Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 2:Chu trinh euler và đường đi haminton,mỗi bài đều có ví dụ,bài tập để rèn luyện,bài toán sắp xếp chỗ ngồi,bài toán người đưa thư Trung Hoa,các định nghĩa chính xác dễ hiểu
CHU TRÌNH, ĐƯỜNG ĐI EULER VÀ HAMILTON NỘI DUNG Đồ thị Euler Đồ thị Hamilton ĐỒ THỊ EULER Konigsberg, Hmmm Leonhard Euler (1707 – 1783) Thành phố Konigsberg (Đức) bị chia thành 4 vùng do 2 nhánh của 1 dòng sông. Có 7 chiếc cầu nối những vùng nầy với nhau. Bài toán: xuất phát từ một vùng đi dạo qua mỗi chiếc cầu đúng một lần và trở về nơi xuất phát. Năm 1736, nhà toán học Euler đã mô hình bài toán nầy bằng một đồ thị vô hướng với mỗi đỉnh ứng với một vùng, mỗi cạnh ứng với một chiếc cầu BÀI TOÁN 7 CHIẾC CẦU BÀI TOÁN 7 CHIẾC CẦU A B C D C A D B DÂY CHUYỀN EULER: dây chuyền đi qua tất cả các cạnh trong đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần. CHU TRÌNH EULER: dây chuyền Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối. ĐƯỜNG ĐI EULER: đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đúng một lần. MẠCH EULER: đường đi Euler có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối. ĐỒ THỊ EULER VÔ HƯỚNG: đồ thị vô hướng có chứa một chu trình Euler. ĐỒ THỊ EULER CÓ HƯỚNG: đồ thị có hướng có chứa một mạch Euler. ĐỊNH NGHĨA Đồ thị vô hướng G=(X, E) 1. G là đồ thị Euler ⇔ G liên thông và d(x) chẵn ∀x∈X. 2. G có chứa dây chuyền Euler và không chứa chu trình chu trình Euler ⇔ G liên thông có chứa đúng hai đỉnh bậc lẻ. Đồ thị có hướng G=(X, E) 1. G là đồ thị Euler ⇔ G liên thông và d + (x)=d - (x) ∀x ∈ X. ĐỊNH LÝ EULER VÍ DỤ a b c d e a b c d a b c d e (G 1 ) (G 2 ) (G 3 ) Liên thông và có 2 đỉnh bậc lẻ có dây chuyền Euler: bacdaedbc Liên thông và các đỉnh đều có bậc chẵn có chu trình Euler: bacdaedbcb có đường đi Euler: bacbd Cạnh e của đồ thị G được gọi là CẦU nếu xóa e khỏi đồ thị thì làm tăng số thành phần liên thông của G. Giải thuật Gọi chu trình cần tìm là C 1.Khởi tạo: Chọn một đỉnh bất kỳ cho vào C. 2.Lặp trong khi G vẫn còn cạnh 1. Chọn cạnh e nối đỉnh vừa chọn với một đỉnh kề với nó theo nguyên tắc: chỉ chọn cầu nếu không còn cạnh nào khác để chọn. 2. Bổ sung e và đỉnh cuối của nó vào C. 3. Xóa e khỏi G. GIẢI THUẬT FLEURY VÍ DỤ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 1 [...]... được nhà toán học Hamilton đưa ra vào năm 1859 ĐỊNH NGHĨA Đồ thị vô hướng G(X, E) DÂY CHUYỀN HAMILTON: dây chuyền đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần CHU TRÌNH HAMILTON: dây chuyền Hamilton và một cạnh trong đồ thị nối đỉnh đầu của dây chuyền với đỉnh cuối của nó ĐỒ THỊ HAMILTON: đồ thị có chứa một chu trình Hamilton MỘT SỐ KẾT QUẢ Đồ thị đủ luôn là đồ thị Hamilton Với n lẻ... I), (I, H), (G, K) và GT là đồ thị Euler Vậy hành trình ngắn nhất cần tìm là: A, B, C, D, E, F, K, G, K, E, C, J, K, H, J, I, H, I, B, I, A Bài tập Giải bài toán phát thư Trung Hoa với đồ thị bên Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) ĐỒ THỊ HAMILTON BÀI TOÁN KHỞI ĐI M “Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnh khác, mỗi đỉnh... của G thì G là đồ thị Hamilton QUI TẮC XÁC ĐỊNH 1 Nếu G có đỉnh bậc < 2 thì G không có chu trình Hamilton 2 Nếu đỉnh có bậc 2 thì 2 cạnh kề với nó phải nằm trong chu trình Hamilton 3 Các cạnh thừa (ngoài 2 cạnh đã chọn trong chu trình Hamilton) phải được bỏ đi trong quá trình xác định chu trình 4 Nếu quá trình xây dựng tạo nên một chu trình con thì đồ thị không có chu trình Hamilton VÍ DỤ 4 2 3 5... những hành trình T đi qua hai lần một số cạnh nào đó của G Bài toán người phát thư Trung Hoa Ta quy ước xem mỗi hành trình T trong G là một hành trình trong đồ thị Euler GT, có được từ G bằng cách vẽ thêm một cạnh song song đối với những cạnh mà T đi qua hai lần Bài toán đặt ra được đưa về bài toán sau: Trong các đồ thị Euler GT, tìm đồ thị có số cạnh ít nhất (khi đó chu trình Euler trong đồ thị... (n-1)/2 chu trình Hamilton đôi một không có cạnh chung Đồ thị lưỡng phân G với hai tập đỉnh X1, X2 và X1=X2=n Nếu d(x)≥n/2 ∀x của G thì G là đồ thị Hamilton Đồ thị vô hướng đơn G gồm n đỉnh và m cạnh Nếu m≥(n2-3n+6)/2 thì G là đồ thị Hamilton Đồ thị vô hướng đơn G gồm n đỉnh với n≥3 Nếu d(x)≥n/2 ∀x của G thì G là đồ thị Hamilton Nếu d(x)≥(n-1)/2 ∀x của G thì G có dây chuyền Hamilton Nếu d(x)+d(y)≥n... đồ thị Euler G(X, E) Output: chu trình Euler C của G 1 Chọn đỉnh v ∈ X; C = {v} 2 Lặp trong khi G còn cạnh 1 Chọn đỉnh v ∈ C còn cạnh trong G 2 Tìm chu trình C’ xuất phát từ v 3 Ghép C’ vào C 4 Loại bỏ các cạnh của C’ khỏi G VÍ DỤ 1 3 2 4 3 5 1 3 2 4 3 1 5 Ví dụ Bài toán người phát thư Trung Hoa Một nhân viên đi từ Sở Bưu Đi n, qua một số đường phố để phát thư, rồi quay về Sở Người ấy phải đi qua... nhất, tức là qua ít cạnh nhất Rõ ràng rằng nếu G là đồ thị Euler (mọi đỉnh đều có bậc chẵn) thì chu trình Euler trong G (qua mỗi cạnh của G đúng một lần) là hành trình ngắn nhất cần tìm Bài toán người phát thư Trung Hoa Chỉ còn phải xét trường hợp G có một số đỉnh bậc lẻ (số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn) Khi đó, mọi hành trình trong G phải đi qua ít nhất hai lần một số cạnh nào đó Dễ thấy rằng một... ứng với mỗi người dự hội nghị, hai đỉnh kề nhau khi hai đại biểu tương ứng muốn làm quen với nhau Như vậy, ta có đồ thị đầy đủ Kn Đồ thị này là Hamilton và mỗi chu trình Hamilton là một cách sắp xếp theo yêu cầu bài toán Bài toán trở thành tìm các chu trình Hamilton phân biệt của đồ thị đủ Kn (Hai chu trình gọi là phân biệt nếu chúng không có cạnh chung) Bài toán sắp xếp chỗ ngồi Giải bài toán sắp... ngắn nhất trong G có chiều dài q + m(G), trong đó m(G) là số cạnh mà hành trình đi qua hai lần và được xác định như sau: Gọi V0(G) là tập hợp các đỉnh bậc lẻ (2k đỉnh) của G Ta phân 2k phần tử của G thành k cặp, mỗi tập hợp k cặp gọi là một phân hoạch cặp của V0(G) Bài toán người phát thư Trung Hoa Ta gọi độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v là khoảng cách d(u,v) Đối với mọi phân hoạch cặp Pi, ta... 11 4 10 6 8 1 o1 7 9 5 11 3 10 2 8 4 6 1 o1 9 11 7 10 5 8 3 6 2 4 1 BÀI TẬP Tìm chu trình Euler của đồ thị bên Một ông vua đã xây dựng một lâu đài để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ của lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, chỉ cần từ một trong các phòng bên ngoài cùng (số 1, 2, 6, 10, ), đi qua tất cả các cửa phòng, mỗi cửa chỉ một lần; báu vật được giấu sau cửa cuối cùng Hãy . FLEURY VÍ DỤ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 1 Input: đồ thị Euler G(X, E) Output: chu trình Euler C của G 1.Chọn đỉnh v ∈ X; C = {v} 2. Lặp trong khi G còn cạnh 1. Chọn đỉnh v ∈ C còn cạnh trong G 2. Tìm chu. bất kỳ cho vào C. 2. Lặp trong khi G vẫn còn cạnh 1. Chọn cạnh e nối đỉnh vừa chọn với một đỉnh kề với nó theo nguyên tắc: chỉ chọn cầu nếu không còn cạnh nào khác để chọn. 2. Bổ sung e và đỉnh. d + (x)=d - (x) ∀x ∈ X. ĐỊNH LÝ EULER VÍ DỤ a b c d e a b c d a b c d e (G 1 ) (G 2 ) (G 3 ) Liên thông và có 2 đỉnh bậc lẻ có dây chuyền Euler: bacdaedbc Liên thông và các đỉnh đều có bậc