GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Vì ϕ < nên thường cần kiểm tra điều kiện ổn định đủ Tuy nhiên, có giảm yếu cục liên kết bu lông, đinh tán… cần kiểm tra hai điều kiện bền ổn định - Điều kiện bền: σ = - Điều kiện ổn định σ = P ≤ [σ ]n Fth (11.20) P ≤ ϕ [σ ]n F (11.21) thực tế, thỏa (11.21) thường thỏa (11.20) Đối với toán ổn định có ba toán: Kiểm tra ổn định: σ = P ≤ ϕ [σ ]n F (11.22) Xác định tải trọng cho phép: (11.23) [ P ] ≤ ϕ F [σ ]n Trong hai toán trên, tiết diện biết nên suy hệ số ϕ theo trình tự: F, I → λ = μl J /F → ϕ (tra baûng 11.1) Chọn tiết diện: F≥ P ϕ [σ ]n (11.24) việc tìm F phải làm dần, (11.22) chứa hai biến: F ϕ (F) Trình tự sau: - Giả thiết: ϕo = 0,5; tính được: Fo = - Từ λo ⇒ F1 = tra bảng ta ' ϕo Nếu P ⇒ λo ϕ o [σ ]n ' ϕo ≠ϕo lấy: ϕ1 = ϕ o + ϕ'o P ⇒ λ1 ⇒ ϕ1' ϕ1[σ ]n thường lặp lại trình tính khoảng - lần sai số tương đối hai lần tính đủ nhỏ (≤ 5%) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 10 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 11.3 Chọn số liệu thép Ι cho dài 2,0m, liên kết khớp hai đầu chịu lực nén P = 230 kN Biết vật liệu thép số có [σ ]n = 14 kN / cm Giải: a Lần chọn thứ Giả thiết ϕ = 0,5 , ⇒ F≥ 230 P = = 32,8cm [σ ]n ϕ 14,0.0,5 Tra bảng thép định hình ta chọn thép chữ Ι số 24 có F = 34,8 cm2, iy = imin = 2,37 cm, ta có độ mảnh: λ= μl imin = 1.200 = 84,4 2,37 Tra bảng quan hệ λ ϕ ta ϕ = 0,724 Hệ số khác với giả thiết ban đầu nên ta phải chọn lại b Lần chọn thứ hai Giả thiết: ϕ= 0,5 + 0,724 230 = 26,84cm = 0,612 ⇒ F ≥ 0,612.14 Tra bảng thép định hình ta tìm thép chữ Ι số 20 với F= 26,8 cm2, imin = 2,07 cm Độ mảnh lúc bằng: λ= 1.200 = 96,6 2,07 tra bảng ta tìm ϕ = 0,631 gần giá trị 0,625 theo giả thiết Do đó, ta kiểm tra lại điều kiện ổn định: P ≤ [σ ]n ; ϕF 230 = 13,6 kN / cm < [σ ] = 14 kN / cm 0,631.26,8 Vậy ta chọn thép chữ Ι số 20 Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 11 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2- Chọn mặt cắt ngang vật liệu hợp lý Khi thiết kế chịu nén, người ta cố gắng làm cho khả chịu lực lớn tốt Theo công thức (11.6) (11.15) ta có lực tới hạn: - Trong miền đàn hồi: Pth = π EI (11.6) (μl) - Ngoài miền đàn hồi: Pth = σ th F Thường chiều dài liên kết hai đầu cho trước Vì vậy, (11.15) σth, MN/m2 Thép hợp kim để tăng Pth có hai cách: 300 Thép cacbon 1) Chọn vật liệu có môđun đàn 240 hồi lớn, Ví dụ dùng thép thay cho bê 200 tông Tuy nhiên, dùng thép cường độ cao thay cho thép cường độ thấp 100 làm việc miền đàn hồi; miền đàn hồi thép có 40 80 100 120 160 λ môđun đàn hồi giống nên việc thay lợi mặt chịu lực đồ thị H.11.8 thể 2) Nếu hệ số liên kết μ giống theo hai phương cấu tạo tiết diện có Ix = Iy , thường làm tiết diện rỗng để tăng mômen quán tính mặt cắt phải có cấu tạo để không ổn định cục Tiết diện hợp lý cột chịu nén thực tế thường có dạng H.11.9 Hình 11.9 Dạng tiết diện hợp lý Nếu liên kết hai phương khác nên cấu tạo tiết diện cho có λ max = λ hay: Jx μ x = Jy μy (11.25) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 12 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.5 XAÙC ĐỊNH LỰC TỚI HẠN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯNG 1- Khái niệm Việc tìm lực tới hạn có độ mảnh lớn theo phương pháp tónh Euler thực xác Tuy nhiên, thực tế có toán phức tạp có độ cứng EJ thay đổi, lực phân bố dọc theo trục việc thiết lập giải phương trình vi phân để tìm lực tới hạn trở nên phức tạp Trong trường hợp đó, người ta dựa nguyên lý bảo toàn lượng để tìm nghiệm gần 2- Phương pháp lượng xác định lực tới hạn Giả sử chịu nén tâm lực Pth, minh họa H.11.10 z dz e y dz Pth de l Hình 11.10 Xác định lực tới hạn Dưới tác động nhiễu, bị uốn cong với phương trình y(z), điểm đặt lực Pth dịch chuyển đoạn e Theo nguyên lý bảo toàn lượng, công A lực Pth biến dạng uốn U thanh: A=U (11.26) A = Pth e (11.27) đó: l U = l M2 '' ∫ EJ dz = ∫ EJy dz o o (11.28) Để xác định độ co ngắn e uốn cong gây ra, ta xét phân tố dz H.11.11 Ta coù: de = dz − dz cos θ = dz(1 − cos θ) = dz(2 sin hay: de = y'2 dz (11.29) Chú ý rằng, góc xoay sin θ θ = ; 2 θ θ2 ⎛θ⎞ ) = dz2⎜ ⎟ = dz 2 ⎝2⎠ θ bé nên ta coi: θ = tgθ = y' Tích phân (11.30) ta được: e= l y' dz = ∫ y' dz ∫ 2 o o l (11.30) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 13 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com l Do đó: A= Pth y '2 dz ∫ o (11.31) Thế (11.31) (11.28) vào (11.26) ta coù: Pth l ∫ y' l dz = o EIy" dz 2∫ o l hay: Pth = ∫ EIy "2 dz (11.32) o l ∫ y' dz o Khi tìm lực Pth theo phương pháp lượng, ta chọn y(z) thỏa điều kiện biên vào (11.33) Vì thường y(z) gần nên lực Pth gần Sự sai lệch đường đàn hồi y(z) có ý nghóa đặt thêm hệ liên kết đàn hồi phân bố dọc theo trục làm cho trở nên cứng Vì vậy, lực Pth tìm theo phương pháp lượng lớn giá trị thật (chỉ giá trị thật đường đàn hồi chọn xác) Thí dụ 11.4 Tìm lực Pth cho H.11.11 Pth với EJ = số Giải Giả sử đường đàn hồi chọn gần theo dạng lực phân bố gây sau: y = αz( z3 − 2lz2 + l ) với α - số bé ta coù: y' = α (4 z3 − 6lz2 + l ) y' ' = 12α ( z2 − lz) vào (11.33) ta tìm được: So với nghiệm xác Pth = Pth = l Hình 11.11 Tìm Pth pháp năphương ng lượn g 9,882 EI l2 π2 EI 9,8696EI = l2 l2 kết tính lớn 0,25% Nếu đường đàn hồi chọn nửa sóng hình sine, tức trùng với đường đàn hồi xác toán Euler, Pth tìm theo phương pháp lượng cho kết xác Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 14 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com BÀI TẬP CHƯƠNG 11 11.1 Cho bốn có mặt cắt ngang làm loại vật liệu có liên kết H.11.1 Nếu muốn chịu lực nén tâm chiều dài phải La Giả thiết vật liệu ổn định miền đàn lc lb la a) ld hồi EJ = số c) b) d) Hình 11.1 11.2 Thanh có chiều dài L = m, đầu ngàm, đầu khớp Hãy xác định lực tới hạn ba trường hợp sau đây: a Mặt cắt hình tròn bán kính R = cm, vật liệu gang xám có: σtl = 17,8 kN/cm2; E = 1,15.104 kN/cm2 b Mặt cắt hình tròn rỗng bán kính R = cm bán kính r = cm, vật liệu đura có σtl = 18 kN/cm2; E = 0,71.104 kN/cm2 c Maët cắt hình vuông cạnh 15 cm × 15 cm, vật liệu gỗ có: σtl = 1,7 kN/cm2; E = 0,1.104 kN/cm2 Biết hai hệ số công thức Iasinski laø a = 2,93 kN/cm2 vaø b = 0,0194 kN/cm2 11.3 Cho gang có l = 1,6 m; P a = cm; t = cm nhö H.11.14 Xác định lực tới hạn ứng suất tới haïn Cho λo = 80; a = 77,6 kN/cm ; b = 1,2 kN/cm Muốn ổn định vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi chiều dài phải bao nhiêu? t l t a Hình 11.3 Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 15 http://www.ebook.edu.vn a GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.4 Kiểm tra ổn định P = 200kN cho H.11.4, [σ] = 14 kN/cm2 Lực nén cho phép 2L 160 x100 x9 4L 80 x 3m thép thép số 5m lớn bao nhiêu? Vật liệu P = 200kN 20 a) b) Hình 11.4 11.5 Cho hai hệ chịu lực H.11.5 Xác định số hiệu mặt cắt chữ I chống AB, biết [σ ] = 16 kN/cm2 Vật liệu thép số Xác định hệ số an toàn ổn định q = 40 kN/m P = 200 kN P = 950 kN A A 2m 3m 2m C 2m B a) o B 60 2m b) 4m Hình 11.5 11.6 Một giá đỡ chịu tải trọng phân bố H.11.6 Xác định trị số cho phép cường độ tải trọng phân bố tác dụng lên giá Thanh AB có mặt cắt hình vuông cạnh cm x cm làm gỗ coù [σ] = kN/cm2 a 10 m D A q B y P = 100 kN 8m x cm C Hình 11.7 Hình 11.6 Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 16 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.7 Một dầm cầu trục AD chịu lực H.11.7 Cột BC làm hai thép chữ I số 14 ghép lại cho mô men quán tính hai trục Xác định chiều dài tối đa mút thừa a, biết cột làm việc bất lợi xe cầu trục mang trọng lượng 100 kN đặt đầu mút thừa Tải trọng phân bố q = kN/m L 80 x 80 x 2m P L 100 x 100 x 10 cm l B a A a cm 6m Hình 11.8 Hình 11.9 11.8 Hệ chịu lực H.11.8 Xác định chiều dài l chống AB làm thép có [σ] = 14 kN/cm2 Cho biết tải trọng P = 300 kN 11.9 Một chịu nén tâm làm bốn thép góc cạnh loại 80 × 80 × (H.11.9) Xác định kích thước a mặt cắt Biết dài l = m hai đầu liên kết khớp chịu lực nén đầu cột P =200 kN Vật liệu có [σ] = 20 kN/cm2 11.10 Một cột gỗ dài L= m, mặt cắt hình chữ nhật b × h Đầu cột chôn vào bê tông, đầu trượt theo khe nhỏ song song với phương chiều dài h mặt cắt (H.11.10) Xác định kích thước mặt cắt b × h cho mặt cắt hợp lý Cho biết lực nén P = 100 N, [σ] = kN/cm2 P P 3m b h Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm 17 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLeâ đức Thanh Chương 12 UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI 12.1 ĐẶC ĐIỂM BÀI TOÁN Xét chịu uốn tác động đồng thời lực ngang R lực nén dọc P H.12.1 Nếu chuyển vị đáng kể cần phải xét cân sơ đồ biến dạng mômen nội lực bao gồm ảnh hưởng lực R P: (12.1) M(z) = MR + MP = MR + Py(z) MR - mômen uốn riêng tải trọng ngang gây đó: Py(z) - mômen uốn lực dọc gây R P z y(z) Hình 12.1 Uốn ngang uốn dọc đồng thời Bài toán gọi uốn ngang uốn dọc đồng thời Đặc điểm toán: - Mômen M(z) phụ thuộc vào độ võng y(z) - Mômen M(z) phụ thuộc phi tuyến vào lực P độ võng y(z) phụ thuộc vào P Vì vậy, nguyên lý cộng tác dụng không áp dụng cho loại toán 12.2 PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC Để tìm mômen uốn, trước hết cần thiết lập phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu lực nén P tải trọng ngang Q q(z) q(z) P P y(z) P M + dM M P α dz O Q + dQ Hình 12.2 Thanh chịu uốn nén Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Xét cân sơ đồ biến dạng phân tố dz H.12.2 ∑ Mo = : yù raèng : tgα = M + dM − M − Qdz − Pdz tgα = dy dz dM dy −P = Q dz dz ta có: (12.2) lấy đạo hàm hai vế (12.2), ý dQ = − q(z) , dz d2 M d2 y − P = − q ( z) dz2 dz theá M = − EIy" (*) ta có phương trình: (12.3) vào (12.3) ta thu được: (12.4) EIy IV + Py" = q ( z) Đây phương trình vi phân đường đàn hồi dầm chịu nén uốn Nếu biết tải trọng tác dụng điều kiện biên giải (12.4) để tìm đường đàn hồi, từ suy mômen uốn theo phương trình (*) Trong thực tế, thường có nhiều quy luật tải trọng khác chiều dài nên việc giải phương trình (12.4) phức tạp Vì vậy, người ta thường áp dụng phương pháp gần 12.3 PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG Xét dầm đơn giản chịu tải trọng đối xứng H.12.3 q q P f f0 l l a) Hình 12.3 Đường đàn hồi đối xứng b) Sơ đồ (a) chịu tải trọng ngang, với độ võng nhịp fo Sơ đồ (b) chịu đồng thời tải trọng ngang tải trọng dọc, có độ võng nhịp f Giả thiết đường đàn hồi có dạng hình sine (giống dạng ổn định), ta có phương trình đường đàn hồi hai trường hợp sau: πz yo = fo sin ; y = f sin πz l l Dạng phương trình thỏa điều kiện biên y = y " = hai khớp Mômen uốn nội lực tương ứng sau: " M o = − EIyo = EI π2 πz π2 f sin = EI yo o l l l Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLeâ đức Thanh 12.6 CỘT CHỊU NÉN LỆCH TÂM Xét cột mảnh chịu nén lệch tâm lực P H.12.8 πz yo = a sin (12.11) l Do taùc dụng lực P, cột bị cong có phương trình y(z) Mômen uốn tiết diện lực P gaây ra: (12.23) M = P{e + y( z)} = Pe + Py( z) đó: e - độ lệch tâm ban đầu; y - độ võng trục cột Phương trình vi phân đường đàn hồi nhö sau: z y'' ( z) = − e M EI (12.24) Thế (12.23) vào (12.24) đặt P α2 = P EI ta được: (12.25) y" + α y = − α 2e δ Nghiệm tổng quát phương trình l tổng nghiệm nghiệm riêng: y(z) y = A sin αz + B cos αz − e P y đó: e Hình 12.8 Cột có độ cong ban đầu (12.26) A B - số nghiệm nhất; e - nghiệm riêng Các điều kiện biên: y (0) = ⇒ B = e y (l) = ⇒ A = e(1 − cos αl) αl = e tan sin αl Phương trình đường đàn hồi trở thành: y = e(tan αl sin αz + cos αz − 1) Độ võng lớn nhịp, tức δ = ymax = e ( cos αl (12.27) z= − 1) l laø: (12.29) (12.28) Nếu e = P = δ = Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Đồ thị quan hệ P - δ cho H.12.9 Đồ thị có ý nghóa vật liệu đàn hồi, tức δ nhỏ P < Pth P e=0 P th e = e1 e = e2 e > e1 δ Hình 12.9 Đồ thị quan hệ P - δ Mômen uốn lớn nhịp tính: M max = P (e + ymax ) = Pe Quan hệ lớn M max M max - cos (12.30) P l EI P cho H.12.10 Khi P nhỏ M max ≈ Pe , P tăng nhanh Từ đồ thị ta thấy quan hệ P - δ M max - P phi tuyến Trong thực tế, tính cột mảnh chịu nén lệch tâm cần thiết phải xét đặc điểm phi tuyến để đảm bảo an toàn Mmax Pe P th Hình 12.10 Quan hệ Mmax - P P Ứng suất cực ñaïi thanh: σ max ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ P M max c P⎢ ec ⎥ = + = 1+ A I A⎢ r P l⎥ cos ⎥ ⎢ EI ⎦ ⎣ với: A - diện tích tiết diện thanh; (12.31) r - bán kính quán tính c - khoảng cách từ trục trung tâm đến mép xa tiết diện Vì ứng suất phụ thuộc phi tuyến vào tải trọng nên kiểm tra bền theo ứng suất cho phép không đảm bảo an toàn theo hệ số n dự kiến Trong Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh trường hợp này, người ta dùng điều kiện an toàn theo tải trọng phương trình (12.10) BÀI TẬP CHƯƠNG 12 12.1 Tính ứng suất nén lớn theo phương pháp gần dầm chịu uốn ngang uốn dọc đồng thời cho H.12.11 q = 200 N/m P = 257 kN P = kN Po = kN q = kN/m 1 4m 2m 4m 2m - o 2C N 20 100 E = 103 kN/cm2 100 2m 2m b) a) 1–1 Hình 12.11 12.2 Cho dầm chịu lực H.12.9 Hãy tính ứng suất pháp lớn hệ số an toàn n [σ] = 24 kN/cm2 Tính độ võng lớn P1 = kN 20 cm q = 0,5 kN/m P = kN 40 cm 10 cm 10 cm P = kN 1m 2m 1m E = 103 kN/cm2 b) E = x 104 kN/cm2 a) Hình 12.12 o 60 12.3 Tính cường độ tải trọng cho dầm AB H.12.10, biết độ bền n = 1,6 Dầm AB phép tác dụng lên hệ số an toàn q B A cắt hình ống với đường kính 5m Hình 12.13 đường kính D = 10 cm, vật kN/cm2, tính bỏ qua trọng lượng dầm thép số có mặt d = cm liệu có [σ] = 24 Kiểm tra ổn định dầm lấy k = Cho E = 2.104 kN/cm2 Chương 12: Uốn ngang uốn dọc đồng thời http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương 13 TẢI TRỌNG ĐỘNG 13.1 KHÁI NIỆM 1- Tải trọng động Trong chương trước, khảo sát vật thể chịu tác dụng ngoại lực, ta coi ngoại lực tác dụng tónh, tức tải trọng gây gia tốc chuyển động bé, xét cân bỏ qua ảnh hưởng lực quán tính Tuy nhiên, có trường hợp mà tải trọng tác dụng coi tónh gây gia tốc lớn, ví dụ va chạm vật, vật quay quanh trục, dao động Khi này, phải xem tác dụng tải trọng động, phải xét đến lực quán tính giải toán 2- Phương pháp nghiên cứu Khi giải toán tải trọng động, người ta thừa nhận giả thiết sau: - Vật liệu đàn hồi tuyến tính - Chuyển vị biến dạng hệ bé Như vậy, nguyên lý cộng tác dụng áp dụng toán tải trọng động Khi khảo sát cân vật thể chịu tác dụng tải trọng động, người ta thường áp dụng nguyên lý d’Alembert Tuy nhiên, trường hợp vật chuyển động với vận tốc thay đổi đột ngột toán va chạm nguyên lý bảo toàn lượng sử dụng Để thuận tiện cho việc tính hệ chịu tải trọng động, công thức thiết lập cho vật chịu tác dụng tải trọng động thường đưa dạng tương tự toán tónh nhân với hệ số điều chỉnh nhằm kể đến ảnh hưởng tác dụng động, gọi hệ số động Trong chương xét toán tương đối đơn giản, thường gặp, có tính chất nhằm mở đầu cho việc nghiên cứu tính toán động lực học chuyên sâu sau Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 13.2 THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LÀ HẰNG SỐ Một tiết diện A có chiều dài L trọng lượng riêng γ, mang vật nặng P, kéo lên với gia tốc a H.13.1.a Tưởng tượng cắt cách đầu mút Nđ đoạn x Xét phần H.13.1.b, lực tác dụng gồm có: trọng lượng vật nặng P Lực quán tính đoạn γ.A.1 x x Trọng lượng đoạn γAx Lực quán tính tác dụng vật P γ,A γ.A.1a/g P.a g γAxa g Nội lực động Nđ mặt cắt xét P a) a P b) P.a/g Hình 13.1 a) Vật chuyển động lên với gia tốc a b) Nội lực ngoại lực tác dụng lên phần xét Theo nguyên lý d’Alembert, tổng hình chiếu tất lực tác dụng lên theo phương đứng kể lực quán tính phải không, ta được: Nđ − γAx − P − Pa g Nđ = γAx + P + ⇒ − γAxa g =0 Pa + γAxa g g Nñ = (γAx + P)(1 + a ) g Đại lượng (γAx + P) nội lực trạng thái treo không chuyển động, gọi nội lực tónh Nt Nđ = Nt.(1 + a ) Ta được: (13.1) g Ứng suất thanh: σd = đặt: Nd N = t A A ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎜ + ⎟ = σ t ⎜1 + ⎟ ⎜ g⎟ ⎜ g⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Kñ = + a g : Hệ số động (13.2) (13.3) σđ = σtKđ (13.4) Ứng suất lớn mặt cắt thanh: σđmax = σt,max.Kđ với: σt = (γAL + P)/A Điều kiện bền trường hợp là: σđmax ≤ [σ ]k (13.5) Ta thấy có hai trường hợp: Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com - Khi chuyển động lên nhanh dần (gia tốc a chiều chuyển động) chuyển động xuống chậm dần (gia tốc a ngược chiều chuyển động) hệ số động Kđ > 1, nội lực động lớn nội lực tónh - Ngược lại, chuyển động lên chậm dần chuyển động xuống nhanh dần Kđ < 1, nội lực động nhỏ nội lực tónh Dù vậy, vật thể chuyển động toán đây, phải tính toán thiết kế với Kđ > Thí dụ 13.1 Một dài 10m có tiết diện vuông 30 cm x 30 cm trọng lượng riêng γ = 2500 kG/m3, kéo lên với gia tốc a = m/s2 (H.13.2) Xác định đoạn mút thừa b để mômen âm gối tựa mômen dương nhịp Vẽ biểu đồ mômen, tính ứng suất pháp lớn qqt = γ.A(1)a/g Nd qbt = γ.A(1) a b L - 2b qa b L - 2b b qa 2 b q(L - 2b) qa L b) a) Hình 13.2 a) Thanh kéo lên với gia tốc a; b) Sơ đồ tính biểu đồ mômen Khi kéo lên với gia tốc a, chịu tác dụng lực quán tính, tải trọng tác dụng lên hệ tải trọng phân bố đều, gồm có: q = qbt + qqt = γA(1) + γA(1).a/g = 2500(0,3.0,3) + 2500(0,3.0,3).5/10 = 337,5 KG/m Sơ đồ tính biểu đồ mômen cho H.13.2.b Để mômen gối mômen nhịp, ta coù: qb2 q( L − 2b) qb2 = − ⇒ b = 0,206 L với b = 0,206L mômen lớn là: 337,5(0,206.10) qb2 q(0,206 L) = = = 716,11 KG.m 2 Mx 716,11.100.6 = = = 15,9 KG/cm Wx 30.302 M x, max = ⇒ σ max Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 13.3 VÔ LĂNG QUAY ĐỀU Một vô lăng có bề dày δ, đường kính trung bình D, tiết diện A, trọng lượng riêng γ, quay quanh trục với vận tốc góc không đổi ω (H.13.3.a) qđ γ,A, δ qđ y dϕ ω ϕ σđ x σđ D a) b) Hình 13.3 a) Tải trọng tác dụng lên vô lăng b) Tách vô lăng theo mặt cắt xuyên tâm Với chuyển động quay đều, gia tốc góc & at = ω D =0 & ω = 0, gia tốc tiếp tuyến: có gia tốc pháp tuyến hướng tâm là: a n = ω2 D (a) Một đoạn dài đơn vị vô lăng có khối lượng γA/g chịu tác dụng lực quán tính ly tâm là: qđ = γ ADω A an = γ 2g g (b) Để tính nội lực vô lăng, dùng mặt cắt tách vô lăng theo mặt cắt xuyên tâm, xét cân phần (H.13.3.b), đối xứng, mặt cắt vô lăng có biến dạng uốn (do mômen), biến dạng trượt (do lực cắt) mà có biến dạng dài lực dọc, nghóa có ứng suất pháp σđ Vì bề dày δ bé, xem σđ phân đều, lực ly tâm tác dụng chiều dài ds vô lăng qđ ds, phân tố ds định vị góc ϕ, lấy tổng hình chiếu theo phương đứng, ta có: 2σđA = ∫o qd ds sinϕ π qđ = γADω2/2g ds = D dϕ/2 vào, ta được: thay: σd = γ D w2 4g (13.6) Vì ứng suất vô lăng ứng suất kéo nên điều kiện bền vô lăng: σđ ≤ [σ ]k (13.7) Chú ý Khi tính vô lăng, ta bỏ qua ảnh hưởng nan hoa nối trục vô lăng, kể đến ứng suất kéo vô lăng giảm, độ phức tạp tính toán tăng lên nhiều, không cần thiết tính toán thực hành Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ví dụ 13.2 Một trục đứng đường kính D = 10 cm, trọng lượng riêng γ = 7850 kG/m3, mang khối lượng lệch tâm Q = 20 kG (H.13.4.a), trục quay với vận tốc n = 500 vòng/phút Kiểm tra bền trục, tính chuyển vị điểm đặt khối lượng Cho: [σ ] = 1600 kG/cm2; E = 2.106 kG/cm2, a = 0,5m a 136,94 KGm ω 547,75 KG Q KG.m e a KGm 20 KG 50,8 KG 61,6 KG Nz Mx,Qqt a) KGm 30,8 KG Mx,Q b) Hình 13.4 Giải Vận tốc góc: ω= 2πn = 2(3,14)500 / 60 = 52,33 rad/s 60 Lực quán tính ly tâm Qlt trọng lượng Q là: Q ω e = 20.52,332.0,1 = 5476,85 N g Qqt = 547,68 KG Qqt = Bỏ qua ảnh hưởng tác dụng tónh trọng lượng Q trọng lượng thân trục chúng nhỏ so với lực ly tâm Qlt Mômen lực ly tâm gây (H.13.4.b): Mxmax = QltL/4 = 547,68(1)/4 = 136,92 kGm Ứng suất lớn trục: σ max = M x, max Wx = 136,92.100 = 1395,36 kG/cm2 3,14(10)2 / 32 Nếu kể đến trọng lượng thân trục tác dụng tónh Q, tiết diện trục chịu tác dụng nội lực sau (H.13.4.b) Nz = 50,8 kG (neùn); Mx = 135,92 kGm σ max = M Nz 30,8 136,92.100 + x ,max = + 3,14(10) / 3,14(10) / 32 A Wx = 0,392 + 1395,75 kG/cm Trong trường hợp này, trọng lượng thân trục tác dụng tónh Q bỏ qua Chuyển vị tác dụng lực Qlt tính theo công thức sau: y= QL3 547,75.(100) = = 0,0116 cm 48EI x 48.2.10 6.3,14(10) / 64 13.4 DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 1- Khái niệm Một hệ chuyển động qua lại vị trí cân xác định đó, Ví dụ lắc đồng hồ, gọi hệ dao động Khi hệ chuyển từ vị trí cân sang vị trí cân sau qua vị trí xác định quy luật dao động, ta gọi hệ thực dao động Chu kỳ thời gian hệ thực dao động, ký hiệu T tính giây (s) Tần số số dao động giây, ký hiệu f, nghịch đảo chu kỳ, f = / T (1/s) Số dao động 2π giây gọi tần số góc, hay gọi tần số vòng, ký hiệu ω, ta thấy ω = 2π / T (1/s) Bậc tự số thông số độc lập xác định vị trí hệ hệ quy chiếu Đối với hệ dao động H.13.5.a, vị trí hệ xác định độ dịch chuyển (y) theo thời gian (t), hệ quy chiếu (t,y) Khi tính hệ dao động, ta cần đưa sơ đồ tính Xác định sơ đồ tính hệ dựa điều kiện phải phù hợp với hệ thực mức độ gần cho phép Xét dầm cho H.13.5.a, khối lượng dầm không đáng kể, xem dầm liên kết đàn hồi không khối lượng, vị trí hệ định vị trí khối lượng vật nặng, hệ có bậc tự do, cần biết tung độ y(t) vật nặng xác định vị trí hệ thời điểm (t) Với hệ H.13.5.b, bậc tự hai, cần phải biết y1(t), y2(t) Đối với trục chịu xoắn (H.13.5.c), bậc tự hai, cần phải biết góc xoắn ϕ1(t), ϕ2(t) a) y(t) ϕ1(t) ϕ2(t) b) y1(t) y2(t) c) Hình 13.5 a) Hệ bậc tự do; b), c) Hệ hai bậc tự Khi kể đến khối lượng dầm H.13.5.a, hệ trở thành vô hạn bậc tự do, phải biết vô số tung độ y(t) vô số điểm khối lượng suốt chiều dài dầm Trong trường hợp này, cần chọn sơ đồ tính thích hợp, ví dụ khối lượng dầm nhỏ so với khối lượng vật nặng, coi vật nặng đặt liên kết đàn hồi không khối lượng, hệ có bậc tự Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Nếu bỏ qua đưa hệ hữu hạn bậc xem khối lượng dầm gồm N mi Hình 13.6 Hệ hữu hạn bậc tự khối lượng dầm, tự do, cách khối lượng mi đặt N điểm nút đàn hồi không khối lượng (H.13.6), N lớn, độ xác tính toán cao Một hệ đàn hồi dao động tự hay dao động cưỡng Dao động cưỡng dao động hệ chịu tác động biến đổi theo thời gian, gọi lực kích thích, tồn suốt trình hệ dao động dao động dầm mang môtơ điện hoạt động, khối lượng lệch tâm rôto gây lực kích thích Dao động tự dao động chất tự nhiên hệ chịu tác động tức thời, không tồn trình hệ dao động dao động dây đàn 2- Phương trình vi phân dao động cưỡng hệ bậc tự P(t) M y(t) y Hình 13.7 Hệ bậc tự chịu dao động cưỡng Xét hệ bậc tự chịu tác dụng lực kích thích thay đổi theo thời gian P(t) đặt khối lượng M (H.13.7), thời điểm (t), độ võng khối lượng M y(t) Giả thiết lực cản môi trường tỷ lệ bậc với vận tốc chuyển động, hệ số tỷ lệ β Gọi δ chuyển vị điểm đặt khối lượng M lực đơn vị đặt gây Chuyển vị y(t) kết tác động: - Lực kích thích P(t) gây chuyển vị P(t)δ y y - Lực quán tính −M &&( t ) gây chuyển vị −M &&( t ) δ & & - Lực cản môi trường −β y( t ) gây chuyển vị −β y( t ) δ y(t) = P(t)δ + [−My(t)δ ] + [ −βy(t)δ ] (a) & M δ &&( t ) + β δ y( t ) + y(t) = P(t) δ y ta (b) Chia hai vế cho Mδ đặt: β = 2α; M = ω2 Mδ (c) phương trình (b) trở thành: &&( t ) y + 2α & y( t ) + ω2 y(t) = P(t).δ ω2 Chương 13: Tải trọng động (13.8) http://www.ebook.edu.vn (b) GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com (13.8) phương trình vi phân dao động cưỡng hệ bậc tự 3- Dao đôïng tự Khi lực kích thích lực cản không, hệ dao động tự do, phương trình (13.8) trở thành phương trình vi phân dao động tự do: &&( t ) y + ω2 y(t) = (13.9) Tích phân phương trình (13.9), ta nghiệm tổng quát có dạng: (d) y(t) = C1 cosωt + C2 sinωt Sử dụng giản đồ cộng vectơ quay (H.13.8), biểu diễn hàm (a) dạng: y(t) = A sin(ωt + ϕ) Hàm (e) hàm sin, chứng tự dao động tuần góc ω, độ lệch pha ϕ ω tính theo công thức: = tỏ dao động hoàn, điều hòa ϕ C1 A= Biên độ dao động ω y (e) A C2 ωt t Hình 13.8 Giản đồ vectơ quay C12 + C2 , tần số gọi tần số riêng (13.10) Mδ Gọi P trọng lượng khối lượng M, ta có M = P/g, thay vào (13.10), ta được: ω = g Pδ Tích số (P.δ) giá trị chuyển vị điểm đặt khối lượng M trọng lượng P khối lượng dao động M tác dụng tónh gây ra, gọi Δt Công thức tính tần số dao động tự trở thành: ω = g Δt (13.11) Chu kỳ dao động tự do: T = 2π = ω 2π g/Δt (13.12) 4- Dao động tự có cản Trong (13.8), cho P(t) = 0, ta phương trình vi phân dao động tự có cản, hệ bậc tự do: &&( t ) y + 2α & y (t ) + ω2 y(t) = (13.13) Nghieäm (13.13) tùy thuộc vào nghiệm phương trình đặc tröng: K2 + 2αK + ω2 = Khi: Δ = α2 – ω2 ≥ 0, phương trình đặc trưng có nghiệm thực: Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com K1,2 = − α ± α − ω2 Nghiệm tổng quát (13.13) có dạng: y(t) = C1e K t + C2e K t Ta thấy hàm y(t) tính tuần hoàn, hệ dao động, ta không xét trường hợp Khi: Δ = α2 – ω2 < 0, đặt: ω12 = ω2 – α2, phương trình đặc trưng có K1,2 = nghiệm ảo: −α ± iω1 Nghiệm tổng quát (13.13) có dạng: y(t ) = A1e −αt sin( ω1t + ϕ1 ) Hàm y(t) hàm sin có tính tuần hoàn, thể dao động với tần số góc ω1, độ lệch pha ϕ1, biên độ dao động hàm mũ âm A1e–αt, tắt nhanh theo thời gian Tần số dao động ω1 = ω −α , nhỏ tần số dao động tự ω (H.13.9) t y Hình 13.9 Đồ thị hàm số dao động tự có cản 4- Dao động cưỡng có cản Từ phương trình vi phân dao động cưỡng có cản hệ bậc tự (13.8): y q &&( t ) + 2α & y( t ) + ω2 y(t) = P(t)δω2 (f) Với toán kỹ thuật thông thường, lực kích thích P(t) hàm dạng sin, lấy P(t) = Po.sinrt, phương trình vi phân (f) có dạng: &&( t ) y + 2α & y( t ) + ω2 y(t) = δω2Po sinrt (13.14) Nghiệm tổng quát (13.14) có dạng: y(t) = y1(t) + y2(t) đó: y1(t) - nghiệm tổng quát (13.14) không vế phải, nghiệm dao động tự có cản (e): y1(t) = A1e–αt sin(ω1 t + ϕ1) Chương 13: Tải trọng động (g) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y2(t) - laø nghiệm riêng (13.14) có vế phải, vế phải hàm sin, lấy y2 (t) daïng sin: y2(t) = C1 cosrt + C2 sinrt (h) với: C1 C2 - số tích phân, xác định cách thay y2(t) đạo hàm vào (13.14), đồng hai vế Sử dụng giản đồ vectơ quay biểu diễn (h) dạng: y2 (t) = V sin(rt + θ) (i) Như vậy, phương trình dao động hệ là: y (t) = A1e–αt sin(ω1 t + ϕ1) + V sin(rt + θ) (j) Phương trình (j) độ võng y(t) dầm Số hạng thứ vế phải (j) hàm có biên độ tắt nhanh theo quy luật hàm mũ âm, sau thời gian ngắn, hệ dao động theo y (t) = V sin(rt + θ) quy luật: (13.15) Đó hàm sin biểu diễn dao động tuần hoàn, điều hòa, tần số góc dao động tần số lực kích thích r, độ lệch pha θ, biên độ dao động V (H.13.10) t V= ymax y Hình 13.10 Đồ thị biểu diễn dao động cưỡng có cản Biên độ dao động độ võng cực đại dầm ymax, ta có: V = ymax = C12 + C (k) Tính giá trị C1 C2, thay vào (k), ta độ võng cực đại dầm: ymax = Poδ 4α r r (1 − )2 + ω ω4 (h) Tích số Poδ giá trị chuyển vị điểm đặt khối lượng M lực có giá trị Po (biên độ lực kích thích) tác dụng tónh gây ra, đặt yt, ta có: ymax = yt viết là: 4α r r (1 − )2 + ω ω4 (13.16) ymax = yt.Kđ Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn 10 GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com với: Kđ = (1 − r2 ω2 ) + (13.17) 4α r ω4 Kđ gọi hệ số động, thể ảnh hưởng tác dụng động so với tác dụng tónh ứng với trị số biên độ lực 5- Hiện tượng cộng hưởng Khảo sát biến kđ động Kđ công thức 5,0 coi Kđ hàm hai 4,0 (r/ω,2α/ω) Ứng với (Kđ, r/ω) có dạng hình hoành độ 2α ω nhanh, với α = 0, giá trị cực (H.13.11), nghóa vô diễn f = quan hệ chuông mà đỉnh lượt cho 2α ω 1,0 Kñ ω 2α ω 2α ω 1, lần dần, ta thấy đỉnh đồ biến giá tị xác định 2α , 2,0 giá trị khác ứng với (13.17) cách 2α ω 2α ω 3,0 ta vẽ đồ thị biểu r = w thiên hệ số 2α w nhiều hệ số cản α giảm 0,5 1,0 1,5 2,0 r ω Hình 13.11 Đồ thị hàm số Kđ = f(r/w; 2a/w) với a/w số cho trước thị (Kđ) tăng Kđ tiến đến vô độ võng dầm lớn Hiện tượng biên độ dao động tăng đột ngột tần số lực kích thích tần số riêng hệ đàn hồi gọi tượng cộng hưởng Trên đồ thị cho thấy hai tần số xấp xỉ (r/ω ∈ [0,75 − 1,5]), biên độ tăng rõ rệt, người ta gọi miền cộng hưởng Hiện tượng cộng hưởng rõ ràng nguy hiểm cho chi tiết máy hay công trình làm việc miền cộng hưởng, thiết kế, ta phải tính toán cho hệ dao động nằm miền cộng hưởng Đồ thị cho thấy nên chọn tỷ số r/ω lớn 2, Kđ nhỏ 1, toán động nguy hiểm toán tónh Để có r/ω lớn, thường phải giảm ω, nghóa chuyển vị Δt phải lớn Muốn vậy, phải giảm độ cứng đàn hồi, điều nhiều lúc mâu thuẫn với yêu cầu độ bền công trình Để tránh làm giảm độ cứng công trình đặt lò xo hay loại vật liệu có khả phát tán lượng đệm khối lượng dao đôïng đàn hồi Có trường hợp khởi động mô tơ, tốc độ mô tơ tăng dần đến tốc độ ổn định, thời gian ngắn ban đầu công trình miền cộng Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn 11 GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com hưởng, cần phải dùng loại động tăng tốc nhanh để tượng cộng hưởng có xảy thời gian ngắn Nếu hoạt động, công trình dao động với Kđ lớn, cần tính toán kỹ để sử dụng giảm chấn làm tiêu hao lượng dao động hay tăng hệ số cản Trên H.13.11, ta thấy, tỷ số r/ω ∉ [0,5 − 2], đường cong Kđ gần trùng nhau, hệ số cản xem không ảnh hưởng, hệ số cản không đáng kể, tính Kđ theo công thức: (13.18) Kd = 1− r2 ω2 Vì đại lượng chuyển vị, nội lực hay ứng suất tỷ lệ bậc với ngoại lực, ta viết: σ d = σ t K d + σ t ,ds (13.19) τ d = τ t K d + τ t ,ds M d = M t K d + M t ,ds đó: σt, τt - ứng suất tải trọng có giá trị biên độ lực kích thích (Po) tác dụng tónh σt,đs, τt,đs - ứng suất tải trọng tónh đặt sẵn, mà dao động tồn trọng lượng thân môtơ Điều kiện bền: σđmax ≤ [σ ] hay τđmax ≤ [τ ] (13.20) 6- Phương pháp thu gọn khối lượng Khi phải kể đến khối lượng dầm (các liên kết đàn hồi) ảnh hưởng trình dao động không đòi hỏi độ xác cao, tính gần hệ bậc tự theo phương pháp thu gọn khối lượng sau Xét dầm tựa đơn (H.13.12) khối lượng M nhịp, giả sử khối lượng dầm đủ nhỏ để không làm thay đổi dạng dao động có khối lượng M, gọi y(t) độ võng M nhịp, ta có: y(t) = PL3 /48EIx P L/2 L/2 Hình 13.12 Dầm đơn dao động có kể đến khối lượng dầm Độ võng mặt cắt hoành độ z là: y( z) = PL2 z Pz Lz − z3 − = y(t) 16 EI x 12 EI x L3 Chương 13: Tải trọng động http://www.ebook.edu.vn 12 ...GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 11.3 Chọn số liệu thép Ι cho dài 2,0m, liên kết khớp hai đầu chịu lực nén P = 230 kN Biết vật liệu. .. http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Đồ thị quan hệ P - δ cho H.12.9 Đồ thị có ý nghóa vật liệu đàn hồi, tức δ nhỏ P < Pth... http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com BÀI TẬP CHƯƠNG 11 11.1 Cho bốn có mặt cắt ngang làm loại vật liệu có liên kết H.11.1