Bài 3 : Giáo viên : Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT I - ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = M kí hiệu : M = max f(x) D b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = m kí hiệu : m = min f(x) D Ví dụ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : 1 5y x x = − + trên khoảng ( 0 ; + ∞) Giải : Trên (0 ; + ∞) có : 2 2 2 1 1 ' 1 x y x x − = − = 2 ; ' 0 1 0 1y x x= ⇔ − = ⇔ = Bảng biến thiên : x 0 1 + ∞ y’ y +−− 0 + ∞ -1 + ∞ Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1) (0 ; + ∞) Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞) II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Đặt vấn đề : Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số : a) y = x 2 trên [-3 ; 0] b) 1 1 x y x + = − trên [3 ; 5] a) y = x 2 trên [-3 ; 0] Giải : Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x và y’ = 0 ⇔ x = 0 Bảng biến thiên : x -3 0 y’ y − − 0 9 0 [ ] / 3;0y ↓ − [ ] 3;0 max 9y − = [ ] 3;0 min 0y − = 1 ) 1 x b y x + = − trên [3 ; 5] Trên [3 ; 5]) có : y’ = ( ) 2 2 1x − − y’ < 0 Bảng biến thiên : x 3 5 y’ y − − 2 3/2 [ ] / 3;5y ↓ [ ] 3;5 max 2y = [ ] 3;5 3 min 2 y = 1. Định lý : Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó . Thừa nhận định lý này Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên 7 ) ; ) ;2 6 6 6 a b π π π π             Giải : a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn ;2 6 π π       O x y | | | | | 1 − -1 − 6 π 2 π π 3 2 π 2 π | 7 6 π 1 2 1 2 − Tính các giá trị hàm số Trên 7 ; 6 6 D π π   =     Có : 1 6 2 y π   =  ÷   1 2 y π   =  ÷   7 1 6 2 y π   = −  ÷   Từ đó có : max 1 D y = 1 min 2 D y = − b) Tương tự xét trên ;2 6 E π π   =     Có : 1 6 2 y π   =  ÷   1 2 y π   =  ÷   3 1 2 y π   = −  ÷   ( ) 2 0y π = max 1 E y = min 1 E y = − 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn Cho hàm số : 2 2 2 1 1 3 x neu x y x neu x  − + − ≤ ≤ =  < ≤  Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính . O x y | | | -2 | -1 -2 1 2 3 -1 1 2 3 [ ] 2;3 max 3y − = [ ] 2;3 min 2y − = − Nêu cách tính ( ) 2 2y − = − ( ) 0 2y = ( ) 1 1y = ( ) 3 3y = Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 ) QUY TẮC : 1) Tìm các điểm x 1 ; x 2 ; … x j trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định 2) Tìm f(a) ; f(x 1 ) ; f(x 2 ) ; … ; f(x j ) ; f(b) 3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có ( ) [ ] ; max a b M f x = ( ) [ ] ; min a b m f x = Chú ý : Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó . Ví dụ : ( ) 1 f x x = Không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1) Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1 khoảng như ví dụ sau : Ví dụ 3 . Cho tấm tôn nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau , rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất . a ⇒ Giải : Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ ⇒ 0 2 a x < < Thể tích khối hộp là : ( ) ( ) 2 2 0 2 a V x x a x x   = − < <  ÷   Ta phải tìm x 0 ∈ 0; 2 a    ÷   sao cho V(x 0 ) có giá trị lớn nhất . Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên 0; 2 a    ÷   ; V’(x) = 0 ⇔ 6 a x = Bảng biến thiên : x 0 V’(x) V(x) 6 a 2 a 0 + ─ 0 3 2 27 a 0 Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất . ( ) 3 0; 2 2 max 27 a a V x    ÷   = 6 a x = *Ví dụ . Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) 2 1 1 f x x = − + Giải : Hàm số xác định với mọi x ∈ R ; f’ (x)= 0 ⇔ 0x = Bảng biến thiên : x - ∞ f’ f 0 +∞ 0 1− 0 ─ 0 Vậy hàm số : ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 x f x x = + + ( ) min 1 R f x = − 0x = Bài trắc nghiệm : Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x 4 - 3x 2 + 2 trên đọan [ 0 ; 3 ] A 16 B 26 C 36 D 56 Bài tập về nhà : Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định . II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Đặt vấn đề : Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số : a) y = x 2 . lý : Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó . Thừa nhận định lý này Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin. khoảng (0 ; + ∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1) (0 ; + ∞) Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; +