Đang tải... (xem toàn văn)
PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B 2Tính chất + A>B B A + A>B và B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C B > 0 An > Bn n + A > B An > B n với n lẻ + A > B An > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 Am > An + m > n > 0 và 0 0 A B 1 1 3Một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A < A = A + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y2 + z 2 +3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x2 + y2 + z 2 xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x2 + y2 + z 2 xy – yz – zx) = 2 1 0 ( ) ( ) ( )2 2 2 x y x z y z đúng với mọi x;y;zR Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTTTT Thái Nguyên Email: caotua5lg3gmail.com Website: www.caotu.tk 2 Vì (xy)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (xz)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (yz)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x2 + y2 + z 2 ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z 2 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;zR Vậy x 2 + y2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;zR Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x2 + y2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 2x + 1 + y2 2y +1 + z 2 2z +1 = (x1)2 + (y1) 2 +(z1)2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng :
Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 1 PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B 2/Tính chất + A>B AB + A>B và B >C CA + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D + A > B > 0 A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 A m < A n +A < B và A.B > 0 BA 11 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A n 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0A với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + BABA ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1 0)()()( 222 zyzxyx đúng với mọi x;y;z R Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 2 Vì (x-y) 2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22 baba ; b) 2 222 33 cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22 baba = 4 2 4 2 2222 bababa = abbaba 222 4 1 2222 = 0 4 1 2 ba Vậy 2 22 22 baba . Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 2 222 33 cbacba = 0 9 1 222 accbba .Vậy 2 222 33 cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát 2 21 22 2 2 1 n aaa n aaa nn Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 01 4444 2 2 2 2 2 2 2 m m qmq m pmp m nmn m 01 2222 2222 m q m p m n m (luôn đúng) Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 3 Dấu bằng xảy ra khi 01 2 0 2 0 2 0 2 m q m p m n m 2 2 2 2 m m q m p m n 1 2 qpn m Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : )( 444 cbaabccba Giải: Ta có : )( 444 cbaabccba , 0,, cba 0 0)2( )2()2( 0222 222 0222222 0 222 2 22 2 22 2 22 22222 2222222222 2 22 2 22 2 22 222 22 2 2222 2 2222 2 22 222444 222444 acabacbcbcabaccbba abaacba abcaccbacbcbbaaccbba abcacbbca caaccbcbbaba abcacbbcacba abcacbbcacba Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . Chú ý các hằng đẳng thức sau: 22 2 2 BABABA BCACABCBACBA 222 222 2 3223 3 33 BABBAABA Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a 4 2 2 b) baabba 1 22 c) edcbaedcba 22222 Giải: a) ab b a 4 2 2 abba 44 22 044 22 baa 02 2 ba (BĐT này luôn đúng). Vậy ab b a 4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba 1 22 )(21(2 22 baabba 012122 2222 bbaababa 0)1()1()( 222 baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba 1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 4 c) edcbaedcba 22222 edcbaedcba 44 22222 044444444 22222222 cacadadacacababa 02222 2222 cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 4488221010 babababa Giải: 4488221010 babababa 128448121210221012 bbabaabbabaa 0 22822228 abbababa a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 ) 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh yx yx 22 22 Giải: yx yx 22 22 vì :x y nên x- y 0 x 2 +y 2 22 ( x-y) x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y 0 x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2 0 x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 ) 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 01269 222 yxyyyx Ryx , b/ cbacba 222 (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( zyx 111 )=x+y+z - ( 0) 111 zyx (vì zyx 111 < x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 21 ca c cb b ba a Giải: Ta có : )1( 11 cba a ba a cbaba cbaba Tương tự ta có : )2( cba b cb b , )3( cba c ca c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : 1 ca c cb b ba a (*) Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 5 Ta có : )4( cba ca ba a baa Tương tự : )5( cba ba cb b , )6( cba bc ac c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : 2 ca c cb b ba a (**) Từ (*) và (**) , ta được : 21 ca c cb b ba a (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) xyyx 2 22 b) xyyx 22 dấu( = ) khi x = y = 0 c) xyyx 4 2 d) 2 a b b a Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: xyyx 4 2 Tacó abba 4 2 ; bccb 4 2 ; acac 4 2 2 ba 2 cb 2 ac 2 222 864 abccba (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : 0, ba , ta có: abba 2 . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : n n n n nn n aaa aaa aaanaaa 21 21 2121 Dấu “=” xảy ra khi n aaa 21 Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 3 42 2 12 4 14 2 xx x x x x x Giải : Nếu đặt t =2 x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 0,, 4 2 ba b a x x Khi đó phương trình có dạng : 2 31 11 baa b b a Vế trái của phương trình: Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 6 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 a b a b a b a b b a a b b a a b a b c b a a b b a a b b a a b 2 3 3 11 3 .113 2 1 3 3 baba baba Vậy phương trình tương đương với : 0142111 xbababa xx . Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = 111 z z y y x x Giải : P = 3- ( 1 1 1 1 1 1 zyx ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 3 3 9a b c abc a b c a b c abc a b c a b c a b c Suy ra Q = 1 1 1 1 1 1 zyx 4 9 -Q 4 9 nên P = 3 – Q 3- 4 9 = 4 3 Vậy max P = 4 3 .khi x = y = z = 3 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: abc cba abcacbbca 2 111 222 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : acab bca bca bcabca 11 2 112 2 2 2 Tương tự : 22 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 b ac bc ab c ab ac bc b ac c ab abc a bc b ac c ab abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3 cba c bac b acb a (*) Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : )1( ))()(( 3 3 cbabacacb abc cba c bac b acb a Cũng theo bất đẳng thức Côsi : )2()( 2 1 ))(( cbacacbbacacb Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được )3(1 ))()(( ))()(( cbabacacb abc abccbabacacb Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 7 Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: Cho zyx cba ,,0 0 . Chứng minh rằng: 2 2 4 zyx ac ca c z b y a x czby Giải: Đặt 0)()( 2 acxcaxxf có 2 nghiệm a,c Mà: 0)(0)( 2 acbcabbfcba zyxca c z b y a x aczcybxa zcaycaxca c z aczc b y acyb a x acxa yca b y acybca b ac b )()()( Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: )( 4 4 2 2 2 22 đpcmzyx ac ca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( 2n ): nn bbbaaa , ,,,, , 2121 . Ta luôn có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa Dấu “=” xảy ra khi n n b a b a b a 2 2 1 1 Hay n n a b a b a b 2 2 1 1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh: Đặt 22 2 2 1 22 2 2 1 n n bbbb aaaa Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng. Nếu a,b > 0: Đặt: ni b b a a i i i i , 2,1, , Thế thì: 22 2 2 1 22 2 2 1 nn Mặt khác: 22 2 1 iiii Suy ra: babababa nn nnnn 1) ( 2 1 ) ( 2 1 2211 22 2 2 1 22 2 2 12211 Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 8 Lại có: nnnn babababababa 22112211 Suy ra: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa Dấu”=” xảy ra n n nn ii b a b a b a dáucùng ni , ,2,1 2 2 1 1 11 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: Rx , ta có: 8 1 cossin 88 xx Giải: Ta có: Rxxx ,1cossin 22 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 11 sin cos sin cos 24 x x x x x x x x Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: 2 4 4 8 8 2 2 4 4 1 1 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 sin cos 4 4 8 x x x x x x Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: ACCBBAP tan.tan1tan.tan1tan.tan1 Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: ), ,2,1)(, ,,( micba iii Thế thì: ) )( )( () ( 222111 2 212121 m m m m m m mmmmmm mmm cbacbacbacccbbbaaa Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì i t sao cho: iiiiii ctcbtbata , ,, , Hay nnn cbacbacba ::: ::: :: 222111 Ví dụ 1: Cho 2, 3 22 2 2 1 nZn aaa n Chứng minh rằng: 2 1 32 21 n a aa n Giải: * Nk ta có: 2 1 2 1 1 4 1 11 2 2 kk k k 2 2 2 2 1 1 1 11 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 1 1 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 k kk n n n n Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: 2 3 2 3 1 3 1 2 1 1 32 222 22 2 2 1 21 n aaa n a aa n n (đpcm) Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 9 Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: 222222 )()( dcbadbca Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd 2222 . dcba mà 2222 22 2 dcbdacbadbca 22222222 .2 dcdcbaba 222222 )()( dcbadbca Ví dụ 3: Chứng minh rằng : acbcabcba 222 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 2 222222 .1.1.1)(111 cbacba 3 acbcabcbacba 2 222222 acbcabcba 222 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a)Nếu n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn . 22112121 . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi n n bbb aaa 21 21 b)Nếu n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn . 22112121 Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi n n bbb aaa 21 21 Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và . 3 2 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin S CBA CCBBaA S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư . 2 0 CBA Suy ra: CBa CBA 2sin2sin2sin sinsinsin Áp dụng BĐT trebusep ta được: )2sin2sin2(sin 3 1 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin3 2sin2sin2sinsinsinsin CBA CBA CCBBAA CCBBAA CBACBA Dấu ‘=’ xảy ra dêuABC CBA CBA 2sin2sin2sin sinsinsin Mặt khác: Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu.tk 10 )2(2sin sin).sin2)(sin2( sinsinsin4sin.sin2.sin2 )cos()cos(sin2cos)cos(sin2 2sin)cos().sin(22sin2sin2sin SCbaCBRAR CBABAC BABACCBAC CBABACBA Thay (2) vào (1) ta có . 3 2 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin S CBA CCBBaA Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Ví dụ 2(HS tự giải): a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 9 111 cba b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z )1)(1)(1(4 zyx c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 2 3 ba c ac b cb a d)Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn 12 yx ;CMR: x+y 5 1 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và 1 222 cba . Chứng minh rằng 3 3 3 1 2 a b c b c a c a b Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c ba c ca b cb a cba 222 Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có ba c ca b cb acba ba c c ca b b cb a a . 3 222 222 = 2 3 . 3 1 = 2 1 Vậy 2 1 333 ba c ca b cb a Dấu bằng xảy ra khi a=b=c= 3 1 Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : 10 2222 acddcbcbadcba Giải: Ta có abba 2 22 cddc 2 22 Do abcd =1 nên cd = ab 1 (dùng 2 11 x x ) Ta có 4) 1 (2)(2 222 ab abcdabcba (1) Mặt khác: acddcbcba = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = 222 111 bc bc ac ac ab ab Vậy 10 2222 acddcbcbadcba Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli [...]... R + Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thi t để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thi t , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q” Website: www.caotu.tk 21 Biên soan:... Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thi t quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thi t quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n ... , x R Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx k sin x n= k+1 Ta cần chứng minh: sin( k 1) x (k 1) sin x a b a b , a, b R sin x , cos x 1, x R Ta có: Nên: sin( k 1) x sin kx cos x cos kxsin x sin kx cos x cos kx sin x sin kx sin x k sin x sin x (k 1) sin x Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy: sin... 0 và b +c < 0 a + b +c < 0 trái giả thi t a+b+c > 0 Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0 Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , c2 4d a 2 4b Giải: Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2 4b , c2 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được a 2 c 2 4(b d ) (1) Theo giả thi t ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) và... tập đề nghị : Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 : a b c 1 1 1 bc ac ab a b c HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương các đẳng thức Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) (n N *) 1 1 1 k (k 1) k k 1 1 1 1 Bài 3: Cho a, b c > 0 và a + b + c 1 Cmr : 1 1 1 64 a b c 1 1 1 HD : Áp dụng bất đẳng thức. .. (với p : giả thi t đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau: Giả sử không có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai Vậy phải có q (hay q đúng) Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thi t của luận đề với phủ định kết luận của nó Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thi t C – Phủ... caotua5lg3@gmail.com Ví dụ 6: Cho 1 n , ai , bi R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: ( 2 2 a1 a2 an 2 a12 a2 an ) n n Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng 2 2 a1 a2 ak 2 a12 a2 ak ) n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ( k k 2 2 2 a a ak 1 2 a1 a2 ak 1 ) n= k+1 Ta cần chứng minh: ( 1 2 (1) k 1 k 1 a a ak 1 Đặt: a 2... n n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng n k 1 Giải: Ta có 1 k 2 2 n Z 1 1 1 1 2 k k k 1 k 1 k Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1 1 2 2 2 1 1 1 32 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 n n 1 n 2 3 n Vậy n 1 k k 1 2 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n 2 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba... Không mất tính tổng quát ta giả sử : a b a b a ab b Từ : c d c d c cd d a 1 vì a+b = c+d c b a b 998 999 d c d a b 1 999 b/Nếu: b=998 thì a=1 = Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 d c d c a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999 a/ Nếu :b 998 thì Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng. .. giả thi t cho a -b a b a k b bk k Website: www.caotu.tk a k b k a b 0 19 Biên soan: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com (+) Giả sử a < b và theo giả thi t - a . thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức. b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : 0, ba , ta có: abba 2 . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : n n n n nn n aaa aaa aaanaaa . (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với 0 nn ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với 0 nn 2 - Giả sử