ÔN THI MÔN TOÁN RỜI RẠC Phần 1. Chương 2. Bài toán đếm Các công thức cơ bản trong lý thuyết tổ hợp: Chỉnh hợp không lặp k n A n(n 1)(n 2) (n k 1)= − − − + - Chỉnh hợp lặp k k n L n= - Hoán vị không lặp P n = n! - Hoán vị lặp n 1 2 k 1 2 k n! P (n , n , , n ) n !n ! n ! = - Tổ hợp không lặp k n n! C k!(n k)! = − - Tổ hợp lặp k k n n k 1 R C + − = - Nhị thức Newton n 0 1 2 2 n n n n n n (1 x) C C x C x C x+ = + + + + Cho x=1 sẽ có: n 0 1 2 n n n n n 2 C C C C= + + + + Cho x=-1 sẽ có: C n 0 + C n 2 + … = C n 1 + C n 3 + … = 2 n-1 Các nguyên lý đếm. 1) Nguyên lý cộng: Nếu 1 2 m B B B B= ∪ ∪ ∪ và i j B B , i j∩ ≠ ∅ ∀ ≠ thì 1 2 m B B B B= + + + ⇒ m i i 1 B B = = ∑ 2) Nguyên lý nhân : Nếu 1 2 m B B xB x xB= thì 1 2 m B B . B B= 3) Nguyên lý loại trừ: Nếu A B ⊂ thì B A \ B= và ta có B A B= − 4) Nguyên lý bù trừ: Nếu 1 2 m B B B B= ∪ ∪ ∪ thì 1 m m 1 i i j i j k 1 2 m i 1 i j i j k B B B B B B B ( 1) B B B − = ≠ ≠ ≠ = − ∩ + ∩ ∩ + + − ∩ ∩ ∩ ∑ ∑ ∑ 5) Nguyên lý quy về đơn giản. 6) Nguyên lý truy hồi. Phần 2. Chương 4. Bài toán tồn tại. Định lý Dirichlet a) Dạng giản đơn: Nhốt n+1 con chim vào n chiếc lồng (n nguyên, dương) thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con chim. b) Dạng tổng quát: Nhốt n con chim vào k chiếc lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất n k       con chim (n và k nguyên dương). Trong đó n k       là số nguyên nhỏ nhất trong các số nguyên n k ≥ Thí dụ + Nếu n = 21 và k = 3 thì n k       = 7 = n k + Nếu n = 22 và k = 3 thì n k       = 8 > n k , đó là số làm tròn lên. Phần 3.Chương 6. Đồ thị hữu hạn và ứng dụng. Một số khái niệm quan trọng 1) Đồ thị vô hướng. a) Đồ thi vô hướng đủ G( X, V) (có n đỉnh, m cạnh) : mọi cặp đỉnh đều có canh nối.Khi đó có các công thức sau: m = 2 n n! n(n 1) C 2!(n 2)! 2 − = = − + Số đồ thị con (bớt 1 số đỉnh): 1 2 n 1 n n n n s C C C 2 2 − = + + + = − 2 + Số đồ thị bộ phận( bớt 1 số cạnh): 1 2 m m 1 m m m r C C C 2 − = + + + = b) Cây và cây bao trùm( cây khung) Cây là đồ thị vô hướng liên thông và không chứa chu trình, khi đó m=n-1. Cây chứa moị đỉnh của đồ thị là cây bao trùm. - Định lý Kelly: Số cây bao trùm chứa trong một đồ thị vô hướng đủ có n đỉnh là: n 2 n T n − = c) Đồ thị Euler là đồ thị chứa chu trình Euler, đó là chu trình đi qua tất các cạnh mỗi cạnh 1 lần. - Định lý Euler: Điều kiện cần và đủ để một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị Euler là bâc của tất cả các đỉnh đều là các số chẵn. - Chú ý: Đồ thị đủ n đỉnh thì bậc của mọi đỉnh đều bằng n-1, nếu đồ thị này là đồ thị Euler thì n-1 phải là số chẵn, nghiã là n phải là số lẻ. Sử dụng kiến thức này để giải bài tập số 17 và 18. 2) Đồ thị có hướng. a) Bài toán tìm đường đi ngắn nhất và thuật toán Dijkstra. 1 1 1 ( ) ( , ) k i i i w P w v v − + = = ∑ Cho đơn đồ thị có hướng G = (V,E) với hàm trọng số w: E -> R (w(e) được gọi là độ dài hay trọng số của cạnh e) Độ dài của đường đi P = v1 -> v2 -> … -> vk là số Đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v là đường đi có độ dài ngắn nhất trong số các đường đi nối u với v Thuật toán Dijkstra( xem giáo trình và bài giảng). 2) Bài toán cây khung nhỏ nhất và thuật toán Prim Định nghĩa 1: Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng liên thông. Cây T= (V,F) với F⊂ E được gọi là cây khung của đồ thị G. Bài toán cây khung: Cho đồ thị vô hướng liên thông G = (V,E) với trọng số c(e), e ∈ E. Độ dài của cây khung là tổng trọng số trên các cạnh của nó. Cần tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất. Thuật toán Prim (Xem giáo trình và bài giảng) 3) Bài toán tìm luồng vận tải cực đại và thuật toán Ford- Fulkerson. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA 3 Phần 1. Bài toán đếm. Bài 1. Cho A là một tập gồm các chữ số : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm trong các trường hợp sau đây: 1. Các chữ số tạo thành một dãy tăng? tạo thành một dãy giảm? 2. Các chữ số không lặp, các chữ số có thể lặp ? Bài 2. Có bao nhiêu cách chia một bộ bài có 52 quân cho 4 người: 1. Mọi người đều có số quân bằng nhau. 2. Một người 10 quân, một người 12 quân, một người 14 quân và một người 16 quân. Bài 3. 1. Có bao nhiêu cách chia 7 quyển vở cho 5 em bé sao cho em nào cũng được nhận vở? 2. Có bao nhiêu cách gọi 5 sinh viên để trả lời 7 câu hỏi khác nhau sao cho sinh viên nào cũng được gọi để trả lời câu hỏi? Bài 4. Phương trình x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 8 có bao nhiêu nghiệm nếu: 1. x i ≥ 0 ( i = 1,4 ) và nguyên. 2. x i nguyên ( i = 1, 4 ); x 1 ≥ 1, x 2 ≥ 1, x 3 ≥ 1, x 4 ≥ 2 Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 gia đình, mỗi gia đình có 3 người quanh một bàn tiệc tròn có 12 ghế có ghi số trong các điều kiện sau đây : 1. Những người trong mỗi gia đình ngồi gần nhau. 2. Giải bài toán trên trong trường hợp 12 ghế xếp thành một dãy ngang. Bài 6. Nhóm A có 7 sinh viên, nhóm B có 6 sinh viên, nhóm C có 5 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 sinh viên mà : 1. Thuộc 2 nhóm A và B, B và C, C và A? 2. Thuộc cả 3 nhóm A,B và C? Bài 7. Có 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. 1. Có bao nhiêu cách xếp thành 2 hàng dọc mỗi hàng 10 sinh viên sao cho trên mỗi hàng ngang đều có 1 nam và 1 nữ? 2. Có bao nhiêu cách xếp thành 4 hàng dọc mỗi hàng 5 sinh viên sao cho trên mỗi hàng ngang đều có 2 nam và 2 nữ? Bài 8. Có 5 bộ quần áo TDTT với 5 màu khác nhau. Huấn luyện viên phát cho 5 cầu thủ mỗi người 1 quần và 1 áo. Có bao nhiêu cách phân phát khác nhau 4 trong các trường hợp sau đây: 1. Tất cả các cầu thủ đều nhận được quần và áo có màu khác nhau. 2. Có 3 cầu thủ nhận được quần và áo có màu khác nhau và 2 cầu thủ nhận được quần và áo cùng màu. Bài 9. Cho 20 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần trong các trường hợp sau đây: 1. Có 5 đường thẳng song song với nhau. 2. Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm. Bài 10. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 7 nam và 3 nữ thành một dãy ngang trong các điều kiện sau đây: 1. Cả 3 nữ ngồi gần nhau. 2. Có đúng 2 nữ ngồi gần nhau. 3. Cả 3 nữ không ngồi gần nhau. Bài 11. Có 4 đề thi khác nhau được phát cho 10 sinh viên dự thi, mỗi sinh viên một đề sao cho 2 sinh viên ngồi gần nhau thì nhận được 2 đề khác nhau. Hỏi có bao nhiêu trường hợp khác nhau nếu : 1. Các sinh viên ngồi thành một dãy ngang ? 2. Các sinh viên ngồi thành 2 dãy ngang cách biệt, mỗi dãy 5 người? 3. Các sinh viên ngồi quanh một bàn tròn trên 10 ghế có ghi số? Bài 12. Có 5 câu hỏi thi khác nhau, mỗi câu hỏi thi được in thành 2 phiếu. Giáo viên phát cho 5 sinh viên dự thi mỗi sinh viên 2 phiếu. Hỏi có bao nhiêu trường hợp mà : 1.Tất cả 5 sinh viên đều nhận được 2 câu hỏi khác nhau ? 2. Có đúng 3 sinh viên nhận được 2 câu hỏi khác nhau ? Bài 13. Cho hình cầu tâm O bán kính R. Vẽ n đường tròn lớn ( có tâm O và bán kính R như hình cầu ); trong đó không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Ký hiệu T n là số phần mặt cầu tạo nên bởi n đường tròn đó. 1. Lâp và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của T n . Tính T 10 . 2. Tính T 10 trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua một điểm. 3. Tính T 10 trong trường hợp có 4 đường tròn cùng đi qua một điểm Bài 14. Cho n đường tròn trên cùng 1 mặt phẳng trong đó mọi cặp 2 đưòng tròn đều cắt nhau tại 2 điểm và không có 3 đường tròn nào cùng đi qua một điểm Ký hiệu T n là số phần mặt phẳng tạo nên bởi n đường tròn đó. 5 1. Lâp và giải phương trình truy hồi để tìm công thức của T n . Tính T 10 . 2. Tính T 10 trong trường hợp có 3 đường tròn cùng đi qua một điểm. Bài 15. Một người vượt cầu thang có n bậc bằng cách lúc thì bước mỗi bước 1 bậc lúc thì bước mỗi bước 2 bậc. Ký hiệu T n là số cách vượt n bậc cầu thang như thế. 1. Lập và giải phương trình truy hồi để tìm công thức cho T n . 2. Bằng phương pháp qui nạp chứng minh công thức dưới đây: T 1 2 + T 2 2 + … + T n 2 = T n . T n+1 - 1 Bài 16 Một người phải trả 1 món tiền n nghìn đồng bằng cách trả lần lượt từng tờ một trong 2 loại giấy bạc có mệnh giá 1 nghìn đồng và 2 nghìn đồng. Ký hiệu T n là số cách trả tiền như thế. 1. Lập và giải phương trình truy hồi đối với T n . 2. Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng: T 1 .T 2 + T 2 .T 3 +… + T 2n-1 .T 2n = ( T 2n ) 2 – 2. Bài 17. Cho G là đồ thị vô hướng, đủ và có 9 đỉnh 1. Có bao nhiêu đồ thị con và bao nhiêu đồ thị bộ phận ? 2. Có bao nhiêu đồ thị con là đồ thị Euler? Bài 18. Cho G là đồ thị vô hướng, đủ và có 7 đỉnh 1. Có bao nhiêu cây bao trùm đi qua 2 đỉnh cố định cho trước ? 2. Có bao nhiêu cây bao trùm có 1 đỉnh bậc 4 và 1 đỉnh bậc 3 ? Phần 2. Bài toán tồn tại. Bài 1. Cho một hình tam giác đều có cạnh bằng 1, lấy 5 điểm bất kỳ bên trong tam giác đó. Chứng minh rằng có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/2. Bài 2. Cho 5 điểm có toạ độ nguyên trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 1. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất 2 điểm mà trung điểm của chúng cũng là điểm có toạ độ nguyên. 2. CMR có ít nhất 3 tam giác có các đỉnh là các điểm trên có diện tích một số nguyên. 6 Bài 3. Lấy một cách tuỳ ý 7 điểm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tìm được 2 điểm có khoảng cách < 1. Bài4. Lấy 6 số bất kỳ trong các số nguyên dương nhỏ hơn 121. Chứng minh rằng trong các số đó luôn tìm được ít nhất 2 số x và y mà │ x - y │ < 2 Bài 5. Lấy 30 số nguyên dương nhỏ hơn 60. Chứng minh rằng: 1. Có ít nhất 8 cặp số mà hiệu của chúng bằng nhau. 2. Có ít nhất 4 cặp số mà tổng của chúng bằng nhau. Bài 6. Cho tập A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 1. Có bao nhiêu tập con gồm 4 phần tử của A? 2. CMR có ít nhất 8 tập con mà tổng các chữ số của chúng bằng nhau. . Bài 7. Có 11 sinh viên nữ và 9 sinh viên nam xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang . CMR có ít nhất 2 nữ sinh viên mà giữa họ có 4 người khác đứng xen vào. Bài 8. Xếp 12 quân cờ một cách tuỳ ý lên một bàn cờ vua có 8x8=64 ô vuông. Chứng minh rằng luôn tìm được 4 hàng và 4 cột chứa tất cả 12 quân cờ nói trên. Bài 9. Cho A = {1,2,3,…, 21}. Hỏi có thể chia A thành các nhóm rời nhau và trong mỗi nhóm số lớn nhất bằng tổng các số còn lại của nhóm được hay không? Bài 10. Có 16 cầu thủ đeo số áo từ 1 đén 16 đứng ngẫu nhiên thành một vòng tròn. Chứng minh rằng luôn tìm được một nhóm gồm 4 người đứng gần nhau có tổng các số ghi trên áo > 34. Phần 3. Các bài toán tối ưu trên đồ thị Bài 1. Ap dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị cho dưới đây: 7 Bài 2. Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị cho dưới đây: Bài 3. Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị cho dưới đây: 8 Bài 4. Áp dụng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ S đến Z trên đồ thị cho dưới đây: Bài 5: Áp dụng thuật toán Prim tìm cây khung nhỏ nhất trên đồ thị sau: 9 Bài 6: Áp dụng thuật toán Prim tìm cây khung nhỏ nhất trên đồ thị sau: 10 . trong các trường hợp sau đây: 1. Có 5 đường thẳng song song với nhau. 2. Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm. Bài 10. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 7 nam và 3 nữ thành một dãy ngang trong . thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất n k       con chim (n và k nguyên dương). Trong đó n k       là số nguyên nhỏ nhất trong các số nguyên n k ≥ Thí dụ + Nếu n = 21 và k = 3 thì. Ford- Fulkerson. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA 3 Phần 1. Bài toán đếm. Bài 1. Cho A là một tập gồm các chữ số : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu con số hàng trăm trong các trường