Các dạng tập liên quan đến khảo sát hàm số Xét tính đơn điệu hàm số chứa tham số Tìm điều kiện hàm số có cực trị điểm cực trị thoả mÃn tính chất Giá trị lớn giả trị nhỏ hàm số Tiếp tuyến đồ thị hàm số Điểm cố định họ hàm số Sự tương giao hai đồ thị Biện luận số nghiệm PT dưa vào đồ thị hàm số Khoảng cách BIEN LUAN SO NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ BTập : Cho haøm số y = x3 - 3x + ( C) 1)Khảo sát hàm số vẽ đồ thị ( C ) 2) Biện luận số nghiệm PT : x – 3x + – m = GIẢI Miền xác định : D = R x=1Vx=-1 y’ = 3x2 – =0 ⇔ Bảng biến thieân: x − ∞ y’ + y −∞ y’’ = 6x=0 x y’’ y ⇔ x=0 −∞ -1 CĐ 0 + lồi lõm Điểm uốn I ( 0; ) Điểm đặc biệt : x = y=3 x=-2 ⇒ ⇒ y=-1 -1 CT +∞ + +∞ +∞ Đồ thị : f(x) CĐ ( C ): y = x3 - 3x + f(x)=x^3-3x+1 I x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -1 -2 0.5 1.5 2.5 CT -3 -4 3.5 4.5 Dùng đồ thị ( C ) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình : x3 - 3x + – m = GIAÛI ( C ): y = x3 - 3x + f(x) f(x)=x^3-3x+1 d: y = m x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 x3 - 3x + – m = (*) =0 x3 - 3x + = m (1)  (d) (C) Đây phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị : Có nhận xé3 phương trình (1) ì (C ): y = x t - x + ï ï giao điểm hai đồ thị với Số í ï d : y = m phương với trục Ox ï nghiệm phương trình hoành độ ỵ số Dựa vào đồ thị ( giao điểm hai đồ thị C), ta có : -1 ⇔ -2 -3 -4 Phương pháp:Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình f(x,m)=0 ( * ) ? Biện luận đồ thị số nghiệm phương trình f(x,m)=0 ( * )  Chuyển vế phương trình (*) thành dạng f(x)=g(m)  Vẽ (C) : y = f(x) vẽ d : y = g(m) phương với Ox hệ trục tọa độ (thường (C) vẽ phần trước) Số giao điểm d (C) số nghiệm (1) Dùng đồ thị ( C ) để biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình : x3 - 3x + – m = GIAÛI ( C ): y = x3 - 3x + f(x) f(x)=x^3-3x+1 d: y = m x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 x3 - 3x + – m = (*) =0 x3 - 3x + = m (1)  (d) (C) Đây phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị : Có nhận xé3 phương trình (1) ì (C ): y = x t - x + ï ï giao điểm hai đồ thị với Số í ï d : y = m phương với trục Ox ï nghiệm phương trình hoành độ ỵ số Dựa vào đồ thị ( giao điểm hai đồ thị C), ta có : -1 ⇔ -2 -3 -4 Đồ thị : f(x) CĐ ( C ): y = x3 - 3x + f(x)=x^3-3x+1 I x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -1 -2 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 CT -3 d : y=m -4 Đồ thị : f(x) CĐ ( C ): y = x3 - 3x + f(x)=x^3-3x+1 I x1 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 x -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 -1 -2 -3 -4 CT 2.5 3.5 4.5 y = m< - Số giao điểm củ n : Biện luậa (C) d m 3 I x1 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 -1 -2 -3 -4 0.5 1.5 2.5 x 3.5 4.5 CT Số giao điểm (C) d Biện luận : m > : (1) có nghiệm 14 Bảng biện luận: Biện luận : Số m Số gđ (C) m3 có : (1)2 nghiệm ĐỒ THỊ f(x) f(x)=x^3-3x+1 3 x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -1 1.5 2.5 3.5 4.5 -1 -2 2 1 -3 -4 15 Những sai lầm mà học sinh thường mắc phảI làm tập biện luận PT dựa vào đồ thị Chưa nắm kiến thức tương giao hai đồ thị nên không hiểu lại phảI biến đổi PT : f(x, m) =  f(x) = g(m) Häc sinh th­êng coi PT : f(x) = g(m) gièng nh­ PT f(x) = m phần lí thuyết xây dựng Học sinh khá, giỏi thường cọi m ẩn số nên có suy nghĩ hàm số y = g(m) không phảI đường thẳng song song víi trơc ox Khi biÕn ®ỉi PT: f(x, m) =  f(x) = g(m) cã thĨ lµm thay đổi Điều kiện PT ( thực phÐp chi ®a thøc ) 16 BiƯn ln sè ®iĨm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x Phương pháp: Gọi (C): (C) 0x có ®iĨm chung ∆ y' ≤ y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y ' = 3ax + 2bx + c Hc ∆ y ' >    ymax ymin >  17 BiƯn ln sè ®iĨm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x Phương pháp: Gọi (C): (C) 0x có ®iĨm chung y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y ' = 3ax + 2bx + c y cã cùc trÞ b»ng ∆ y ' >    ymax ymin =  18 BiÖn luËn sè điểm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x Phương pháp: Gọi (C): (C) 0x cã ®iĨm chung y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y ' = 3ax + 2bx + c y cã cực trị trái dấu y ' >   ymax ymin <  19 BiÖn luận số điểm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x Phương pháp: Gọi (C): y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y ' = 3ax + 2bx + c (C) cắt 0x điểm có hoành ®é d­¬ng y(0) = d  y ' = co nghiem x1 < x2  y y = y ( x ) y ( x ) <  max  a.d = a y (0) < 0 < x1 < x2  20 Biện luận số điểm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoành 0x Phương pháp: Gọi (C): y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) y ' = 3ax + 2bx + c (C) cắt 0x điểm có hoành độ âm y(0) = d y ' = co nghiem x1 < x2  y y = y ( x ) y ( x ) <  max  a.d = a y (0) >  x1 < x2 <  21 CÂU HỎI 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số x2 + x + y= x+ 2) Định m để phương trình: x2 – m x + – m = có nghiệm âm 22 Đồ thị f(x) CT x2 + x + (C ) : y = x+ f(x)=(x^2+x+4)/(x+1) f(x)=x x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 I -2 -3 -4 CĐ -5 -6 Định m để phương trình: -7 x -8 = x2 – m x + – m = y -9 coù nghiệm âm -10 x=-1 23 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x2 + x + (C ) : y = GIAÛI x+ x2 – m x + – m = ( ) x2 + = m x + m x2 + x + = mx + m + + x x2 + x + = m(x + 1) + (1 + x) x2 + x + = (x + 1) (m + 1) ( ) ( x = - không nghiệm phương trình (2) ) x VT + ¹ VP = + x =4 (2) = m + 1(2)(3) x+ (3) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị (C) đường thẳng d: y = m + phương với trục Ox Dựa vào đồ thị : 24 ⇔ x2 + x + Đồ thị (C ) : y = x+ x1 x =-3 x2 f(x) CT x1 f(x)=(x^2+x+4)/(x+1) f(x)=x y=m+1 y=m+1> x -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 I -2 x2 – m x + – m = -3 nghiệm -4 có mộty=m+1= - CĐ -5 âm + ≤ −5 ∨ m + > m -6 y= m+1< - -7 x -8 = y -9 -10 ⇔ ⇔ m ≤ −6 ∨ m > x=-1 25 ... Học sinh khá, giỏi thường cọi m ẩn số nên có suy nghĩ hàm số y = g(m) không phảI ®­êng th¼ng song song víi trơc ox Khi biÕn ®æi PT: f(x, m) =  f(x) = g(m) làm thay đổi Điều kiện PT ( thùc hiƯn... -2 -3 -4 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 x3 CT Số giao điểm (C) d Biện luận : -1 < m < 3: (1) có ba nghiệm 12 Đồ thị : f(x) CÑ ( C ): y = x3 - 3x + f(x)=x^3-3x+1 y=m=3 I x -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 x