Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: Xác định đối tượng nghiên cứu xác suất NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa mối quan hệ biến cố Minh họa hình ảnh xây dựng hai ví dụ minh hoạ cho quan hệ NHIỆM VỤ 3: Phát biểu định nghĩa phép toán biến cố Minh họa hình ảnh xây dựng hai ví dụ minh họa cho phép toán NHIỆM VỤ 4: Phát biểu định nghĩa hệ đầy đủ, không gian biến cố sơ cấp Minh hoạ qua ví dụ ĐÁNH GIÁ HOẠT ĐỘNG 1.1 1.1 Trong phép thử tung hai đồng tiền, ta kí hiệu, chẳng hạn: (S, N) = “Đồng thứ xuất mặt sấp, đồng thứ hai xuất mặt ngửa” Điền vào chỗ chấm nội dung thích hợp: a) (S, S) biến cố b) Cả hai đồng xuất mặt ngửa biến cố c) (N, S) biến cố d) Ít đồng xuất mặt sấp biến cố e) Không gian biến cố sơ cấp phép thử f) Hệ đầy đủ biến cố phép thử 1.2 Trong phép thử kiểm tra ngẫu nhiên hai học sinh Dùng kí hiệu tương tự ví dụ 1.3, ghi Đ (đúng) S (sai) vào ô trống: a) Không gian vào biến cố sơ cấp phép thử có hai biến cố c b) Các biến cố (T, T), (T, K), (K, T) + (K, K) lập thành hệ đầy đủ c c) Các biến cố (T, T), (T, K) học sinh khơng thuộc lập thành không gian biến cố sơ cấp c d) Không gian biến cố sơ cấp {(T, T), (T, K), (K, T), (K, K)} c 1.3 Hãy mô tả biến cố câu a, b, c, d 1.1 hình ảnh 1.4 Trong phép thử gieo hai xúc xắc ta kí hiệu 14 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN (Qi, Qj) = “Con thứ xuất mặt i chấm, thứ hai xuất mặt j chấm” a) Xác định không gian biến cố sơ cấp phép thử b) Biểu diễn biến cố hai xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn qua biến cố sơ cấp c) Biểu diễn biến cố “tổng số chấm xuất hai 8” qua biến cố sơ cấp d) Gọi tên biến cố sau: (Q1, Q6) + (Q2, Q5) + (Q3, Q4) + (Q4, Q3) + (Q5, Q2) + (Q6, Q1) 15 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT A THÔNG TIN CƠ BẢN 2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển Trong sống hàng ngày ta thường gặp câu: - Khả xuất mặt sấp mặt ngửa tung đồng tiền - Khi gieo xúc xắc, khả xuất mặt lẻ nhiều khả xuất mặt “lục” - Khả lấy sản phẩm phân xưởng thứ nhiều hơn, v.v Trong câu nói chứa đựng nội dung xác suất thống kê Để hiểu cách khoa học ý nghĩa đó, người ta cần xây dựng mơ hình tốn học cho khái niệm xác suất Định nghĩa 2.1: (định nghĩa xác suất cổ điển) Cho {B1, B2, , Bn} hệ đầy đủ biến cố đồng khả phép thử A biến cố phép thử Giả sử hệ có k biến cố thuận lợi A, tức là: A= Bn1 + Bn2 + + Bnk với ≤ ni ≤ n; i = 1, 2, , k Ta gọi tỉ số P(A) = k xác suất biến cố A n Ví dụ 2.1 Trong phép thử tung đồng tiền, tìm xác suất để xuất mặt sấp, xuất mặt ngửa Giải: Ta biết, hệ đầy đủ biến cố đồng khả phép thử {S, N} Vậy P (S) = P(N) = = 0,5 Ví dụ 2.2 Trong phép thử tung hai đồng tiền, tìm xác suất để: a) Cả hai đồng xuất mặt sấp b) Có đồng xuất mặt sấp 16 = 0,5 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Ta biết {(S,N); (S,S); (N,S); (N, N)} lập thành hệ đầy đủ biến cố phép thử Biến cố hai đồng xuất mặt sấp (S, S) đồng xuất mặt sấp (S,N) + (S,S) + (N,S) Vậy a) Xác suất để hai đồng xuất mặt sấp P ((S,S)) = = 0,25 b) Xác suất để đồng xuất mặt sấp P((S, N) + (S, S) + (N, S)) = = 0,75 Ví dụ 2.3 Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuất mặt sáu chấm, xuất mặt có số chấm lẻ Giải: Ta biết {Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6} lập thành không gian biến cố sơ cấp Ql = Q1 + Q3 + Q5 Vậy P(Q6) = ≈ 0,17 P(Ql) = = 0,5 6 Tương tự ta có P(Qk) ≈ 0,17 với k = 1, 2, 3, 4, P(Qe) = P(Qnt) = 0,5 Ví dụ 2.4 Trên bàn có hai túi đựng thi cuối học kì, túi đựng 25 lớp 5A túi đựng 20 lớp 5B Kết chấm theo điểm 10 cho bảng đây: Điểm 10 5A 10 5B 12 Lớp Rút ngẫu nhiên từ túi thi Tìm xác suất để hai rút ra: a) Đều đạt điểm 10 b) Có đạt điểm 10 c) Có đạt điểm 10 17 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Kí hiệu A, B, C theo thứ tự biến cố ứng với kiện xảy câu a, b c đề Ta nhận xét: thi lớp 5A, ghép với thi lớp 5B biến cố phép thử Vậy - Số biến cố phép thử 25 × 20 = 500 (biến cố) - Số biến cố thuận lợi A là: × = (biến cố) - Số biến cố thuận lợi B là: × 18 + × 22 = 98 (biến cố) - Số biến cố thuận lợi C là: 98 + = 104 (biến cố) Từ suy P(A) = = 0,012, 500 P(B) = 98 = 0,196, 500 P(C) = 104 = 0,208 500 Ví dụ 2.5 Đội đồng ca khối trường tiểu học Hồ Bình có 12 em học sinh lớp 5A em học sinh lớp 5B Gặp ngẫu nhiên hai em đội Tìm xác suất để: a) Hai em học sinh hai lớp khác b) Cả hai em học sinh lớp 5A Giải: Ta kí hiệu A B theo thứ tự biến cố ứng với kiện xảy câu a b đề Ta nhận xét: Mỗi cách gặp số 20 em đội cho ta biến cố phép thử Vậy số biến cố phép thử N = C = 190 (biến cố) 20 Mỗi cách ghép số 12 em lớp 5A với số em lớp 5B cho ta biến cố thuận lợi A Vậy số biến cố thuận lợi A là: 12 × = 96 (biến cố) Mỗi cách gặp hai số 12 em lớp 5A cho ta biến cố thuận lợi B Vậy số biến cố thuận lợi B là: C12 = 66 Từ suy P(A) = 18 96 = 0,5 190 P(B) = 66 ≈ 0,35 190 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Ví dụ 2.6 Cuốn sách giáo khoa Tốn dày 184 trang Hai bạn An Cường mở người trang (sau gấp lại đưa cho người sau mở tiếp) Tìm xác suất để: a) Cả hai bạn mở trang có số thứ tự số có ba chữ số b) Cả hai bạn mở trang có số thứ tự số chia hết cho c) Cả hai bạn mở trang có số thứ tự số có hai chữ số chia cho dư Giải: Ta kí hiệu B, N, M theo thứ tự biến cố ứng với kiện xảy câu a, câu b câu c đề Ta nhận xét: - Mỗi biến cố phép thử ứng với chỉnh hợp lặp chập 184 phần tử số biến cố phép thử là: F184 = 1842 = 33 856 - Số trang sách có số thứ tự số có ba chữ số là: 184 - 100 + = 85 (trang) Số biến cố thuận lợi B là: F85 = 852 = 7225 - Các số chia hết cho nhỏ 184 lập thành dãy số cách 5, 10, 15, , 180 Vậy số trang sách có số thứ tự số chia hết cho là: (180 - 5) : + = 36 (trang) Số biến cố thuận lợi N là: F36 = 362 = 1296 - Số trang sách có số thứ tự số chia cho dư (181 - 1) : + = 46 (trang) Số biến cố thuận lợi M là: F46 = 462 = 2116 Từ suy ra: P(B) = 7225 ≈ 0,21 33856 P(N) = 1296 ≈ 0,04, 33856 P(M) = 2116 ≈ 0,06 33856 Ví dụ 2.7 Trong hộp có số nhựa: 0; 1; 2; 3; 4; Một cháu mẫu giáo lấy ngẫu nhiên bốn số từ hộp xếp lại thành dãy Tìm xác suất để: a) Dãy số xếp số có bốn chữ số b) Dãy số xếp số có bốn chữ số chia hết cho 19 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Ta kí hiệu B H theo thứ tự biến cố ứng với kiện xảy câu a câu b đề Ta nhận xét: - Mỗi dãy số xếp chỉnh hợp không lặp chập phần tử Vậy số biến cố phép thử là: A = 360 biến cố - Mỗi chỉnh hợp có số đứng vị trí đầu kể từ bên trái khơng cho ta số có bốn chữ số Vậy số biến cố thuận lợi B là: A − A = 300 (biến cố) - Số biến cố thuận lợi H A + ( A – A ) = 108 (biến cố) 5 Suy P(B) = 300 108 = 0,83, P(H) = = 0,36 360 300 Từ định nghĩa ta dễ dàng suy tính chất xác suất sau: Tính chất 1: ≤ P(A) ≤ 1; P (∅) = P(Ω) = Tính chất 2: P(A + B) = P(A) + P(B); Nếu A ⊂ B P( A) ≤ P( B) Tính chất 3: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Tính chất 4: P( A ) = – P(A) Chứng minh: Đơn giản (Bạn đọc tự chứng minh tập) Ví dụ 2.8 Trong lơ hàng có 30 sản phẩm phân xưởng I 20 sản phẩm phân xưởng II Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Tìm xác suất để: a) Bốn sản phẩm lấy không phân xưởng b) Trong bốn sản phẩm lấy có sản phẩm phân xưởng I Giải: Ta kí hiệu K I theo thứ tự biến cố ứng với kiện xảy câu a b đề bài, Si = “Trong sản phẩm có i sản phẩm phân xưởng I” với i = 1, 2, 3, 4 Số biến cố phép thử C50 a) Ta có: 20 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN P(S1) = 30 × C3 20 ≈ 0,15 C50 P(S2) = 2 C30 × C20 ≈ 0,36 C50 P(S3) = C3 × 20 30 ≈ 0,35 C50 K = S1 + S2 + S3 Suy P(K) = P(S1 + S2 + S3) = P(S1) + P(S2) + P(S3) ≈ 0,15 + 0,36 + 0,35 = 0,86 b) Ta kí hiệu H = “Cả sản phẩm lấy phân xưởng II” Ta có P(H) = C4 20 = 0,02 C50 I = H ⇒ P(I) = – P(H) = – 0,02 = 0,98 2.2 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê Từ ngàn xưa, số người tiến hành quan sát tỉ lệ sinh trai số vùng lãnh thổ thời điểm khác Kết số liệu quan sát ghi lại bảng sau: Người thống kê Nơi thống kê Người Trung Hoa cổ đại Trung Quốc Laplace Luân Đôn, Pêtecbua Béc Lin Cramer Thụy Điển Darmon Pháp Tỉ số trai ≈ 22 43 45682 88079 ≈ 0,5116 ≈ 0,51187 ≈ 0,511 21 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Tổng cục Thống kê Việt Nam ≈ 0,508 Việt Nam Kết ghi bảng cho ta thấy tỉ lệ sinh trai (trên tổng số lần sinh) dao động quanh 0,51 Tương tự, Button Pearson tiến hành gieo nhiều lần đồng tiền cân đối đồng chất Kết số liệu ghi bảng sau: Tên người dân thực nghiệm Số lần gieo Số lần xuất mặt sấp Tần suất xuất mặt sấp Button 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Kết ghi bảng cho ta thấy tần suất xuất mặt sấp dao động quanh 0,5 gần 0,5 số lần gieo lớn Từ tượng trên, ta rút nhận xét: Giả sử lặp lại n lần phép thử, có k lần xuất k tần suất biến cố A biến cố A Ta gọi tỉ số n Khi n thay đổi, tần suất k thay đổi Bằng thực nghiệm người ta chứng tỏ tần n k dao động xung quanh số cố định, n lớn gần với số cố n định suất Ta gọi số cố định xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê kí hiệu P(A) Định nghĩa cho ta thấy ý nghĩa thực tiễn xác suất biến cố, chẳng hạn: Trong phép thử tung đồng tiền, P(S) = 0,50 có nghĩa tung liên tiếp đồng tiền n lần số lần xuất mặt sấp chiếm khoảng 50% Tỉ số xác n lớn Trong phép thử gieo xúc xắc, P(Q6) ≈ 0,17 có nghĩa gieo liên tiếp n lần xúc xắc số lần xuất mặt sáu chấm chiếm khoảng 17% Tỉ số xác n lớn 2.3 Xác suất hình học Trong thực tế đơi ta gặp toán đưa dạng: cho hình Ω hình X nằm hình Ω Lấy ngẫu nhiên điểm M hình Ω Tìm xác suất để điểm rơi vào hình X 22 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Mỗi cách chọn ngẫu nhiên điểm M hình Ω cho ta biến cố phép thử Như phép thử có vơ số biến cố Ta gọi: A = “Lấy ngẫu nhiên điểm M hình Ω điểm rơi vào hình X” Như cách lấy điểm M hình X cho ta biến cố thuận lợi A Thành thử phép thử có vơ số biến cố thuận lợi A Từ phân tích cho ta thấy định nghĩa xác suất cổ điển khơng cịn phù hợp với tốn dạng Vì ta xây dựng định nghĩa sau (gọi định nghĩa hình học xác suất): Cho hình Ω hình X nằm hình Ω Ta gọi tỉ số: P(M) = “độ đo” hình X “độ đo” hình Ω xác suất để lấy ngẫu nhiên điểm M hình Ω, điểm rơi vào hình X Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X hiểu sau: - Là độ dài đoạn thẳng, X tạo thành từ đoạn thẳng đường thẳng - Là độ dài đường cong, X tạo thành từ đường cong mặt phẳng - Là diện tích theo nghĩa thơng thường, X hình phẳng mặt phẳng Trong trường hợp ta quy ước: diện tích đường cong mặt phẳng - Là thể tích theo định nghĩa thông thường, X khối đa diện khối trịn xoay khơng gian Trong trường hợp ta quy ước: thể tích mặt cong khơng gian Ví dụ 2.9 Cho khu đất hình trịn vườn hoa hình tam giác nội tiếp hình trịn Trẻ em đá bổng bóng rơi vào khu đất Tìm xác suất để bóng rơi vào vườn hoa Giải: Theo định nghĩa ta có xác suất để bóng rơi vào vườn hoa là: P(M) = = S tam giác S hình trịn R R 2 πR = BC AH πR2 A R O = 3 = 0,41 4π B R H C Ví dụ 2.10 23 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Hai người hẹn gặp địa điểm khoảng từ đến chiều Họ thoả thuận với sau: Một người đến điểm hẹn mà người chưa đến chờ khơng q 15 phút Nếu người khơng đến người trước chiều Tìm xác suất để hai người gặp Giải: Đổi 15 phút = 0,25 Gọi x y theo thứ tự thời điểm người thứ người thứ hai đến điểm hẹn Vậy điều kiện để hai người gặp 1≤x,y≤2 ⎥ x – y⎥ ≤ 0,25 1≤x,y≤2 ⇔ x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 y B C D A 0,25 0,25 0,25 x 0,25 tập hợp điểm M(x,y) với ≤ x, y ≤ nằm hình vng ABCD Tập hợp điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm phần gạch chéo hình vẽ Từ phân tích trên, ta phát biểu lại tốn cho dạng hình học sau: Lấy ngẫu nhiên điểm M(x,y) hình vng ABCD Tìm xác suất để điểm rơi vào phần gạch chéo hình vẽ Áp dụng cơng thức xác suất hình học, ta có xác suất để hai người gặp điểm hẹn P(M) = “diện tích” hình X “diện tích” hình Ω = – 0,752 = 0,44 Ví dụ 2.11 Tham số m phương trình x2 – (m – 1)x + m2 – = lấy ngẫu nhiên đoạn [-2 ; 2] Tìm xác suất để phương trình có nghiệm thực 24 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghiệm thực là: Δ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = - 3m2 – 2m + ≥ Suy - ≤ m ≤ Bài tốn phát biểu dạng hình học sau: Lấy ngẫu nhiên điểm M đoạn [-2; 2] Tìm xác suất để điểm rơi vào đoạn [- ; 1] Vậy xác suất để phương trình có nghiệm thực 2+2 1+ P(M) = = 0,67 Ví dụ 2.12 Cho bất phương trình x2 + 2mx + - n2 ≤ m lấy đoạn [-1; 1] n lấy đoạn [0; 3] Tìm xác suất để bất phương trình vơ nghiệm Giải: Điều kiện để bất phương trình vô nghiệm ∆’ = m2 - + n2 < ⇔ m2 + n2 < Như cách chọn tham số m, n ứng với điểm M(m, n) hình chữ nhật ABCD Mỗi cách chọn m, n để bất phương trình vơ nghiệm ứng với điểm M(m, n) phần gạch chéo Vậy xác suất để bất phương trình vơ nghiệm ì 12 S gạ ch ché o P(M) = = ≈ 0,26 2× SABCD 25 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN m B C D A 26 n ... M đoạn [ -2 ; 2] Tìm xác suất để điểm rơi vào đoạn [- ; 1] Vậy xác suất để phương trình có nghiệm thực 2+ 2 1+ P(M) = = 0,67 Ví dụ 2. 12 Cho bất phương trình x2 + 2mx + - n2 ≤ m lấy đoạn [-1 ; 1] n... http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghiệm thực là: Δ = (m – 1 )2 – 4(m2 – 1) = - 3m2 – 2m + ≥ Suy - ≤ m ≤ Bài tốn phát biểu dạng... Vậy xác suất để bất phương trình vơ nghim l ì 12 S gạ ch ché o P(M) = = ≈ 0 ,26 2? ? SABCD 25 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ