Chương Quá trình Martingale Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 143-194 Từ khố: Q trình ngẫu nhiên, Q trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện, Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác khơng chấp thuận nhà xuất tác giả Chương Quá trình Martingale 3.1 Kỳ vọng có điều kiện 144 3.2 Martingale thời gian rời rạc 148 3.2.1 Định nghĩa, ví dụ 148 3.2.2 Thời điểm Markov thời điểm dừng 154 3.2.3 Một số bất đẳng thức 172 3.2.4 Các định lý hội tụ, luật số lớn 176 3.3 Martingale với thời gian liên tục 185 3.4 Bài tập 192 Việc nghiên cứu phụ thuộc ĐLNN trình ngẫu nhiên tạo nên lớp trình ngẫu nhiên khác Đối với trình Markov phụ thuộc thể tính Markov: Quá khứ độc lập với tương lai biết Trong qua trình dừng dựa tính chất hàm tương quan Chương nghiên cứu lớp qúa trình khác mà phụ thuộc dựa tính chất kỳ vọng có điều kiện Chương chia làm hai phần Phần 144 Chương Quá trình Martingale đầu trình bày Martingale với thời gian rời rạc Phần sau trình bày kết tương ứng cho trường hợp Martingale với thời gian liên tục Tuy nhiên khuôn khổ sách phần B tập trung vào việc giới thiệu khái niệm, định nghĩa Các định lý nêu giải thích ý nghĩa, nêu ví dụ minh hoạ khơng chứng minh chi tiết 3.1 Kỳ vọng có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện khái niệm quan trọng lý thuyết xác suất đặc biệt lý thuyết martingale Trong tiết tóm tắt nét chủ yếu khái niệm Cho không gian xác suất (Ω, A, P ) Ta biết khái niệm xác suất có điều kiện P (A|B) định nghĩa xác suất A tính điều kiện B xảy Ta có cơng thức sau P (A|B) = P (AB) P (B) Nếu X ĐLNN khả tích ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E(X|B) số xác định công thức sau E(X|B) = P (B) XdP B Giả sử (Bn )∞ phân hoạch đếm Ω F σ-trường sinh n=1 phân hoạch Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E(X|F ) công thức sau ∞ E(X|Bn )IBn E(X|F ) = n=1 Như E(X|F ) ĐLNN F -đo Bn ta có E(X|F ) = E(X|Bn ) = P (Bn ) XdP Bn Từ suy E(X|F ) ĐLNN F -đo thoả mãn hệ thức sau E(X|F )dP = B XdP B 3.1 Kỳ vọng có điều kiện 145 Tính chất dùng làm định nghĩa kỳ vọng có điều kiện σ- trường Định lý 3.1 Cho F σ-trường Cho X ĐLNN không âm với EX < ∞ Khi tồn ĐLNN Y không âm,F - đo cho với A ∈ F ta có Y dP = XdP A A Ta gọi Y kỳ vọng có điều kiện X F ký hiệu Y = E(X|F ) Chứng minh Với A ∈ F đặt XdP Q(A) = A Rõ ràng A → Q(A) độ đo (Ω, F ) P (A) = kéo theo Q(A) = Vậy Q liên tục tuyệt đối P Theo định lý Radon-Nyko dym tồn hàm Y : Ω → R+ F - đo cho Q(A) = Y dP A Nếu X ĐLNN với E|X| < ∞ ta định nghĩa E(X|F ) = E(X + |F ) − E(X − |F ) Sau tính chất kỳ vọng có điều kiện mà ta thường xuyên sử dụng chương Các đẳng thức hay bất đẳng thức tính chất nêu hiểu hầu chắn Nếu X F -đo E(XY |F = XE(Y |F ) Nếu X ≤ Y E(X|F ) ≤ E(Y |F ) Nói riêng |E(X|F )| ≤ E(|X||F ) 146 Chương Quá trình Martingale Nếu a, b ∈ R E(aX + bY |F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ) (Tính chất tuyến tính kỳ vọng có điều kiện) Nếu X F độc lập E(X|F ) = EX E[(E(X|F )] = EX Nếu F1 ⊂ F2 E[(E(X|F2 )|F1] = E[(E(X|F1)|F2 ] = (E(X|F1 ) Tiếp theo loạt định lý chuyển giới hạn dấu kỳ vọng có điều kiện: Nếu |Xn | ≤ Y, EY < ∞ Xn → X lim E(Xn |F ) = E(X|F ) n lim E(|Xn − X||F ) = n Nếu Xn ≥ Y, EY > −∞ E(lim inf Xn |F ) ≤ lim inf E(Xn |F ) n n Nếu Xn ≥ với n E( Xn F ) = n E(Xn |F ) n Bất đẳng thức sau đóng vai trị quan trọng 3.1 Kỳ vọng có điều kiện 147 Định lý 3.2 (Bất đẳng thức Jensen) Nếu f : R → R hàm lồi tức với x, y ∈ R, với α > 0.β > 0, α + β = ta có f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y) g (E(Xn |F )) ≤ E(f (X)|F ) Nói riêng p > p |(E(Xn |F )| ≤ E(|X|p |F ) Do X ∈ Lp E(X|F ) ∈ Lp Xn → X Lp kéo theo (E(Xn |F ) → (E(X|F ) Lp Thành thử ánh xạ tuyến tính E F : X → E(X|F ) tốn tử tuyến tính liên tục từ Lp (Ω, A, P ) vào Lp (Ω, F , P ) có chuẩn Hơn p = E F phép chiếu trực giao từ không gian Hilbert L2(Ω, A, P ) lên không gian L2 (Ω, F , P ) Thật vậy, giả sử S phép chiếu trực giao phép chiếu trực giao từ không gian Hilbert L2(Ω, A, P ) lên không gian L2 (Ω, F , P ) Khi X − SX vng góc với phần tử L2 (Ω, F , P ) Nghĩa với Y ∈ L2 (Ω, F , P ) ta có < X − SX, Y >= →< X, Y >=< SX, Y > hay Y XdP = Y SX Ω Ω Lấy Y = IB với B ∈ F ta XdP = B SXdP B Vậy SX = E(X|F Từ kết luận ta suy số phần tử L2(Ω, F , P ) E(X|F ) ước lượng có sai số bình phương trung bình bé tức E[X − E(X|F )]2 ≤ E|X − Y |2 với Y ∈ L2 (Ω, F , P ) 148 Chương Quá trình Martingale 3.2 3.2.1 Martingale thời gian rời rạc Định nghĩa, ví dụ Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trị chơi cờ bạc trở thành loại trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng lý thuyết thực tiễn, đặc biệt công cụ thiếu tính tốn ngẫu nhiên tốn học tài Giả sử nguời đánh bạc đặt cược thời điểm rời rạc n = 1, 2, thu hoạch sau lần đặt cược thứ n ĐLNN Xn Như X0 số tiền vốn lúc bắt đầu chơi, giá trị Xn số âm hay số dương Thế trị chơi gọi công Nếu gia số Xn+1 − Xn ĐLNN độc lập ta nói trị chơi cơng với n kỳ vọng E(Xn+1 − Xn ) = Nếu kỳ vọng dương trị chơi gọi có lợi (cho người chơi) cịn kỳ vọng âm trị chơi gọi thiệt hại (cho người chơi) Tuy nhiên trị chơi công mà không thiết gia số phải độc lập Chẳng hạn người chơi sử dụng quy tắc chơi phụ thuộc vào kết ván trước Trò chơi gọi cơng kỳ vọng có điều kiện gia số Xn+1 − Xn biết tất thông tin thời điểm n Giả sử (Ω, F P ) không gian xác suất, G ∈ F σ-trường F Một ĐLNN X gọi tương thích với G X G-đo Trong trường hợp ta viết X ∈ G Một dãy Fn , n = 1, 2, gọi dãy tăng σ- trường Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F, ∀n Định nghĩa 3.1 Cho dãy tăng σ- trường Fn Dãy ĐLNN (Xn ) gọi tương thích với dãy Fn với n, Xn ∈ Fn 3.2 Martingale thời gian rời rạc 149 Dãy(Xn ) gọi thuộc Lp ta viết (Xn ) ∈ Lp với n E|Xn |p < ∞ Dãy (Xn ) ∈ L1 gọi martingale dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm) = Xm Dãy (Xn ) ∈ L1 gọi supermartingale (martingale trên) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) ≤ Xm Dãy (Xn ) ∈ L1 gọi submartingale ( martingale dưới) dãy Fn tương thích với dãy Fn với m < n E(Xn |Fm ) ≥ Xm Chú thích: • Điều kiện E(Xn |Fm ) = Xm tương đương với E(Xn+1 |Fn ) = Xn Thật vậy, Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất kỳ vọng có điều kiện E(Xn+2 |Fn ) = E (Xn+2 |Fn+1 |Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) = Xn Tiếp tục vậy, quy nạp ta có với k E(Xn+k |Fn ) = Xn Tương tự cho điều kiện E(Xn |Fm ) ≤ Xm E(Xn |Fm ) ≥ Xm 150 Chương Q trình Martingale • Dãy (Xn ) martingale dãy Fn −Xn martingale dãy Fn • Giả sử σ(X)n σ-trường bé sinh {Xm , m ≤ n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n ) dãy tăng ta gọi σ- trường tự nhiên sinh dãy (Xn ) Hiển nhiên dãy (Xn ) ln tương thích với dãy (σ(X)n ) Ta nói l(Xn ) martingale martingale σ- trường tự nhiên Ví dụ 3.1 Cho dãy σ-trường tăng Fn giả sử X ĐLNN X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|Fn ) Khi với m < n ta có tính chất kỳ vọng có điều kiện E(Xn |Fm ) = E (E(X|Fn )|Fm ) = E(X|Fm ) = Xm Vậy (Xn ) martingale Fn Ví dụ 3.2 Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập với EYn = với n Giả sử Fn = B(Y1, , Yn) Khi tổng riêng S n = Y1 + Y2 + · · · Yn lập thành martingale Fn Thật Sn ∈ Fn Yn+1 độc lập với Fn nên ta có E(Sn+1 |Fn ) = E(Sn + Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 ) = Sn Ví dụ 3.3 Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập EYn = với n Giả sử Fn = B(Y1, , Yn) Khi tích riêng Un = Y1 Y2 · · · Yn 3.2 Martingale thời gian rời rạc 151 lập thành martingale Fn Thật Un ∈ Fn Un+1 độc lập với Fn nên ta có E(Un+1 |Fn ) = E(Un Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 |Fn ) = Un E(Yn+1 ) = Un Ví dụ 3.4 Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập có kỳ vọng EYn = với n Gọi Fn σ-đại số sinh (Y1 , , Yn) Giả sử (Vn ) dãy ĐLNN cho với n > Vn ∈ Fn−1 Xét dãy (Xn ) sau X0 = 0, Xn+1 = Xn + Vn+1 Yn+1 Khi (Xn ) martingale dãy (Fn ) Thật vậy, Vn+1 ∈ Fn , EYn+1 = nên Xn ∈ Fn E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn |Fn ) + E(Vn+1 Yn+1 |Fn ) = Xn + Vn+1 EYn+1 = Xn Ví dụ 3.5 Cho dãy σ-trường tăng Fn F∞ σ-trường bé chứa ∪∞ Fn Cho Q độ đo xác suất F∞ Gọi Pn , Qn tương ứng thu hẹp n=1 dQn P Q Fn Giả sử Qn liên tục tuyệt đối Pn gọi Xn = dPn đạo hàm Radon- Nikodim Qn Pn Khi với A ∈ Fm với m < n ta có Xm dP = Qm (A) = Qn (A) = intA Xn dP A Vậy E(Xn |Fm ) = Xm (Xn ) martingale Định lý 3.3 Cho (Xn ) martingale Fn Cho Φ hàm lồi cho Φ(Xn ) ∈ L1 Khi (Φ(Xn )) martingale Fn 3.2 Martingale thời gian rời rạc 153 (Mn ) martingale (An ) dãy tăng = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An ≤ khả đoán tức An ∈ Fn−1 Khai triển Chứng minh Đặt M0 = X0 , A0 = X0 Mi+1 − Mi = Xi+1 − E(Xi+1 |Fi ), i = 0, 1, Ai+1 − Ai = E(Xi+1 |Fi) − Xi , i = 0, 1, hay n−1 Mn = M0 + Xi+1 − E(Xi+1 |Fi) i=0 n−1 An = E(Xi+1 |Fi ) − Xi i=0 Dễ dàng kiểm tra cách xác định (Mn ) martingale (An ) dãy tăng, dự báo Tiếp theo ta chứng minh khai triển Thật giả sử Xn = Mn + An khai triển khác (Mn ) martingale (An ) dãy tăng, dự báo Khi An+1 − An = (An+1 − An ) + (Mn+1 − Mn ) − (Mn+1 − Mn ) Lấy kỳ vọng có điều kiện Fn , ta thu An+1 − An = An+1 − An Vì A0 = A0 = nên từ rút An = An Mn = Mn Bây giả sử (Xn ) martingale bình phương khả tích tức Xn ∈ L2 với n Khi (Xn ) martingale duới ta có khai triển Dood Xn = Mn + An 154 Chương Quá trình Martingale Ta ký hiệu dãy (An ) < X > tức < X >n = An gọi đặc trưng bình phương martingale bình phương khả tích X Ta có n−1 E(Xi+1 |Fi) − Xi2 < X >n = i=0 2 Dễ chứng minh E(Xi+1 |Fi) − Xi2 = E(Di+1 ||Fi ) Di+1 = Xi+1 − Xi tức Xn − X0 = D1 + + Dn ta thu n E(Di |Fi−1) < X >n = i=1 Ta có Xn − X0 = D1 + · · · + Dn Nói riêng X0 = Xn = D1 + · · ·+ Dn Nếu (Di ) dãy ĐLNN độc lập Di độc lập Fi−1 n E(Di ) < X >n = i=1 Nghĩa trường hợp < X > dãy tăng số dương 3.2.2 Thời điểm Markov thời điểm dừng Trong tiết ta trình bày khái niệm thời điểm Markov thời điểm dừng Đây công cụ quan trọng để nghiên cứu lý thuyết martingale Định nghĩa 3.2 Cho T ĐLNN (có thể nhận giá trị ∞) Ta nói T thời điểm Markov dãy Fn {ω : T (ω) = n} ∈ Fn Thời điểm Markov T gọi thời điểm dừng T hữu hạn hầu chắn Ta thấy T thời điểm Markov {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn 3.2 Martingale thời gian rời rạc 155 Thật vậy, chứng minh suy từ đẳng thức sau n {ω : T (ω) = k} ∈ Fn {ω : T (ω) ≤ n} = k=1 {ω : T (ω) = n} = {ω : T (ω) ≤ n} \ {ω : T (ω) ≤ n − 1} Với thời điểm dừng T ta định nghĩa σ-trường FT biến cố quan sát thời điểm T sau A ∈ FT ↔ A ∈ F∞ A ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn Ta có FT σ-trường Thật • Ω ∈ FT Ω ∩ {ω : T (ω) ≤ n} = {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn • Giả sử Ak ∈ FT với k = 1, 2, Khi ta có ∞ ∞ Ak ) ∩ {ω : T (ω) ≤ n} = ( k=1 (Ak ∩ {ω : T (ω) ≤ n}) ∈ Fn k=1 Ak ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn với k Suy ∞ k=1 Ak ∈ FT • Giả sử A ∈ FT Ac = Ω \ A Khi Ac ∩ {ω : T (ω) ≤ n} = Ω ∩ {ω : T (ω) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω) ≤ n} {ω : T (ω) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn Suy Ac ∈ FT Ví dụ 3.6 (Thời điểm chạm vào tập hợp B.) Cho (Xn ) dãy ĐLNN B tập Borel R Gọi T thời điểm (Xn ) chạm ∞ vào B tức T (ω) = min{n : Xn (ω) ∈ B} trường hợp ω ∈ {Xn ∈ B} n=1 T (ω) = ∞ trái lại Khi T thời điểm Markov σ-trường tự nhiên Chứng minh suy từ đẳng thức sau n {ω : T (ω) ≤ n} = {Xk ∈ B} ∈ B(X1 , , Xn) k=0 156 Chương Quá trình Martingale Sau số tính chất thời điểm Markov: Giả sử T thời điểm Markov (Fn ) Khi {T < n} ∈ Fn Điều suy từ đẳng thức n {T < n} = {T ≤ n − k} ∈ Fn k=0 Giả sử T1, T2 thời điểm Markov (Fn ) Khi đại lượng min(T1, T2), max(T1, T2) T1 + T2 thời điểm Markov (Fn ) Điều suy từ đẳng thức {min(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∪ {T1 ≤ n} {max(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∩ {T1 ≤ n} n {T1 + T2 ≤ n} = {T1 = k} ∩ {T2 = n − k} k=0 Nếu (Tk ) dãy thời điểm Markov (Fn ) Khi inf k Tk , supk Tk thời điểm Markov (Fn ) Điều suy từ đẳng thức ∞ {inf Tk ≤ n} = k {TK = k} k=0 ∞ {sup Tk ≤ n} = k {TK = k} k=0 Nếu T thời điểm Markov (Fn ) T ∈ FT Hơn S thời điểm Markov (Fn ) mà P (S ≤ T ) = FS ⊂ FT 3.2 Martingale thời gian rời rạc 157 Thật vậy, giả sử A = {T ≤ m} Ta phải A ∈ FT tức phải A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn Ta có {T ≤ m} ∩ {T ≤ n} = {T ≤ min(m, n)} ∈ Fn Bây giả sử A ∈ FS Khi P (S ≤ T ) = hai tập A ∩ {T ≤ n} A ∩ {T ≤ n} ∩ {S ≤ n} sai khác tập có xác suất khơng Do Fn đầy đủ mà A ∩ {S ≤ n} ∩ {T ≤ n} thuộc Fn nên A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn Vậy A ∈ FT Nếu (Tk ), k = 1, 2, dãy thời điểm Markov (Fn ) T = inf k Tk ATk AT = k Quả theo tính chất ta có AT ⊂ k ATk Đảo lại A ∈ k ATk {Tk ≤ n} A ∩ {T ≤ n} = A ∪ k (A ∩ {Tk ≤ n}) ∈ Fn = k (Xn ) dãy ĐLNN tương thích (Fn ) T thời điểm Markov (Fn ) Ta định nghĩa hàm XT : Ω → R sau  X T (ω) < ∞ T (ω) (ω) XT (ω) = 0 T (ω) = ∞ Định lý 3.6 XT ∈ FT Hơn Z ĐLNN không âm hay có kỳ vọng E(Z|FT ) = E(Z|Fn ) tập {T = n} Chứng minh Giả sử B tập Borel đường thẳng Ta có {XT ∈ B} ∩ {T = n} = {Xn ∈ B} ∩ {T = n} ∈ Fn 158 Chương Quá trình Martingale {Xn ∈ B} ∈ Fn Điều chứng minh XT ∈ FT Tiếp theo giả sử Z ĐLNN không âm Đặt ∞ E(Z|Fn )I{T =n} Y = n=1 Ta phải chứng minh Y = E(Z|FT ) Thật vậy, thu hẹp Y {T = n} E(Z|Fn ) Fn - đo Y FT -đo Mặt khác với A ∈ FT ta có ∞ Y dP = A E(Z|Fn )dP n=1 ∞ A∩{T =n} n=1 A∩{T =n} = ZdP = ZdP A E(Z|FT )dP = A Điều chứng minh Y = E(Z|FT ) Với Z ĐLNN có kỳ vọng ta phân tích Z = Z + − Z − áp dụng điều vừa chứng minh cho Z + , Z − Định lý 3.7 Cho (Xn ) martingale ( martingale dưới) Fn T thời điểm Markov Fn Xét dãy (Yn ) xác định Yn = XT ∧n Khi (Yn ) martingale ( martingale dưới) Fn Chứng minh Ta có n−1 Yn = XT ∧n = Xm I{T =m} + Xn I{T ≥n} m=0 Do Yn ∈ Fn Yn ∈ L1 Hơn Yn+1 − Yn = I{T >n}(Xn+1 − Xn ) Thành thử E(Yn+1 − Yn |Fn ) = I{T >n}E(Xn+1 − Xn |Fn ) = Tương tự cho trường hợp martingale 3.2 Martingale thời gian rời rạc 159 Ta biết (Xn ) martingale với n ta có EXn = EX0 Một câu hỏi quan trọng đặt là: Tính chất cịn hay khơng thay thời điểm tất định n thời điểm ngẫu nhiên T ? Tổng quát hơn: Liệu tính chất martingale martingale cịn bảo tồn thay thời điểm tất định n thời điểm dừng ngẫu nhiên hay không? Ta thấy điều ln ln với thời điểm dừng (Ví dụ 3.6 cho thấy xảy trường hợp EXT = EX0 ) Các định lý cho ta điều kiện đủ để tính chất martingale martingale cịn bảo tồn thay thời điểm tất định n thời điểm dừng ngẫu nhiên có đẳng thức EXT = EX0 Định lý 3.8 Cho (Xn ) martingale Fn Cho T, S hai thời điểm dừng Fn Giả sử T, S hữu hạn hầu chắn tức tồn số nguyên dương N cho P (T ≤ N ) = P (S ≤ N ) = Khi E(XS |FT ) ≤ XT hầu chắn tập S ≥ T Do E(XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S Trong trường hợp (Xn ) martingale Fn E(XS |FT ) = XT hầu chắn tập S ≥ T Do E(XS |FT ∧S ) = XT ∧S Chứng minh Đầu tiên ta ý N E|XS | = |XS |dP n=0 N {S=n} n=0 N {S=n} |Xn |dP = ≤ E|Xn | < ∞ n=0 (3.1) 160 Chương Quá trình Martingale Tiếp theo {S ≥ T } = N {T = n} ∩ {S ≥ n} nên ta cần chứng minh n=0 bất đẳng thức (3.1) tập En = {T = n} ∩ {S ≥ n} Lại có tập theo định lý XT = Xn , E(XS |FT ) = E(XS |Fn ) ta cần chứng minh tập En Xn ≥ E(XS |Fn ) hay tương đương với A ∈ Fn (Xn − XS )dP ≥ (3.2) A∩En Do (Xn ) martingale nên Xn ≥ E(Xn+1 |Fn ) Vì tập Bn = A ∩ {T = n} ∩ {S > n} ∈ Fn nên ta có Xn dP ≥ Bn E(Xn+1 |Fn ) = Bn Xn+1 Bn Thành thử (Xn − XT )dP A∩En = (Xn − XT )dP + A∩{T =n}{S=n} (Xn − XT )dP Bn (Xn − XT )dP = Bn ≥ (Xn+1 − XT )dP Bn (Xn+1 − XT )dP = A∩En+1 Tiếp tục suy (Xn − XT )dP ≥ intA∩EN (Xn − XT )dP = A∩En Bất đẳng thức (3.6) chứng minh 3.2 Martingale thời gian rời rạc 161 Hệ 3.1 Cho (Xn ) martingale Fn Cho T, S hai thời điểm dừng hữu hạn Fn P (T ≤ S ≤ N ) = Khi EXN ≤ E(XS ) ≤ E(XT ) ≤ EX0 Nếu (Xn ) martingale ta có EXN = E(XS ) = E(XT ) = EX0 Bây ta mở rộng kết luận định lý cho thời điểm dừng không thiết bị chặn Định lý 3.9 Cho (Xn ) martingale Fn Cho T, S hai thời điểm dừng Fn Giả sử E|XT | < ∞, (3.3) |Xn |dP = lim n→∞ E|XS | < ∞ (3.4) {S≥n} Khi E(XS |FT ) ≤ XT (3.5) hầu chắn tập S ≥ T Do E(XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S Trong trường hợp (Xn ) martingale Fn E(XS |FT ) = XT (3.6) hầu chắn tập {S ≥ T } Chứng minh Ta cần chứng minh với A ∈ FT XS dP ≤ A∩{S≥T } XT A∩{S≥T } Điều tương đương với ( T hữu hạn h.c.c.): Với n XS dP ≤ A∩{S≥T }∩{T =n} XT A∩{S≥T }∩{T =n} 162 Chương Quá trình Martingale hay XS dP ≤ Xn dP B∩{S≥n} B∩{S≥n} B = A ∩ {T = n} ∈ Fn Ta có Xn dP = B∩{S≥n} Xn dP + B∩{S=n} Xn dP B∩{S>n} Xn dP + ≥ B∩{S=n} E(Xn+1 |Fn )dP B∩{S>n} Xn dP + = B∩{S=n} Xn+1 dP B∩{S≥n+1} XS dP + = Xn+1 dP B∩{n≤S≤n+1} B∩{S>n+1} Cứ thế, quy nạp ta có với m > n Xn dP ≥ B∩{S≥n} XS dP + B∩{n≤S≤m} Xm dP B∩{S>m} hay XS dP ≤ B∩{S≥n} Xn dP − B∩{n≤S≤m} Xm dP B∩{S>m} Cho m → ∞ diều kiện ta thu dược XS dP ≤ B∩{S≥n} Xn dP B∩{S≥n} Ta muốn tìm điều kiện tường minh, dễ kiểm tra để có (3.5) (3.6) Đó điều kiện khả tích (Xn ) Định nghĩa 3.3 Một họ H ĐLNN gọi khả tích sup X∈H |X|dP → c → ∞ |X|>c Định lý 3.10 Họ H khả tích 3.2 Martingale thời gian rời rạc 163 a Bị chặn L1 tức sup E|X| < ∞ X∈H b Liên tục tuyệt đối tức với cho P (A) < δ > tồn δ > (chỉ phụ thuộc |X|dP < A Chứng minh Giả sử họ H khả tích Ta có với tập A đo với số dương c |X|dP = A |X|dP + A∪{|X|≤c} |X|dP A∪{|X|>c} ≤ cP (A) + |X|dP (3.7) {|X|>c} Lấy A = Ω ta thu |X|dP E|X| ≤ c + {|X|>c} Chọn c0 đủ lớn cho {|X|>c0 } |X|dP < Vậy sup E|X| < c0 + X∈H Chọn c đủ lớn cho P (A) < δ {|X|>c} |X|dP < /2 chọn δ = /(2c) từ (3-7) ta |X|dP < c /(2c) + /2 = A Đảo lại giả sử hai điều kiện a) b) định lý thoả mãn Cho trước > Ta chọn c cho c > M/δ M = supX∈H E|X| Khi P (|X| > c) ≤ nên |X|>c |X|dP < với X ∈ H M ≤δ c 164 Chương Quá trình Martingale Định lý sau cho ta điều kiện chuyển giới hạn dấu kỳ vọng Định lý 3.11 Cho (Xn ) dãy ĐLNN thuộc L1 hội tụ hầu chắn tới ĐLNN X Khi để Xn → X L1 điều kiện cần đủ họ (Xn ) khả tích Nói riêng (Xn ) khả tích X ∈ L1 lim EXn = EX n Chứng minh Giả sử Xn → X L1 Dãy (Xn ) hội tụ L1 nên phải bị chặn L1 Tiếp theo ta có |Xn |dP ≤ A |X|dP + E|Xn − X| A Chọn n0 đủ lớn cho E|Xn − X| < ε/2 n > n0 sau chọn δ cho P (A) < δ A |X|dP < ε/2, A |Xi |dP < ε/2 với i = 1, 2, , n0 Khi P (A) < δ với n ta có |Xn |dP ≤ ε/2 + ε/2 = ε A Vậy (Xn ) khả tích Ngược lại giả sử (Xn ) khả tích Khi (Xn ) bị chặn L1 từ bổ đề Fatou ta có X ∈ L1 Cho ε > Chọn c > đủ lớn cho |X|dP < ε, |X|>c |Xn |dP < ε ∀n |Xn |>c Theo định lý hội tụ bị chặn ta có limn tồn n0 cho với n > n0 |Xn |≤c |Xn − X|dP = Thành thử |Xn − X|dP < ε |Xn |≤c Thành thử với n > n0 |Xn − X|dP ≤ |Xn − X|dP + |Xn |≤c < ε + ε + ε = 3ε |X|dP + |X|>c |Xn |dP |Xn |>c 3.2 Martingale thời gian rời rạc 165 Định lý sau cho ta điều kiện đủ thuận tiện để kiểm tra tính khả tích Định lý 3.12 Giả sử g(t) hàm xác định [0, ∞) cho g(t) = ∞ t→∞ t lim Khi họ H ĐLNN thoả mãn sup Eg(|X|) < ∞ X∈H họ H khả tích Nói riêng tồn p > cho sup E|X|p < ∞ X∈H họ H khả tích Chứng minh Cho ε > Đặt M = supX∈H Eg(|X|) Đặt a = M/c Chọn c đủ lớn để g(t)/t > a t > c Khi {|X| > c} ⊂ {|X| < g(|X|)/a} Suy |X|dP ≤ {|X|>c} a g(|X|)dP ≤ M/a = ε {|X|>c} Định lý 3.13 Cho (Xn ) martingale khả tích Khi điều kiện định lý thoả mãn tính chất martingale bảo tồn qua việc thay thời điểm tất định thời điểm dừng ngẫu nhiên Chứng minh Rõ ràng T, S thời điểm dừng nên limn P (S > n) = limn P (T > n) = Do (Xn ) khả tích nên điều kéo theo (3.3) thực Ta phải chứng minh T thời điểm dừng 166 Chương Quá trình Martingale E|XT | < ∞ Thật với n cố định đặt Tn = T ∧ n Ta có Tn thời điểm dừng bị chặn n Theo định lý ta có EX0 ≤ EXTn Mặt khác + − + |XTn | = XTn + XTn = 2XTn − XTn + + E|XTn | = 2EXTn − EXTn ≤ 2EXTn − EX0 + Dãy (Xn ) martingale ( hàm f (x) = x+ hàm lồi) n + EXTn = + Xj dP + + Xn dP {T =j} {T >n} + Xn dP + j=0 + Xn dP = n j=0 {T =j} {T >n} + = E|Xn | ≤ E|Xn | ≤ M M = supn E|Xn | < ∞ Vậy E|XTn | ≤ 3M Theo bổ đề Fatou ta có E|XT | = E(lim XTn ) ≤ lim E|XTn | ≤ 3M n n Tiếp theo ta đưa ví dụ chứng tỏ bảo tồn tính chất martingale thay thời điểm dừng lúc Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.7 (Trò chơi đánh bạc gỡ vốn) Một người A đánh bạc Mỗi ván chơi A yêu cầu đặt cược số tiền tuỳ thích đồng tiền cân đối đồng chất gieo Đồng tiền mặt sấp A thắng thu số tiền đặt cược Trong trường hợp trái lại đồng tiền mặt ngửa A thua phải trả cho nhà số tiền đặt Mục đích A kiếm đơn vị tiền (một đô la, trăm đô la, ) chẳng hạn đô la Do ván người đặt cược la Nếu A thắng A thu đô la 3.2 Martingale thời gian rời rạc 167 ngừng chơi (hoặc tiếp tục chơi cho vui mà không chơi ăn tiền) Nếu thua ván đầu sang ván thứ hai A đặt cược gấp đôi đô la Nếu thắng A thu lãi 2-1=1 đô la ngừng chơi (hoặc tiếp tục chơi cho vui mà không chơi ăn tiền) Nếu thua A thảy la sang ván thứ ba A đặt cược đô la Nếu thắng A thu lãi 4-3=1 đô la ngừng chơi Nếu thua A + = đô la sang ván thứ tư phải đặt la Tóm lại n ván đầu mà A thua A thảy + + +2n−1 = 2n − ván thứ n + A đặt cược 2n đồng Nếu thắng A thu 2n − (2n − 1) = ngừng chơi Nếu thua A thảy 2n − + 2n = 2n+1 − Ta mơ hình hố tốn học trị chơi sau Gọi (rn ) dãy ĐLNN độc lập phân bố với P (rn = 1) = P (rn = −1) = Ký hiệu Xn số tiền lãi A ván thứ n (nếu Xn < số tiền bị thua bạc A) Xét dãy ĐLNN (Vn ) xác định sau: V1 = với n≥1  2n r = −1, r = −1, , r = −1 n Vn+1 = 0 trái lại Như (Vn ) số tiền đặt cược A ván thứ n Thành thử ta có Xn+1 = Xn + Vn+1 rn+1 với X0 = Gọi Fn σ- đại số sinh (r1 , , rn).Ta chứng minh (Xn ) martingale (Fn ) Thật vậy, Vn+1 ∈ Fn , Ern+1 = nên Xn ∈ Fn E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn |Fn ) + E(Vn+1 rn+1 |Fn ) = Xn + Vn+1 Ern+1 = Xn Gọi T thời điểm dừng chơi tức T = inf{n ≥ : Xn = 1} ... nên lớp trình ngẫu nhiên khác Đối với trình Markov phụ thuộc thể tính Markov: Quá khứ độc lập với tương lai biết Trong qua trình dừng dựa tính chất hàm tương quan Chương nghiên cứu lớp qúa trình. .. khác mà phụ thuộc dựa tính chất kỳ vọng có điều kiện Chương chia làm hai phần Phần 144 Chương Quá trình Martingale đầu trình bày Martingale với thời gian rời rạc Phần sau trình bày kết tương ứng... là: Tính chất cịn hay khơng thay thời điểm tất định n thời điểm ngẫu nhiên T ? Tổng quát hơn: Liệu tính chất martingale martingale cịn bảo tồn thay thời điểm tất định n thời điểm dừng ngẫu nhiên