TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ - 2006 VỀ TIÊU CHUẨN COMPACT TƯƠNG ĐỐI CỦA KHÔNG GIAN HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG CẤU TRÚC THỐNG KÊ Ung Ngọc Quang Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM (Bài nhận ngày 26 tháng 01 năm 2006, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 28 tháng 08 năm 2006) TÓM TẮT : Bài báo đưa tiêu chuẩn tính compact tương đối khơng gian hàm Sau ứng dụng tiêu chuẩn vào việc khảo sát ước lượng Bayes cấu trúc thống kê Từ khoá : Tiêu chuẩn compact tương đối, không gian hàm, cấu trúc thống kê, mơ hình thống kê phi tuyến, tồn ước lượng Bayes, xấp xỉ ước lượng Bayes 1.ĐẶT VẤN ĐỀ Thống kê Bayes ngành toán học cập nhật thời (xem [9], [10]) Trong [1] – [4] xét việc ứng dụng giải tích hàm vào mơ hình thống kê phi tuyến theo quan điểm Bayes Kỹ thuật chủ yếu tiêu chuẩn compact tương đối không gian hàm (xem [5] – [6] ) Tuy nhiên, tiếp cận tới tiêu chuẩn compact tương đối theo hướng khác Trong chúng tơi đề xuất tiêu chuẩn tính compact tương đối khơng gian hàm Sau ứng dụng tiêu chuẩn vào toán ước lượng tham ẩn cấu trúc thống kê mơ hình phi tuyến Trước hết, đưa vài ký hiệu quen thuộc : X : Phần tử quan trắc ngẫu nhiên có tập trị I I : Khơng gian metric compact Ta ký hiệu metric I d(x,y) với x, y ∈ I R r : Không gian Euclide r – chiều B ( I ), Br : Các σ - đại số Borel không gian I R r 2.TIÊU CHUẨN COMPACT TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN HÀM Định nghĩa 2.1 : Xét không gian đo ( I , B ( I ) ) , ( R r , Br ) Hàm h : ( I , B ( I ) ) → ( R r , Br ) gọi hàm đo h −1 (Br ) ⊂ B ( I ) Hàm đo h gọi bị chặn : Sup h( x) x∈I Rr < +∞ Tập hợp tất cà hàm đo bị chặn theo nghĩa ký hiệu Β( I , R r ) Định lý 2.1 : Tập hợp B ( I , R r ) không gian Banach với chuẩn h B = Sup h( x) x∈I Rr Định nghĩa 2.2 : Tập hợp K ⊂ B ( I , R r ) gọi đồng liên tục điểm I (∀ε > 0, ∀x ∈ I , ∃δ x = δ (ε , x)) cho ( d ( x, y ) < δ x ⇒ h ( x ) − h ( y ) Rr < ε , ∀h ∈ K ) Trang Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 Định nghĩa 2.3 : Tập hợp K ⊂ B ( I , R r ) gọi bị chặn điểm I (∀x ∈ I , ∃M x > 0) cho ( h( x) Rr ≤ M x , ∀h ∈ K ) Tiếp theo ta phát biểu chứng minh tiêu chuẩn compact tương đối không gian Banach B ( I , R r ) Tiêu chuẩn tương tự tiêu chuẩn Ascoli – Arzela phát biểu [5] Định lý 2.2 ( Tiêu chuẩn compact tương đối B( I , R r ) ) : Cho tập K ⊂ B ( I , R r ) thoả điều kiện : (i) K đồng liên tục điểm I (ii) K bị chặn điểm I Khi K tập compact tương đối B( I , R r ) Chứng minh : Trước hết, theo điều kiện (i) , K tập đồng liên tục điểm I, nên ta có : (∀ε > 0, ∀x ∈ I , ∃δ x = δ (ε , x)) cho (d ( x, y ) < δ x ⇒ h( x) − h( y ) Rr < ε , ∀h ∈ I ) Ký hiệu B ( x, δ x ) cầu mở có tâm x ∈ I có bán kính δ x Lúc họ {B( x, δ x ) : x ∈ I } phủ mở không gian metric I Nhưng I compact nên tồn điểm xi ∈ I , i = 1, n cho : n I = ∪ B ( xi , δ i ) với δ i = δ ( xi ) , i =1,…,n i =1 Ta cố định số n xét ánh xạ Φ : B ( I , R r ) → M (r × n) xác định : ⎛ h1 ( x1 ) h1 ( x2 )L h1 ( xn ) ⎞ ⎜ ⎟ h2 ( x1 ) h2 ( x2 )L h2 ( xn ) ⎟ Φ ( h) = ⎜ ⎜M ⎟ M ⎜ ⎟ ⎝ hr ( x1 ) hr ( x2 )L hr ( xn ) ⎠ Trong h ∈ B( I , R r ) , với h = ( h1 ( xi ), h2 ( xi ), , hr ( xi ) ) , ∀i = 1, n M (r × n) tập hợp tất ma trận r hàng , n cột Hiển nhiên M (r × n) khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều với chuẩn : Φ ( h) M ( r ×n ) = max h( xi ) 1≤i ≤ n Rr Theo điều kiện (ii) K bị chặn điểm , nên ∀h ∈ K , ∃Ci , i = 1, n cho : h( xi ) Rr ≤ Ci , ∀i = 1, n, ∀h ∈ K Do đặt C = max Ci , ta : 1≤i ≤ n Φ ( h) M ( r ×n ) ≤ C , ∀h ∈ K Vậy Φ( K ) tập bị chặn khơng gian M (r × n) , tập hồn tồn bị chặn Vậy nên tồn m cầu có tâm tj , bán kính Trang ε , ký hiệu B (tj , ε ) cho : TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ -2006 ε m Φ( K ) ⊂ U B(t j , ) j =1 ε Ta chọn cầu B (tj , ) có giao khơng rỗng với Φ ( K ) , cầu có giao rỗng , ta loại ε Vì ( ∀h ∈ K , ∃ số j ) cho Φ(h) ∈ B(t j , ) ⇔ Φ ( h) − t j M ( r ×n ) ⇔ max h( xi ) − t ji 1≤ i ≤ n ⇔ h( xi ) − t ji R r < ε < Rr ε 6 < ε , ∀i = 1, n (1) ε Mặt khác với cầu B (tj , ) , ta chọn hàm h j ∈ K cho ε Φ(h j ) ∈ B(t j , ) ⇔ Φ (h j ) − t j M ( r ×n ) ⇔ max h j ( xi ) − t ji Rr 1≤i ≤ n ⇔ h j ( xi ) − t ji Rr < ε < < ε ε , ∀i = 1, n (2) Từ (1) (2) ta h( xi ) − h j ( xi ) < Rr ε , ∀i = 1, n (3) m Ta chứng minh : K ⊂ U B(h j , ε ) , B(h j , ε ) cầu B( I , R r ) , có j =1 tâm hj có bán kính ε Trước hết , lấy h ∈ K Theo (3) , ta thấy tồn số j cho h( xi ) − h j ( xi ) Rr < ε , ∀i = 1, n n Tiếp theo , lấy x ∈ I Vì I ⊂ U B ( xi , δ i ) nên ∃i cho x ∈ B ( xi , δ i ) i =1 Vì K đồng liên tục điểm I , h, h j ∈ K , nên ta có h( x) − h( xi ) Rr h j ( x) − h j ( xi ) < Rr ε < ε Mặt khác , ∀x ∈ I , ta có : Trang Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 h( x) − h j ( x) ≤ h( x) − h( xi ) Rr + h( xi ) − h j ( xi ) Rr + h j ( xi ) − h j ( x) Rr Do : h( x) − h j ( x) < ε , ∀x ∈ I ⇔ Sup h( x) − h j ( x) < ε x∈I ⇔ h − hj B , chọn δ = δ (ε ) > cho C2δ α < ε Khi với h ∈ K với x, y ∈ [a, b] cho x − y < δ , ta : α h( x) − h( y ) ≤ C2 x − y < C2 δ α < ε Vậy K đồng liên tục [a,b] Nên theo định lý 2.2 , K compact tương đối B(I) Hơn , ta thấy , thật K tập compact B(I) Muốn , ta Trang TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ -2006 cần chứng minh K tập đóng B(I) Thật , lấy dãy (hn ) ⊂ K giả sử hn − h B(I ) → Ta chứng minh h ∈ K Trước hết , (hn ) ⊂ K nên α hn ( x) − hn ( y ) ≤ C2 x − y , ∀x, y ∈ [a, b] Theo giả thiết ta có hn hội tụ h [a,b] nên cho n → +∞ , ta α h( x) − h( y ) ≤ C2 x − y , ∀x, y ∈ [a, b] Mặt khác , ta có hn (a ) ≤ C1 , ∀n hn (a ) hội tụ h , nên ta có h(a ) ≤ C1 α Vậy ta có đồng thời h(a ) ≤ C1 h( x) − h( y ) ≤ C2 x − y , ∀x, y ∈ [a, b] Nên h ∈ K K đóng Suy K tập compact B(I) 2.1.Về tồn ước lượng Bayes cấu trúc thống kê Xét phần tử ngẫu nhiên X có tập trị khơng gian metric compact I Xét không gian Euclide r-chiều Rr tập compact Θ ⊂ R r Ký hiệu vết σ -đại số Br tập Θ B( Θ ) Tập Θ gọi không gian tham compact Theo quan điểm Bayes, ( Θ ,B( Θ )) ta xác định độ đo xác suất τ gọi phân phối xác suất tiên nghiệm tham ẩn θ ∈ Θ Vì I compact nên I không gian metric đầy đủ khả ly Tương tự Θ không gian metric đầy đủ , khả ly Do với X θ ∈ Θ , tồn phân phối xác suất có điều kiện quy P X / θ , θ ∈ Θ thường ký hiệu Qθ , θ ∈ Θ (xem [7] , [8]) Định nghĩa 3.1 : Bộ ba ( X , I , {Qθ , θ ∈ Θ}) gọi cấu trúc thống kê với tham ẩn θ ∈ Θ (*) Xét trường hợp đặc biệt : X = ϕ (θ ) + ε Trong : ε : Vectơ sai số ngẫu nhiên có trị Rr ϕ : Hàm phi tuyến cho trước θ : Tham ẩn định vị θ ∈ Θ Lúc phương trình (*) gọi mơ hình thống kê phi tuyến với không gian tham compact Θ ⊂ R r Mục nhằm ứng dụng tiêu chuẩn compact tương đối định lý 2.2 , để chứng minh tồn ước lượng Bayes cho tham ẩn θ ∈ Θ , cấu trúc thống kê Trước hết ta nhắc lại định nghĩa ước lượng Bayes xét [1] – [4] Định nghĩa 3.2 : Hàm Borel đo h : ( I , B ( I )) → ( R r , Br ) gọi ước lượng tham ẩn θ ∈ Θ ⊂ R r Ước lượng h gọi bị chặn : Sup h( x) Rr < +∞ x∈I Tập hợp tất ước lượng bị chặn tham ẩn θ ∈ Θ , theo định lý 2.1 không gian Banach B ( I , R r ) với chuẩn h B = Sup h( x) Rr x∈I Định nghĩa 3.3 : Cho hàm L : R r × Θ → R + hàm H: I × Θ → R r × Θ xác định H ( x, θ ) = (h( x), θ ) Trang Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 Hàm hợp L(h(.),.) := L0 H : I × Θ → R + gọi hàm tổn thất ước lượng h Định nghĩa 3.4 : Phiếm hàm ψ : B ( I , R r ) → R xác định ψ (h) = ∫ ∫ L(h( x),θ )Qθ (dx)τ (dθ ) gọi hàm mạo hiểm Bayes với phân phối xác Θ I suất tiên nghiệm τ ˆ ˆ Ước lượng h ∈ B ( I , R r ) thoả điều kiện ψ (h) = inf r ψ (h) gọi ước lượng Bayes h∈B ( I , R ) với xác suất tiên nghiệm τ Cho μ độ đo σ -hữu hạn không gian đo ( I , B ( I )) giả sử Qθ 0, ∃δ = δ (ε ) > 0) cho ( y′ − y′′ Rr < δ ⇒ L( y′, θ ) − L( y′′,θ ) < ε , ∀y′, y′′ ∈ R r , ∀θ ∈ Θ) Từ định nghĩa , ta có định lý sau ước lượng Bayes Định lý 3.1 : Cho cấu trúc thống kê ( X , I , {Qθ , θ ∈ Θ}) B ( I , R r ) tập hợp tất ước lượng bị chặn tham ẩn θ ∈ Θ Giả sử tập K ước lượng θ hàm tổn thất L( y, θ ) thoả điều kiện : (i) h( I ) ⊂ Θ, ∀h ∈ K (ii) K đồng liên tục điểm I (iii)Hàm tổn thất L( y, θ ) liên tục y đồng bậc θ Khi K tập compact tương đối B ( I , R r ) lớp ước lượng K , tồn ước lượng Bayes Chứng minh : Vì Θ compact , nên theo điều kiện (i) ∃M > cho Sup h( x) Rr ≤ M , ∀h ∈ K x∈I Do K tập hợp đồng bị chặn khơng gian Banach B ( I , R r ) Mặt khác , theo điều kiện (ii) tập K đồng liên tục điểm x ∈ I Vì theo định lý 2.2 K tập compact tương đối B ( I , R r ) Tiếp theo , ta chứng tỏ , từ h( I ) ⊂ Θ, ∀h ∈ K suy h( I ) ⊂ Θ, ∀h ∈ K Thật vậy, lấy h ∈ K Khi ∃(hn ) ⊂ K cho hn − h B → n → +∞ ⇔ Sup hn ( x) − h( x) x∈I ⇔ hn ( x) − h( x) Rr Rr → 0, n → +∞ → 0, ∀x ∈ I , n → +∞ Vì hn ∈ K , nên hn ( x) ∈ Θ, ∀x ∈ I , ∀n ∈ N Nhưng Θ compact nên h( x) ∈ Θ, ∀x ∈ I , ∀n ∈ N , tức h( I ) ⊂ Θ Điều có nghĩa h( I ) ⊂ Θ, ∀h ∈ K Cuối xét hàm mạo hiểm Bayes ψ : B ( I , R r ) → R + xác định Trang 10 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ -2006 ψ (h) = ∫ ∫ L(h( x),θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I Ta chứng minh ψ liên tục B ( I , R r ) , tức ta phải chứng minh (∀ε > 0, ∃δ = δ(ε)) cho ( h ′ − h ′′ B < δ ⇒ Ψ (h ′) − Ψ (h′′) < ε, ∀h ′, h′′ ∈ B(I, R r )) Thật , ta thấy từ h ′ − h ′′ B < δ ⇒ h ′(x) − h ′′(x) Rr < δ, ∀x ∈ I Từ theo điều kiện (iii), ta : L(h ′(x), θ) − L(h ′′(x), θ) < ε Suy : ψ (h′) −ψ (h′′) ≤ ∫ ∫ L(h′( x), θ ) − L(h′′( x), θ ) Qθ (dx)τ (dθ ) Θ I < ∫ ∫ ε Qθ (dx)τ (dθ ) = ε Θ I ˆ Vậy ψ liên tục tập compact K ⊂ B ( I , R r ) Do ∃h ∈ K cho ˆ ψ (h) = inf ψ (h) Định lý chứng minh xong ª h∈K Trong định lý 3.1 , thay điều kiện liên tục đồng bậc hàm tổn thất L( y, θ ) điều kiện Lipschitz , ta có định lý sau Định lý 3.2 : Cho cấu trúc thống kê ( X , I , {Qθ , θ ∈ Θ}) B ( I , R r ) tập hợp tất ước lượng bị chặn tham ẩn θ ∈ Θ Giả sử tập K ước lượng θ ∈ Θ hàm tổn thất L( y, θ ) thoả điều kiện (i) h( I ) ⊂ Θ, ∀h ∈ K (ii) K đồng liên tục điểm I (iii)Hàm tổn thất L( y, θ ) thoả điều kiện Lipshitz, tức ∃C > : L( y′, θ ) − L( y′′, θ ) ≤ C y′ − y′′ Rr , ∀y′, y′′ ∈ R r , ∀θ ∈ Θ Khi K tập compact tương đối B ( I , R r ) lớp ước lượng K tồn ước lượng Bayes Chứng minh : Chứng minh giống định lý 3.1 định lý tồn xét [1] - [2] Nhận xét : Nếu L( y, θ ) thoả điều kiện Lipschitz L( y, θ ) liên tục đồng bậc θ , ngược lại chưa Như định lý 3.1 rộng rãi định lý 3.2 Tuy nhiên để ứng dụng vào toán xấp xỉ ước lượng Bayes xét mục 4, định lý 3.2 lại tỏ có hiệu lực 2.2.Xấp xỉ ước lượng Bayes mơ hình thống kê phi tuyến 1–chiều Xét mơ hình thống kê phi tuyến 1-chiều có dạng X = ϕ (θ ) + ε Trong : X : Đại lượng quan trắc ngẫu nhiên có trị tập I ⊂ R I : Tập compact thuộc R θ : Tham ẩn định vị , θ ∈ Θ Θ : Tập compact thuộc R ε : Sai số ngẫu nhiên nhận giá trị R Eε = Ký hiệu B(I) = B(I,R) tập hợp tất ước lượng bị chặn , xác định tập I ⊂ R có trị R Hiển nhiên B(I) không gian Banach lớp ước lượng tham ẩn định vị θ ∈Θ Trang 11 Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 Ký hiệu C(I) := C(I,R) tập hợp tất hàm liên tục xác định tập I ⊂ R có giá trị R Hiển nhiên C (I) không gian Banach C ( I ) ⊂ B( I ) Định lý 4.1 : Giả sử K lớp ước lượng tham ẩn định vị θ ∈ Θ thoả điều kiện định lý 3.2 Giả sử fθ ( x) ≤ C ′, ∀x ∈ I , ∀θ ∈ Θ Khi xấp xỉ ước lượng Bayes tham ẩn định vị θ ∈ Θ đa thức Chứng minh : Vì K thoả điều kiện định lý 3.2 nên K tập compact tương ˆ đối B(I) tồn ước lượng Bayes h ∈ K ˆ Vì h ∈ K ⊂ B ( I ) , nên ∀ε > , theo định lý Lusin , tồn g ∈ C ( I ) cho : ε μ ( A) < 4.C.C ′.C ′′ ˆ Với A = x ∈ I : h( x) ≠ g ( x) μ độ đo Lebegues R Cũng theo định lý Lusin , { } ˆ ∃C ′′ > cho : h( x) ≤ C ′′, g ( x) ≤ C ′′ Do ta có : ˆ ˆ ψ (h) −ψ ( g ) ≤ ∫ ∫ L(h( x),θ ) − L( g ( x),θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I ˆ = ∫ ∫ L(h( x), θ ) − L( g ( x), θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) + ΘA ∫∫ ˆ L(h( x), θ ) − L( g ( x), θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I −A ˆ = ∫ ∫ L(h( x), θ ) − L( g ( x), θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) ΘA ˆ ≤ ∫ ∫ C h( x) − g ( x) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) ΘA ε ′′ ≤ ∫ ∫ 2C.C ′.C μ (dx)τ (dθ ) = 2C.C ′.C ′′μ ( A) < ΘA ε ˆ Vậy ψ (h) −ψ ( g ) < Mặt khác , với ε >0 g ∈ C ( I ) , theo định lý xấp xỉ Weierstrass, tồn đa ˆ thức P ∈ C ( I ) có bậc n = n(ε , h) hệ số a = (a , a , , a ) ∈ R n +1 , cho : n,a g − Pn, a C(I ) Từ ta : ψ ( g ) −ψ ( Pn ,a ) ≤ < ε 2C n ∫ ∫ L( g ( x),θ ) − L( P n ,a ( x), θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I ≤ ∫ ∫ C g ( x) − Pn ,a ( x) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I ≤ ∫ ∫ C g − Pn ,a Θ I Qθ (dx)τ (dθ ) < C(I ) ε C 2C = ε ε ε ˆ Do : ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < + = ε định lý 4.1 chứng minh xong ª 2 Tiếp theo ta tìm thuật tốn xây dựng đa thức xấp xỉ Pn,a Trước hết , ta thấy đa thức ˆ ˆ có bậc n = n(h, ε ) phụ thuộc vào h hệ số a = (a0 , a1 , , an ) ∈ R n +1 Trang 12 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ -2006 Theo cách xác định phiếm hàm ψ , ta thấy ψ ( Pn,a ) phụ thuộc vào hệ số a ∈ R n +1 Điều có nghĩa ∀a ∈ R n +1 , ∃!ψ ( Pn ,a ) ∈ R + Do tồn hàm nhiều biến F : R n +1 → R + xác định F (a ) = ψ ( Pn ,a ) ˆ Chú ý với h′ ∈ K h′ ≠ h tồn n′ = n(h′, ε ) tồn khơng gian n′+1 + R với ánh xạ F : R → R xác định F (a ) = ψ ( Pn′, a ) n′+1 Như số bậc n không xác định hàm F khơng xác định không gian R n +1 Điều gây khó khăn cho việc xây dựng đa thức xấp xỉ Pn,a ta Tuy nhiên , tính compact tập K , ta thấy điều khó khăn vượt qua định lý sau Định lý 4.2 : Cho tập compact K ⊂ B( I ) ε >0 định lý 4.1 Khi tồn n ∈ N tương ứng với đa thức Pn,a cho : ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < ε , ∀h ∈ K Chứng minh : Vì K compact , nên với ε >0 cho trước tồn hữu hạn s h1 , h2 , , hs ∈ K cho : K ⊂ U B(h j , j =1 ε 2.C ) , số C xác định theo định lý 3.2 Trước hết với h1 , theo định lý 4.1 tồn n1 = n(h1 , ε ) đa thức tương ứng P1 ,an với hệ n số an1 ∈ R n1 +1 cho : ψ (h1 ) −ψ ( Pn ,a ) < ε n1 Tương tự , với hs , theo định lý 4.1 , tồn ns = n(hs , ε ) đa thức tương ứng Pnr ,an với hệ s số ans ∈ R ns +1 cho : ψ (hs ) −ψ ( Pn ,a ) < ε s ns Đặt n = max n j Lúc ta xây dựng đa thức Pn,a có bậc n có hệ số a ∈ R n +1 1≤ j ≤ s cho ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < ε , ∀h ∈ K s Thật , lấy h ∈ K Vì K ⊂ U B(h j , j =1 h − hj B(I ) Do : ψ (h) −ψ (h j ) ≤ < ε 2.C ε 2.C ), nên tồn số j cho : ∫ ∫ L(h( x),θ ) − L(h ( x),θ ) fθ ( x)μ (dx)τ (dθ ) j Θ I ≤ ∫ ∫ C h( x) − h j ( x) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) Θ I ≤ ∫ ∫ C h − hj Θ I fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) < B(I ) ε Trang 13 Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 Vậy ψ (h) −ψ (h j ) < ε Mặt khác , với h j ∈ B( I ) , theo định lý 4.1 , tồn g j ∈ C ( I ) cho : ψ ( h j ) −ψ ( g j ) < (1) ε Với hàm g j ,sẽ tồn số nguyên dương nj tương ứng với đa thức Pn j ,an với hệ số an ∈ R n +1 cho : j j j g j − Pn j ,an j Suy : ψ ( g j ) −ψ ( Pn j , an ) ≤ j ε < 4C C(I ) ∫ ∫ L( g j ( x), θ ) − L( Pn j ,an ( x), θ ) fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) j Θ I ≤ ∫ ∫ C g j − Pn j ,an Θ I fθ ( x) μ (dx)τ (dθ ) < j C(I ) ε Tuy nhiên , n = max n j , nên ta xây dựng đa thức Pn,a với hệ số a ∈ R n +1 1≤ j ≤ s sau : Pn, a ( x) = Pn j ,an ( x) + 0.x j n j +1 + + 0.x n = Pn j , an ( x) j Khi : g j ( x) − Pn j ,an ( x) = g j ( x) − Pn ,a ( x) j Do : g j − Pn j ,an Suy : g j − Pn ,a j C(I ) C(I ) < = g j − Pn, a C(I ) ε 4.C Vậy nên : ψ (h j ) −ψ ( Pn, a ) < ε (2) Từ (1) (2) ta ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < ε + ε = ε , ∀h ∈ K Định lý 4.2 chứng minh xong ª Cuối dựa vào định lý 4.2 ta tìm thuật tốn xây dựng đa thức cực tiểu xấp ˆ xỉ với ước lượng Bayes h ∈ K 3.THUẬT TOÁN Theo định lý 4.2 , ∀ε > 0, ∃!n = n(ε ) cho ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < ε , ∀h ∈ K Do với a ∈ R n +1 , tồn ánh xạ F : R n +1 → R + xác định F (a ) = ψ ( Pn ,a ) Tiếp theo , ta đặt : Aε , h = {a ∈ R n +1 : ψ (h) − F (a ) < ε } Aε = U Aε ,h h∈K Trang 14 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 9, SỐ -2006 Ta thấy Aε ,h ≠ ta vừa chứng tỏ ∀h ∈ K ln tồn đa thức Pn,a ( tức có vectơ a ∈ R n +1 ) cho : ψ (h) −ψ ( Pn ,a ) < ε ⇔ ψ ( h) − F ( a ) < ε Giả sử F đạt cực tiểu Aε Khi ∃a* ∈ Aε , F ( a* ) = inf F (a ) h∈K ˆ Giả sử h ước lượng Bayes thuộc K , tức ˆ ψ (h) = inf ψ (h) h∈K ˆ ˆ Với h , tồn đa thức Pn,a với bậc n với hệ số a ∈ R n +1 cho : ˆ ˆ ˆ F ( a ) −ψ ( h) < ε (1) ˆ Từ , theo định nghĩa Aε , ta thấy a ∈ Aε ˆ Do : F (a* ) − F (a ) < 3.ε Mặt khác , ta có đồng thới : ˆ ˆ F ( a ) −ψ ( h) < ε ˆ ψ ( h ) − ψ ( h* ) < ε (2) ψ (h* ) − F (a* ) < ε ˆ F (a* ) − F (a ) > −3ε Suy : Từ (2) (3) suy : ˆ F (a* ) − F (a ) < 3ε (3) (4) Từ (1) (4) suy : ˆ F (a* ) −ψ (h) < 4ε Với a* ∈ R n +1 xây dựng đa thức Pn,a* thoả điều kiện F (a* ) = ψ ( Pn ,a* ) ˆ Do : ψ ( Pn ,a* ) −ψ (h) < 4ε Điều có nghĩa ta tìm thuật tốn xây dựng đa thức cực tiểu Pn,a* xấp xỉ ước ˆ lượng Bayes h ∈ K 4.THẢO LUẬN Có thể xét trường hợp không gian tham Θ tập compact không gian Banach khả ly đưa tiêu chuẩn compact tương đối cho không gian hàm tương ứng Cũng xét tốn xấp xỉ trường hợp n > Các vấn đề khảo sát tương lai gần Trang 15 Science & Technology Development, Vol 9, No.9- 2006 THE RELATIVELY COMPACT CRITERION IN THE FUNCTIONAL SPACES AND ITS APPLICATION IN STATISTICAL STRUCTURE Ung Ngoc Quang University of Natural Sciences, VNU – HCM ABSTRACT : In this paper , we present a new relatively compact criterion in the functional spaces By using this criterion , with some conditions on the class of estimators, we prove some theorem on the existence of Bayesian estimators and on the approximation of Bayes estimators by polinomial functions Keywords: Relatively compact criterion, functional spaces,statistical structure, nonlinear statistical models, Bayesian estimators, existence, approximation TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ung Ngoc Quang , On the existence of Bayesian estimates in nonlinear statistical models with compact parameter space, Acta Math Vietnamica , Vol.19, No.2, 149 – 160, (1994) [2] Ung Ngoc Quang , On the existence of Bayesian estimates in multidimensional nonlinear statistical models with compact parameter space, VietNam Journal of Mathermatics , Vol.23, No.2 , 229 – 240, (1995) [3] Ung Ngoc Quang , On the Bayesian estimates in multidimensional nonlinear regresion models, Journal Science and Technology development,Vietnam National University – HoChiMinh City, Vol.4, No.7 , 23 – 29, (2001) [4] Ung Ngoc Quang , On the approximation of Bayesian estimates in functional spaces, Journal Science and Technology development,Vietnam National University – HoChiMinh City, Vol.8, No.1 – 13, (2005) [5] R.Meise and D.Vogt, Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford (1997) [6] W.Rudin, Real and Complex Analysis, Tata McGraw – Hill, (1978) [7] S.Zacks, The Theory of Statistical Inference , John Wiley, (1971) [8] I.I.Gikhmand , A.V.Skorokhod, Lý thuyết trình ngẫu nhiên ( tiếng Nga ), Nauka, Mockva, (1971) [9] P.Congdon, Bayesian Statistical Modelling, John Wiley, (2005) [10] P.M.Lee, Bayesian Statistics, Oxford University Press, (2004) Trang 16 ... phát biểu chứng minh tiêu chuẩn compact tương đối không gian Banach B ( I , R r ) Tiêu chuẩn tương tự tiêu chuẩn Ascoli – Arzela phát biểu [5] Định lý 2.2 ( Tiêu chuẩn compact tương đối B( I ,... trường hợp không gian tham Θ tập compact không gian Banach khả ly đưa tiêu chuẩn compact tương đối cho không gian hàm tương ứng Cũng xét tốn xấp xỉ trường hợp n > Các vấn đề khảo sát tương lai... hình thống kê phi tuyến với không gian tham compact Θ ⊂ R r Mục nhằm ứng dụng tiêu chuẩn compact tương đối định lý 2.2 , để chứng minh tồn ước lượng Bayes cho tham ẩn θ ∈ Θ , cấu trúc thống