TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ KHOA: KỸ THUẬT-CÔNG NGHỆ LỚP: CAO ĐẲNG TIN HỌC 4 NHÓM: 14 Thành Viên: 1. Nguyễn Trường An 2. Nguyễn Nhật Minh 3. Nguyễn Hoàng Đăng 4. Cái Văn Nam 5. Võ Trường Giang BÁO CÁO BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG Nội Dung Chính Gồm 2 Phần: Phần 1: TRÊN PƯƠNG DIỆN CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC 1 . Luồng vận tải: 1.1. Định nghĩa: Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên và có trọng số G=(V,E) với V={v 0 , v 1 , ,v n }thoảmãn: 1) Mỗi cung e ∈ E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi là khả năng thông qua của cung e. 2) Có một và chỉ một đỉnh v 0 không có cung đi vào, tức là deg t (v 0 )=0. Đỉnh v 0 được gọi là lối vào hay đỉnh phát của mạng. 3) Có một và chỉ một đỉnh v n không có cung đi ra, tức là deg o (v n )=0. Đỉnh v n được gọi là lối ra hay đỉnh thu của mạng. 1.2. Định nghĩa: Để định lượng khai thác, tức là xác định lượng vật chất chuyển qua mạng vận tải G=(V,E), người ta đưa ra khái niệm luồng vận tải và nó được định nghĩa như sau. 1 Hàm ϕ xác định trên tập cung E và nhận giá trị nguyên được gọi là luồng vận tải của mạng vận tải G nếu ϕ thoả mãn: 1) ϕ(e) ≥ 0, ∀e ∈ E. 2) ∑ − Γ∈ )( )( ve e ϕ = ∑ + Γ∈ )( )( ve e ϕ , ∀v ∈V, v≠v 0 , v≠v n . Ở đây, − Γ (v)={e∈E | e có đỉnh cuối là v}, + Γ (v)={e∈E | e có đỉnh đầu là v}. 3) ϕ(e) ≤ m(e), ∀e ∈ E. Ta xem ϕ(e) như là lượng hàng chuyển trên cung e=(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v và không vượt quá khả năng thông qua của cung này. Ngoài ra, từ điều kiện 2) ta thấy rằng nếu v không phải là lối vào v 0 hay lối ra v n , thì lượng hàng chuyển tới v bằng lượng hàng chuyển khỏi v. Từ quan hệ 2) suy ra: 4) ∑ + Γ∈ )( 0 )( ve e ϕ = ∑ − Γ∈ )( )( n ve e ϕ =: n v ϕ . Đại lượng n v ϕ (ta còn ký hiệu là n ϕ ) được gọi là luồng qua mạng, hay cường độ luồng tại điểm v n hay giá trị của luồng ϕ. Bài toán đặt ra ở đây là tìm ϕ để n v ϕ đạt giá trị lớn nhất, tức là tìm giá trị lớn nhất của luồng. 1.3. Định nghĩa: Cho mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V. Ký hiệu − Γ (A)={(u,v)∈E | v∈A, u∉A}, + Γ (A)={(u,v)∈E | u∈A, v∉A}. Đối với tập cung M tuỳ ý, đại lượng ϕ(M)= ∑ ∈Me e)( ϕ được gọi là luồng của tập cung M. Từ điều kiện 2) dễ dàng suy ra hệ quả sau. 1.4 . Hệ quả: Cho ϕ là luồng của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V \{v 0 ,v n }. Khi đó: ϕ( − Γ (A))=ϕ( + Γ (A)). 2. Bài toán luồng cực đại: Cho mạng vận tải G=(V,E). Hãy tìm luồng ϕ để đạt n v ϕ max trên mạng G. Nguyên lý của các thuật toán giải bài toán tìm luồng cực đại là như sau. 2 2.1. Định nghĩa: Cho A ⊂ V là tập con tuỳ ý không chứa lối vào v 0 và chứa lối ra v n . Tập − Γ (A) được gọi là một thiết diện của mạng vận tải G. Đại lượng m( − Γ (A))= ∑ − Γ∈ )( )( Ae em được gọi là khả năng thông qua của thiết diện − Γ (A). Từ định nghĩa thiết diện và khả năng thông qua của nó ta nhận thấy rằng: mỗi đơn vị hàng hoá được chuyển từ v 0 đến v n ít nhất cũng phải một lần qua một cung nào đó của thiết diện − Γ (A). Vì vậy, dù luồng ϕ và thiết diện − Γ (A) như thế nào đi nữa cũng vẫn thoả mãn quan hệ: ϕ n ≤ m( − Γ (A)). Do đó, nếu đối với luồng ϕ và thiết diện W mà có: ϕ n = m(W) thì chắc chắn rằng luồng ϕ đạt giá trị lớn nhất và thiết diện W có khả năng thông qua nhỏ nhất. 2.2. Định nghĩa: Cung e trong mạng vận tải G với luồng vận tải ϕ được goi là cung bão hoà nếu ϕ(e)=m(e). Luồng ϕ của mạng vận tải G được gọi là luồng đầy nếu mỗi đường đi từ v 0 đến v n đều chứa ít nhất một cung bão hoà. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu luồng ϕ trong mạng vận tải G chưa đầy thì nhất định tìm được đường đi α từ lối vào v 0 đến lối ra v n không chứa cung bão hoà. Khi đó ta nâng luồng ϕ thành ϕ’ như sau:    ∉ ∈+ = .)( ,1)( )(' αϕ αϕ ϕ ekhie ekhie e Khi đó ϕ’ cũng là một luồng, mà giá trị của nó là: ϕ’ n = ϕ n +1 > ϕ n . Như vậy, đối với mỗi luồng không đầy ta có thể nâng giá trị của nó và nâng cho tới khi nhận được một luồng đầy. Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng có thể có một luồng đầy, nhưng vẫn chưa đạt tới giá trị cực đại. Bởi vậy, cần phải dùng thuật toán Ford-Fulkerson để tìm giá trị cực đại của luồng. 2.3. Thuật toán Ford-Fulkerson: 3 Để tìm luồng cực đại của mạng vận tải G, ta xuất phát từ luồng tuỳ ý ϕ của G, rồi nâng luồng lên đầy, sau đó áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson hoặc ta có thể áp dụng thuật toán Ford- Fulkerson trực tiếp đối với luồng ϕ. Thuật toán gồm 3 bước: Bước 1 (đánh dấu ở đỉnh của mạng): Lối vào v 0 được đánh dấu bằng 0. 1) Nếu đỉnh v i đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số +i để đánh dấu cho mọi đỉnh y chưa được đánh dấu mà (v i ,y)∈E và cung này chưa bão hoà (ϕ(v i ,y)<m(v i ,y)). 2) Nếu đỉnh v i đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số −i để đánh dấu cho mọi đỉnh z chưa được đánh dấu mà (z,v i )∈E và luồng của cung này dương (ϕ(z,v i )>0). Nếu với phương pháp này ta đánh dấu được tới lối ra v n thì trong G tồn tại giữa v 0 và v n một xích α, mọi đỉnh đều khác nhau và được đánh dấu theo chỉ số của đỉnh liền trước nó (chỉ sai khác nhau về dấu). Khi đó chắc chắn ta nâng được giá trị của luồng. Bước 2 (nâng giá trị của luồng): Để nâng giá trị của luồng ϕ, ta đặt: ϕ’(e) = ϕ(e), nếu e∉α, ϕ’(e) = ϕ(e)+1, nếu e∈α được định hướng theo chiều của xích α đi từ v o đến v n , ϕ’(e) = ϕ(e)−1, nếu e∈α được định hướng ngược với chiều của xích α đi từ v o đến v n . 0 e +i y v j z v n v i v 0 -j 4 ϕ’ thoả mãn các điều kiện về luồng, nên ϕ’ là một luồng và ta có: ϕ’ n = ϕ n +1. Như vậy, ta đã nâng được luồng lên một đơn vị. Sau đó lặp lại một vòng mới. Vì khả năng thông qua của các cung đều hữu hạn, nên quá trình phải dừng lại sau một số hữu hạn bước. Bước 3: Nếu với luồng ϕ 0 bằng phương pháp trên ta không thể nâng giá trị của luồng lên nữa, nghĩa là ta không thể đánh dấu được đỉnh v n , thì ta nói rằng quá trình nâng luồng kết thúc và ϕ 0 đã đạt giá trị cực đại, đồng thời gọi ϕ 0 là luồng kết thúc. Khi mạng vận tải G=(V,E) đạt tới luồng ϕ 0 , thì bước tiếp theo ta không thể đánh dấu được tới lối ra v n . Trên cơ sở hiện trạng được đánh dấu tại bước này, ta sẽ chứng minh rằng luồng ϕ 0 đã đạt được giá trị cực đại. 2.4. Bổ đề: Cho luồng ϕ của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V, chứa lối ra v n và không chứa lối vào v 0 . Khi đó: ))(())(( AA n v +− Γ−Γ= ϕϕϕ . Chứng minh: Đặt A 1 =A \{v n }. Theo Hệ quả 1.4, ta có: ))(())(( 11 AA +− Γ=Γ ϕϕ (1). Đặt C 1 ={(a,v n )∈E | a∉A}. Khi đó ∪Γ=Γ −− )()( 1 AA C 1 và ∩Γ − )( 1 A C 1 = ∅, nên ϕϕϕ +Γ=Γ −− ))(())(( 1 AA (C 1 ) (2). Đặt C 2 ={(b,v n )∈E | b∈A 1 }. Khi đó C 2 ={(b,v n )∈E | b∈A}, ∪Γ=Γ ++ )()( 1 AA C 2 và ∩Γ + )(A C 2 = ∅, nên ϕϕϕ −Γ=Γ ++ ))(())(( 1 AA (C 2 ) (3). 5 Ngoài ra, )( n v − Γ = C 1 ∪C 2 và C 1 ∩C 2 = ∅, nên n v ϕ = ))(( n v − Γ ϕ = ϕ (C 1 )+ ϕ (C 2 ) (4). Từ (1), (2), (3) và (4), ta có: ))(())(( AA n v +− Γ−Γ= ϕϕϕ . 2.5. Định lý (Ford-Fulkerson): Trong mạng vận tải G=(V,E), giá trị lớn nhất của luồng bằng khả năng thông qua nhỏ nhất của thiết diện, nghĩa là ))((minmax ,, 0 Am AvAvVA v n n − ∈∉⊂ Γ= ϕ ϕ . Chứng minh: Giả sử trong mạng vận tải G, ϕ 0 là luồng cuối cùng, mà sau đó bằng phương pháp đánh dấu của thuật toán Ford-Fulkerson không đạt tới lối ra v n . Trên cơ sở hiện trạng được đánh dấu lần cuối cùng này, ta dùng B để ký hiệu tập gồm các đỉnh của G không được đánh dấu. Khi đó v 0 ∉B, v n ∈B. Do đó − Γ (B) là một thiết diện của mạng vận tải G và theo Bổ đề 2.4, ta có: ))(())(( 000 BB n v +− Γ−Γ= ϕϕϕ (1). Đối với mỗi cung e=(u,v)∈ − Γ (B) thì u∉B và v∈B, tức là u được đánh dấu và v không được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ nhất, e đã là cung bão hoà: ϕ 0 (e) = m(e). Do đó, ))(()()())(( )()( 00 BmemeB BeBe − Γ∈Γ∈ − Γ===Γ ∑∑ −− ϕϕ (2). Đối với mỗi cung e=(s,t)∈ + Γ (B) thì s∈B và t∉B, tức là s không được đánh dấu và t được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ hai: ϕ 0 (e) = 0. Do đó, 0)())(( )( 00 ==Γ ∑ + Γ∈ + Be eB ϕϕ (3). Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: ))(( 0 Bm n v − Γ= ϕ . 6 Vì vậy, 0 n v ϕ là giá trị lớn nhất của luồng đạt được, còn m( − Γ (B)) là giá trị nhỏ nhất trong các khả năng thông qua của các thiết diện thuộc mạng vận tải G. Thí dụ 3: Cho mạng vận tải như hình dưới đây với khả năng thông qua được đặt trong khuyên tròn, luồng được ghi trên các cung. Tìm luồng cực đại của mạng này. Luồng ϕ có đường đi (v 0 ,v 4 ), (v 4 ,v 6 ), (v 6 ,v 8 ) gồm các cung chưa bão hoà nên nó chưa đầy. Do đó có thể nâng luồng của các cung này lên một đơn vị, để được ϕ 1 . Do mỗi đường xuất phát từ v 0 đến v 8 đều chứa ít nhất một cung bão hoà, nên luồng ϕ 1 là luồng đầy. Song nó chưa phải là luồng cực đại. Áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson để nâng luồng ϕ 1 . 6 11 6 3 4 2 3 2 2 4 6 5 5 7 v 1 v 5 v 2 v 3 v 4 v 6 v 7 v 0 v 8 4 4 4 4 4 4 4 4 3 8 5 5 8 6 12 9 ϕ 7 Xét xích α=(v 0 , v 4 , v 6 , v 3 , v 7 , v 8 ). Quá trình đánh dấu từ v 0 đến v 8 để có thể nâng luồng ϕ 1 lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích α được đánh dấu. Sau đó ta có luồng ϕ 2 . Xét xích β=(v 0 , v 1 , v 5 , v 2 , v 6 , v 3 , v 7 , v 8 ). Quá trình đánh dấu từ v 0 đến v 8 để có thể nâng luồng ϕ 2 lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích β được đánh dấu. Sau đó ta có luồng ϕ 3 . 6 +4 12 6 3 3 4 2 3 2 4 ϕ 1 +0 7 5 5 7 v 1 v 5 v 2 v 3 v 4 v 6 v 7 v 0 v 8 4 4 4 4 4 4 4 4 8 5 5 8 6 12 9 −6 +3 +7 +7 6+1 +3 2+1 −6 3−1 3+1 7+1 v 0 v 4 v 6 v 3 v 7 v 8 0 +0 +4 xích α 8 Tiếp theo ta chỉ có thể đánh dấu được đỉnh v 0 nên quá trình nâng luồng kết thúc và ta được giá trị của luồng cực đại là: 3 8 v ϕ = 6+12+8 = 26. Mặt khác, thiết diện nhỏ nhất − Γ (B) với B={v 1 , v 2 , , v 8 } là +7 6 12 7 +2 +1 3 4 3 2 3 2 ϕ 2 4 4 8 5 5 7 v 1 v 5 v 2 v 3 v 4 v 6 v 7 v 0 v 8 4 4 4 4 4 4 4 4 8 5 5 8 6 12 9 0 +0 −5 −6 +3 +7 7+1 +3 3+1 −6 2−1 +2 2+1 −5 3−1 +1 3+1 +0 7+1 0 v 0 v 1 v 2 v 6 v 3 v 8 v 5 v 7 xích β 8 12 6 4 4 2 3 4 1 4 4 8 5 5 8 v 1 v 5 v 2 v 3 v 4 v 6 v 7 v 0 v 8 4 4 4 4 4 4 4 4 8 5 5 8 6 12 9 ϕ 3 9 − Γ (B)={(v 0 ,v 1 ), (v 0 ,v 2 ), (v 0 ,v 3 ), (v 0 ,v 4 )}. Phần 2: TRÊN PHƯƠNG DIỆN CỦA MÔN CẤU TRÚC DỮ LIỆU 1. Đặt vấn đề Bài toán luồng cực đại trên mạng là một trong số những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất và giải quyết bởi hai nhà toán học Mỹ Ford và Fulkerson vào đầu những năm 1950 và ngày càng được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, mô hình xử lý song song đã và đang phát triển mạnh mẽ giải quyết những vấn đề bế tắc mà mô hình xử lý tuần tự gặp phải như vấn đề thời gian thực hiện chương trình, tốc độ xử lý, khả năng lưu trữ của bộ nhớ, xử lý dữ liệu với quy mô lớn Trong bối cảnh đó, thuật toán tìm luồng cực đại cần được phát triển theo hướng song song nhằm phát huy sức mạnh của bài toán. 2. Bài toán tìm luồng cực đại trên mạng Cho mạng G(V,E,C), nguồn a, đích z. Trong số các luồng trên mạng G, hãy tìm luồng có giá trị lớn nhất. 3. Ý tưởng thuật toán Dựa trên thuật toán truyền thống và thuật toán hoán chuyển nguồn đích, xây dựng thuật toán song song tìm luồng cực đại. Ý tưởng của phương pháp này là thay vì trong thuật toán truyền thống dùng một bộ vi xử lý thực hiện công việc tuần tự từ đỉnh nguồn đến đỉnh đích. Trong thuật toán song song sử dụng hai bộ vi xử lý thực hiện công việc song song, vi xử lý 1 xuất phát từ đỉnh nguồn, vi xử lý 2 xuất phát từ đỉnh đích. Hai vi xử lý trong quá trình tìm đường tăng luồng sẽ gặp nhau ở đỉnh trung gian t nào đó, công việc tiếp theo vi xử lý 1 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút nguồn, vi xử lý 2 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút đích. 4. Xây dựng thuật toán song song 10 [...]... VỚI SỰ TƯỜNG MINH VỀ BÀI TOÁN: Cho mạng G=(V,E) Hãy tìm luồng f* trong mạng với giá trị luồng val(f*) là lớn nhất Luồng như vậy ta sẽ gọi là luồng cực đại trong mạng Bài toán như vậy có thể xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng thực tế Chẳng hạn khi cần xác định cường độ lớn nhất của dòng vận tải giữa hai nút của một bản đồ giao thông Trong thí dụ này lời giải của bài toán luồng cực đại sẽ chỉ cho ta các... dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng: Bắt đầu từ luồng trên tất cả các cung bằng 0 (ta sẽ gọi luồng như vậy là luồng không), và lặp lại bước lặp sau đây cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không còn đường tăng: Bước lặp tăng luồng (Ford – Fulkerson): Tìm đường tăng P đối với luồng hiện có, tăng luồng dọc theo đường P Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo... G(f) FordFulkerson đề nghị thuật toán gán nhãn chi tiết sau đây để giải bài toán luồng cực đại trong mạng Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận được nào đó trong mạng (có thể bắt đầu từ luồng không) , sau đó ta sẽ tăng luồng bằng cách tìm các đường tăng luồng Để tìm đường tăng luồng ta sẽ áp dụng phương pháp gán nhãn cho các đỉnh Mỗi đỉnh trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ ở một trong ba trạng thái:... tăng luồng, còn trong trường hợp thứ hai đối với luồng đang xét không tồn tại đường tăng luồng (tức là luồng đã cực đại) Mỗi khi tìm được đường tăng luồng, ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau đó xoá tất cả các nhãn và đổi với luồng mới thu được lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường tăng luồng Thuật toán sẽ kết thúc khi nào đối với luồng đang có trong mạng không tìm được đường tăng luồng. .. Stop:=true; End; < Luồng cực đại trong mạng là f[u,v], u,v ∈ V > < Lát cắt hẹp nhất là (VT , V\ VT) > End; Chương trình sau là chương trình phục vụ cho việc học tập và giảng dạy về bài toán tìm luồng cực đại trong mạng Chương trình sau được xây dựng bằng công cụ lập trình Delphi Các chức năng của chương trình: Ta xây dựng chương trình bao gồm những chức năng sau: * Tóm tắt thuật toán Ford – Fulkeson... tìm luồng dầu lớn nhất có thể bơm dầu từ tàu chở dầu vào bể chứa Định lý: Các mệnh đề dưới đây là tương đương: (i) f là luồng cực đại trong mạng (ii) Không tìm được đường tăng luồng f (iii) Val(f)=c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó 18 (Ta gọi lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng ra thành hai tập X và X*=V\X, trong đó s ∈ X và t ∈ X*.) Định lý trên là cơ sở để xây dựng thuật toán. .. kiểm tra thuật toán (đồ thị được vẽ sẽ nằm ở phần đồ thị nguồn) Sau khi đã có đồ thị nguồn, muốn biết kết quả của bài toán thì ta nhấn nút Run trên thanh công cụ của form, ta sẽ được đồ thị kết quả (nằm ở phần đồ thị đích) Các bước giải ứng với từng bài toán cụ thể được trình bày khi ta nhấn Notes Đây là phần giúp cho người sử dụng hiểu rõ hơn về thuật toán, nó trình bày cách làm bài toán theo từng... tắt thuật toán Ford – Fulkerson : Chức năng này có mục đích giúp cho người sử dụng nắm vững được thuật toán trước khi đi vào các thí dụ cụ thể Hiển thị các bước thực hiện của bài toán: Do chương trình nhằm mục đích phục vụ cho việc dạy và học môn Toán rời rạc nên chức năng việc hiển thị chi tiết các bước giải bài toán ứng với tưng thí dụ cụ thể giúp cho người sử dụng hiểu rõ hơn về thuật toán Cấu trúc... là tập các đỉnh chưa có nhãn tiến kề với đỉnh u, Sang bước 2.2 * Trường hợp S = φ , thì gán Stop:=True; thông báo hệ thống biết đã gặp điều kiện dừng, xuất luồng cực đại, kết thúc 2.2 Gán nhãn tiến cho đỉnh chưa có nhãn tiến và kề đỉnh sinh nhãn tiến u Trường hợp Stop=True; thì xuất luồng cực đại, kết thúc 11 Trường hợp inc_flow=True; chuyển sang thực hiện bước 3 * Trường hợp A = φ : Quay lại bước 2... các nhãn lùi trên mạng trừ đỉnh nguồn a và đỉnh đích z, thông báo hệ thống biết P2 đã thực hiện việc tăng luồng, xoá nhãn lùi xong, đợi P1 xoá nhãn xong, quay lại bước 2 13 Nếu i ≠ z , thì đặt i := j và j := k , với k là thành phần thứ hai của nhãn lùi đỉnh i Sau đó quay lại bước 3.2.2 Sơ đồ mô tả thuật toán cho ở hình 1 VÍ DỤ THUẬT TOÁN Ví dụ sau đây cho thấy những bước ban đầu của thuật toán FordFulkerson . Trong bối cảnh đó, thuật toán tìm luồng cực đại cần được phát triển theo hướng song song nhằm phát huy sức mạnh của bài toán. 2. Bài toán tìm luồng cực đại trên mạng Cho mạng G(V,E,C), nguồn a,. VỚI SỰ TƯỜNG MINH VỀ BÀI TOÁN: Cho mạng G=(V,E). Hãy tìm luồng f* trong mạng với giá trị luồng val(f*) là lớn nhất. Luồng như vậy ta sẽ gọi là luồng cực đại trong mạng. Bài toán như vậy có thể. đó: ϕ( − Γ (A))=ϕ( + Γ (A)). 2. Bài toán luồng cực đại: Cho mạng vận tải G=(V,E). Hãy tìm luồng ϕ để đạt n v ϕ max trên mạng G. Nguyên lý của các thuật toán giải bài toán tìm luồng cực đại là như sau. 2 2.1. Định