Chương 2: THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 2.1. Tóm tắt lý thuyết 2.1.1. Định nghĩa Thanh được gọi là chịu kéo hoặc nến đúng tâm nếu trên mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần ứng lực là N z Qui ước dấu của N z : chiều dương khi đi ra khỏi mặt cắt (chịu kéo), và chiều âm khi hướng vào trong mặt cắt ngang đang xét (chịu nén). 2.1.2. Ứng suất Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại thành phần ứng suất pháp. Trạng thái ứng suất tại một điểm của thanh là trạng thái ứng suất đơn. N z σ z = A (2.1) Trong đó A - diện tích mặt cắt ngang, N z - lực dọc trên mặt cắt ngang 2.1.2. Biến dạng - Biến dạng dài tuyệt đối dọc trục thanh l N dz Δl = ∫ z (2.2a) 0 EA Trong đó l - chiều dài thanh, EA - độ cứng khi kéo (nén) của thanh nếu trên đoạn chiều dài l mà Δl = N z l EA N z = const EA thì (2.2b) Nếu thanh gồm n đoạn, chiều dài và độ cứng khi kéo (nén) trên mỗi đoạn là l i và (EA) i , lực dọc trên mỗi đoạn là N zi và N z = const EA trên mỗi đoạn thì: n n ⎛ N l ⎞ ∑ i ∑ ⎜ ⎟ Δl = Δl i = 1 = zi i i = 1 ⎝ (EA) i ⎠ (2.3) - Biến dạng ngang tuyệt đối theo phương x, y vuông góc trục thanh N ∫ ∫ 0 2 Δ l = bε = − με = − μ b σ z = − μ b N z ; Δ l = − μ h N z (2.4) x x z b E EA y EA với b, h lần lượt là kích thước theo phương x, y của mặt cắt ngang có lực dọc là N z , diện tích mặt cắt ngang là A, μ là hệ số Poisson. 2.1.3. Chuyển vị Khi thanh thẳng chịu kéo (nén) đúng tâm trục thanh vẫn thẳng, các mặt cắt ngang không có chuyển vị xoay mà chỉ có chuyển vị tịnh tiến theo phương dọc trục. Tại toạ độ z của mặt cắt ngang, chuyển vị theo phương dọc trục là w: z N dz w = ∫ z + w (2.5) 0 EA Trong đó w 0 là chuyển vị của mặt cắt ngang tại z=0 Khi tính chuyển vị của các điểm thuộc hệ thanh liên kết khớp, trước tiên xác định lực dọc trong các thanh, từ đó tính được biến dạng của từng thanh riêng biệt. Từ sơ đồ biến dạng của hệ tìm mối liên hệ hình học của chuyển vị điểm cần tìm với biến dạng của từng thanh riêng biệt. 2.1.4. Thế năng biến dạng đàn hồi Thế năng biến dạng đàn hồi riêng (là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy trong 1 đơn vị thể tích thanh) u = 1 σ ε = 1 σ 2 = 1 z (2.6) 2 z z 2E z 2E A 2 Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong cả đoạn thanh có chiều dài l là: N 2 U = udV = z dz l 2EA 2.1.5. Tính toán điều kiện bền và điều kiện cứng Trình tự tính toán điều kiện bền của thanh theo ứng suất cho phép: • Vẽ biểu đồ lực dọc Nz của thanh (2.7) • Căn cứ vào biểu đồ lực dọc và diện tích mặt cắt ngang trên từng đoạn, tìm mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có ứng suất pháp cực trị. • Xem vật liệu thanh là dẻo hay dòn để viết điều kiện bền cho đúng σ b b k n ⇒ Vật liệu dẻo: max { σ , σ } = max ⎧ N z ⎫ ≤ [ σ ] = ch (2.8a) zmax z min ⎨ A ⎬ n ⎩ ⎭ Trong đó [ σ ] - ứng suất cho phép của vật liệu dẻo, σ ch của vật liệu, n là hệ số an toàn ⇒ Vật liệu dòn: là giới hạn chảy σ ≤ [ σ ] = σ b ; σ ≤ [ σ ] = σ b (2.8b) zmax k n z min n n Trong đó [ σ ] , [ σ ] - ứng suất cho phép khi kéo và nén của vật liệu dòn, σ k , σ n k n là giới hạn bền kéo và nén của vật liệu, n là hệ số an toàn Từ điều kiện bền ta có ba dạng bài toán cơ bản a. Bài toán ki ể m t r a đ iều k iện b ền Cho: sơ đồ kết cấu, kích thước hình học, vật liệu, tải trọng. Yêu cầu: kiểm tra điều kiện bền (2.8a) hoặc (2.8b) của thanh b. Bài toán c họ n kích t h ước mặt c ắt ngan g thanh Cho: sơ đồ kết cấu, chiều dài thanh, hình dạng thanh, vật liệu, tải trọng Yêu cầu: Chọn kích thước cần thiết của mặt cắt ngang theo điều kiện bền. A ≥ N z [ σ ] (2.9) c. Bài toán tìm giá t r ị cho phép c ủ a tải t r ọng Cho: sơ đồ kết cấu, kích thước hình học, vật liệu, vị trí và phương chiều của tải trọng. Yêu cầu: Tìm giá trị lớn nhất của tải trọng có thể tác dụng vào hệ kết cấu theo điều kiện bền của thanh. N z ≤ A . [ σ ] (2.10) A Điều kiện cứng Δl ≤ ⎡ ⎣ Δ l ⎤ ⎦ hoặc w K ≤ ⎡ ⎣ w ⎤ ⎦ (2.11) Trong đó: Δl là biến dạng dài của một đoạn thanh nào đó do nguyên nhân bên ngoài gây ra. [ Δ l ] w K là giá trị cho phép của biến dạng dài . là chuyển vị dọc trục của điểm K bất kỳ. [ w ] là chuyển vị cho phép. 2.1.6. Bài toán siêu tĩnh Để xác định lực dọc trong thanh ta nhận thấy số phương trình tĩnh học là không đủ. Để giải quyết vấn đề này ta phải viết thêm phương trình bổ sung - thường là phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng. 2.2. Bài tập tự giải Bài 2.1. Cho thanh có tiết diện thay đổi chịu tải trọng như hình vẽ - Vẽ biểu đồ lực dọc, biểu đồ ứng suất và biểu đồ chuyển vị của các mặt cắt ngang Bài 2.2. Cho các thanh chịu lực như hình vẽ. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị của các mặt cắt ngang. Biết a=1m; A 3 =1,5A 2 =2A 1 =15cm 2 ; F 1 =25kN; F 2 =60 kN; q=10kN/m. A 3 A 2 1 B F 2 C D F 1 q K a a a L L A Bài 2.3. Cho các thanh chịu lực như hình vẽ. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và xác định chuyển vị của trọng tâm mặt cắt ngang D. Biết a=1,5m; A 2 =1,5A 1 =15cm 2 ; F=25kN; A 2 1 3F F B C D 2a a Bài 2.4. Cho hệ thanh chịu tải trọng như hình vẽ 1. Xác định nội lực trong các thanh theo q 2. Tính tải trọng q cho phép của hệ theo điều kiện bền của các thanh treo 1, 2, 3 3. Với [q] vừa xác định, tính chuyển vi theo phương thẳng đứng của điểm K, C. Biết a=0,5m; L=1,5m; EA=3.10 5 kN; [σ]=16kN/cm2; F=2qa; M=qa 2 . 1 2 EA EA q M H K D 2EA 3 F B C a a 2a Bài 2.5. Cho hệ thanh có liên kết và chịu lực như hình vẽ. Thanh nằm ngang BCD coi như tuyệt đối cứng. 1.Xác định lực dọc trong các thanh BK, DH thuộc hệ. 2.Tính ứng suất pháp lớn nhất trong các thanh BK , DH . 3.Xác định phản lực liên kết tại C. Biết tải trọng F ; chiều dài a ; diện tích tiết diện A ; mô đun đàn hồi E ; α =45 0 . δ a a 3a h H F 2EA B C D EA K a a a Bài 2.6. Xác định tải trọng [F] cho phép theo điều kiện bền của các thanh treo. Giả thiết dầm BKD tuyệt đối cứng, các thanh treo làm cùng vật liệu có E=2.10 4 kN/cm 2 , diện tích mặt cắt ngang A=4 cm 2 , [σ]=18kN/cm 2 , α=30 0 . Tìm chuyển vị điểm K theo phương thẳng đứng với tải trọng cho phép vừa tìm được. 1 2 F B K D 2a a Bài 2.7. Dầm tuyệt đối cứng CD treo bởi thanh BC, được nối vào thanh EK. Do sai số chế tạo, thanh EK bị hụt so với chiều dài cần thiết một đoạn δ=3mm.Hãy tính ứng suất phát sinh trong thanh BC và EK khi hàn chập hai điểm E và H. Biết hai thanh BC và EK làm cùng vật liệu và kích thước có độ cứng EA=5.10 4 kN; a=1m. 3a B C H E D K h Bài 2.8. Một thanh thẳng có độ dày δ không đổi, bề rộng biến đổi theo hàm bậc nhất chịu lực tập trung ở đầu tự do. Vẽ biểu đồ lực dọc, ứng suất và chuyển vị của các mặt cắt ngang theo F, b, h, δ. 2b δ b F F Bài 2.9. Một trục chiều dài L, diện tích mặt cắt ngang A1, làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi E1 được đặt trong ống tròn có cùng chiều dài, diện tích mặt cắt ngang A2 và làm bằng vật liệu có mô đun đàn hồi E2. Xác định biến dạng của trục và ống khi có lực P tác dụng lên tấm tuyệt đối cứng. Bài 2.10. Thanh tuyệt đối cứng BDE liên kết bởi hai thanh treo AB và CD. Thanh AB làm từ nhôm có E=70GPa, diện tích mặt cắt ngang A=500mm2; thanh CD làm từ thép có E=200GPa và diện tích mặt cắt ngang A=600mm2. Hệ chịu tải trọng 30 kN như hình vẽ. Xác định chuyển vị theo phương thẳng đứng của các điểm B, C và D Bài 2.11. Hai trục tròn nối nhau tại B và chịu tải trọng như hình vẽ. Đoạn trục AB làm từ thép E=70GPa và đoạn trục BC làm từ gang có E=105 GPa. Hãy xác định biến dạng của cả đoạn thanh và chuyển vị của điểm B. Bài 2.12. Hai đế tuyệt đối cứng A và B được nối bởi hai bu lông CD, GH làm bằng sắt đường kính 18 mô men. Hai đỉnh đế tiếp xúc với thanh tròn EF đường kính 36mm làm từ nhôm. Tính ứng suất trong bu lông và trong thanh nhôm khi vặn ốc ¼ vòng. Bước ren của bu lông là 2mm. E thép =200 GPa; E nhôm =70GPa Bài 2.13. Xác định phản lực tại hai đầu của thanh thép chịu tải trọng như hình vẽ. Biết tại đầu B của thanh có khe hở δ = 4,5mm trước khi chịu tải, E=200 GPa Bài 2.14. Các thanh AB và CD làm bằng thép có E=200GPa và diện tích mặt cắt ngang không đổi 6x25 mô men. Hãy xác định tải trọng cho phép tác dụng lên hệ tại E, biết chuyển vị tại E theo phương thẳng đứng không được vượt quá 0,25 mm. Bài 2.15. Xác định phản lực tại các liên kết của thanh chịu tải trọng và liên kết như hình vẽ Bài 2.16. Xác định phản lực tại hai đầu của thanh thép chịu tải trọng như hình vẽ. Biết tại đầu B của thanh có khe hở δ = 4,5mm trước khi chịu tải, E=200 GPa [...].. .Bài 2.17 Thanh có tiết diện không đổi có liên kết và chịu tải trọng như hình vẽ Tính ứng suất trong các đoạn thanh . ] , [ σ ] - ứng suất cho phép khi kéo và nén của vật liệu dòn, σ k , σ n k n là giới hạn bền kéo và nén của vật liệu, n là hệ số an toàn Từ điều kiện bền ta có ba dạng bài toán cơ bản a. Bài toán. = ch (2.8a) zmax z min ⎨ A ⎬ n ⎩ ⎭ Trong đó [ σ ] - ứng suất cho phép của vật liệu dẻo, σ ch của vật liệu, n là hệ số an toàn ⇒ Vật liệu dòn: là giới hạn chảy σ ≤ [ σ ] = σ b ; σ ≤ . đó A - diện tích mặt cắt ngang, N z - lực dọc trên mặt cắt ngang 2.1.2. Biến dạng - Biến dạng dài tuyệt đối dọc trục thanh l N dz Δl = ∫ z (2.2a) 0 EA Trong đó l - chiều dài thanh, EA - độ