Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Chương 11 TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC I KHÁI NIỆM CƠ BẢN ⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân tĩnh học ⇒ Hệ siêu tĩnh (HST) hệ có số liên kết nhiều số phương trình cân tĩnh học Hệ siêu tĩnh hệ bất biến hình có liên kết thừa Bậc siêu tĩnh hệ tính số liên kết thừa Số liên kết thừa hệ liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ cố định) hay liên kết nội (liên kết phần hệ) So với hệ tĩnh định, HST có đặc điểm sau: • Nội lực HST phân bố hơn, ứng suất biến dạng nhỏ so với HTĐ có kích thước tải trọng • HST có nhược điểm dễ phát sinh ứng suất nhiệt độ thay đổi, có độ lún gối tựa, gia cơng lắp ghép khơng xác • Khi liên kết thừa bị hư hỏng hệ khơng bị phá loại, hệ bết biến hình học Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh hệ Hình 11.1b: hệ thừa liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh hệ Hình 11.1c: hệ thừa liên kết ngoại liên kết nội: bậc siêu tĩnh Hình 11.1d: hệ thừa liên kết nội, bậc siêu tĩnh hệ Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba Vì muốn nối phần (A) (B), cần liên kết đơn khớp liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn mối hàn cứng (hình 11.1g,h) a) e) b) f) d) c) g) (A) (B) (A) (B) h) Hình 11.1 ⇒ Khái niệm “liên kết thừa” có tính qui ước Bởi để đảm bảo cho hệ bất biến hình chúng thừa, có mặt chúng tạo cho kết cấu có độ cứng cao đó, làm việc tốt so với hệ tĩnh định Sau ta giải HST phương pháp lực 11.1 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực II GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Hệ HST ⇒ HTĐ có từ HST cho cách bỏ bớt liên kết thừa HST có nhiều hệ (hình 11.2) l l q (a) (c) (b) Hình 11.2 Cần ý rằng: l ⇒ Sau bỏ liên kết thừa, hệ phải đảm bảo l tính bất biến hình ⇒ Chỉ phép giảm bớt liên kết đơn (c) không phép thêm (a) (b) liên kết đơn vào mặt Hình 11.3 cắt Ví dụ: hệ hình 11.3b, c khơng phải hệ hệ hình 11.3a, biến hình HTĐ tương đương ⇒ HTĐ tương đương với HST cho biến dạng chuyển vị chúng hoàn toàn giống ⇒ HTĐ tương đương hệ chọn HST: liên kết thừa biểu diễn phản lực liên kết (hình 11.4) Phản lực liên kết xác định với điều kiện biến dạng chuyển vị HTĐ hoàn tồn giống HST cho a) c) b) Hình 11.4 Thiết lập hệ phương trình tắc để xác định phản lực liên kết ⇒ Với phản lực liên kết Xi ta có điều kiện chuyển vị: 11.2 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Gọi Δi chuyển vị điểm đặt Xi theo phương Xi đó, gây tải trọng Pi tất Xj (j = 1, 2, …, n), với n bậc siêu tĩnh ta có: Δi = ± δi (i = 1, 2, …, n) (11.1) Ở δi chuyển vị điểm đặt Xi theo phương Xi tải trọng cho gây HST, dấu (+) lấy chiều chuyển vị δi chiều với chiều lực Xi lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị δi ngược chiều với chiều lực Xi Trong trường hợp thường gặp gối cố định, di động, ngàm ta có δi = Tuy nhiên có trường hợp δi ≠ 0, chẳng hạn gối tựa đàn hồi ⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương trình tắc xác định phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, , n): Δ1 = δ11X1 + δ12 X + + δ1n X n + Δ1p = ⎫ ⎪ Δ = δ21X1 + δ22 X + + δ2 n X n + Δ 2p = ⎪ ⎬ (11.2) ⎪ ⎪ Δ n = δ n1X1 + δ n2 X + + δ nn X n + Δ np = ⎭ đó: Δip chuyển vị theo phương i hệ tải trọng gây nên δik chuyển vị đơn vị theo phương i hệ lực đơn vị đặt theo phương k gây nên ⇒ Ta tính Δip δik theo công thức Mo sau: n li n li n li N zi N zk M xi M xk M M δik = ∑ ∫ dz + ∑ ∫ dz + + ∑ ∫ zi zk dz EF EJ x GJ p i =1 i =1 i =1 n li N zi N zp i =1 EF Δ ip = ∑ ∫ n li M xi M xp i =1 EJ x dz + ∑ ∫ n li M zi M zp i =1 GJ p dz + + ∑ ∫ dz ⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng kéo-nén xoắn so với uốn, Δip δik tính theo cơng thức Mo sau (bỏ qua số x, y công thức): n li n li M M Mi Mk δik = ∑ ∫ dz ; Δ ip = ∑ ∫ i p dz (11.3) EJ EJ i =1 i =1 ⇒ Sau xác định phản lực liên kết Xi, đặt phản lực liên kết Xi với tải trọng lên hệ ⇒ HTĐ tương đương ⇒ Giải HST phương pháp lực ta có bước sau: Bước Xác định bậc siêu tĩnh chọn hệ Bước Xác định HTĐ tương đương cách đặt vào hệ phản lực liên kết tương ứng với liên kết thừa bỏ Bước Thiết lập hệ phương trình tắc 11.3 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực khung hình vẽ 11.5a q B a C Hệ a A X1 (b) (a) qa2/2 (c) X2 a B C M1 MP A X1=1 (d) (e) a M2 X2=1 (f) Hình 11.5 Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ chọn hình 11.5b HTĐ tương đương hình 11.5c Phương trình tắc có dạng: δ11X1 + δ12 X + Δ1p = ⎫ ⎪ ⎬ δ21X1 + δ22 X + Δ 2p = ⎪ ⎭ Biểu đồ mơmen uốn tải trọng (Mp) hình 11.5d Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có: n li M1M1 ⎛1 ⎞ 4a dz = δ11 = ∑ ∫ ⎜ a.a a + a.a.a ⎟ = EJ x EJ x ⎝ ⎠ 3EJ x i =1 n li M1M ⎛ a3 ⎞ dz = − a.a.a ⎟ = − ⎜ EJ x ⎝ 2EJ x ⎠ i =1 EJ x δ12 = ∑ ∫ n li M 2M ⎛1 ⎞ a3 dz = a.a a ⎟ = ⎜ EJ x ⎝ ⎠ 3EJ x i =1 EJ x δ22 = ∑ ∫ n li Δ1p = ∑ ∫ i =1 n li Δ 2p = ∑ ∫ i =1 M p M1 EJ x dz = MpM2 EJ x dz = EJ x ⎛1 ⎞ 5qa a2 a2 aq a + q .a.a ⎟ = ⎜ ⎜3 ⎟ 8EJ x ⎝ ⎠ EJ x ⎛ a2 ⎞ qa − aq .a ⎟ = − ⎜ ⎜ 2 ⎟ 4EJ x ⎝ ⎠ 11.4 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Thay vào phương trình tắc, ta cã: ⎧ a3 a3 qa ⎧ =0 X1 − X2 + ⎪ X1 = − qa ⎪ EJ x EJ x ⎪ EJ x ⎪ ⇒⎨ ⎨ 3 ⎪− a X + a X − qa = ⎪X = qa ⎪ 28 ⎪ EJ x EJ x EJ x ⎩ ⎩ Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt lực X1, X2 vào hệ với lực X1 có chiều ngược lại kết mang dấu âm Biểu đồ M, N, Q hình 11.6 Hình 11.6 III TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng hệ có trục đối xứng ⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng tải trọng đặt lên phần ảnh tải trọng đặt lên phần qua gương phẳng đặt trục đối xứng vng góc với mặt phẳng hệ ⇒ Nếu tải trọng phần ảnh phần có chiều ngược lại ta gọi hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng Hình (11.7a,b,c) - HST đối xứng, hệ chịu tải trọng đối xứng, hệ chịu tải trọng phản đối xứng Tính chất (mệnh đề) ⇒ Tương tự, nội lực b) a) c) có tính chất đối xứng Hình 11.7 phản đối xứng ⇒ Trong mặt phẳng: Nz , Mx có tính Qy Mx đối xứng, Qy có tính phản đối xứng ⇒ Trong khơng gian: Nz, Mx, My đối Mx Qy xứng, Qx, Qy Mz phản đối xứng Hình 11.8 11.5 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực ⇒ Tính chất HST đối xứng: Nếu hệ đối xứng chịu tải trọng Mx đối xứng nội lực phản đối xứng Nz mặt cắt mặt phẳng đối Mz z z xứng hệ không Ngược Qx Q My lại tải trọng phản đối xứng y y x x y nội lực đối xứng phải không ⇒ Chú ý nhận xét sau: Khi hệ Hình 11.9 đối xứng chịu tải trọng đối xứng biểu đồ mơmen đối xứng, ngược lại tải trọng phản đối xứng biểu đồ mômen phản đối xứng Phép nhân Vêrêsaghin biểu đồ đối xứng phản đối xứng khơng Chứng minh Giả sử có HST đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình 11.10b) Chọn hệ cách cắt đôi khung Phải chứng minh thành phần nội lực đối xứng X1 X2 mặt cắt không X1 , X2 , X3 nghiệm phương trình tắc: ⎧δ11X + δ12 X + δ13 X + Δ1p = ⎪ ⎨δ 21X + δ22 X + δ23 X + Δ 2p = ⎪ ⎩δ31X + δ32 X + δ33 X + Δ 3p = Pk=1 P Pk=1 (11.4) X2 X2 X3 l l Mk (a) l l l Pl X1 P X3 l Mm (b) Pl Hình 11.10 ⇒ Biểu đồ M1 , M đối xứng biểu đồ M phản đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 =Δ1p = Δ2p = ⇒ Do hệ phương trình tắc thu gọn lại sau: ⎧δ11X1 + δ12 X = ⎪ ⎨δ21X1 + δ22 X = (11.5) ⎪δ X + Δ = 3p ⎩ 33 ⇒ Hai phương trình đầu hệ thống phương trình ẩn số định thức khác khơng ⇒ X1 = X2 = 11.6 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực ⇒ Tương tự, khung chịu lực đối xứng hình vẽ 11.10a Lúc biểu đồ tải trọng đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = Δ3P = ⎧δ11X1 + δ12 X + Δ1p = ⎪ (11.6) ⇒ Hệ phương trình tắc: ⎨δ21X1 + δ22 X + Δ 2p = ⎪ ⎩δ33 X = ⇒ Từ phương trình thứ ta X3 = ⇒ đpcm ⇒ Trường hợp hệ đối xứng tải trọng ⇒ tổng tác dụng hệ có tải trọng đối xứng hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 11.11) P P/2 P/2 P/2 P/2 + = Hình 11.11 IV HST CÓ CÁC LIÊN KẾT CHỊU CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC Để tính tốn HST có gối tựa chịu chuyển vị cưỡng ta sử dụng lý luận vừa mô tả Nội lực hệ có liên kết chịu chuyển vị cưỡng gối tựa chịu chuyển vị cưỡng Để áp dụng hệ phương trình tắc (11.2) vào trường hợp ta phải ý chọn hệ bản, khơng nên loại bỏ liên kết có chuyển vị cưỡng mà phải cắt liên kết Ngồi lựa chọn hệ cách loại bỏ liên kết thừa khơng có chuyển vị cưỡng Giả sử cho dầm hình 11.12a, chọn hệ cách loại bỏ liên kết gối tựa B có chuyển vị cưỡng điều kiện biến dạng theo phương ẩn số X1 ẩn số Xk có (trên hình 11.12a khơng ẩn số này) chuyển vị cưỡng gây không không Cụ thể là: Δ X1 (X1 , X , , X n ) = δ ≠ Bây ta chọn hệ cách cắt liên kết có chuyển vị cưỡng B điều kiện chuyển vị theo phương liên kết khơng Vì lúc điều kiện vừa nói điều kiện mô ta chuyển vị tương đối hai mặt cắt liên kết vừa bị cắt: 11.7 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Δ X1 (X1 , X , , X n ) = Nếu chọn hệ cách cắt liên kết thừa có chuyển vị cưỡng phương trình thứ k có dạng: δ k1X1 + δ k X + + δ kk X k + + δ kn X n + Δ kΔ = (k=1,n) (11.7) Các hệ số δkj tính trường hợp hệ chịu tải trọng Δ kΔ chuyển vị theo phương lực Xk chuyển vị cưỡng gây hệ Nó xác định theo cơng thức sau: n n i =1 i =1 Δ kΔ = − ∑ R i Δ iΔ − ∑ M i θiΔ (11.8) Trong R i ,M i phản lực theo phương liên kết thứ i lực X k = gây hệ Δ iΔ chuyển vị thẳng theo phương liên kết thứ i θiΔ góc xoay liên kết thứ i hệ siêu tĩnh cho l g A a) B l l C c) 3EJ δ l2 X1 = M1 MΔ b) d) X1 Hình 11.12 Ví dụ 11.2: Tính mơmen uốn lớn trục cho hình 11.12a, chế tạo tâm ổ đỡ lệch đoạn δ Giải Hệ chọn hình 11.12b Phương trình tắc có dạng: δ11X1 + Δ1Δ = Trong Δ1Δ = − R1.δ = −1.δ = −δ Biểu đồ M1 cho hình 11.12c, nhân biểu đồ với ta có: ⎛ 1 ⎞ l3 δ11 = ⎜ l l l ⎟ = EJ ⎝ 2 ⎠ 6EJ Thay Δ1Δ δ11 vừa tìm vào phương trình tắc ta được: 11.8 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực 6EJ δ l3 Biểu đồ mômen uốn giá trị mơmen uốn lớn hình 11.12d X1 = IV TÍNH HST CHỊU NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI Việc tính HST chịu nhiệt độ thay đổi tương tự tính hệ chịu tác dụng tải trọng, khác biến thiên nhiệt độ nguyên nhân gây nội lực hệ Vì số hạng Δ kp thay Δ kt chuyển vị theo phương Xk biến thiên nhiệt độ gây hệ Cụ thể Δ1 = δ11X1 + δ12 X + + δ1n X n + Δ1t = ⎫ ⎪ Δ = δ21X1 + δ22 X + + δ2n X n + Δ 2t = ⎪ ⎬ (11.9) ⎪ ⎪ Δ n = δ n1X1 + δ n2 X + + δ nn X n + Δ nt = ⎭ Trong hệ số Δ kt xác định sau: l l t - t1 M k dZ h 0 t -t Hay Δ kt = ∑ Ω ( N k ) αt c + ∑ Ω ( M k ) α h Trong Ω ( N k ) Ω ( M k ) diện tích biểu đồ lực dọc mômen Δ kt = ∑ ∫ αt c N k dZ + ∑ ∫ α t1 + t ; α hệ số dãn nở nhiệt vật liệu hệ; h chiều cao MCN; t1 t2 độ biến thiên nhiệt độ hai phía MCN uốn lực X k = gây hệ bản; t c = Các hệ số δkj xác định trường hợp hệ chịu tải trọng Sau thiết lập giải hệ phương trình tắc ta tìm ẩn số X1, X2, X3, … Việc vẽ biểu đồ nội lực tiến hành theo phương pháp biết 11.9 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực IV TÍNH DẦM LIÊN TỤC Định nghĩa q P a) ⇒ Dầm liên tục dầm siêu tĩnh đặt nhiều gối tựa đơn, có gối q tựa cố định (hình 11.13a) M3 M3 M1 M2 M2 M M1 M4 b) Khoảng cách hai gối tựa gọi nhịp Bậc siêu tĩnh dầm số nhịp trừ l l l l Phương trình ba mơmen P q ⇒ Chọn hệ Mi-1 Mi-1 Mi Mi Mi+1 Mi+1 dầm cách đặt lên c) gối tựa khớp để chia i-1 i i+1 dầm thành nhiều dầm đơn li li+1 (h×nh 11.13b) Ωi Ωi+1 ⇒ Những lực tác dụng lên d) Mp C C nhịp ảnh i i-1 i+1 hưởng đến chuyển vị ai+1 bi+1 bi Mi-1=1 nhịp bên cạnh ⇒ xét M i −1 chuyển vị gối tựa bất e) kỳ, cần xét hai nhịp liên Mi=1 tiếp ẩn số f) Mi mômen uốn nội lực Mi (h×nh 11.13c) (Mi>0 làm Mi+1=1 căng thớ dưới) g) M i +1 ⇒ Phương trình tắc (phương trình ba Hình 11.13 mơmen) viết theo điều kiện góc xoay tương đối hai mặt cắt gối tựa phải khơng ⇒ Ví dụ gối tựa thứ “i”: δ11M1 + δ12M2 +…+ δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 +…+ δ1nMn + Δip = ⇒ Các hệ số δi1 = δi2 = …= δi(i-2) = … = 0, lực tác dụng hai nhịp hai gối tựa thứ “i” ảnh hưởng đến góc xoay gối tựa hai nhịp Phương trình tắc hệ có dạng sau: (11.10) δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + Δip = ⇒ Các hệ số số hạng tự (11.10) tính theo phương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 11.10 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực δi,i −1 = li −1 ∫ M i−1M i l 1 dz = 1.li = i EJ i EJ i 6EJ i li Mi Mi l l 1 1 dz = 1.li + 1.li +1 = i + i +1 EJ EJi EJ i+1 3EJ i 3EJi +1 δi,i = ∫ δi,i +1 = li +1 ∫ li Δip = ∫ M i M i+1 l 1 dz = 1.li +1 = i +1 EJ i+1 EJi +1 6EJ i+1 M p Mi EJ dz = a b 1 Ωi i + Ωi +1 i +1 EJi li EJ i+1 li +1 đó: li, li+1 : độ dài nhịp thứ i thứ (i+1) Ωi, Ωi+1: Diện tích biểu đồ mômen tải trọng gây nên hai nhịp thứ i thứ (i+1) ai, bi+1: Khoảng cách từ trọng tâm diện tích đến gối tựa thứ (i-1) (i+1) Thay trị số vào phương trình tắc, ta có: ⎛ l ⎞ ⎛ Ω a Ω b ⎞ li l l Mi −1 + ⎜ i + i +1 ⎟ M i + i +1 M i+1 + ⎜ i i + i +1 i +1 ⎟ = (11.11) 6EJi 6EJ i+1 ⎝ 3EJi 3EJi +1 ⎠ ⎝ li EJ i li+1EJi +1 Nếu độ cứng EJ không đổi suốt chiỊu dμi cđa dÇm, ta cã : ⎛ Ω a Ω b ⎞ li M i −1 + ( li + li +1 ) M i + li+1M i+1 + ⎜ i i + i +1 i +1 ⎟ = li +1 ⎠ ⎝ li (11.12) Ví dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt, mômen uốn dầm liên tục hình vẽ (11.14a) ql2/40 d) q P=ql M1 a) l l M1 M1 3ql2/20 l M2 e) M0 M1 M1 M2 M2 M3 M2 b) l l l 3ql2/20 ql2/8 7ql2/20 f) Mp c) M2 Mx 3ql/8 ql /20 ql/40 13ql/20 ql2/4 g) Hình 11.14 Qy 5ql/8 7ql/20 11.11 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Giải: Đây HST bậc Hệ hình 11.14b Biểu đồ mơmen uốn Mp hình 11.14c Phương trình ba mômen gối tựa thứ 1, là: ⎧ ⎛ ql ⎞ l ⎟ = ⎪l M + 2(l + l )M1 + l M + ⎜ + 2⎠ ⎪ ⎝ ⎨ 2 ⎪l M + 2(l + l )M + l M + ⎛ ql l + ql l ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝3 2 2⎠ ⎩ Trong M0 = M3 = (do khớp khơng có mơmen ngoại lực tập trung) Giải hệ phương trình ta được: 3ql ql M1 = − ; M2 = − ; 40 20 Dấu (-) m«men có chiều ngược với chiều chọn Cộng biểu đồ Mp, M1, M2 ta biểu đồ Mx (hình 11.14f) Sau tính phản lực gối tựa biểu đồ Mp, M1, M2 cộng vectơ phản lực, ta thu biểu đồ Qy hình 11.14g Trường hợp đặc biệt ⇒ Trường hợp dầm liên tục có đầu thừa đầu ngàm cách giải sau: ⇒ Tưởng tượng bỏ đầu thừa thu gọn tất ngoại lực đặt đoạn gối tựa cuối Mơmen uốn thu gọn xem mơmen liên kết mặt cắt gối tựa cuối (mômen có trị số dương làm căng thớ có trị số âm làm căng thớ trên) xem mômen uốn ngoại lực tác động lên dầm Cịn liên kết ngàm thay nhịp đặt gối tựa cố định liên kết đơn Ðộ cứng EJx đoạn nhịp xem lớn vô chiều dài nhịp xem khơng (hình 11.15) P l P M=Pl l0=0 Hình 11.15 ⇒ Phương trình ba mơmen áp dụng nhịp cạnh phần 11.12 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực dầm chịu lực hình vẽ (11.15a) 5ql2/28 d) q P=ql a) l M0=0 M M2 3ql2/28 5ql2/28 3ql2/28 M3=-ql2/2 M2 M2 e) l/2 l M1 M1 b) ql2/2 f) l0=0 l l Mx 11ql/14 Mp c) ql2/8 ql g) Qy 3ql/14 17ql/28 Hình 11.15 Giải: Hệ thứ tự nhịp, gối tựa đánh số hình 11.15b Biểu đồ Mp tải trọng gây nên hệ hình vẽ (11.15c) Mơmen thu gọn gối tựa cuối xem mơmen liên kết mặt cắt gối tựa Vì biểu đồ mơmen Mp khơng có mơmen Với gối tựa (1), (2), ta thiết lập phương trình ba mơmen sau: ⎧ ql l = ⎪l M + 2(l + l )M1 + l M + ⎪ ⎨ ⎪l M + 2(l + l )M + l M + ql l = ⎪ ⎩ Giải hệ với M0 = M3 = 0.5Pl = 0.5ql2 ta được: 3ql 5ql M1 = − ; M2 = ; 28 28 Mômen M10 có nghĩa M2 làm căng thớ Biểu đồ mômen uốn lực cắt cho hình 11.15f,g 11.13 ... nhịp Phương trình tắc hệ có dạng sau: (11. 10) δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + Δip = ⇒ Các hệ số số hạng tự (11. 10) tính theo phương pháp nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có: 11. 10 Chương 11 Tính hệ... ql/40 13ql/20 ql2/4 g) Hình 11. 14 Qy 5ql/8 7ql/20 11. 11 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh phương pháp lực Giải: Đây HST bậc Hệ hình 11. 14b Biểu đồ mơmen uốn Mp hình 11. 14c Phương trình ba mơmen gối tựa... thu gọn lại sau: ⎧δ11X1 + δ12 X = ⎪ ⎨δ21X1 + δ22 X = (11. 5) ⎪δ X + Δ = 3p ⎩ 33 ⇒ Hai phương trình đầu hệ thống phương trình ẩn số định thức khác không ⇒ X1 = X2 = 11. 6 Chương 11 Tính hệ siêu tĩnh