Chơng 10 Tính chuyển vị hệ I Các Khái niệm chung Chơng ny trình by phơng pháp tổng quát để tính chuyển vị cã d¹ng bÊt kú (nh− khung, cong, ) chịu lực Những phơng pháp ny dựa nguyên lý lợng đợc gọi l phơng pháp lợng Một số phơng pháp hay sư dơng ®èi víi hƯ ®μn håi tun tÝnh: phơng pháp dựa định lý Castigliano, định lý tơng hỗ Betti Maxwell, công thức Maxwell-Mohr, Khi nghiên cứu cách xác định chuyển vị hệ đn håi tuyÕn tÝnh ta thõa nhËn mét sè gi¶ thiÕt sau: - Tải trọng gây chuyển vị l tải trọng tác dụng tĩnh - Chuyển vị hệ tuân theo nguyên lý cộng tác dụng Để xác định chun vÞ cđa hƯ ta cã thĨ tiÕn hμnh theo hai hớng: - Xuất phát từ nguyên lý bảo ton lợng, xác định chuyển vị theo biến dạng đn hồi - Xuất phát từ nguyên lý công hệ II TNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI Công ngoại lực, nội lực biến dạng đn hồi Di tỏc dng ca ngoi lc ⇒ vật thể bị biến dạng, làm dịch chuyển điểm đặt lực ⇒ ngoại lực sinh công - cơng ngoại lực Cơng ngoại lực, ký hiệu Ang, cơng dương gây chuyển vị ⇒ Công nội lực sinh biến dạng đàn hồi hệ gọi Công nội lực, ký hiệu An, cơng âm ngăn cản chuyển vị ⇒ Theo ngun lý bảo tồn lượng hệ biến dạng đàn hồi trạng thái cân thoả mãn điều kiện: Ang = - An (10-1) ⇒ Nếu lực tác dụng lên vật tĩnh, vật làm việc giới hạn đàn hồi bỏ qua mát lượng tượng nhiệt, điện từ, …, trình lý tưởng, theo nguyên tắc bảo tồn lượng ta coi: tồn cơng ngoại lực Ang chuyển hóa thành biến dạng đàn hồi U tích lũy vật thể: (10-2) Ang = U = - An Thế biến dạng đàn hồi tính sau: n li N2 ⇒ Khi chịu kéo (nén) tâm: U1 = ∑ ∫ 2EF dz i =1 (10-3) ⇒ Khi chịu uốn ngang phẳng: n li l n i M2 Q2 (10-4) U2 = ∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dz i =1 i =1 η hệ số điểu chỉnh, kể tới phân bố không ứng suất tiếp Hệ số phụ thuộc vào hình dạng tiết diện, ví dụ, mặt cắt trịn η = 1,18; mặt cắt hình chữ nhật η = 1,2; tiết diện hình ống mỏng η = n li M2 z ⇒ Khi chịu xoắn: U3 = ∑ ∫ 2GJ dz i =1 p (10-5) ⇒ Tỉng qu¸t biến dạng ®μn hồi : n li N2 U = ∑ ∫ 2EF dz + i =1 n li l n i M2 Q2 ∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dz + i =1 i =1 n li M2 ∑ ∫ 2GJz dz (10-6) i =1 p ⇒ Ðối với toán phẳng, MCN có thành phần nội lực: N, Q, M nên: n li N2 dz + U = ∑ ∫ 2EF i =1 n li l n i M2 Q2 ∑ ∫ 2EJ dz + ∑ ∫ η 2GF dz i =1 i =1 (10-7) Xác định chuyển vị trực biến dạng đàn hồi ⇒ Phương pháp sử dụng hệ có lực tác dụng, ví dụ lực P Yêu cầu xác định chuyển vị Δ có vị trí phương tương ứng với lực P: Ang = PΔ = U Δ= 2U P (10-8) ⇒ Chú ý đến (10-7), ta xác định Δ theo cơng thức sau: l n li n li ⎤ M2 Q2 2U ⎡ n i N dz + ∑ ∫ dz + ∑ ∫ η dz ⎥ Δ= = ⎢∑ ∫ P P ⎢ i =1 2EF 2GF ⎥ i =1 2EJ x i =1 ⎣ ⎦ ⇒ Ví dụ 10.1 Xác định độ võng đầu tự dầm cho hình 10-1 Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt lực dọc Trong trường hợp ta có: l l (10-9) z P l Pl M2 (Pz)2 Δ= ∫ dz = ∫ dz = P 2EJ P EJ 3EJ H×nh 10.1 2 Xác định chuyển vị theo định lý Castigliano ⇒ Định lý Castigliano: “Ðạo hàm riêng biến dạng đàn hồi theo lực chuyển vị theo phương tác dụng lực đặt điểm đó” ∂U Δk = (10-10) ∂Pk ⇒ Chứng minh (hình 10-2) ⇒ Giả sử tăng lượng Pk lên P1 P2… Pk lượng vơ bé dPk độ võng dầm điểm Δ1 Δ2 Δk đặt lực tăng lên lượng dΔ1, dΔ2, ,dΔk, ,dΔn ⇒ biến dạng đàn hồi H×nh 10-2 tăng lên lượng dU ⇒ Nếu vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi hàm tải trọng, dU hàm tải trọng U = f(Pi) => dU = df(Pi) ⇒ Thế biến dạng U tăng lượng là: ∂U dU = dPk ∂Pk Pn Δn biến dạng (10-11) ⇒ Sau biến dạng, lực dPk thực công là: dA = dPk Δk ⇒ Theo nguyên lý bảo toàn lượng: dA = dU ⇒ (đpcm) ⇒ Giả sử dầm có mơmen tập trung tác dụng, tương tự ta có biểu thức định lý Castigliano viết cho góc xoay vị trí mơmen tập trung là: ∂U θk = (10-12) ∂M k Với U biểu diễn (10-7), ta có: n i n i N ∂N M ∂M Q ∂Q Δk = ∑ ∫ dz + ∑ ∫ dz + ∑ ∫ η dz EF ∂Pk EJ x ∂Pk GF ∂Pk i =1 i =1 i =1 n li l l (10-13) n i n i n i ∂U N ∂N M ∂M Q ∂Q θk = = ∑∫ dz + ∑ ∫ dz + ∑ ∫ η dz (10-14) ∂M k i =1 EF ∂M k GF ∂M k i =1 EJ x ∂M k i =1 l l l ⇒ Chú ý: định lý Castigliano xác định độ võng góc xoay điểm có đặt lực tập trung mômen tập trung ⇒ muốn xác định độ võng góc xoay điểm khơng có lực tập trung mơmen tập trung ta đặt vào lực tập trung giả tạo Pgt=0 mơmen tập trung giả tạo Mgt=0 ⇒ Ví dụ 10.2: xác định độ võng góc xoay đầu B dầm chịu lực hình 10.3 Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt Giải: khơng kể đến ảnh hưởng lực cắt Q nên: l M ∂M P Độ võng: Δ B = ∫ EJ ∂P dz Mgt A ∂M EJ = −z Do M= -P.z => GF ∂P z B l Thay vào biểu thức ta độ Pl võng: Δ B = 3EJ H×nh 10.3 Ðể tính góc xoay ta thêm vào mơmen giả tạo Mgt ∂M =1 Ta có: M = Mgt - P.z ∂M gt ∂U M ∂M Pl θB = = dz = ∫ M gt − P.z 1.dz = − ∂M gt ∫ EJ ∂M gt EJ EJ ; Mgt = 0 l l ( ) Dấu (-) chứng tỏ góc xoay B ngược chiều Mgt Ghi chú: kể đến ảnh hưởng lực cắt Q thì: l l M ∂M Q ∂Q ΔB = ∫ dz + ∫ η dz EJ ∂P GF ∂P 0 ∂Q Pl Pl = ⇒ ΔB = +η Với Q = P ⇒ ∂P 3EJ GF iii tÝnh chun vÞ theo nguyên lý cÔNG KHả Dĩ 3.1 Công ngoại lực, nội lực, nguyên lý di chuyển 3.1.1 Chuyển vị Chuyển vị P1 P2 M biến dạng đợc hiểu l B dạng chuyển vị hay biến A dạng no đảm bảo đợc điều kiện liên kết Hình 10-4 hệ (các điều kiện biên hình học hệ) Ví dụ với hệ hình 10.4, chuyển vị theo đờng đn hồi thoả mÃn điều kiện l độ võng hai gối tựa không l chuyển vị 3.1.2 Công ngoại lực ⇒ Công công sinh lực chuyển vị biến dạng nguyên nhân gây (có thể tải trọng, nhiệt độ, …) ⇒ Xét hệ đàn hồi tuyến tính ứng với hai trạng thái “k” chịu lực Pk “m” chịu lực Pm hình 10.5 “k” Pk Pm “m” dz dz Δkm H×nh 10-5 ⇒ Ký hiệu Δkm chuyển vị tương ứng với lực Pk (có vị trí phương tương ứng với lực Pk) nguyên nhân trạng thái “m” gây Đờng đn hồi lực Pk tác dụng Pk ⇒ Ví dụ hình 10.6: Δkk Pm chuyển vị theo phương lực Pk Δkk lực Pk gây chuyển vị Δmm chuyển vị theo phương Δmm Δkm lực Pm lực Pm gây chuyn v Đờng đn hồi lực Pk v Pm t¸c dơng ng ⇒ Ký hiệu A km cơng H×nh 10-6 ngoại lực trạng thái “k” sinh chuyển vị tương ứng trạng thái “m” Ta có: A ng = Pk Δ km (10-16) km ⇒ Trong trường hợp có nhiều lực tác dụng, công ngoại lực có dạng: A ng = ∑ Pik Δ km km (10-17) i 3.1.3 Nguyên lý công ⇒ Nếu hệ biến dạng đàn hồi cân tác dụng lực tổng ng cơng A km ngoại lực chuyển vị tương ứng n công nội lực A km biến dạng đàn hồi tương ứng phải khơng, có nghĩa: A ng + A n = hay km km ∑P ik Δ km + A n = km (10-18) i 3.1.4 Công nội lực ⇒ Tính cơng nội lực tồn chiều dài hệ: tách khỏi đoạn chiều dài dz biểu diễn thành phần nội lực hình 10.7 “k” Δdϕ “m” Qk Mm Mk Nk Nk Mk Nm γtb Mm Nm Qm Qm a) dz dz+Δdz dz dz b) Qk c) d) Δds H×nh 10.7 ⇒ Ở trạng thái “k”, phân tố có lực dọc Nk, mơmen uốn Mk, lực cắt Qk (hình 10.7a) Đối với phân tố xét thành phần ngoại lực ⇒ Ở trạng thái “m” vị trí tương đương tách phân tố có chiều dài dz Các thành phần nội lực ký hiệu Nm, Mm, Qm chúng gây biến dạng (hình 10.7b,c,d) ⇒ Cơng phân tố lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng trạng thái “m” là: Q Q dz ⎤ ⎡ N N dz M M dz dA ng = N k Δdz + M k Δdϕ + Q k Δds = ⎢ k m + k m + η k m ⎥ km EJ GF ⎦ ⎣ EF (10-19) ⇒ Theo (10-18), ta có: dA ng = −dA n (10-20) km km ⇒ Do công phân tố nội lực: Q Q dz ⎤ ⎡ N N dz M M dz dA n = − ⎢ k m + k m + η k m ⎥ km EJ GF ⎦ ⎣ EF (10-21) ⇒ Trên tồn hệ, cơng nội lực là: N N dz M M dz Q Q dz ⎤ ⎡ A n = − ⎢∑ ∫ k m + ∑ ∫ k m + ∑ ∫ η k m ⎥ km EF EJ GF ⎦ ⎣ (10-22) ⇒ Từ (10-22), (10-20) (10-17) ta có: ∑P ik i Δ km = ∑ ∫ N k N m dz M M dz Q Q dz +∑∫ k m +∑∫η k m EF EJ GF (10-22) ⇒ Công thức biểu thị cân công ngoại lực tác dụng lên hệ trạng thái “k” chuyển vị tương ứng trạng thái “m” với công nội lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng trạng thái “m” 3.2 Các định lý tương hỗ 3.2.1 Định lý Betti tương hỗ công ngoại lực (1872) ⇒ Công ngoại lực trạng thái “k” chuyển vị tương ứng trạng thái “m”: ∑ Pik Δ km = ∑ ∫ i N k N m dz M M dz Q Q dz +∑∫ k m +∑∫η k m EF EJ GF (a) ⇒ Công ngoại lực trạng thái “m” chuyển vị tương ứng trạng thái “k”: ∑P j jm Δ mk = ∑ ∫ N m N k dz M M dz Q Q dz +∑∫ m k +∑∫η m k EF EJ GF (b) ⇒ So sánh (a) (b) ta được: ∑P ik i Δ km = ∑ Pjm Δ mk (10-24) j ⇒ “Đối với hệ đàn hồi tuyến tính, cơng ngoại lực tác dụng lên hệ trạng thái “k” chuyển vị trạng thái “m” công ngoại lực tác dụng lên hệ trạng thái “m” chuyển vị trạng thái “k” 3.2.2 Định lý Maxwell tương hỗ chuyển vị đơn vị (1864) ⇒ Nếu hệ trạng thái “k” ta đặt lực đơn vị theo phương k, ký hiệu Pk = nhận Pk=1 chuyển vị δmk theo phương m Nếu hệ trạng thái “m” ta A B δmk đặt lực đơn vị Pm = theo phương m nhận chuyển vị δkm theo phương k Pm=1 (hình 10-8) B A ⇒ Theo định lý Betti ta có: δkm δkm = δmk (10-25) ⇒ Như chuyển vị đơn H×nh 10-8 vị theo phương lực Pk lực Pm = gây chuyển vị đơn vị theo phương lực Pm lực Pk gây ⇒ Dựa vào biến dạng đàn hồi người ta giải nhiều tốn sức bền vật liệu tính chuyển vị hệ phức tạp, giải hệ siêu tĩnh, xác định lực tới hạn ổn định Các phương pháp giải gọi chung phương pháp lượng 3.3 Công thức MAXWELL - MOHR ⇒ Bài toán phẳng: trạng thái chịu lực khung cho trạng thái “m”, lực chuyển vị trạng thái có kèm theo số m (hình 10.9) ⇒ Xác định chuyển vị theo q phương k trọng tâm MCN P A Muốn tạo trạng thái “m” “k” chịu lực “k” cách bỏ tất A ngoại lực ban đầu tác dụng lên A hệ đặt theo phương k lực Pk k Pk có giá trị chiều tuỳ ý Để đơn giản ta thường chọn Pk = trạng thái gọi trạng Hình 10.9 thái đơn vị ⇒ Cơng Akm lực Pk chuyển vị Δkm là: Akm = Pk Δ km = ∑ ∫ N k N m dz M M dz Q Q dz +∑∫ k m +∑∫η k m EF EJ GF (10-26) ⇒ Chia hai vế biểu thức cho Pk, đồng thời ký hiệu: Nk = Qk Mk Nk ; Mk = ; Qk = P Pk Pk k N k , Mk , Q k - nội lực Pk = gây trạng thái “k” ⇒ Công thức tổng quát tính chuyển vị hệ đàn hồi tuyến tính: N k N m dz M k M m dz Q Q dz Δ km = ∑ ∫ +∑∫ +∑∫η k m (10-27) EF EJ GF Công thức Mo giúp ta xác định chuyển vị theo phương có dạng Muốn xác định chuyển vị thẳng điểm trục thanh, ta đặt điểm lực tập trung đơn vị, cịn muốn xác định chuyển vị góc (góc xoay) ta đặt mômen tập trung đơn vị ⇒ Muốn xác định chuyển vị tương đối Mk=1 điểm mặt cắt khác Pk=1 thanh, ta đặt hai lực đơn vị có phương trùng với đường thẳng nối hai điểm ngược chiều Muốn xác định góc xoay tương đối Pk=1 hai mặt cắt ta đặt hai mơmen đơn vị ngược chiều nhau, lực đơn vị trường hợp Mk=1 gọi lực đơn vị tổng quát, chuyển vị tương đối gọi chuyển vị tổng quát (hình Hình 10.10 10.10) ⇒ Tóm lại, chuyển vị theo công thức Mo xác định sau: Viết biểu thức nội lực Mm , Nm, Qm tải trọng gây Ðặt lực đơn vị theo phương cần tính chuyển vị Nếu chuyển vị cần tính chuyển vị thẳng lực đơn vị lực tập trung, chuyển vị cần tính góc xoay lực đơn vị mômen tập trung Viết biểu thức nội lực N k , Mk , Q k lực đơn vị gây (tại MCN tương ứng với MCN tính Mm, Nm, Qm) Thay biểu thức Mm , Nm, Qm , N k , Mk , Q k vào cơng thức (10-27) ta tính chuyển vị cần tìm Nếu Δkm dương chiều chuyển vị trùng với chiều lực đơn vị, Δkm âm ngược lại ⇒ Ðối với tốn khơng gian, MCN có đầy đủ thành phần nội lực cơng thức Mo có dạng: M yk M ym dz N zk N zm dz M xk M xm dz Δ km = ∑ ∫ +∑∫ +∑∫ + EF EJ x EJ y Q yk Q ym dz Q Q dz + + ∑ ∫ ηx xk xm + ∑ ∫ ηy GF GF M zk M dz ∑ ∫ GJ zm p (10-28) Mym , Mxm , Mzm , Nzm , Qxm , Qym nội lực MCN tải trọng gây N zk , M xk ,M yk , M zk , Qxk ,Qyk nội lực tải trọng đơn vị gây Ví dụ 10.3: cho dầm chịu lực hình 10.11 Xác định độ võng nhịp Bỏ qua ảnh hưởng lực cắt q Giải: trạng thái chịu lực dầm cho trạng thái “m” Biểu thức mômen z M m = q(lz − z ) uốn MCN: ql/2 Pk=1 Để tính độ võng nhịp ta tạo trạng thái “k” cách đặt lực Pk = z theo chiều chuyển vị cần tính Biểu thức 1/2 l/2 l Mk = z mơmen uốn: H×nh 10.11 Thay vào (10-27), ta (bỏ qua lực l/2 1 ql ⎛1⎞ dọc, cắt): y ⎜ ⎟ = Δ km = ∫ EJ q(l.z − z ) z.dz = 384 EJ ⎝ ⎠ (Phải lấy tích phân từ l/2 từ l/2 l, hai tích phân nên lấy tích phân nhân cho 2) IV PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU ÐỒ VÊRÊSAGHIN ⇒ Xác định chuyển vị có độ G,F cứng không đổi, theo công thức Mo phức G(z) tạp Đối với hệ thẳng, ta thấy hàm nội lực dấu tích phân bậc dΩ số C ⇒ Nếu hai hàm số dấu tích Ω phân có dạng bậc ta thay cách giải tích phân phương pháp nhân O z z dz biểu đồ Vêrêsaghin zC F(z)=az+b ⇒ Giả thiết đoạn chiều dài l thanh, hàm số G(z) có dạng cịn F(z) có dạng bậc nhất: F(z) = (az + b) F(zC) M k M m dz = ∫ F(z).G(z)dz , ⇒ Tích phân ∫ O EJ z F(z) = M k cịn G(z) = l Mm EJ Hình 10-12 ⇒ Tích phân I hai hàm số F(z) G(z): l l 0 I = ∫ F(z).G(z)dz = ∫ (az + b).G(z)dz với dΩ = G(z)dz diện tích vơ nhỏ biểu đồ G(z), ta có tích phân theo biến mới: I = ∫ (az + b)dΩ = a ∫ zdΩ + b ∫ dΩ = a ∫ zdΩ + bΩ Ω ⇒ Ta có ∫ zdΩ = z Ω C Ω Ω Ω Ω , zC hồnh độ trọng tâm diện tích Ω Khi tích phân I là: I = az C Ω + bΩ = Ω(az C + b) ⇒ Theo hình 10-12, ta có azC + b = F(zC) – tung độ hàm F(z) ứng với (10.30) hoành độ zC ⇒ I = ΩF(zC) ⇒ Từ kết ta suy ra: biểu đồ nội lực Mm, Nm, Qm tải trọng gây có dạng bất kỳ, cịn biểu đồ N k , M k , Q k tải trọng đơn vị có dạng bậc thì: Δ km = ∑ 1 Ω(M m )M k (C) + ∑ Ω(N m )N k (C) + ∑ ηΩ(Q m )Q k (C) (10.31) EJ EF GF Ω(Mm), Ω(Nm), Ω(Qm) diện tích biểu đồ Mm, Nm, Qm M k (C), N k (C),Q k (C) giá trị biểu đồ M k ,N k ,Q k vị trí tương ứng với trọng tâm diện tích biểu đồ Mm, Nm, Qm 10 Cần ý rằng: - Nếu F(z) G(z) bậc phép nhân có tính hốn vị - Nếu có biểu đồ bậc giá trị tung độ tương ứng trọng tâm bắt buộc phải lấy biểu đồ có dạng bậc - Nếu đồ thị bậc bị gãy khúc phải chia chiều dài lấy tích phân thành đoạn, đoạn đồ thị đường thẳng trơn, để thực phép nhân, sau lấy tổng kết phép nhân đoạn - Nếu biểu đồ có dạng phức tạp nhân ta chia chúng nhiều hình đơn giản, sau ta cộng kết lại với - Kết phép nhân mang dấu (+) diện tích tung độ dấu nằm phía đường chuẩn - Kết phép nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản đối xứng không C1 Ω2 Ω1 C2 y1 Ω3 Ω1 C1 y2 Ω2 C2 C1 Ω1 C3 C2 Ω y2 y1 y2 y3 a) y1 b) c) Hình 10-13 Bảng 10.1 - diện tích hồnh độ trọng tâm số hình thường gặp Bậc 1 Ω = hl ; z1 = l z = l 4 h z2 z1 Bậc n l Ω= 1 n +1 hl ; z1 = l ; z2 = l n +1 n+2 n+2 Bậc Ω= h z2 z1 l hl ; z1 = l z = l 8 Bậc n Ω= n n +1 3n + hl ; z1 = l ; z2 = l n +1 3n + n+2 11 Ví dụ 10.4: Tìm độ võng B góc xoay A dầm chịu lực hình 10.14a (bỏ qua ảnh hưởng lực cắt) Giải Trạng thái ″m″ trạng thái a) chịu lực dầm (hình 10.14a) Biểu đồ mômen uốn tải trọng gây Mm biểu diễn hình 10.14b Để tìm độ võng B ta tạo lên b) trạng thái ″k″ (hình 10.14c), biểu đồ mômen MB biểu diễn k hình 10.14d Mm Ở ta thấy hai đoạn AB BC biểu đồ MB c) k biểu diễn đường thẳng khác nhau, để tính độ võng dùng phương pháp nhân d) biểu đồ Vêrêsaghin ta phải chia biểu đồ Mm theo phần từ A đến B từ B đến C Phép nhân Vêrêsaghin cho kết sau: e) ql l l yB = = EJ x 8 MB k ql = 384 EJ x f) Để tìm góc xoay A ta tạo trạng thái ″k″ hình 10.14e A Biểu đồ M k biểu diễn hình 10.14f Theo phép nhân Vêrêsaghin ta có: θ A = Δ km MA k Hình 10.14 ⎛ ql ⎞ ql ⎜ − l ⎟ = − = EJ x ⎝ ⎠ 24EJ x Kết mang dấu (-) chứng tỏ góc xoay A có chiều ngược lại với chiều Mk chọn 12 Ví dụ 10.5: Tìm độ võng B dầm chịu lực hình 10.15a (bỏ qua ảnh hưởng lực cắt) Giải Biểu đồ mômen trạng thái ″m″ biểu diễn hình 10.15b Để đơn giản nhân biểu đồ ta xem biểu đồ Mm khoảng AC tổng cộng biểu đồ bậc nhấ đường bậc (hình 10.15c) Điều giống xem trạng thái ″m″ tổng cộng hai trạng thái: trạng thái có lực P tác dụng trạng thái có lực q tác dụng (hình 10.15d) Để tìm chuyển vị B ta tạo trạng thái ″k″ hình 10.15e, biểu đồ mơmen biểu diễn hình Với cách ta thực phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin cách dễ dàng: Hình 10.15 y B = Δ km = 1 ⎛ l l l l l ql l ⎞ = ( Ω1y1 + Ω2 y2 + Ω3 y3 ) = ⎜ P + P l − l ⎟ EJ x EJ x ⎝ 3 3 3 3 ⎠ 4Pl ql = − 81EJ x 72EJ x 13 Ví dụ 10.6: Tìm chuyển vị ngang A, D (điểm AB) góc xoay tương đối hai mặt cắt gối tựa B C khung chịu lực hình 10.16a Bỏ qua ảnh hưởng lực dọc, lực cắt đến chuyển vị khung Giải Ta xem trạng thái chịu lực khung trạng thái ″m″ Biểu đồ Mm biểu diễn hình 10.16b Hình 10.16 Để tìm chuyển vị ngang A ta lập trạng thái ″k″ hình 10.16c Chuyển vị ngang A: M M y A = Δ km = ∑ ∫ k m dz EJ x ⎛ ql 2 ql ⎞ 3ql yA = l l + l l ⎟ = ⎜ EJ x ⎝ 2 3 ⎠ 8EJ x Để tìm góc xoay tương đối hai mặt cắt B C ta tao nên trạng thái ″k″ hình 10.16d Bằng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin ta có: M M θBC = Δ km = ∑ ∫ k m dz EJ x ⎛ ql 2 ql ⎞ 7ql θBC = l + l ⎜ ⎟= EJ x ⎝ 2 ⎠ 12EJ x 14 Để tính chuyển vị ngang D ta tạo nên trạng thái ″k″ hình 10.16e Ta nhận thấy phép nhân biểu đồ đoạn AB trở nên phức tạp, ta phải chia biểu đồ Mm thành hai phần hai đoạn AD DB mà trọng tâm phần ta chưa xác định Để tránh khó khăn ta xem biểu đồ Mm đoạn AB tổng hai biểu đồ hình 10.16e Với cách ta thực phép nhân Vêrêsaghin cách dễ dàng: M M y D = Δ km = ∑ ∫ k m dz EJ x ⎡ ql 2 l ql 2 l l ⎛ ql 2ql ⎞ l l + yD = l + +⎜ + ⎢ ⎟ EJ x ⎣ 2 2 23 2 ⎝ ⎠2 2 ql l l ql l l ⎤ 89ql + + = 2 8 ⎥ 384EJ x ⎦ Ví dụ 10.7: Cho khung chịu lực hình vẽ (10.17a) Tính độ dịch gần tương đối trọng tâm MCN A B Bỏ qua ảnh hưởng lực dọc lực cắt; EJx=const Giải Biểu đồ Mm hình vẽ 10.17b Hình 10.17 Ðể tìm chuyển vị thẳng tương đối Δkm A B, đặt hệ lực đơn vị Pk = ngược chiều hình 10.17c Biểu đồ mơmen uốn Mk hình 10.17d n M 1 Pa Δ km = ∑ M m k dz = − Pa.a 0, 707a = −0,118 EJ x EJ x EJ x i =1 Dấu (-) chứng tỏ sau biến dạng điểm A B xa so với vị trí ban đầu chúng (ngược chiều với lực Pk=1) 15 ... ∫ k m + ∑ ∫ η k m ⎥ km EF EJ GF ⎦ ⎣ (1 0-2 2) ⇒ Từ (1 0-2 2), (1 0-2 0) (1 0-1 7) ta có: ∑P ik i Δ km = ∑ ∫ N k N m dz M M dz Q Q dz +∑∫ k m +∑∫η k m EF EJ GF (1 0-2 2) ⇒ Công thức biểu thị cân công ngoại... = (1 0-1 0) ∂Pk ⇒ Chứng minh (hình 1 0-2 ) ⇒ Giả sử tăng lượng Pk lên P1 P2… Pk lượng vô bé dPk độ võng dầm điểm Δ1 Δ2 Δk đặt lực tăng lên lượng dΔ1, dΔ2, ,dΔk, ,dΔn ⇒ biến dạng đàn hồi H×nh 1 0-2 ... ⎦ ⎣ EF (1 0-1 9) ⇒ Theo (1 0-1 8), ta có: dA ng = −dA n (1 0-2 0) km km ⇒ Do cơng phân tố nội lực: Q Q dz ⎤ ⎡ N N dz M M dz dA n = − ⎢ k m + k m + η k m ⎥ km EJ GF ⎦ ⎣ EF (1 0-2 1) ⇒ Trên tồn hệ, cơng