A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Một hướng quan trọng phát triển phương pháp đại dạy học toán xây dựng phương tiện dạy học trực quan phương pháp sử dụng chúng tốn, nhằm hình thành học sinh hình ảnh cảm tính đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh tình có vấn đề, tạo nên hứng thú học toán Trong thời gian gần ảnh hướng tiến khoa học kỹ thuật phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học xuất trường phổ thông Nó khơng nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức học sinh, phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm giáo viên học sinh Thực tế dạy học nhà trường Trung học phổ thông cho thấy học sinh thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh nhớ biểu thức, học thuộc khái niệm, khơng giải thích đầy đủ ý nghĩa chất nó, từ dẫn tới việc vận dụng cách máy móc, khơng biết hướng vận dụng Mặt khác, nội dung kiến thức chương trình tốn lớp 12, có phần trìu tượng dễ lẫn lộn hai nội dung hàm số mũ - hàm số logarít lại trình bày sau nội dung khảo sát vẽ đồ thị hàm số Do vậy, việc sử dụng phương tiện trực quan vào trình dạy học nội dung việc làm cần thiết phù hợp với xu đổi phương pháp dạy học trường phổ thông Hơn nữa, nội dung kiến thức thường xuất kỳ thi Đại học - Cao đẳng học sinh khơng khó khăn biết cách khai thác toán để lấy điểm Vì lý trên, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số biện pháp sử dụng phương tiện trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải tập phần hàm số mũ - hàm số logarít” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN Xuất phát từ đặc thù mơn tốn học, phép trừu tượng khỏi nội dung có tính chất chất liệu vật giữ lại quan hệ số lượng hình dạng Chẳng hạn như: Từ hình ảnh cụ thể “hạt bụi”, “Sợi dây mảnh căng thẳng”, “mặt nước đứng yên”, tới khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa giảng dạy dựa hình tượng hiểu biết học sinh Vận dụng đắn nguyên tắc trực quan trình giảng dạy đảm bảo chuyển từ “Trực quan sinh động sang tư trừu tượng” Do đặc thù mơn tốn địi hỏi phải đạt tới trình độ trừu tượng, khái quát cao so với mơn học khác Vì thế, sử dụng hợp lý phương tiện trực quan góp phần vào việc phát triển tư trừu tượng, nâng cao hiệu trình dạy học Qua tìm hiểu, nghiên cứu lý luận nhà triết học, tốn học ngồi nước vai trò, chức hiệu việc sử dụng phương tiện trực quan vào q trình dạy học, tơi nhận thấy yêu cầu cần thiết thiết thực, phù hợp với tư phát triển người Sau sơ đồ thể mối quan hệ phương tiện trực quan tư ngườisau: Trừu tượng hoá Cái cụ thể thực Phương tiện trực quan Cái trừu tượng lý thuyết Cụ thể hoá Sơ đồ II THỰC TIỄN DẠY HỌC PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGRÍT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Thực tiễn dạy học trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức cách hình thức, lẫn lộn đẳng thức định nghĩa với định lý Nhiều học sinh mơ hồ khơng nắm tính chất, không hiểu chất định lý hàm số mũ, hàm số logarít Chẳng hạn: “4 nghĩa gì” câu trả lời đa số học sinh cịn thiếu xác Bên cạnh đó, việc không nắm giả thiết, định lý, cơng thức… nhiều học sinh cịn phạm phải sai lầm Ví dụ cho rằng: +) logaA.B = log aA.logbB (A,B > a,b ≠ ) +) loga(A+B) = logaA + logaB +) log2-8 = -3 (họ lý giải (-2)3 = - 8) +) logaxα = αlogax; n a m a = m + n a … Trước hết phải thấy học sinh nắm kiến thức thiếu vững dẫn tới việc vận dụng vào toán cụ thể thường mắc sai lầm Điều có lẽ phần nội dung cấu trúc chương trình sách giáo khoa chưa thật hợp lý, phương pháp dạy học giáo viên lại có chỗ cần điều chỉnh, chẳng hạn tính chất hàm số mũ, hàm số logarít khơng chứng minh, giáo viên lại khơng có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặt khác, hệ thống tập câu hỏi sách giáo khoa đòi hỏi học sinh mức độ đơn giản, áp dụng đơn thuần, học sinh dễ vấp phải sai lầm mà thân không phát Từ thực tế đó, tơi mạnh dạn đưa số biện pháp sau: III MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARÍT Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện cho học sinh ý thức khả vận dụng phương tiện trực quan trình giải phương trình ( bất phương trình)mũ - logarít Hình thức trực quan sử dụng rộng rãi mơn tốn trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, cơng thức…) Trong q trình giải phương trình mũ - logarít việc sử dụng hợp lý phương tiện trực quan tượng trưng giúp học sinh tìm hướng giải tốn đỡ khó khăn hơn, cách lập luận có xác đáng hơn, rèn luyện kỹ nhiều hơn, sai sót tính tốn mắc phải Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh giải phương trình bất phương trình mũ, logarít khơng gặp nhiều khó khăn vận dụng phương pháp: Phương pháp đưa số; logarit hóa mũ hoá; đặt ẩn phụ; đánh giá Nhưng số dạng phương trình đặc biệt tốn có chứa tham số học sinh gặp nhiều khó khăn, việc sử dụng hợp lý phương tiện trực quan làm cho học sinh hiểu rõ vấn đề mấu chốt toán.Chẳng hạn ta xét toán sau: Bài toán 1.1 Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) − 2x = m Bằng việc kết hợp suy diễn mơ hình trực quan đồ thị GV: đặt 2x = t ( t > 0), yêu cầu học sinh đưa phương trình hệ t2 + m = t >0 (I) ? Cứ giả sử phương trình (1) có nghiệm hiển nhiên m phải có điều kiện ? (m ≥ 0) m < phương trình (1) vơ nghiệm Hệ (I) ⇔ t2 + m = m≥0 t>0 (II) Bài toán trở nên đơn giản học sinh biết biểu diễn miền nghiệm t + m2 = đường trịn tâm O(0,0) bán kính R = xét hệ tọa độ vng góc tOm Dựa vào hình vẽ trực quan học sinh dễ dàng phát hiện: điểm M(t,m) thỏa mãn (II) biểu diễn đường đậm hình (cung trịn AB, bỏ điểm B) Vậy: ≤ m < phương trình có nghiệm m Bất phương trình (1) dạng: f(t) = t2 - mt + - m ≥ (2) ∀ t > Để bất phương trình (1) ∀ x∈R bất phương trình (2) phải ∀ t > • Nếu ∆ = m2 + 4m –12 ≤ ⇔ -6 ≤ m ≤ f(t) ≥ ∀ t ⇒ f(t) ≥ ∀ t > f(x) ≥ ∀ x ∈R m < -6 • Nếu ∆ > tức f(t) có nghiệm phân biệt t1 ≤ t2 m>2 Trong trường hợp đa số học sinh gặp khó khăn, có vận dụng định lý dấu tam thức bậc hai mơ hồ máy móc minh họa trục số học sinh dễ dàng quan sát Để f(t) ≥ ⇔ t∈ (-∞, t1)]  [t2,+∞ ) + + ] ///////////// [ ⇒ f(t) ≥ Theo giả thiết t∈(0, +∞) t t Như (0, +∞) tập (-∞,t1]  [t2 +∞ ), vào trục số để (0, +∞) tập hợp (-∞, t1 ]  [t2 +∞ ) t2 ≤ ⇔ t1 ≤ t2 < m 2 ⇔ ⇔ ⇔ m < -6 < m < 3–m>0 0 f(0) > 0) trục số để rút vị trí tương đối (0, t1, t2)… Những câu hỏi có tác dụng dẫn dắt học sinh đến cách giải đồng thời có chức kiểm tra kiến thức bản, nhìn nhận vấn đề cách rõ ràng trực quan Nhận xét: - Nếu học sinh có ý thức kỹ sử dụng phương tiện trực quan tốn trên, cho dù t = nhìn vào trục số ta thấy [0, +∞) tập (-∞, t1 ]  [t2 +∞ ) Sau giảng xong toán giáo viên truyền thụ cho học sinh tri thức, phương pháp sau “Tìm điều kiện để tam thức f(x) ≥ (f(x) ≤ 0; f(x) > 0…) ∀ x∈A dạng toán quan trọng, thực chất ta tìm điều kiện để tập nghiệm bất phương trình f(x) ≥ chứa A sau biểu diễn A lẫn tập nghiệm lên trục số nhằm phát đặc điểm nghiệm (nếu có) tam thức f(x)” Biện pháp 2: Việc sử dụng phương tiện trực quan khai thác tiềm logíc bên vấn đề trình bày SGK, nhờ học sinh nắm vững chất vấn đề, tạo điều kiện giải vấn đề rõ ràng hơn, mạch lạc Khai thác tiềm từ logíc bên vấn đề, ta nắm vững thuộc tính chất vấn đề, hoạt động từ phương tiện trực quan tạo điều kiện tối ưu qúa trình giải vấn đề Chẳng hạn q trình giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ logarit nhiều trường hợp ta thu hệ hỗn hợp gồm có phép hội lẫn phép tuyển, mối liên hệ tiềm ẩn chưa rõ ràng, phương tiện trực quan giúp học sinh hiểu rõ vấn đề Bài toán 2.1 Với giá trị a phương trình 4x - 2x + a = (1) có nghiệm Cách 1: ? Yều cầu HS đặt 2x = t (t > 0) đưa phương trình dạng t2t = -a (t > 0) ? Yêu cầu HS vẽ parabol: y = t 2-t đường thẳng y = -a hệ trục tọa độ tOy Để phương trình (2) có nghiệm t > -a phải giá trị hàm số y = t2 - t với tập xác định (0, +∞) Từ đồ thị học sinh suy được: phương trình (2) có nghiệm t > y đường thẳng y = -a phải cắt đồ thị hàm số f(t) = t – t (0,+∞) ⇒ -a ≥ - 1 ⇔a≤ 4 Cách 2: đặt 2x = t(t > 0) để phương trình (1) có nghiệm phương trình y = -a t2 - t + a = (2) phải có nghiệm t > Trường hợp 1: phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t1 < < t2 ⇔ 1.f(0) < ⇔ a < Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm ∆ = 1- 4a ≥ ⇔ P =a>0 S=1>0 ⇔ a≤ a>0 − mãn thỏa4 < t ≤ t2 Hình 15 < a ≤ ⇔ Qua tốn giáo viên u cầu học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát: để giải biện luận phương trình f(x ) = g(m) (1) Ta thực bước sau: Bước 1: Lập luận: Số nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = f(x ) đường thẳng (d): y = g(m) Bước 2: Xét hàm số y = f(x ) Tìm miền xác định (D) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm ⇔ f(x ) ≤ g(m) ≤ max f(x ) D D Nếu biện luận phương trình tùy thuộc vào số giao điểm đồ thị y = f(x) đường thẳng y = g(m) Kết hợp trường hợp phương trình có nghiệm a ≤ t Bài tốn 2.2 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 22x +22y+2y+1 ≤ m-1 22y+22x + 2x+1 ≤ m-1 GV: vế trái hệ ln dương để hệ phương trình có nghiệm tham số m phải thỏa mãn điều kiện ? (m-1≥ ⇔ m ≥ 1) u = 2x Yêu cầu học sinh đặt: điều kiện u,v > hệ tương đương y v=2 u2 +(v+1)2 ≤ m(1) v2 + (u+1)2 ≤ m (2) Bài toán trở nên đơn giản học sinh phát rằng: Gọi X1, X2 tập nghiệm (1) (2) X1 tập điểm hình trịn (C1) Tâm I1(0,-1) v u I1 Bán kính R1 = m I2 X2 tập điểm hình trịn (C2) Tâm I1(-1, 0) Bán kính R2 = ? GV: từ đồ thị tìm điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc với nhau? Bằng trực quan học sinh nhận hệ bất phương trình có nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2) ⇔ I1 I2 = R1 + R2 ⇔ = m ⇒m= Kết luận: với m = thỏa mãn điều kiện đầu Bằng cách lập luận tương tự tốn 2.2 giáo viên yêu cầu học sinh giải toán sau: Bài tốn 2.3 Cho hệ phương trình 22x+ (2y+1)2 = m (2X+1)2+22Y = Tìm m để hệ có nghiệm, khẳng định hệ có nghiệm Hướng dẫn: Đặt: u = 2x điều kiện u,v > v = 2y Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị đường tròn (C 1) (C2), (C1) ta lấy cung AB (trên góc phần tư thứ nhất) Phương trình (1) Tâm I1(0,-1) 2 đường trịn (C1) có Bán kính:R1 = Hệ ⇔ u +(v 2+1)2 = m (1) (u+1) +v = (2) Tâm I2(-1,0) Phương trình (2) R2 = đường trịn (C2) có Đối với (C2) lấy cung CD (trong góc phần tư thứ nhất) Vậy hệ có nghiệm cung AB cung CD giao khác rỗng ⇔ I1C < R1 < I1D ⇔ < m < 1+ ⇔ < m < +2 cung AB cung CD giao điểm {M} nên hệ có nghiệm Vậy < m < 4+2 hệ có nghiệm Bài tốn 2.5 Tùy theo m biện luận số nghiệm phương trình lg (m-x2) = lg (x2 –3x +2) Phân tích lời giải: Biến đổi phương trình dạng x2-3x+2>0 2 m-x = x -3x+2 x< x >2 ⇔ (I) 2x -3x+2 = m Để biện luận hệ phương trình (I) định lý đảo tam thức bậc học sinh phải phân chia làm nhiều y trường hợp, khơng tránh khỏi khó khăn sai sót Khi học sinh biết kiến thức y=m đồ thị hàm số: f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) lớp 10, toán trở nên đơn giản, mô tả đồ thị học sinh dễ dàng phát số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = 2x 2-3x+2 miền (-∞,1) ∪ (2,+∞) x Biện luận: Với m < phương trình vơ nghiệm, m = trình có nghiệm, ∪ ≤ m ≤ phương < m < ∪ m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Nhận xét: Thơng qua tốn giáo viên ý thức cho học sinh “quy trình”, “phương pháp mới” giải tốn phương trình, bất phương trình mũ, logarít (có chứa tham số) việc vận dụng phương tiện trực quan Biện pháp 3: Việc sử dụng phương tiện trực quan khai thác kết ứng dụng khác khái niệm, định nghĩa, định lý đề xuất toán nâng cao nhằm khắc sâu khái niệm, định nghĩa, định lý Theo quan điểm “đặt toán cần giải mối quan hệ tương quan với khái niệm, định nghĩa, định lý biết” Chính việc thực quan điểm phát triển lực định hướng, lực huy động kiến thức cho học sinh, thông qua việc vận dụng phương tiện trực quan, cụ thể ta xét toán sau: Bài toán 3.1: y Giải phương trình: 2x = 4x y = 4x GV dẫn dắt HS phát phương trình không giải A phương pháp đại số, nên cần phải khai thác theo đường khác Dễ dàng tìm nghiệm (x = 4) Để tìm nghiệm B khác (nếu có) tốt ta y = 2x dựng đồ thị từ mơ hình trực 0,3 x quan để tìm nghiệm thứ Học sinh biết khái niệm hàm số mũ, hàm số bậc Giáo viên yêu cầu học sinh dựng đồ thị y = x y = 4x, tung độ tăng nhanh hoành độ nên ta chọn (tỷ lệ xích) trục 0x nhỏ trục 0y Từ đồ thị, học sinh tìm giao điểm A B hai đồ thị có hồnh độ điểm A x = 4, hồnh độ điểm B x ≈ 0,3 Có thể xác hóa nghiệm tìm tính tốn dùng bảng logarít định lý Bài tốn 3.2: Cho bất phương trình log x + log x < (1) x2 + mx + m2 + 6m < (2) a Giải bất phương trình (1) b Xác định m để nghiệm (1) nghiệm (2) Giải: Việc nắm vững tính chất, định lý vận dụng chúng cần thiết việc giải bất phương trình (1) Giáo viên yêu cầu học sinh: xác định tập xác định bất phương tình (x > 0) sử dụng tính chất logarít đưa bất phương tình dạng log x + log x < đặt log x = t ⇔ t2+t < ⇔ 2 -1 < t < Do - < log x Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh hiểu số nhỏ nên hàm số y = log x < a(*) ⇔ < x < log x hàm số có nghịch biến; việc vận dụng vào đẳng thức (*) phải lưu ý để lấy khoảng nghiệm bất phương trình Xác định m để nghiệm (1) nghiệm (2), giáo viên nêu câu hỏi sau: - Với < x < làm cho f(x) = x + mx + m2 + 6m < tức ∀x∈ (1,2) thuộc vào tập nghiệm bất phương trình f(x) < có mối quan hệ (1,2) với tập nghiệm ? - Hãy biểu diễn (1,2) với tập nghiệm bất phương trình (2) lên trục số ? Những câu hỏi có tác dụng dẫn dắt học sinh đến cách giải: nghiệm (1) nghiệm (2) có nghĩa cần tìm m để tập nghiệm (2) chứa hết khoảng < x < Bằng biểu diễn trục số học sinh phát dễ dàng Bài toán tương đương với điều kiện 1+m+m2+6m log (x + 1) log 2x - 3x + (1) Đa số học sinh gặp tốn thấy khó khăn phải phân chia nhiều trường hợp Nếu em để ý biểu diễn trục số tốn đơn giản nhiều Bằng phương tiện trực quan trục số Giáo viên khai thác tính chất, định lý logarít nhằm giúp học sinh phân chia trường cho xác Cụ thể sau: Điều kiện bất phương trình: -11 (x ≠ 0,) 11 2 Đặt A = log x − 3x + > ⇔ 2x − 3x < ⇔ < x < 3 B = log (x + 1) > ⇔ x + < ⇔ x < x A B Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn miền nghiệm A B lên trục số -∞ -1 1/2 3/2 +∞ + + + - ? Từ bảng xét dấu xét trường hợp xảy bất phương trình - Trong khoảng (-1,0) VT < 0, VP > nên bất phương trình (1) khơng xảy ) VT > 0, VP < 0, bất phương trình (1) - Trong khoảng (1, ) VT > 0, VP < bất phương trình (1) - Trong khoảng (0, miền xác định - Trong khoảng ( , +∞) VT < 0, VP < bất phương trình (1) tương đương với: log x − x + < log ( x + 1) ⇔ 3 x − 3x + > x + >  x > −1 − < x < ⇔ ⇔ x > điều kiện x >  2 x > x − 5x > Tóm lại nghiệm bất phương trình x ∈ (0, )  (1, )  (5,+∞) 2 Nhận xét: Con đường giải tốn theo định hướng địi hỏi người giáo viên cần phải cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh tự tìm tịi, tự phát vấn đề, tìm hướng giải toán Biện pháp 4: Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch sai lầm sửa chữa thiếu sót, sai lầm học sinh trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít Sai lầm phổ biến việc giải tốn phương trình, bất phương trình mũ, logarít: Có sai lầm xem đơn giản, nói xác sai lầm khơng đáng có, mà có sai lầm khó nhận ra, chẳng hạn chuyển qua mệnh đề tương đương, học sinh thường gặp sai sót 12 dấu, thiết lập tương ứng qua phép đặt ẩn phụ học sinh quên điều kiện Cụ thể xét toán sau: Bài toán 4.1 Cho phương trình x - 2.2 x +1 + - m = (1) Tìm m để phương trình có nghiệm - Cách giải sai phổ biến nhiều học sinh Đặt x = t (t > 0) Khi (1) ⇔ f(t) = t2 - 4t + - 2m = (2) (t > 0) (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t > Δ' = − + 2m >  ⇒− ≤m< ⇔ < t ≤ t ⇔ P = − m > 2 S = > y   1 Vậy phương trình có nghiệm m ∈ − ,  y = 2| x |  2 Cũng có nhiều học sinh lập luận: Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) t2 -4t + - 2m = có nghiệm ⇔ Δ' = − + m > ⇒ y=1 m >2 - Nguyên nhân dẫn đến sai lầm x việc chuyển dịch sang tốn tương đương, nói cách khác họ chưa nhận đặt: x = t t biến thiên miền với H.1 điều kiện x Để khắc phục sai lầm kiểu giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh thấy theo mục 2.4.4 đồ thị y = x ln nằm phía đường thẳng y = có nghĩa x ≥ ∀x (hoặc lý luận: x ≥ ⇒ x ≥ = ) - Khi mắc phải sai lầm lập luận học sinh lại mắc phải thiếu sót sau: Học sinh cho rằng: Phương trình (2) có nghiệm t > xảy < t1≤ t2 mà họ quên xảy t1 < < t2 Để khắc phục sai lầm loại này, giáo viên vẽ lên trục số, vạch trường hợp để học sinh phát chất vấn đề cách trực quan; Để phương trình (2) có nghiệm t > t1 t2 Có hai khả xảy ra: 13 t < < t 0 < t ≤ t  Khắc phục thiếu sót sai lầm học sinh giáo viên dẫn dắt học sinh giải toán sau: Đặt x = t ta có: x ≥ ⇒ x ≥ = ⇒ t ≥ Phương trình tương đương: t2 - 4t +1 - 2m = (2) (t > 1) ⇔ t2 -4t = 2m - (t > 1) ?Yêu cầu học sinh vẽ Parapol y = t2 - 4t (với t > 1) Vẽ đường thẳng y = 2m - hệ trục tọa độ yOt, từ đồ thị suy phương trình (2) có nghiệm t > ⇔ 2m -1 > -4 ⇔ m ≥ Vậy Phương trình (1) có nghiệm m ≥ 2 Bài tốn 4.2 Tìm a để phương trình lg(x + ax) = lg( xy a − 1) (1) có nghiệm + Đa số học sinh đưa phương trình dạng x2 + ax = x + a -1 (x > - a) ⇔ f(x) = x2 - (1 - a)x + - a = (2) với x > 1- a Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm x > 1- a Sai lầm thứ thấy học sinh giải tốn sai lầm t mặt hiểu ngôn ngữ khơng thiếu học sinh cho u cầu toán ∆ = y = 2m-1 -4  ⇔ S 2 > - a  Để khắc phục sai lầm loại này, giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương trình có nghiệm lớn - a khơng có nghĩa phương trình có nghiệm Tuy nhiên có học sinh khơng mắc phải sai lầm họ biết lập luận phương trình có nghiệm lớn - a phương trình có nghiệm kép thân nghiệm kép lớn 1- a, phương trình có hai nghiệm phân biệt có nghiệm lớn 1- a, nghiệm bé - a 14  ∆ =  S ⇔  > − a  x ≤ − a < x  Đối với trường hợp x1 ≤ 1- a < x2 đa số học sinh không thực ý thức tế nhị dấu học sinh cho rằng: af(1- a) ≤ ⇔ a ≥ nhiên thử lại với a = phương trình tương đương x = loại x > 1-a ⇔ x > 0, dạy học cần làm cho học sinh thấy phương trình (2) có nghiệm lớn - a có khả sau: ∆ =  TH1:  S 2 > − a  ∆ > TH2:  x < − a < x ∆ > TH3:  x = − a < x cần làm cho học sinh hiểu x ≤ - a < x2 ⇒ af(1 - a) ≤ ngược lại af(1 - a) ≤ kéo theo x ≤ - a ≤ x2 không thiết x1 < 1-a < x2 Từ sai lầm học sinh dạy giáo viên cần dùng phương tiện trực quan tượng trưng sau để giúp học sinh khắc phục sai lầm Đối với phương trình f(x) = ax + bx + c = có nghiệm lớn α có khả sau: Δ=   x1 = α< x x1 α x2 y y y x ∆ >   x1 = α < x2 Δ=  S 2 > α  α x1x2 x x = α x2 x Những sai lầm việc không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc vận dụng chúng cách máy móc khơng ý đến điều kiện áp dụng: Có nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm Việc không nắm vững định nghĩa, định lý, giả thiết định lý, vận dụng cách mơ hồ, chẳng hạn nhiều học sinh cho rằng: * log3(-4)(-8) = log3-4 + log3 (-8) * log2 (x2 -1) = log (x-1) (x+1) = log2 (x-1) + log2(x+1) (|x| > 1) * loga(-7)2 = 2loga-7 * logax2 = 2logax (0 < a≠ 1) 15 Đây loại sai lầm học sinh không nắm vững khái niệm, tính chất, giả thiết định lý Để tránh sai lầm kiểu giáo viên cần phân tích cách rõ ràng trực quan cho học sinh hiểu vấn đề x >  * Hàm số y = logax xác định 0 < a ≠ dẫn tới log3(-4), log3(8), loga(-7) không tồn x >  * logaxα = αlogax với điều kiện 0 < a ≠ logax2 xác định ∀x ∈ R(0 < a ≠ ) nên logax2 = 2loga|x| đảm bảo giả thiết định lý Ngồi ra, khơng học sinh mắc phải sai lầm kiểu: * loga(x1 ± x ) = logax1 ± logax2 * loga(x1.x2) = logax1logax2 (x1, x2 > 0; < a ≠1) Để sửa chữa sai lầm dạy, người giáo viên cần phải làm rõ cho học sinh thấy chất định lý, giả thiết định lý cụ thể giáo viên cho học sinh làm tốn sau: Bài tốn 4.3 Giải phương trình: log (x + 2) − = log (4 − x) + log ( x + 6) 4 Đa số học sinh lập luận toán sau: ( x + 2) >  x > −2    Điều kiện: ( − x ) > ⇔  x < ⇒ −2 < x < x + >  x > −6    Đây sai lầm tầm thường cần phải vạch cho học sinh hiểu giải phương trình ta phải tìm tập nghiệm, sau tìm x lại phải đối chiếu xem x có thuộc tập nghiệm hay không ? Một lẽ tất nhiên (x+2) > ∀x ≠ -2 điều kiện − < x < phương trình   x ≠ −2 Tuy nhiên, có nhiều học sinh khơng mắc phải sai lầm ấy, bắt tay vào giải khơng học sinh học sinh lập luận tốn 4.3 sau: Phương trình 16 ⇔ log ( x + 2) − = log ( − x ) + log ( x + 6) 4 ⇔ log ( x + 2) − log 4 = log ( − x ) + log ( x + 6) 4 x = loại -6 < x < ⇔ 4(x + 2) = (4 − x )( x + 6) ⇔  x = −8 Vậy phương trình có nghiệm x = thực tế phương trình có nghiệm phương trình lại nghiệm ? Để học sinh khắc phục sai lầm thầy giáo nêu lên hệ thống logíc kiến thức sau Để giúp học sinh nhận vấn đề cách trực quan hơn, ta có bảng tổng kết sau: Nếu x