- 1 - Mục Lục Nội dung Trang Mở đầu 2 Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 5 1.2. Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính 7 1.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 9 Chơng 2: Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1. Bài toán tối u rời rạc 19 2.2. Một số thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 26 Chơng 3: Bài tập vận dụng 3.1. Bài tập vận dụng thuật toán cắt Gomory 50 3.2. Bài tập vận dụng thuật toán Land - Doig 58 3.3. Bài tập đa bài toán về bài toán cái túi để giải 64 Tài liệu tham khảo 74 - 2 - Lời Nói đầu 1. Lí do chọn đề tài Tối u hoá là một lĩnh vực toán học nghiên cứu lý thuyết về thuật toán giải các bài toán cực trị. Nó là một phần kiến thức không thể thiếu đợc cho những ngời làm việc trong các lĩnh vực ứng dụng của khoa học và kỹ thuật. Trong lý thuyết tối u, một trong những lớp bài toán đầu tiên đợc nghiên cứu trọn vẹn cả về phơng diện lý thuyết lẫn thuật toán là bài toán quy hoạch tuyến tính. Ngay từ khi ra đời, quy hoạch tuyến tính đ chiếm một vị trí hết sức quan trọng; nó là môn toán ứng dụng rất cần thiết đối với sinh viên thuộc nhiều ngành học khác nhau. Các thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính không những giúp giải quyết các bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát cỡ lớn mà nó còn là điểm xuất phát quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết giải các bài toán tối u tổng quát. Trong lý thuyết tối u ta gặp một lớp bài toán mà đối tợng của nó không thể chia cắt nhỏ tuỳ ý, trong lớp bài toán này tất cả (hoặc một bộ phận) các biến chỉ nhận giá trị nguyên, đó là bài toán quy hoạch nguyên. Trong bài toán quy hoạch nguyên, nếu hàm mục tiêu và hệ ràng buộc là các hàm tuyến tính thì ta có bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Đối với các bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính, các thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát cơ bản hầu hết không thể sử dụng đợc nữa do yêu cầu về tính nguyên của các biến số. Năm 1958 Gomory (nhà toán học ngời mỹ) đ công bố thuật toán cắt nối tiếng để giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính mở đầu cho sự ra đời và phát triển của lý thuyết bài toán quy hoạch nguyên. Tiếp đó, một số kết quả nghiên cứu về tập nghiệm và lời giải cho lớp bài toán này lần lợt đợc ra đời. Tuy xuất hiện sau thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính gần ba thập kỷ nhng các thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính đ có những đóng góp không nhỏ cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết tối u tổng quát. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính là phần kiến thức khá mới mẻ đối với sinh viên s phạm toán. Với mong muốn khai thác sâu kiến thức môn quy hoạch tuyến tính nói riêng; mở rộng tầm hiểu biết của bản thân về tri thức toán - 3 - nói chung, việc nghiên cứu lý thuyết bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính là hết sức cần thiết. Vì những lý do trên chúng tôi chọn "Về bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính" làm đề tài nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính; xây dựng hệ thống bài tập vận dụng, để từ đó thấy đợc tầm quan trọng và tính thiết thực của lý thuyết bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính đối với các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, các hoạt động thực tiễn của đời sống x hội. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, một số thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Nghiên cứu các phơng pháp giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Nghiên cứu một số bài tập vận dụng phơng pháp giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. 4. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Lý thuyết tối u hoá. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. 5. Phơng pháp nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các tài liệu về môn quy hoạch tuyến tính, các tài liệu liên quan đến tối u hoá, các khoá luận tốt nghiệp về quy hoạch tuyến tính của các khoá trớc ở trờng Đại học Hùng Vơng. Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viên hớng dẫn và các giảng viên dạy tối u hoá; quy hoạch tuyến tính của trờng. Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân qua quá trình học học phần quy hoạch tuyến tính và của các bạn sinh viên đ học tối u hóa của các lớp s phạm và các lớp quản trị kinh doanh trong trờng. - 4 - 6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Sản phẩm khoa học: Hệ thống lại một số kiến thức của lý thuyết tối u tuyến tính, giới thiệu một số thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng lý thuyết đ xây dựng. Sản phẩm thực tiễn: Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên toán, tin học và sinh viên các ngành kinh tế, quản trị kinh doanh. 7. Bố cục khoá luận Khóa luận gồm 74 trang, ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của khoá luận bao gồm 3 chơng Chơng 1. Các kiến thức bổ trợ 1.1. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính tổng quát 1.2. Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính 1.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc Chơng 2. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1. Bài toán tối u rời rạc 2.2. Một số thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính Thuật toán cắt của Gomory Phơng pháp nhánh cận (Thuật toán Land - Doig) Phơng pháp phơng trình truy toán của quy hoạch động giải bài toán cái túi Chơng 3. Bài tập vận dụng 3.1. Bài tập vận dụng thuật toán cắt của Gomory 3.2. Bài tập vận dụng thuật toán Land - Doig 3.3. Bài tập đa bài toán về bài toán cái túi để giải - 5 - CHƯƠNG 1 CáC KIếN THứC Bổ TRợ 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 1.1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát Tìm vectơ 1 2 ( , , , ) n x x x x = sao cho hàm f(x) = 1 n j j j c x = min với các điều kiện: 1 1 2 1 3 1 1 2 3 , (1.1) , (1.2) , (1.3) 0, (1.4) , (1.5) 0, (1.6) n ij j i j n ij j i j n ij j i j j j j a x b i I a x b i I a x b i I x j J x R j J x j J = = = = Với I 1 I; I 2 I; I 3 I; I={ 1, , m}; I 1 I 2 I 3 = I; I i I k =ỉ; i k; i, k = 1,2,3. J 1 J; J 2 J; J 3 J; J = { 1, , n}; J = J 1 J 2 J 3 , J i J k = ỉ; I k; i,k = 1,2,3. b i , c j , a ij là các hằng số cho trớc. Trong bài toán trên: f đợc gọi là hàm mục tiêu. Mỗi hệ thức ở (1.1), (1.2), (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) gọi là một ràng buộc. Mỗi ràng buộc (1.1), (1.2), (1.3) gọi là ràng buộc cỡng bức (hay cơ bản). Ràng buộc (1.4), (1.5), (1.6) gọi là ràng buộc tự do (hay ràng buộc dấu). + Mỗi vectơ 1 2 ( , , , ) n x x x x = R n thoả mn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một phơng án. Tập hợp tất cả các phơng án (ký hiệu D) gọi là miền ràng - 6 - buộc hay miền chấp nhận đợc. Phơng án làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu hoặc cực đại đợc gọi là phơng án tối u hay một lời giải của bài toán đ cho. + Giải bài toán quy hoạch tuyến tính là tìm phơng án tối u của bài toán (có thể là phơng án tối u duy nhất hoặc vô số phơng án tối u) hoặc chứng tỏ bài toán vô nghiệm. 1.1.2. Một số kí hiệu quy ớc a) Nếu A là ma trận cỡ (m,n) thì A i =(a i1 ,a i2 , ,a in ) là vectơ dòng (ma trận dòng) thứ i (i = 1,2, , m) của A; A j = (a 1j , a 2j , ,a mj ) là vectơ cột (ma trận cột) thứ j (j = 1,2, ,n) của A. b) A t là ma trận chuyển vị của A. c) Nếu A = (a ij ) và B = (b ij ) là hai ma trận cùng kiểu thì bất đẳng thức ma trận A B đợc hiểu là a ij b ij với i,j. Đặc biệt với vectơ (ma trận) 1 2 ( , , , ) n x x x x = thì x 0 đợc hiểu là x j 0 j. d) Mỗi vectơ đợc xem nh ma trận cột trong các phép tính ma trận ( nếu không nói gì thêm hoặc không có quy ớc gì khác). e) Biểu thức tích vô hớng của hai vectơ 1 2 ( , , , ) n x x x x = ; y = (y 1 , y 2 , , y n ) đợc viết: (x, y) = 1 n j j j x y = g) Nếu xem c và x là hai ma trận cột thì c t x = 1 n j j j c x = là ma trận cấp 1 ( c t là ma trận chuyển vị của c). Với những quy ớc nh trên bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát đợc viết gọn nh sau: Tìm vectơ 1 2 ( , , , ) n x x x x = R n thoả mn: f(x) = c t x min. - 7 - 1 2 1 2 , , 0, , i i j j A x b i I A x b i I x j J x R j J = Trong đó A = (a ij ) là hai ma trận cỡ (m,n). 1.1.3. Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính Dạng chuẩn tắc: f(x) = c t xmin 0, j Ax b x j J Dạng chính tắc: f(x) = c t x min 0, j Ax b x j J = 1.2. Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc (bài toán I) 1 ( ) min n j j j f x c x = = 1 0, 1, n ij j i j j a x b x j n = = = (I) - 8 - Bớc xuất phát: Tìm một phơng án cực biên 0 x và cơ sở { } ; j B B A j J = tơng ứng, trong đó { } / j B J j J A B = . Tìm các hệ số khai triển ij a và các ớc lợng j ( ij a : hệ số khai triển vectơ A i qua các vectơ A j ). Bớc 1:Kiểm tra dấu hiệu tối u: a) Nếu 0 j j J thì 0 x là phơng án tối u. Thuật toán kết thúc. b) Nếu j > 0 thì chuyển sang bớc hai. Bớc 2: Kiểm tra dấu hiệu hàm mục tiêu giảm vô hạn. Với mỗi j B J mà j > 0 thì kiểm các hệ số khai triển ij a của cột j A tơng ứng. a) Nếu tồn tại j > 0 mà tất cả ij a 0 j J thì kết luận hàm mục tiêu giảm vô hạn trên miền ràng buộc. Bài toán không có lời giải hữu hạn. Thuật toán kết thúc. b) Nếu với mỗi j B J mà j > 0 đều tồn tại ít nhất một hệ số 0 ij a > thì tiến hành tìm phơng án cực biên mới tốt hơn với cơ sở 1 ( \ ) B J J r s = theo quy tắc sau: Bớc 3: - Tìm cột xoay: Tìm { } 0, s j B max j J = > Cột s A gọi là cột xoay (cột đa vào cơ sở ). - Tìm dòng xoay: tìm 0 0 min , 0 r i ij rs ij x x a a a = = > Dòng r A gọi là dòng xoay. - 9 - Phần tử nằm trên giao của dòng xoay và cột xoay của bảng đơn hình đợc gọi là phần tử xoay. Bớc 4: Thực hiện phép biến đổi đơn hình chuyển từ phơng án cơ sở chấp nhận đợc x sang phơng án cơ sở chấp nhận đợc x : Bảng đơn hình tơng ứng với x (gọi tắt là bảng mới) có thể thu đợc từ bảng đơn hình tơng ứng với x (gọi tắt là bảng cũ) theo các quy tắc biến đổi sau đây: a) Các phần tử ở vị trí dòng xoay trong bảng mới ( rj a ) bằng các phần tử tơng ứng trong bảng cũ chia cho phần tử xoay: , rj rj rs a a j J a = b) Các phần tử ở vị trí cột xoay trong bảng mới, ngoại trừ phần tử nằm trên vị trí phần tử xoay bằng 1, còn tất cả là bằng 0. c) Các phần tử cần tính còn lại trong bảng mới ( , ) j ij a đợc tính từ các phần tử tơng ứng trong bảng cũ theo các công thức sau: rj ij ij is rs a a a a a = , ( ) B i J i r , ( ) B j J j s rj s j j rs a a = 1.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc 1.3.1. Cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc (P) và bài toán đối ngẫu (Q). (P) ( ) min t f x c x= (Q) ( ) g y by max = 0 Ax b x = t A y c y R Giả thiết rằng rankA = m. Giả sử { } ; j B A j J = là một hệ gồm m vectơ cột độc lập tuyến tính của ma trận A. Ta gọi hệ vectơ này là cơ sở của ma trận A. - 10 - Ký hiệu { } 1 2 , , , n N A A A = \ B. Phơng án cơ sở (x B , x N ) của bài toán (P) tơng ứng với cơ sở B thu đợc bằng cách giải hệ phơng trình tuyến tính x N = 0, A B x B = b. Định nghĩa : Ta gọi B là cơ sở chấp nhận đợc gốc nếu phơng án cơ sở tơng ứng với nó là phơng án chấp nhận đợc của bài toán gốc, (tức là nếu 1 0 B B x A b = ). Ta gọi phơng án cơ sở đối ngẫu tơng ứng với cơ sở B là vectơ y thu đợc bằng cách giải hệ phơng trình tuyến tính t B B A y c = (tức là 1 ( ) t B B y A c = ) Cơ sở B đợc gọi là cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu nếu phơng án cơ sở đối ngẫu ứng với nó là phơng án chấp nhận đợc của bài toán đối ngẫu. Nếu phơng án cơ sở tơng ứng với B là phơng án tối u thì B sẽ đợc gọi là cơ sở tối u. Nh vậy nếu B là cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu thì phơng án cơ sở đối ngẫu tơng ứng với nó 1 ( ) t B B y A c = phải thoả mn tất cả các ràng buộc của bài toán đối ngẫu t A y c hay 1 ( ) 0 t t B B A A c c (1.7) Dễ thấy nếu B là cơ sở chấp nhận đợc gốc, thì điều kiện (1.7) chính là tiêu chuẩn tối u. Nh vậy, cơ sở B sẽ là tối u nếu nh nó vừa là chấp nhận đợc gốc vừa là chấp nhận đợc đối ngẫu. Nhận xét Thuật toán đơn hình gốc là bắt đầu từ một cơ sở chấp nhận đợc gốc, sau một số hữu hạn lần chuyển cơ sở sẽ đi đến cơ sở tối u. Thuật toán đơn hình đối ngẫu lại bắt đầu từ một cơ sở chấp nhận đối ngẫu nhng cha phải chấp nhận đợc gốc, ta tiến hành dịch chuyển sang các cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu mới cho đến khi gặp đợc cơ sở tối u thì dừng lại. 1.3.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu khi đã biết cơ sở chấp nhận đợc đối ngẫu [...]... thuật toán giải b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.2 Một số thuật toán giải b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.2.1 Thuật toán cắt Gomory T tởng của thuật toán : Xét b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chính tắc (b i toán II) n f(x) = c x j =1 j j min (2.5) n aij x j = bi , i = 1, m j =1 x 0, j = 1, n j (2.6) (2.7) x j - nguyên , j = 1, n (2.8) Khi bỏ đi điều kiện (2.8) ta đợc b i toán. .. sung về tính nguyên của các biến số sau đây: gi ( x) = 0, i = 1, 2, , m1 , (2.2) g i ( x ) 0, i = m1 + 1, , m (2.3) - 19 - xj - nguyên, j = 1,2, , n1 (2.4) Khi đó b i toán (2.1) - (2.4) đợc gọi l b i toán quy hoạch nguyên Nếu n1 = n ta có b i toán quy hoạch nguyên ho n to n, còn nếu n1 < n ta có b i toán quy hoạch nguyên bộ phận Một trờng hợp riêng quan trọng của b i toán quy hoạch nguyên l b i toán quy. .. các thuật toán giải b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính ở chơng 2 - 18 - Chơng 2 bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1 B i toán tối u rời rạc 2.1.1 Xây dựng mô hình tối u rời rạc Trớc tiên chúng ta b n về những nguyên nhân dẫn đến tính rời rạc của biến số trong việc xây dựng mô hình tối u hoá cho các b i toán thực tế Một trong những nguyên nhân đầu tiên dẫn đến tính rời rạc của biến số l tính không... thể áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu từ bảng n y để giải b i toán bổ sung Kỹ thuật vừa mô tả ở trên đợc gọi l " kĩ thuật tái tối u hoá" - 17 - Kết luận chơng 1 Chơng 1 đ trình b y một số vấn đề cơ sở của lý thuyết tối u: b i toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, thuật toán đơn hình gốc giải b i toán quy hoạch tuyến tính, thuật toán đơn hình đối ngẫu giải b i toán quy hoạch tuyến tính Đây l các nội... toán phân hoạch có thể dẫn về b i toán tối u rời rạc sau n c x j =1 j n a j =1 ij j max, x j = 1, i = 1, m x j {0,1} , j = 1, n Rõ r ng nếu giá trị tối u của b i toán vừa viết bằng m thì ta có trả lời khẳng định cho b i toán phân hoạch, ngợc lại b i toán phân hoạch không có lời giải Một trờng hợp riêng của b i toán tối u rời rạc l b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính khi ta đa thêm v o b i toán quy. .. lát cắt hợp cách Sau mỗi bớc, nếu cha gặp phơng án tối u của b i toán (II) thì ta lại bổ sung một lát cắt hợp cách v o hệ r ng buộc của b i toán (III) để khoanh vùng tập phơng án tối u của b i toán (III) v tìm phơng án của b i toán (II) Xây dựng lát cắt của b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính Giả sử ta đ giải b i toán quy hoạch tuyến tính (III) chúng ta thu đợc * phơng án cơ sở tối u x v cơ sở tơng... cho thoả m n hai tính chất cơ bản sau: Mọi phơng án chấp nhận đợc của b i toán (II) đều phải thoả m n nó (tức l nó không cắt bỏ bất cứ phơng án chấp nhận đợc n o của b i toán xuất phát II) ( ) Lk x k > 0 , nghĩa l nó phải cắt bỏ phơng án tối u x k của b i toán quy hoạch tuyến tính của bớc trớc khỏi miền r ng buộc của b i toán quy hoạch tuyến tính ở bớc sau R ng buộc (2.9) thoả m n hai tính chất vừa... nên b i toán không có lời giải Nếu giá trị h m mục tiêu của b i toán mở rộng không phụ thuộc v o M thì b i toán xuất phát có phơng án tối u v có thể chấp nhận đợc nó bằng cách bỏ x0 v giảm dần giá trị M cho đến khi có một trong các x1 , x2 , , xn trở th nh 0 1.3.4 áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu để giải b i toán quy hoạch tuyến tính với số r ng buộc tăng dần Xét b i toán quy hoạch tuyến tính (I):... b y đối với một b i toán tối u rời rạc cụ thể ta cần phải xây dựng đợc hai thủ tục chính sau: (k ) Thủ tục phân hoạch tập Di0 ra th nh các tập con (còn gọi l thủ tục phân nhánh); Thủ tục tính cận dới ( A) 2.2.2.2 Một áp dụng của lợc đồ nhánh cận v o việc giải b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính l thuật toán Land - Doig Sơ đồ của thuật toán Giả sử ta cần giải b i toán QHTT nguyên (P): n f ( x )... đợc sản xuất với số lợng không lớn v giá trị một sản phẩm l cao (ví dụ cỗ máy kéo), thì tính nguyên của biến số - 20 - không thể bỏ qua Ta thu đợc mô hình toán học của b i toán l b i toán quy hoạch nguyên tuyến tính sau: n c x j j =1 n a j =1 ij j max x j bi , i = 1, m x j 0 , xj - nguyên, j = 1, n 2.1.2.2 B i toán với điều kiện logic Xét điều kiện logic dới dạng hoặc l - hoặc l Những điều kiện . ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc Chơng 2. Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 2.1. Bài toán tối u rời rạc 2.2. Một số thuật toán giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính . đến bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, một số thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Nghiên cứu các phơng pháp giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính. Nghiên cứu một số bài. trợ 1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 5 1.2. Thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính 7 1.3. Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính chính