Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT I.Tìm nghiệm thực của một phương trình. a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học. f(x) = 0; ( 1 ) f – hàm cho trước của đối số x α - nghiệm thực của ( 1 ) f(α) = 0; ( 2 ) - Vẽ đồ thị y = f(x) Hoành độ điểm M nghiệm α. O y x α M f(x) O y x M α g(x) h(x) ~ g(x) = h(x) đồ thị y 1 = g(x) và y 2 = h(x) - hoặc (1) b. Sự tồn tại của nghiệm thực. Định lý. Nếu có hai số thực a, b (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái dấu, tức là f(a).f(b) < 0 ( 3 ) đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì trong khoảng [a, b] ít nhất có một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. O y x A B a b c. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm) Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào đó gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó. Muốn thế: trong [a, b] : - hàm f(x) đơn điệu O y x A B a b f’(x) không đổi dấu II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của một phương trình. 1. Phương pháp đồ thị 2. Phương pháp thử. Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0; x f(x) 1 2 3 4 - 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084 - [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm; - tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b]; - Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới; - Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết. Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0. 3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0; - Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình. - Chia đôi khoảng [a, b] ; 2 ba c + = - Tính f(c) f(c) = 0 c = α (nghiệm); f(c) ≠ 0 Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b); Khoảng phân ly nghiệm mới [a 1 , b 1 ]; );( 2 1 11 abab −=− - Tiếp tục quá trình chia đôi [a 2 , b 2 ] );( 2 1 )( 2 1 2 1122 ababab −=−=− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . );( 2 1 abab n nn −=− Với a n ≤ α ≤ b n . - Lấy a n hoặc b n làm giá trị gần đúng của nghiệm; - Sai số: ; 2 n nnn ab aba − =−≤− α ( 4 ) ; 2 n nnn ab abb − =−≤− α ( 5 ) Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x 4 + 2x 3 –x – 1 = 0; f(0) = -1; f(1) = 1 [ ] ;1,0∈ α f(0,5) = -1,9 [ ] ;1,5,0∈ α f(0,75) = -0,59 [ ] ;1,75,0∈ α f(0,875) = +0,05 [ ] ;875,0,75,0∈ α f(0,8125) = -0,304 [ ] ;875,0,8125,0∈ α f(0,8438) = -0,135 [ ] ;875,0,8348,0∈ α f(0,8594) = -0,043 [ ] ;875,0,8594,0∈ α Lấy [ ] ;867,0 2 875,08594,0 = + ≈ α Sai số mắc phải: ; 2 1 2 2 2 )1(1 2 677 == −− = − ≤− n n ab a α Các bước tính: Cho phương trình f(x) = 0; - Ấn định sai số cho phép; - Xác định khoảng phân ly nghiệm (p 2 đồ thị, p 2 thử . . .); - Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c) f(c).f(a)<0 Thay b = c Thay a = c e = b - a e < ε α ≈ a; α – a < ε α ≈ b; α – b < ε đ s đ s Nhận xét: - Thuật toán đơn giản; - Hội tụ chậm. 4. Phương pháp lặp. Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b]; - Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x); x = φ(x); - Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm: [ ] ;,bax o ∈ ( 6 ) ( 6 ): x 1 = φ(x o ); x 2 = φ(x 1 ); . . . . . . . . . x n = φ(x n-1 ); n = 1, 2, . . . ( 7 ) - Hàm φ(x) gọi là hàm lặp. - Giả sử khi n ; x n nghiệm α của ph/trình (1) ∞ phương pháp lặp hội tụ, có thể coi x n là nghiệm gần đúng của ( 1 ). - Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, x n ngày càng đi xa khỏi nghiệm. Sự hội tụ của quá trình tính. x x 2 x 1 x 3 x 0 α y = φ ( x ) y = x O y y = x y=φ(x) O y x x 1 x 2 x o x 3 α Định lý về sự hội tụ. Giả sử: - [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0; - Mọi x n tính theo ( 7 ) đều [ ] ;,ba∈ - Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện: q - hằng số; - Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x [ ] ;,ba∈ ;)( n n qabx −≤− α x n α khi n ∞ ;,1)(' bxaqx <<<≤ ϕ ( 8 ) ( 9 ) Sai số của phép tính: Có thể dùng ( 9 ) nhưng công thức này thường cho sai số quá lớn so với thực tế ước lượng sai số theo công thức: ;;)('min bxaxfm <<= ; ( m xf x n n ≤− α ( 10 ) Chú ý: [ ] ;,ba∈ - Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn x o bất kỳ - Nếu φ’(x) < 0: xét dấu       + 2 ).( ba faf Các bước tính. - Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b]. - f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ: φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b ; 2 ba aax o + <<= α khi ; 2 b ba bx o << + = α khi Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau: Đặt );()( xfxx λϕ −= Chọn λ từ điều kiện: ;0)('1)(' =−= xfx λϕ ( < 1 ) ; )(' 1 o xf = λ - Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 ). - Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi: x n – x n-1 < sai số cho phép ε -Kết quả x n ≈ α với sai số tính theo (10). [...]... 1)1 / 3 1 1 −2 / 3 1 ϕ ′( x) = ( x + 1) = ⋅ 3 3 3 ( x + 1) 2 0 < ϕ ′( x) < 1 / 3 tại mọi x ∈ [1,2] đảm bảo điều kiện hội tụ Lập bảng tính: No x φ(x) xo 1,0 1,259921 x1 1,259921 1 ,31 22 938 x2 1 ,31 22 938 1 ,32 235 38 x3 1 ,32 235 38 1 ,32 42687 x4 1 ,32 42687 1 ,32 42826 x5 1 ,32 42826 1 ,32 4 632 6 x6 1 ,32 4 632 6 xi+1 – xi -0,259921 -0,05 237 3 -0,010060 -0,001915 -0,00185 -0,00 036 4 Lấy α = 1 ,32 4 632 6 sai số sẽ < ε = 10 -3 No... 1,25 1,5 1 ,37 5 1,25 1 ,37 5 1 ,31 25 1 ,31 25 1 ,37 5 1 ,34 375 1 ,31 25 1 ,34 375 1 ,32 812 1 ,31 25 1 ,32 812 1 ,32 03 1 ,32 03 1 ,32 812 1 ,32 42 1 ,32 42 1 ,32 812 1 ,32 61 1 ,32 42 1 ,32 61 1 ,32 51 1 ,32 42 1 ,32 51 1 ,32 465 f(a) f(b) -1 -1 -0,29687 -0,29687 -0,0515 -0,0515 -0,0515 -0,0187 -0,0022 -0,0022 -0,00216 5 0,875 0,875 0,22461 0,22461 0,08261 0,01456 0,01456 0,01456 0,0059 0,00185 Lấy α = 1 ,32 465 với sai số < ε =10 -3 f(c) f(a).f(c)... -0,001915 -0,00185 -0,00 036 4 Lấy α = 1 ,32 4 632 6 sai số sẽ < ε = 10 -3 No 1 2 3 4 5 6 x 1 1,2599 1 ,31 23 1 ,32 23 1 ,32 43 1 ,32 46 φ(x) xi+1 – xi 1,2599 1 ,31 23 1 ,32 23 1 ,32 43 1 ,32 46 1 ,32 47 0,2599 0,0524 0,01 0,002 0,00 03 Lấy α = 1 ,32 47 sai số sẽ < ε = 10 -3 4 Giải bằng phương pháp tiếp tuyến Công thức tính: f ( x) x = x− f ′( x) f’(x) = 3x2 – 1 > 0 trong khoảng [1, 2] f”(x) = 6x > 6 trong khoảng [1, 2] f(1) =... 1 ,32 42 2,0 1 ,32 45 2,0 1 ,32 46 2,0 1 ,32 47 2,0 f(a) -1 -0,568 -0,2796 -0,12 53 -0,0548 -0,0 23 -0,01 03 -0,004 -0,002 -0,00098 -0,00 037 -0,00011 f(b) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 x 1,17 1,255 1,2945 1 ,31 17 1 ,31 92 1 ,32 23 1 ,32 37 1 ,32 42 1 ,32 45 1 ,32 46 1 ,32 47 1 ,32 4715 f(x) f(x).f(a) >0 -0,568 >0 -0,2796 >0 -0,12 53 >0 -0,0548 >0 -0,0 23 >0 -0,01 03 >0 -0,004 >0 -0,002 >0 -0,00098 >0 -0,00 037 >0 -0,00011 -0,0000 13 Có thể... -x-1 3 2,0 1,5454545 1 ,35 96148 1 ,32 58015 1 ,32 47190 1 ,32 47182 5,0 1,145755 0,1 537 04 0,004625 0,0000 034 0,0000010 α = 1 ,32 47182 f (x)=3x -1 f ( x) x− f ′( x) 11,0 6,165288 4,545657 4,2 732 45 4,264641 1,5454545 1 ,35 96148 1 ,32 58015 1 ,32 47190 1 ,32 47182 2 a f (b) − b f (a ) x= f (b) − f (a) 5/ Phương pháp dây cung a b 1,0 2,0 1,17 2,0 1,255 2,0 1,2945 2,0 1 ,31 17 2,0 1 ,31 92 2,0 1 ,32 23 2,0 1 ,32 37 2,0 1 ,32 42... - số lượng phép tính cần làm khi hệ có n ph /trình NC(n) = (n+1)!n Với n = 15: NC(15) = 3. 1014 b/ Phương pháp Gaoxơ Nội dung: Khử dần các ẩn về hệ tương đương có dạng tam giác trên rồi giải từ dưới lên không phải tính định thức Ví dụ: a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14 ; ( 25 ) a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24 ; a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34 ; Khử dần các ẩn x1 + b12x2 + b13x3 = b14 ; ( 26 ) x2 + b23x3 = b24 ; x3... b23x3 = b24 ; x3 = b34 ; Giải ngược từ dưới lên tìm được các ẩn Quá trình đưa (25) (26): quá trình thuận Quá trình giải (26): quá trình ngược 4n 3 + 9n 2 − 7 n ; Khối lượng phép tính: N G (n) = 6 Với n = 15; NG(15) = 2570; nhỏ hơn nhiều so với ph/pháp trên c/ Tìm đúng dần nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn Nội dung phương pháp: - Cho hệ phương trình Ax = f ; ( 27... sai số cho phép; 3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm; af (b) − bf (a ) x1 = ; 4/ Tính theo sơ đồ: f (b) − f (a ) 5/ Tính sai số theo (15) đ s f(x1).f(a)0 Hàm số liên tục và đơn điệu trong khoảng [φa,φb] 5 11 o 5 o o o f (ϕ a ) = cos 40 − cos 30 − cos(40 − 30 ) + = −0, 039 770; 3 2 6 5 11 o 5 o o o f (ϕb ) = cos 40 − cos 40 − cos(40 − 40 ) + = 0,19496; 3 2 6 f (ϕ a ) f (ϕb ) < 0; [φa,φb] là khoảng phân ly nghiệm Chương 4 TÌM NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến... f’(x) + 0 _ 0 + - f’(x) = 3x2 – 1 = 0 tại M f(x) m x = ±1 / 3 - Bảng biến thiên hàm số: 1 1 1 M = f (− )=− + − 1 < 0; 3 3 3 3 đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình có một nghiệm thực trong khoảng 1 / 3 , ∞ - Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2] f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 0 chứa nghiệm [ ] 2 Tìm gần đúng nghiệm bằng phương pháp chia đôi a . Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT I.Tìm nghiệm thực của một phương trình. a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học. f(x). f’(x) = 3x 2 – 1 = 0 tại 3/ 1±=x - Bảng biến thiên hàm số: x f’(x) f(x) ∞− ∞+ 3 1 − 3 1 + 0 0 + _ + M m ;01 3 1 33 1 ) 3 1 ( <−+−=−= fM đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình. Tính sai số theo (15). Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = x 3 – x – 1 = 0; 1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm. - Hàm số xác định và liên