Đang tải... (xem toàn văn)
A.. ĐỊNH NGHĨA CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I.. LÝ THUYẾT: 1. Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2 i = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + b i a, b R và 2 i = –1}. Ta có R C . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z a a b b VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) (1) 2 3 2 1 2 2 3 1 3 7 2 0 x y x y x y x x y y 3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: A z = 1 + 4 i , B z = –3 + 0. i , C z = 0 –2i , D z = 4 – i 4. Môđun của số phức: Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 2 2 z = a+ bi = a + b VD: z = 3 – 4i có 2 2 z 34i 3 (4) = 5 Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z a b 2abi (a b ) 4a b a b z 5. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z abi . z = a+biz = a bi ; z z , z = z Chú ý n n (z ) (z) ;i i;i i z là số thực z z z là số ảo z z Môđun số phức z = a + b.i (a; b R) 2 2 z OM a b z.z Chú ý: z z z C Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. 6. Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z abi và z abi . Ta có z± z =(a±a)+(b±b)i Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. 7. Phép nhân số phức: Cho hai số phức z abi và z abi . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2 i = –1 và rút gọn, ta được: z.z = a.a b.b+(a.b+a.b)i k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2 2 2 z.z = a +b = z
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk A A . . Đ Đ Ị Ị N N H H N N G G H H Ĩ Ĩ A A & & C C Á Á C C P P H H É É P P T T O O Á Á N N S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C I I . . L L Ý Ý T T H H U U Y Y Ế Ế T T : : 1. Khái niệm số phức: Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2 i = –1. Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + b i / a, b R và 2 i = –1}. Ta có R C . Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z ' ' aa bb VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) (1) 2 3 2 1 2 2 3 1 3 7 2 0 x y x y x y x x y y 3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: A z = 1 + 4 i , B z = –3 + 0. i , C z = 0 –2 i , D z = 4 – i 4. Môđun của số phức: Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 22 z = a+bi = a +b VD: z = 3 – 4 i có 22 3 4 3 ( 4)zi = 5 Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4z a b abi a b a b a b z 5. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi . z = a+bi z =a-bi ; zz , z = z * Chú ý nn (z ) (z) ;i i; i i z là số thực zz z là số ảo zz * Môđun số phức z = a + b.i (a; b R) 22 z OM a b z.z Chú ý: zz z C Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. 6. Cộng, trừ số phức: Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i Cho z a bi và ' ' 'z a b i . Ta có z±z' =(a±a')+(b±b')i Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. 7. Phép nhân số phức: Cho hai số phức z a bi và ' ' 'z a b i . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2 i = –1 và rút gọn, ta được: z.z' =a.a' -b.b'+(a.b'+a'.b)i k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 2 22 z.z = a +b = z Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk VD: Phân tích 2 z + 4 thành nhân tử. 2 z + 4 = 2 z – 2 (2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ). Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. 8. Phép chia số phức: Số nghịch đảo của số phức z a bi 0 là -1 2 1z z = = z z hay 22 1 a -bi = a+bi a +b Cho hai số phức z a bi 0 và ' ' 'z a b i thì 2 ' '.z z z z z hay 22 a'+b'i (a'+b'i)(a-bi) = a+bi a +b VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i z = 22 i i (2 2 ) 2 2 1 1 4 4 8 4 4 i i i z z z i 9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k N 4k 4k+1 4k+2 4k+3 i = 1; i = i; i = -1; i = -i VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13 (2 2 )i 6 2 6 6 6 19 19 (2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i Phần thực a = 19 2 , phần ảo b = 19 2 I I I I . . B B À À I I T T Ậ Ậ P P Á Á P P D D Ụ Ụ N N G G 1) Tìm các số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; ĐS: a) x = 3 2 , y = 4 3 b) x = 0, y = 1 c) x = 15 2 , y = 13 3 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) Phần thực của z bằng –2; b) Phần ảo của z bằng 3; c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên. 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z| 1 c) 1 < |z| 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. Hướng dẫn: a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 1ab , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 1ab , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 22 12ab , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên; 4) Thực hiện các phép tính sau: a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b) 23 (1 ) (2 ) 2 ii i 5) Giải phương trình sau: Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2 43 z ii i Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 89 55 i c) z = 15 – 5i. 6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin 66 F nên F biểu diễn số 31 22 i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 31 22 i . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số 31 22 i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 31 22 i 7) Cho 13 22 zi . Hãy tính: 2 3 2 1 ; ; ;( ) ;1z z z z z z . Hướng dẫn: Ta có 1z nên 1 1 3 22 iz z ; 2 13 22 zi ; 32 .1z z z ; 2 10zz 8) Chứng minh rằng: a) Phần thực của số phức z bằng 1 2 zz , phần ảo của số phức z bằng 1 2 zz i b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi zz . d) Với mọi số phức z, z , ta có ' ', ' . 'z z z z zz z z và nếu z 0 thì ''zz zz Hướng dẫn: ,z a bi z a bi (1) a) Lấy vế cộng vế Phần thực của số phức z bằng 1 2 zz . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức z bằng 1 2 zz i . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 0z z z z . d) 22 ; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b là số thực ' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z ' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z ' '. '. '. ' . . . z z z z z z z z z z z z z z z z 9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 3 1; ; 1; m m m m i i i i i i Hướng dẫn: Ta có 4 2 2 .1i i i 4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 3 1 1 . 1. . . 1 . 1. m m m m m m m m m i i i i i i i i i ii i i i i i i 10) Chứng minh rằng: e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |uz và từ đó nếu hai điểm 12 ,AA theo thứ tự biểu diễn số phức 12 ,zz thì 1 2 2 1 A A z z . f) Với mọi số phức z, z , ta có |z.z | = |z|.|z | và khi z 0 thì ' ' z z zz Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk g) Với mọi số phức z, z , ta có ''z z z z Hướng dẫn: a) z a bi thì 22 z a b , u biểu diễn số phức z thì u = (a; b) 22 u a b do đó | | | |uz 12 ,AA theo thứ tự biểu diễn số phức 12 ,zz thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 A A OA OA z z A A z z b) z a bi , ' ' 'z a b i , . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i , 2 2 2 2 , ' ' 'z a b z a b Ta có 22 2 2 2 2 . ' ' 'z z a b a b Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b Vậy |z.z| = |z|.|z| Khi z 0 ta có 22 ' . ' . ' ' '. . z z z z z z z z z z z z zz c) u biểu diễn z, 'u biểu diễn z thì 'uu biểu diễn z + z và ''z z u u Khi , ' 0uu , ta có 2 2 2 2 22 ' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u ''u u u u do đó ''z z z z 11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: h) 1zi b) 1 zi zi c) 34z z i Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. a) Với z x yi 2 2 2 2 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. b) Với z x yi 22 22 1 ( 1) ( 1) 1 1 0 zi x y i x y i x y x y y zi Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. c) Với z x yi 2 2 2 2 3 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y 6 8 25 0xy . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0xy 12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất. 13) Chứng minh rằng với mọi số phức z 1, ta có 10 29 1 1 1 z z z z z Hướng dẫn: Với z 1, 2 9 2 9 10 2 9 10 1 1 1 1z z z z z z z z z z z z Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? a) 22 ()zz b) 33 () zz zz c) 22 () 1 zz zz Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi , 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 ( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i Vậy 2 2 2 2 ( ) 2( )z z a b là số thực; 3 3 3 2 ( ) 3 z z b i z z a ab là số ảo; 22 22 ( ) 4 1 . 1 z z ab i z z a b là số ảo. 15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: i) 2 z là số thực âm; b) 2 z là số ảo ; c) 22 ()zz d) 1 zi là số ảo. Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 2 2 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi a) 2 z là số thực âm khi xy = 0 và 22 0xy x = 0 và y 0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk b) 2 z là số ảo khi 22 0xy y = x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. c) 22 ()zz khi xy = 0 x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. d) 1 zi = 22 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y i x y i x y là số ảo khi x = 0, y 1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau: j) 20iz i c) 2 4 0iz e) 2 40z k) 2 3 1i z z d) 1 3 2 3 0iz z i z i Hướng dẫn: a) 12zi b) 13 10 10 zi c) 84 55 zi d) ; 3; 2 3i i i e) 2zi 2) Tìm : 17) a) Cho số phức z x yi (x, yR). Khi z 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức zi zi b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện zi zi là số thực dương. Hướng dẫn: a) Phần thực là 22 22 1 ( 1) xy xy , phần ảo 22 2 ( 1) x xy b) Là số thực dương khi 0x và 22 10xy Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,ii . 18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3 ,,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3 ,,z z z thỏa 1 2 3 z z z . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 1 2 3 0z z z Hướng dẫn: a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có 1 2 3 11 33 OG OA OB OC z z z vậy G biểu diễn số phức 1 2 3 1 3 z z z z b) Vì OA OB OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay 1 2 3 0z z z . B B . . C C Ă Ă N N B B Ậ Ậ C C H H A A I I C C Ủ Ủ A A S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C & & P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H B B Ậ Ậ C C H H A A I I I I . . L L Ý Ý T T H H U U Y Y Ế Ế T T 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2 z = w được gọi là căn bậc hai của w. w là số thực: w = a a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .ai và – .ai w là số phức: w = a + b i (a, b , b 0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 2 zw 22 2 x - y = a (x+ yi) = a+bi 2xy = b Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . ĐS: có 2 căn bậc hai của w là 1 z = 1 + 2 i , 2 z = –1 – 2 i . 2. Phương trình bậc hai: a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: 22 0 ( 0), 4ax bx c a b ac . 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2 b x a < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |. 2 bi x a VD: Giải phương trình 3 80x ĐS: Phương trình có 3 nghiệm 1 2 3 1 3. , 1 3. , 2x i x i x b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 22 0 ( 0), 4Ax Bx C A B AC , a bi = 0: Phương trình có nghiệm kép 2 B x A 0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2 B x A với là 1 căn bậc hai của . VD: Giải phương trình: a) 2 102z iz ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i a) 2 102z iz có = –1 – 8 = – 9 = 2 (3 )i . Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 4 ii zi , 2 31 42 ii zi b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i có = 22 (3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i = 2 (1 4 )i Phương trình có 2 nghiệm phức 1 3 2 1 4 13 2 ii zi ; 2 3 2 1 4 2 2 ii zi B B . . B B À À I I T T Ậ Ậ P P Á Á P P D D Ụ Ụ N N G G 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 2 3 2 1 0zz b) 2 7 3 2 0zz ; c) 2 5 7 11 0zz Hướng dẫn: a) 12 3 i b) 3 47 14 i c) 7 171 10 i 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) 42 60zz b) 42 7 10 0zz Hướng dẫn: a) 2; 3i b) 2; 5ii 3) Cho a, b, c R, a 0, 12 ,zz là hai nghiệm phương trình 2 0az bz c . Hãy tính 12 zz và 12 zz theo các hệ số a, b, c. Hướng dẫn: 12 zz = b a , 12 zz = c a 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm. Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0 2 ( ) 0x z z x zz . Với z + z = 2a, z z = 22 ab . Vậy phương trình đó là 2 2 2 20x ax a b 5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì zw Hướng dẫn: z a bi là một căn bậc hai của w 2 22 z w z w z w z w VD: 2 3 4 2ii tức 2zi là một căn bậc hai của 34wi thì zw 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk a) 2 1zz b) 2 2 5 0zz c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i Hướng dẫn: a) 2 2 1 1 5 1 5 1 5 2. . 2 4 4 2 4 2 2 z z z z b) 2 2 2 2 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i c) 22 1 3 8 1 2 1i i i i Phương trình có hai nghiệm phức là 12 2 ; 1z i z i . 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn: a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là 22 1,2 4 2 B z B AC A nên 1 2 1 2 ; BC z z z z AA . b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình 2 4 5 1 0z i z i Có 2 5 12 2 3ii nên hai số cần tìm là 12 3 ; 1 2z i z i . c) Phương trình 2 0z Bz C có hai nghiệm là ;z a bi z a bi thì 2B z z a là số thực và 22 .C z z a b là số thực. Điều ngược lại không đúng. 8) a) Giải phương trình sau: 22 2 1 0z i z iz b) Tìm số phức B để phương trình 2 30z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn: a) 2 2 0z i z i có 3 nghiệm là 2 2 2 2 ;; 2 2 2 2 i i i . b) Ta có 1 2 1 2 ; . 3z z B z z i nên 22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 8 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i 9) Tìm nghiệm của phương trình 1 zk z trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i. Hướng dẫn: 2 1 10z k z kz z có 2 nghiệm 22 1,2 4 2 k zk a) k = 1 thì 1,2 13 22 zi b) k = 2 thì 1,2 22 22 zi c) 1,2 2 1 2k i z i 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) 3 10z ; b) 4 10z ; c) 4 40z ; d) 43 8 8 1z z z Hướng dẫn: a) 32 1 3 1 3 1 0 1 1 0 1, , 2 2 2 2 z z z z z z i z i . b) 4 4 2 1 0 1 1 1,z z z z z i c) 4 4 2 4 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i d) 32 1 1 3 1 8 1 0 1 2 1 4 2 1 0 1, , 2 4 4 z z z z z z z z z i 11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c nhận 1zi làm nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 32 0z az bz c nhận 1zi và z = 2 làm nghiệm. Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Hướng dẫn: a) 2 1 1 0 2 0 0 2 0 2, 2 vaøi b i c b c b i b c b b c b) Lần lượt thay 1zi và z = 2 vào phương trình, ta được 2 (2 2 ) 0 8 4 2 0 b c a b i a b c 24 2 2 6 4 2 8 4 b c a a b b a b c c C C . . D D Ạ Ạ N N G G L L Ư Ư Ợ Ợ N N G G G G I I Á Á C C C C Ủ Ủ A A S S Ố Ố P P H H Ứ Ứ C C ( ( T T h h a a m m k k h h ả ả o o ) ) I I . . L L Ý Ý T T H H U U Y Y Ế Ế T T 1. Số phức dưới dạng lượng giác: a) Acgumen của số phức z 0: Cho số phức z = a + b i 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Số đo (rađian) của góc ( , )Ox OM được gọi là một acgumen của z. Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng + k2 (k ) (z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0). VD: Biết z 0 có một acgumen là . Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z ; – z ; 1 z . z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là + (2k + 1) z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2 – z biểu diễn bởi – 'OM nên có acgumen là – + (2k + 1) 1 z = 1 2 || z z z , vì 2 1 ||z là một số thực nên 1 z có cùng acgumen với z là – + k2. b) Dạng lượng giác của số phức z = a + b i : Dạng lượng giác của số phức z 0 là z = r (cos + i sin ) với là một acgumen của z. Vôùi 22 ab z = a+bi z = r cosφ+ isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ = rr VD: Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng nên có dạng lượng giác là z = cos + i sin Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng thoả cos = 1 2 và sin = 3 2 . Lấy = 3 thì 1 + 3 i = 2(cos 3 + i sin 3 ) Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos + i sin ) Chú ý: Số – cos – i sin có dạng lượng giác là cos( + ) + i sin( + ) Số cos – i sin có dạng lượng giác là cos(– ) + i sin(– ) Số – cos + i sin có dạng lượng giác là cos( – ) + i sin( – ) 2. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác: Cho z = r (cos + i sin ) và z = r (cos ’ + i sin ’) với r , r 0 z.z' = r.r'[cos(φ+ φ')+ isin(φ+ φ')] và zr = [cos(φ- φ')+ isin(φ - φ')] z' r' ( r 0) Ta có 1 'z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên 11 [cos( ') sin( ')] '' i zr . Do đó [cos( - ') sin( - ')] '' zr i zr ( r ’ 0) VD: 1 33 2 cos sin 44 zi và 2 55 2 sin cos 12 12 zi . Tính 12 .zz và 1 2 z z Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Với 2 2 cos sin 12 12 zi ; 12 .zz = 5 5 3 1 2 2 cos sin 2 2 6 2. 6 6 2 2 i i i và 1 2 z z = 2 2 2 1 3 2 6 cos sin 2 3 3 2 2 2 2 2 i i i 3. Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng: a) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos + i sin ) n n r(cosφ+ isinφ) = r (cosnφ+ isinnφ) (n * ) b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:` Mọi số phức z = r (cos + i sin ) ( r > 0) có 2 căn bậc hai là φφ r cos +isin 22 và 22 cos sin 22 ri φφ r cos + π + isin + π 22 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 100 1 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i Ta có 1 + i = 11 2 2 cos sin 44 22 ii . Do đó 100 1 i = 100 50 2 cos sin 2 cos25 sin25 44 ii w = 1 + 3.i = 2 cos sin 33 i có 2 căn bậc hai là 2 cos sin 66 i và 77 2 cos sin 66 i . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 19 1 i và công thức Moavrơ để tính 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 . Hướng dẫn: 1 2 cos sin 44 ii Ta có 19 19 0 0 1 1 2 2 18 18 19 19 19 19 19 19 19 0 1 n kk n k i i i i i i i với phần thực là 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 19 19 19 99 19 19 2 2 1 2 cos sin 2 2 2 4 4 2 2 i i i i có phần thực 9 2 512 Vậy 0 2 4 16 18 19 19 19 19 19 = –512. 2) Tính: 21 2004 5 3 3 ; 1 1 2 3 ii i i Hướng dẫn: 2004 2004 2004 1002 1002 1 2 1 1 cos sin cos sin 1 2 2 4 4 2 2 ii ii i 21 21 21 21 21 5 3 3 2 2 1 3 2 cos sin 2 cos14 sin14 2 33 1 2 3 i i i i i 3) Cho số phức 1 13 2 wi . Tìm các số nguyên dương n để n w là số thực. Hỏi có số nguyên dương m để m w là số ảo? Hướng dẫn: 1 4 4 4 4 1 3 cos sin cos sin 2 3 3 3 3 n nn w i i w i Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk W là số thực khi 4 sin 0 3 n , điều này xảy ra khi n là bội nguyên dương của 3. Không có m nào để m w là số ảo. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: i iii i i 1 32321 1 1 10 2 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. ; 2 31 1 2 i i z i i b. ;0 2 1 .32 i izizi c. ;0|| 2 zz d. 0 2 2 zz ; 3.Tính: a. 1 + (1+i) + (1+i) 2 + (1+i) 3 + + (1+i) 20 b. 1 + i + i 2 + i 3 + ……+ i 2011 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3| zz b. ;2|1| izz c. ziz 2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz 5. Các vectơ ',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng '.'. 2 1 '. zzzzuu ; b. Chứng minh rằng ',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: 1 1 iz z và .1 3 iz iz 8. Tìm số phức z thỏa mãn 1 4 iz iz 9. Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức: 1 tan 1 tan i i 10. Giải các phương trình sau trên C : a. 01 2 2 34 z z zz bằng cách đặt ẩn số phụ z zw 1 ; b. 0363263 22 2 2 zzzzzz c. (z 2 +1) 2 +(z+3) 2 =0a. 01 32 izziz d. .0124 2 2 2 zzzz 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21 ,zz sau : a. izz izz 25 4 2 2 2 1 21 b. izz izz 25 55 2 2 2 1 21 12. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. -1-i 3 ; b. 4 sin 4 cos i c. ; 8 cos 8 sin i d. cossin1 i ; 2 0 13. Cho PT : z 2 + kz + 1=0 (-2<k<2). Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm PT đã cho thuộc đường [...]... 26 33) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20 HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN, ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1 34) Trong các số phức thỏa mãn z z 1 i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất ĐS: z MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Bài 1 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1 i)2 (2 i) z ... 1 5i 1 i 1 5i 1 2i ; z2 3i 2 2 Bài 6 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: z 2 và z 2 là số thuần ảo ĐS z = 1 + i hoặc z = 1 – i hoặc z = –1 + i hoặc z = –1 – i Bài 7 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa z 1 (1 i) z Hướng dẫn: Do đó phương... giác số z = 1 3 i Suy ra căn bậc hai số phức z ? 2 2 19 Với giá trị nguyên dương n nào thì số phức sau là số thực, số ảo ? 1) ( 3 i 3 n ) 3 3i 2) ( 7i n ) 4 3i BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1) Tìm các số thực x, y sao cho: a) 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i; b) 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i Hướng dẫn: a) x = 1, y = 1 b) x = –1, y = 3 2) Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt... điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3; –4), bán kính R = 2 Bài 3 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: | z (2 i) | 10 và z.z = 25 ĐS: z = 3 + 4 i hoặc z = 5 + 0 i Bài 4 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 2z 10 0 Tính giá trị của biểu thức A z1 z2... trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện sau : z 2z 1 i z 3 15 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: 7 1 i 10 ; c z 2000 1 biết rằng z 1 1 a cos i sin i 5 1 3i ; b 9 z 2000 z 3 3 3 i 2011 16 CMR: 3(1+i) = 4i(1+i) 2009 2007 - 4(1+i) n 3 3i 17 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức 3 3i là số thực, là số ảo? 18... dẫn: z z 2 2 2 2 3 3 a) z1 z2 = –3; b) z1 z2 = 6 3 ; c) 1 2 = –1; d) z1 z2 = 6 z2 z1 13) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 3 7 3 7 Hướng dẫn: Hai số phức cần tìm là z1 i và z2 i 2 2 2 2 14) Giải các phương trình sau trên tập số phức: Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com... Chia hai vế phương trình cho z2 31) Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z i z z 2i ĐS: y x2 4 3 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất 2 3 2 2 9 *Gọi z=x+yi z 2 3i … x 2 y 3 2 4 Vẽ hình |z|min z 32) Trong các số phức thỏa mãn z 2 3i HD: Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email:... y 2 2 y 1 0 x2 ( y 1)2 2 Tập hợp là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R = Bài 8 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: z ( 2 i)2 (1 2i) b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: z 2 (1 3i)3 Tìm môđun của số phức z iz 1 i Hướng dẫn: a) Gọi z = a + bi, ta có: z ( 2 i)2 (1 2i) a bi 1 2 2i... 2 y 2 0 2 3i 13 13 y 3m 4 13 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x + 2y + 2 = 0 18) Dùng công thức Moa-vrơ để tính (1 i)5 , Hướng dẫn: 4 1 i Chuyên đề: Số Phức 6 3 i Website: www.caotu.tk Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 19) Tìm phần thực và phần ảo của số phức Hướng dẫn: Email: caotua5lg3@gmail.com 8 3 i 3 1 3... Ta có: z1 1 9 10 và z2 1 9 10 nên A z1 z2 20 Bài 5 (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) 2 a) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa: 2 3i z 4 i z 1 3i 2 2 b) Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z 2 1 i z 6 3i 0 Hướng dẫn: Chuyên đề: Số Phức Website: www.caotu.tk Biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT . của số phức z bằng 1 2 zz , phần ảo của số phức z bằng 1 2 zz i b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz . c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi zz . d) Với mọi số phức. của số phức z bằng 1 2 zz . Lấy vế trừ vế phần ảo của số phức z bằng 1 2 zz i . b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 0z z z z . c) Số phức z là số. 3. Biểu diễn hình học của số phức: Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.