Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình Toán rời tạc toàn tập.
HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG - - SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP TOÁN RỜI RẠC Biên soạn : Ths NGUYỄN DUY PHƯƠNG Lưu hành nội HÀ NỘI - 2006 LỜI GIỚI THIỆU Toán rời rạc lĩnh vực nghiên cứu xử lý đối tượng rời rạc dùng để đếm đối tượng, nghiên cứu mối quan hệ tập rời rạc Một yếu tố làm Toán rời rạc trở nên quan trọng việc lưu trữ, xử lý thông tin hệ thống máy tính chất rời rạc Chính lý đó, Tốn học rời rạc mơn học bắt buộc mang tính chất kinh điển ngành Công nghệ thông tin Điện tử Viễn thông Tài liệu hướng dẫn mơn học Tốn học rời rạc xây dựng cho hệ đào tạo từ xa Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng xây dựng dựa sở kinh nghiệm giảng dạy môn học kế thừa từ giáo trình “Tốn học rời rạc ứng dụng tin học” Kenneth Rossen Tài liệu trình bày thành hai phần: Phần I trình bày kiến thức lý thuyết tổ hợp thơng qua việc giải bốn tốn là: Bài tốn đếm, Bài tốn tồn tại, Bài toán liệt kê Bài toán tối ưu Phần II trình bày kiến thức Lý thuyết đồ thị: khái niệm, định nghĩa, thuật toán đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton Một số tốn có ứng dụng thực tiễn quan trọng khác lý thuyết đồ thị trọng giải Bài tốn tơ màu đồ thị, Bài tốn tìm đường ngắn Bài tốn luồng cực đại mạng Trong phần tài liệu, chúng tơi cố gắng trình bày ngắn gọn trực tiếp vào chất vấn đề, đồng thời cài đặt hầu hết thuật tốn ngơn ngữ lập trình C nhằm đạt hai mục tiêu cho người học: Nâng cao tư tốn học phân tích, thiết kế thuật toán rèn luyện kỹ lập trình với thuật tốn phức tạp Mặc dù cẩn trọng trình biên soạn, nhiên tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Chúng tơi mong góp ý q báu tất đọc giả bạn đồng nghiệp Mọi góp ý xin gửi về: Khoa Cơng nghệ Thơng tin - Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông Hà Nội, tháng 05 năm 2006 Chương 1: Những kiến thức PHẦN I: LÝ THUYẾT TỔ HỢP CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương đề cập đến kiến thức logic mệnh đề lý thuyết tập hợp Bao gồm: Giới thiệu tổng quan lý thuyết tổ hợp Những kiến thức logic Những kiến thức lý thuyết tập hợp Một số ứng dụng logic lý thuyết tập hợp tin học Bạn đọc tìm thấy kiến thức sâu chi tiết tài liệu [1] [2] tài liệu tham khảo 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học rời rạc đề cập tới nhiều vấn đề khác toán học Lý thuyết Tổ hợp nghiên cứu việc phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử tập hợp hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định tuỳ theo u cầu tốn nghiên cứu Mỗi cách phân bố coi “cấu hình tổ hợp” Nguyên lý chung để giải toán tổ hợp dựa nguyên lý sở nguyên lý cộng, nguyên lý nhân số nguyên lý khác, đặc thù khơng thể tách rời tốn học tổ hợp việc chứng minh kiểm chứng phương pháp giải tốn khơng thể tách rời máy tính Những dạng tốn quan trọng mà lý thuyết tổ hợp đề cập tốn đếm, toán liệt kê, toán tồn toán tối ưu Bài toán đếm: dạng toán nhằm trả lời câu hỏi “có cấu hình thoả mãn điều kiện nêu?” Bài toán đếm áp dụng có hiệu vào cơng việc mang tính chất đánh xác suất kiện, độ phức tạp thuật toán Bài toán liệt kê: toán liệt kê quan tâm đến tất cấu hình có được, lời giải biểu diễn dạng thuật tốn “vét cạn” tất cấu hình Bài tốn liệt kê thường làm cho nhiều toán khác Hiện nay, số toán tồn tại, toán tối ưu, tốn đếm chưa có cách giải phương pháp liệt kê Phương pháp liệt kê trở nên quan trọng hỗ trợ hệ thống máy tính Chương 1: Những kiến thức Bài toán tối ưu: khác với toán liệt kê, toán tối ưu quan tâm tới cấu hình “tốt nhất” theo nghĩa Đây tốn có nhiều ứng dụng thực tiễn lý thuyết tổ hợp đóng góp phần đáng kể việc xây dựng thuật tốn để đưa mơ hình tối ưu Bài toán tồn tại: toán đếm thực đếm cấu hình có, toán liệt kê: liệt kê tất cấu hình có, tốn tối ưu cấu hình tốt tốn tồn giải vấn đề nghi vấn nghĩa kể vấn đề có hay khơng cấu hình chưa biết Những tốn thường tốn khó, việc sử dụng máy tính để chứng tỏ tốn tồn hay khơng tồn (hoặc khơng) cấu hình trở nên quan trọng 1.2 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LOGIC Các qui tắc Logic cho ta ý nghĩa xác mệnh đề Những qui tắc sử dụng lập luận tốn học khơng Vì mục tiêu giáo trình trang bị cho sinh viên hiểu xây dựng phương pháp lập luận toán học đắn, nên bắt đầu nghiên cứu toán học rời rạc kiến thức môn logic học Hiểu phương pháp lập luận tốn học có ý nghĩa quan trọng tin học Những qui tắc logic cơng cụ sở để xây dựng nên ngơn ngữ lập trình, mạng máy tính, kiểm chứng tính đắn chương trình nhiều ứng dụng quan trọng khác 1.2.1 Định nghĩa & phép toán Đối tượng nghiên cứu logic học mệnh đề Một mệnh đề hiểu câu khẳng định hoặc sai khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: Những câu khẳng định sau mệnh đề: “Hà Nội thủ đô Việt Nam.” 1+1=2 2+2=3 Các mệnh đề “Hà Nội thủ đô Việt Nam”, “1 +1 =2 “là mệnh đề đúng, mệnh đề “2 +2 =3” sai Nhưng câu ví dụ sau khơng phải mệnh đề câu khơng cho ta khẳng định chẳng cho ta khẳng định sai “Bây ?” “Hãy suy nghĩ điều cho kỹ lưỡng” x +1 =2 x+y=z Chương 1: Những kiến thức Ta ký hiệu chữ A, B, C, D, p, q, r, s mệnh đề Giá trị mệnh đề ký hiệu T, giá trị mệnh đề sai ký hiệu F Tập giá trị { T, F } gọi giá trị chân lý mệnh đề Định nghĩa Mệnh đề p tuyển với mệnh đề q (ký hiệu p ∨ p) mệnh mà nhận giá trị T hai mệnh đề p, q nhận giá trị T Mệnh đề p ∨ q nhận giá trị F p, q nhận giá trị F Định nghĩa Mệnh đề p hội mệnh đề q (ký hiệu p ∧ q ) mệnh đề mà nhận giá trị T p, q nhận giá trị T Mệnh đề p ∧ q nhận giá trị F p, q, hai nhận giá trị F Định nghĩa Phủ định mệnh đề p (kí hiệu ¬p) mệnh đề nhận giá trị F mệnh đề p nhận giá trị T, nhận giá trị F p nhận giá trị T Định nghĩa Mệnh đề tuyển loại p q, ký hiệu p⊕q, mệnh đề p q sai trường hợp khác lại Định nghĩa Mệnh đề p suy mệnh đề q (ký hiệu p → q) nhận giá T p nhận giá trị F p q nhận giá trị T Mệnh đề p→q nhận giá trị F p nhận giá trị T q nhận giá trị F Định nghĩa Hai mệnh đề p, q gọi kéo theo (ký hiệu: p ⇔ q) có giá trị p q có giá trị chân lý sai trường hợp khác lại Các phép tốn: ∨, ∧, ¬, ⊕,→ ,⇔ định nghĩa thông qua bảng giá trị chân lý sau: Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý phép tốn ∨, ∧, ¬, ⊕, →,⇔ p q p∨q p∧q ¬p p⊕q p→q p⇔q T T T T F F T T T F T F F T F F F T T F T T T F F F F F T F T T 1.2.2 Sự tương đương mệnh đề Một vấn đề quan trọng lập luận toán học việc thay mệnh đề khác có giá trị chân lý Hai mệnh đề có giá trị chân lý hiểu theo cách thơng thường chúng tương đương ngữ nghĩa Do vậy, ta tiếp cận phân loại mệnh đề phức hợp thông qua giá trị chân lý chúng Định nghĩa Một mệnh đề phức hợp mà luôn với giá trị chân lý mệnh đề thành phần gọi (tautology) Một mệnh đề luôn sai với giá trị chân lý mệnh đề thành phần gọi mâu thuẫn Chương 1: Những kiến thức Ví dụ: mệnh đề phức hợp p ∨¬q đúng, p ∧ ¬q mâu thuẫn giá trị chân lý mệnh đề luôn đúng, luôn sai bảng 1.2 Bảng 1.2 Ví dụ mệnh đề & mệnh đề mâu thuẫn p ¬p p ∨¬q p∧¬q T F T F F T T F Định nghĩa Hai mệnh đề p, q gọi tương đương logic với (ký hiệu: p ≡ q) cột cho giá trị chân lý chúng giống Hay mệnh đề p→q Ví dụ: hai mệnh đề ¬ (p ∨ q) ¬p ∧ ¬q tương đương logic cột giá trị chân lý chúng thể qua bảng sau: Bảng 1.3 Bảng giá trị chân lý ¬(p ∨ q) ¬p∧¬q p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∧¬q T T T F F F F T F T F F T F F T T F T F F F F F T T T T Dùng bảng giá trị chân lý để chứng minh tính tương đương logic hai mệnh đề phức hợp cho ta phương pháp trực quan dễ hiểu Tuy nhiên, với mệnh đề logic phức hợp có k mệnh đề cần tới 2k giá trị chân lý để biểu diễn bảng giá trị chân lý Trong nhiều trường hợp chứng minh tính tương logic việc thay mệnh đề phức hợp tương đương logic có trước Bằng phương pháp bảng chân lý, dễ dàng chứng minh tương đương công thức đây: p→ q ≡ ¬p∨ q p⇔q ≡ (p→q)∧(q→p) ¬(¬p) ≡p Chương 1: Những kiến thức Bảng 1.4 Bảng tương đương logic TƯƠNG ĐƯƠNG TÊN GỌI p∧T≡p Luật đồng p∨F≡p p∨T≡T Luật nuốt p∧F≡F p∨p≡p Luật luỹ đẳng p∧p≡p ¬(¬p) ≡ p Luật phủ định kép p∨q≡q∨p Luật giao hoán p∧q≡q∧p (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r) Luật kết hợp (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧( q ∧ r) p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r) Luật phân phối p ∧ ( q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ¬(p ∧ q ) ≡ ¬p ∨ ¬q Luật De Morgan ¬(p ∨ q ) ≡ ¬p ∧ ¬q Ví dụ: Chứng minh ¬( p ∧ (¬q ∧ q ) tương đương logic với ¬p ∧ ¬q Chứng minh: ¬( p ∧ (¬q ∧ q ) ≡ ¬p ∧ ¬(¬p ∧ q ) theo luật De Morgan thứ ≡ ¬p ∧ [ ¬(¬p) ∨ ¬q theo luật De Morgan thứ ≡ ¬p ∧ [ p ∨ ¬q ] theo luật phủ định kép ≡ (¬p ∧ p ) ∨ (¬p ∧ ¬q) theo luật phân phối ≡ F ∨ (¬p ∧ ¬q) ¬p ∧ p ≡ F ≡ ¬p ∧ ¬q Mệnh đề chứng minh 1.2.3 Dạng chuẩn tắc Các công thức (mệnh đề) tương đương xem biểu diễn khác mệnh đề Để dễ dàng viết chương trình máy tính thao tác cơng thức, cần Chương 1: Những kiến thức chuẩn hóa cơng thức, đưa chúng dạng biểu diễn chuẩn gọi dạng chuẩn hội Một công thức gọi dạng chuẩn hội hội mệnh đề tuyển Phương pháp để biến đổi công thức dạng chuẩn hội cách áp dụng thủ tục sau: Bỏ phép kéo theo (→) cách thay (p→q) (¬p→q) Chuyển phép phủ định (¬) vào sát ký hiệu mệnh đề cách áp dụng luật De Morgan thay ¬(¬p) p Áp dụng luật phân phối thay cơng thức có dạng (p∨(q∧r)) (p∨q)∧(p∨r) Ví dụ: Ta chuẩn hóa cơng thức (p→q)∨¬(r∨¬s): (p→q)∨¬(r∨¬s) ≡ (¬p∨q) ∨(¬r∧s) ≡ ((¬p∨q)∨¬r) ∧((¬p∨q)∨s) ≡ (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s) Như cơng thức (p→q)∨¬(r∨¬s) đưa dạng chuẩn hội (¬p∨q∨¬r)∧(¬p∨q∨s) 1.3 VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ Trong tốn học hay chương trình máy tính hay gặp khẳng định chưa phải mệnh đề Những khẳng định có liên quan đến biến Chẳng hạn khẳng định: P(x) = “x > 3” mệnh đề giá trị cụ thể x = x0 P(x0) lại mệnh đề Hoặc đoạn chương trình gặp câu lệnh: if ( x > ) then x:= x +1; chương trình đặt giá trị cụ thể biến x vào P(x), mệnh đề P(x) cho giá trị x tăng lên câu lệnh x:=x+1, P(x) có giá trị sai giá trị x giữ nguyên sau thực câu lệnh if Chúng ta phân tích khẳng định thành hai phần chủ ngữ vị ngữ (hay vị từ), câu “x lớn 3” ta coi x chủ ngữ, “lớn 3” vị ngữ, hàm P(x) gọi hàm mệnh đề Một hàm mệnh đề có nhiều biến, giá trị chân lý hàm mệnh đề giá trị cụ thể biến xác định mệnh đề thơng thường Ví dụ: Cho Q(x, y, z) hàm mệnh đề xác định câu x2 = y2 +z2 xác định giá trị chân lý mệnh đề Q (3, 2, 1), Q ( 5, 4, 3) Giải: Đặt giá trị cụ thể x , y , z vào Q(x,y,z) ta có: Q(3,2,1) mệnh đề “32 = 22 + 12” sai Q(3,2,1) mệnh đề sai Trong đó, Q (5, 4, 3) mệnh đề “52 = 42 + 32” đúng, Q(5,4,3) mệnh đề 10 Chương 1: Những kiến thức Tổng quát, giả sử M tập hợp phần tử M thường gọi trường hay miền xác định phẩn tử thuộc M Khi đó, biểu thức P(x) gọi vị từ xác định trường M thay x phần tử trường M P(x) trở thành mệnh đề trường M Khi tất biến hàm mệnh đề gán giá trị cụ thể, mệnh đề tạo xác định giá trị chân lý Tuy nhiên, có phương pháp quan trọng khác để biến hàm mệnh đề thành mệnh đề mà không cần phải kiểm chứng giá trị chân lý hàm mệnh đề tương ứng với giá trị biến thuộc trường xét Phương pháp gọi lượng hoá hay lượng từ Chúng ta xét hai lượng từ quan trọng lượng từ với (ký hiệu:∀), lượng từ tồn (ký hiệu:∃ ) Định nghĩa Lượng từ với P(x) ký hiệu ∀x P(x) mệnh đề “P(x) với phần tử x thuộc trường xét” Ví dụ: Cho hàm mệnh đề P(x) = X2 + X + 41 nguyên tố Xác định giá trị chân lý mệnh đề ∀ P(x) với x thuộc không gian bao gồm số tự nhiên [0 39] Giải: P(x) với giá trị x ∈ [0 39] ⇒ ∀ P(x) Ví dụ: Cho P(x) hàm mệnh đề “x + > x” Xác định giá trị chân lý mệnh đề ∀ x P(x), khơng gian số thực Giải: P(x) với số thực x nên ∀x P(x) Định nghĩa Lượng từ tồn hàm mệnh đề P(x) (được ký hiệu là:∃ x P(x) ) mệnh đề “Tồn phần tử x không gian cho P(x) “ Ví dụ: Cho P(x) hàm mệnh đề “x > 3” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề ∃ x P(x) không gian số thực Giải: P(4) “4 > 3” nên ∃ x P(x) Ví dụ: Cho Q(x) “x + > x” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề ∃ x Q(x) không gian số thực Giải: Q(x) sai với x ∈ R nên mệnh đề ∃ x Q(x) sai Bảng 1.5: Giá trị chân lý lượng từ ∀, ∃ ∀x P(x) P(x) với x Có giá trị x để P(x) sai ∃x P(x) Có giá trị x để P(x) P(x) sai với x Dịch câu thông thường thành biểu thức logic: Dịch câu phát biểu ngôn ngữ tự nhiên (câu hỏi thông thường) thành biểu thức logic có vai trị quan trọng xây dựng ngơn ngữ lập trình, chương trình dịch xử lý ngơn ngữ tự nhiên Q trình dịch câu từ ngôn ngữ tự nhiên thành biểu thức làm tính tự nhiên ngơn ngữ 11 Chương 1: Những kiến thức đa số ngôn ngữ không rõ ràng, biểu thức logic lại rõ ràng chặt chẽ từ cú pháp thể đến ngữ nghĩa câu Điều dẫn đến phải có tập hợp giả thiết hợp lý dựa hàm xác định ngữ nghĩa cuả câu Một câu chuyển dịch thành biểu thức logic, xác định giá trị chân lý biểu thức logic, thao tác biểu thức logic, biến đổi tương đương biểu thức logic Chúng ta minh hoạ việc dịch câu thông thường thành biểu thức logic thông qua sau Ví dụ dịch câu “Bạn khơng lái xe máy bạn cao 1.5 mét bạn 18 tuổi” thành biểu thức logic Giải: Ta gọi p câu : Bạn lái xe máy q câu : Bạn cao 1.5m r câu : Bạn 18 tuổi Khi đó: Câu hỏi dịch là: (q ∧ ¬r) → ¬p Ví dụ: Dịch câu “Tất sinh viên học tin học học mơn tốn học rời rạc” Giải: Gọi P(x) câu “x cần học mơn tốn học rời rạc” x xác định không gian sinh viên học tin học Khi phát biểu: ∀ x P(x) Ví dụ: Dịch câu “Có sinh viên lớp tất phịng nhà ký túc xá” Giải: Gọi tập sinh viên lớp không gian xác định sinh viên x, tập nhà ký túc xá không gian xác định nhà y, tập phịng khơng gian xác định phòng z Ta gọi P(z,y) “z thuộc y”, Q(x,z) “x z” Khi ta phát biểu: ∃ x ∃ y ∀ z (P(z,y) → Q(x,z)); 1.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRÊN MÁY TÍNH Các phép tốn bít: Các hệ thống máy tính thường dùng bit (binary digit) để biểu diễn thơng tin Một bít có hai giá trị chân lý hoặc Vì giá trị chân lý biểu thức logic có hai giá trị (T) sai (F) Nếu ta coi giá trị có giá trị giá trị sai phép tốn với bít máy tính tương ứng với liên từ logic Một xâu bít (hoặc xâu nhị phân) dãy khơng nhiều bít Chiều dài xâu số bít xâu Ví dụ: Xâu nhị 101010011 có độ dài Một số nguyên đuợc biểu diễn xâu nhị phân có độ dài 16 bít 12 ... Định nghĩa Cho A B hai tập hợp Giao A B ký hiệu A∩B, tập chứa tất phần tử thuộc A thuộc B Nói cách khác: A∪B = { x | x ∈ A ∧ x∈ B } Định nghĩa Hai tập hợp A B gọi rời giao chúng tập rỗng (A∩B = φ... nhiều cách khác thông qua phép toán tập hợp Các phép toán tập hợp bao gồm: Phép hợp (Union), phép giao (Intersection), phép trừ (Minus) Định nghĩa Cho A B hai tập hợp Hợp A B ký hiệu A∪B, tập chứa... p∨F≡p p∨T≡T Luật nuốt p∧F≡F p∨p≡p Luật luỹ đẳng p∧p≡p ¬(¬p) ≡ p Luật phủ định kép p∨q≡q∨p Luật giao hoán p∧q≡q∧p (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ ( q ∨ r) Luật kết hợp (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧( q ∧ r) p ∨ ( q ∧ r)
