , có th t o th hi n khác c a X Do t n su t (hay xác su t th c nghi m) c a m i ch s ng u nhiên t t i b ng s ng u nhiên kho ng 10% nên t n su t (xác su t th c nghi m) X nh n giá tr 6, 12 theo th t 30%, 40% 30% Do có th coi P(X = 6) = 30%, P(X = 9) = 40%, P(X = 12) = 30% V y mu n mô ph ng phân ph i c a X ph i phát sinh m t lo t giá tr (các th hi n) xi c a bi n ng u nhiên X tuân theo quy lu t phân ph i cho Ví d 3: Mô ph ng phân ph i mũ Gi s bi n ng u nhiên τ tuân theo phân ph i mũ v i hàm phân ph i xác su t F(t) = P(τ ≤ t) = − e −λt , v i λ tham s ñã cho c a phân ph i mũ F(t) xác su t ñ τ nh n giá tr không l n m t s t cho trư c n ng u nhiên có phân ph i đ u [0, 1) P(r ≥ e−λt ) = − e−λt = P(τ ≤ t) (xem hình III.1) Do đó, P(lnr ≥ − λt) = P(− lnr ≤ t) = P(τ ≤ t) V y ñ phát λ N u r bi sinh giá tr ng u nhiên τ c a τ trư c h t c n phát sinh giá tr ng u nhiên r c a r tính τ = − lnr Ch ng h n, t b ng s ng u nhiên (ph l c 2B), n u l y λ r = 0,10 λ = τ = −0,2×lnr = −0,2×ln0,1 = 0,46 Ti p theo, n u l y r = 0,09 τ = − 0,2×ln 0,09 = 0,482 C v y ta thu ñư c m t dãy th hi n c a τ ÁP D NG MÔ PH NG NG U NHIÊN Trư ng ð i h c Nơng nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 102 2.1 Vai trò c a phương pháp mô ph ng Nhi u toán th c t ch a y u t ng u nhiên, b t n đ nh khơng gi i ñư c b ng phương pháp gi i tích N u áp d ng phương pháp gi i tích nhi u trư ng h p bu c ph i công nh n nh ng gi thi t ch t ch khơng đư c tho mãn th c t l i gi i tìm đư c có giá tr th c ti n Phương pháp mô ph ng ñư c dùng r ng rãi ñ gi i tốn lo i đó, nh t nh ng tốn liên quan đ n h th ng l n, b t n ñ nh, hàm ch a nhi u y u t ng u nhiên Chúng ta c n áp d ng phương pháp mô ph ng tình hu ng sau đây: − Khi khơng tìm đư c mơ hình gi i tích thích h p − Các ho t ñ ng c a h th ng thư ng b ng t quãng, ñ t ño n không theo quy lu t c − Mô ph ng phương pháp nh t cho chi phí ti t ki m t n th i gian Tuy nhiên phương pháp mô ph ng có m t s m h n ch sau: − Khơng đưa đư c l i gi i xác − Khó xác đ nh đư c sai s − Mô ph ng ch s d ng mơi trư ng có tính b t n ñ nh − Mô ph ng ch t o phương án đánh giá ch khơng đưa đư c kĩ thu t tìm l i gi i t i ưu − Mơ ph ng đơi r t ñ t ti n 2.2 Các bư c c n ti n hành áp d ng mô ph ng − Xác ñ nh v n ñ hay h th ng c n mơ ph ng − Xác đ nh mơ hình mơ ph ng − ðo thu th p s li u c n thi t cho mô hình − Ch y mơ ph ng − Phân tích k t qu mô ph ng, n u c n ph i s a l i phương án ñư c ñánh giá qua ch y mô ph ng − Ch y mơ ph ng đ ki m ch ng phương án m i − Ki m tra tính ñúng ñ n c a m i k t lu n v h th ng th c t ñư c rút sau ch y mô ph ng Trên ñây bư c c n làm áp d ng mơ ph ng ng u nhiên đ tìm phương án h p lí cho tốn th c t Ngồi ra, mơ ph ng cịn đư c áp d ng đ gi i quy t nhi u v n ñ khác 2.3 M t s ví d v áp d ng phương pháp mơ ph ng Ví d 1: C n l a ch n m t hai chi n lư c ñ phát tri n s n ph m, v i s li u thu th p ñư c cho ba b ng IV.1, IV.2 IV.3 B ng IV.1 Xác su t th i gian phát tri n s n ph m Xác su t Th i gian phát tri n s n ph m Chi n lư c I Chi n lư c II 12 0,2 0,3 0,5 0,4 0,4 0,2 B ng IV.2 Chi phí l i nhu n Chi phí/giá bán Chi n lư c I Chi n lư c II Chi phí c ñ nh Chi phí bi n thiên/ñơn v Giá bán/ñơn v s n ph m 600.000 7,5 10 1.500.000 6,75 10 B ng IV.3 Doanh s ph thu c th i gian phát tri n s n ph m Xác su t Doanh s tháng tháng 12 tháng 0,2 0,8 0,4 0,6 0,5 0,5 1.000.000 1.500.000 V n ñ ñ t áp d ng phương pháp mơ ph ng đ tính l i nhu n trung bình c a t ng chi n lư c, sau ñó ki m tra k t qu (so sánh v i k t qu lí thuy t) Như v y có năm phân ph i xác su t c n mô ph ng ng v i năm bi n ng u nhiên: X1 − th i gian phát tri n s n ph m (theo chi n lư c) I, X2 − th i gian phát tri n s n ph m II, X3 − doanh s cho th i gian tháng, X4 − doanh s cho th i gian tháng X5 − doanh s cho th i gian 12 tháng Trong ví d này, đ trình bày đơn gi n v v n đ mơ ph ng phân ph i xác su t c a bi n trên, ta dùng mư i s ng u nhiên, m i s g m mư i ch s ng u nhiên rút t b ng s ng u nhiên − ph l c 2A (vì v y ch s 0, 1, 2, , m i s chi m kho ng 10%) a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 2 6 7 8 8 7 8 Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 104 5 8 9 1 5 7 Ta quy ñ nh a1 ng v i X1, a2 ng v i X2, a6 ng v i X3, a8 ng v i X4 a10 ng v i X5 Ngồi quy đ nh: 0,1  a1 = 2 ,3,4 5,6,7 ,8,9  X1 = tháng (th i gian phát tri n s n ph m I) X1 = tháng X1 = 12 tháng 0,1,2,3  a2 = 4,5,6,7 8,9  X2 = tháng (th i gian phát tri n s n ph m II) X2 = tháng X2 = 12 tháng X3 = 106 (doanh s tháng phát tri n s n ph m)  ,1 a6 =   , , , X3 = 1,5.10  ,1, , X4 = 10 (doanh s tháng phát tri n s n ph m) a8 =   , , , X4 = 1,5.10  ,1, , , X5 = 10 (doanh s 12 tháng phát tri n s n ph m) a10 =   , , , X5 = 1,5.10 C n nh c l i m t s công th c lĩnh v c qu n tr kinh doanh sau: + L i nhu n = (Doanh s − ði m hoà v n) × (L i nhu n/ñơn v s n ph m) + ði m hồ v n = (Chi phí c ñ nh)/(L i nhu n/ñơn v s n ph m) + L i nhu n/ñơn v s n ph m = (Giá bán/ñơn v s n ph m) - (chi phí/đơn v s n ph m) Các tính tốn mơ ph ng ñư c t ng h p b ng IV4 B ng IV.4 K t qu tính tốn mô ph ng S ng u nhiên a2 2 7 a6 Th i gian a1 a8 Doanh s L i nhu n a10 I II I II I II 6 1,5.106 106 3,15.106 1,75.106 1,5.106 1,5.106 3,15.106 3,38.106 12 6 10 1,5.10 1,5.10 1,5.10 8 12 1,5.10 7 8 9 1,5.10 1,9.10 3,15.10 3,15.10 3,38.10 3,38.10 6 3,38.10 2 0 8 5 12 12 6 10 1 12 10 5 7 12 1,5.10 ði m hoà v n c a chi n lư c I = 12 1,9.10 3,15.10 3,38.10 3,38.10 1,5.10 1,5.10 6 10 6 1,75.10 6 1,5.10 6 10 1,9.10 10 6 3,15.10 1,5.10 1,75.10 3,38.10 1,9.10 600.000 = 240.000 10 − ,5 ði m hoà v n c a chi n lư c II = 1.500.000 = 461.538 10 − 6, 75 B ng IV.5 So sánh l i nhu n gi a chi n lư c I II T ng l i nhu n L i nhu n trung bình (Σ l i nhu n/10) Chi n lư c I Chi n lư c II 26,5 × 10 28,91×10 2,65 × 10 2,891×10 6 6 C n ý r ng b ng IV.5 k t qu tính tốn ch y mơ ph ng 10 lư t ng v i 10 s ñã ch n N u ta l y nhi u s ng u nhiên đ xác đ t đư c cao Vì v y, n u vi c tính tốn đư c l p trình ch y máy tính v i hàng trăm, hàng ngàn lư t đ xác s r t cao Qua phân tích ta th y, đ ti n hành mơ ph ng c n ph i có: − Cơ s d li u (DataBase) − Cơ s tri th c (KnowledgeBase) Ki m tra k t qu mô ph ng b ng cách so sánh v i k t qu lí thuy t đư c th c hi n sau: Doanh s chi n lư c I = 0,2×(0,2×106 + 0,8×1,5×106) + 0,3×(0,4×106 + 0,6×1,5×106) + 0,5×(0,5×106 + 0,5×1,5×106) = 1,295×106 L i nhu n trung bình chi n lư c I = (1,295 - 0,24)×2,5×106 = 2,637×106 K t qu tính tốn mơ ph ng 2,65×106 r t sát v i k t qu Tương t ta tính đư c doanh s l i nhu n trung bình cho chi n lư c II (2,84×106) rút đư c k t lu n v đ xác c a tính tốn mơ ph ng Ví d 2: Tìm xác su t p ñ bao l i c a ñi m l y b t kì vịng trịn đơn v m t hình tam giác (bài tốn Sylvester) Có l cách đơn gi n nh t đ gi i tốn áp d ng mơ ph ng ng u nhiên theo bư c sau ñây: Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 106 i) Gán cho bi n ñ m Counter giá tr ban ñ u b ng ii) Ti n hành m t ñ t gieo ng u nhiên tám s th c ≤ ri ≤ ≤ ϕi ≤ 2π (ñ gieo ϕi ta l y s ng u nhiên thu c [0, 1) gieo ñư c nhân thêm v i 2π), i = 1, 2, 3, ð t xi = risinϕi, yi = ricosϕ i, ta có m n m hình trịn đơn v ð t A = (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x3, y3), D = (x4, y4) iii) Ta tính di n tích tam giác ABC, ABD, ACD BCD N u ta có di n tích c a m t tam giác b ng t ng di n tích ba tam giác cịn l i ta đư c bao l i c a b n ñi m A, B, C D m t tam giác Ta tăng giá tr c a bi n ñ m Counter lên thêm 1, n u trái l i bi n ñ m gi nguyên giá tr cũ quay v bư c ii) Quá trình c th ti p di n cho t i s ñ t gieo ñ t t i m t giá tr l n ñư c ch n t trư c (ch ng h n 10.000 ñ t ho c 20.000 ñ t, ho c 100.000 ñ t) M i l n bi n ñ m Counter s có giá tr k t thúc khác L y t s c a s s ñ t, ta có t n su t xu t hi n c a s ki n "bao l i c a ñi m tam giác" S t n su t theo lu t s l n giá tr g n ñúng c a xác su t c n tính Theo tài li u chuyên kh o, l i gi i ñúng c a toán là: p = 35/(12π2) ≈ 0,29552 Rõ ràng, trư ng h p này, ta nên áp d ng mơ ph ng ng u nhiên đ tính t n su t (vi c d th c hi n), thay th cho vi c tính xác su t theo lí thuy t (vi c khó th c hi n) Sau văn b n chương trình máy tính v i ngơn ng l p trình C gi i toán Sylvester #include #include #include #include #define PI 3.14159265358979 const double esp =4.5e−12; struct diem {double x,y;}; /* Tao bo so ngau nhien bang cach tron − shuffling */ int rd(){return rand()%10;} double radm() {return rand()%100+0.1*rd()+0.001*rd()+0.0001*rd();} /* Chuong trinh chinh */ void main() { clrscr(); long int count = 0, reps; diem d[4]; double r, goc; printf("\n Provide number of repetitions:"); scanf("%ld",&reps); printf("\n reps= %ld",reps); srand(19587); /* Gieo ngau nhien diem va tinh dien tich bon tam giac */ for(long int i=0;i0&&s134>0&&s234>0) { s123=sqrt(s123);s124=sqrt(s124); s134=sqrt(s134);s234=sqrt(s234); if(fabs(s123−(s124+s134+s234))