Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Tên đề tài : HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN Phần : “ Giải toán bằng cách lập phương trình ” A- ĐẶT VẤN ĐỀ Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn toán nói riêng. Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng. Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh. Để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách báo đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn. Tuy thực tế một số ít giáo viên chúng ta chỉ chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của học sinh. Thông qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng kiến thức để giải bài toán bằng cách lập phương trình của bộ môn đại số lớp 9. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần giải phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để lập phương trình của bài toán. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9, bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các đại lượng, yếu tố trong bài toán nên không lập được phương trình. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải không được. 1 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập. Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn toán lớp 9, bản thân tôi khi dạy phần “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc học sinh giải bài toán phần này. Mặt khác khi giảng dạy phần này giáo viên và học sinh cần hiểu rằng đó là sự kế thừa của toán lớp 8. Chỉ khác chăng đó là quá trình giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai hay hệ phương trình mà thôi. Do đó, trong phạm vi nghiên cứu. Bản thân tôi mong rằng: nếu có sự sáng tạo của quý thầy giáo, cô giáo thì đề tài có thể giúp học sinh lớp 8,9 phát triển tư duy, cũng có thể làm dùng đề tài để dạy tự chọn môn toán 9, chủ đề bám sát. Cũng từ thực tế giảng dạy, tôi luôn suy nghĩ từng bước để hoàn thiện phương pháp của mình, nên bản thân tôi rất nhiều năm nghiên cứu đề tài này. Mặt khác, theo suy nghĩ của riêng tôi, mỗi người chỉ cần tập trung suy nghĩ thấu đáo một vấn đề và nhiều người góp lại chắc chắn hiệu quả giáo dục qua từng năm được sẽ được nâng lên rõ rệt. Từ suy nghĩ đó tôi tiếp tục thực hiện đề tài mà trước đây tôi đã thực hiện. Tuy nhiên, bản thân tôi cố gắng hết sức mình nghiên cứu bổ sung nội dung mới để đề tài đáp ứng chương trình đổi mới sách giáo khoa lớp 8, 9 và cả chương trình tự chọn lớp 9. Mong quý thầy cô giáo hết sức thông cảm khi đọc đề tài này. Trên cơ sở nghiên cứu đó tôi đã rút ra được một vài kinh nghiệm nhỏ để giúp các em có được kỹ năng lập phương trình khi giải bài toán bằng cách lập phương trình. B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở lớp 9, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình rồi giải phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận. Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn. “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” , đây là một trong những dạng toán lập phương trình cơ bản mà lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Nên đòi hỏi phải hướng dẫn cụ thể để học sinh nắm một cách chắc chắn. I- ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH : Trước hết phải cho các em nắm được lược đồ để “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” Bước 1 : Lập phương trình gồm các công việc : 2 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 - Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn số (Nếu có) - Dùng ẩn số và các số đã biết cho ở đề bài để biểu thị các số liệu khác, diễn giải các bộ phận hình thành phương trình , hệ phương trình. - Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài, mà lập phương trình, hệ phương trình. Bước 2 : Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy theo từng dạng phương trình mà chọn cách giải thích thích hợp và ngắn gọn. Bước 3 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời. Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không,có thể thử lại kết quả đó với cả nội dung bài toán (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ) sau đó trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vị ). Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số. Xác định đơn vị đo và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghĩa thực tiễn. II- PHÂN TÍCH BÀI TOÁN : - Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải phân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Ở lớp 9 các em thường gặp các loại bài như : Loại toán : 1- Bài toán về chuyển động. 2- Bài tập năng suất lao động. 3- Bài toán liên quan đến số học và hình học. 4- Bài toán có nội dung vật lý - hóa học. 5- Bài toán về công việc làm chung và làm riêng. 6- Bài toán về tỷ lệ, chia phần. Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng. Cần hướng dẫn cho các em như tóm tắt đề bài như thế nào để làm toán, lên dạng tổng quát của phương trình, ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên được dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập phương trình được dễ dàng. Đến đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi. Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập phương trình, các em không biết chọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn”. Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghĩa thực tế của bài song cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn. 3 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu như thế nào? lúc sau như thế nào? * Chẳng hạn khi giải bài toán : Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không chỉ hoàn thành trước kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28). Phân tích: Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày ( đã biết), Tổng số áo may và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan hệ: Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may. Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giỡa các đại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng) Số áo may trong1 ngày số ngày may Tổng số áo may Theo kế hoạch 90 x 90x Đã thực hiện 120 x - 9 120(x - 9) Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi phương trình: 120(x - 9) = 90x +60. * Hoặc khi giải bài toán:“Số lượng trong thùng thứ nhất gấp đôi lượng dầu trong thùng thứ hai. Nếu bớt ở thùng thứ nhất 75 lít và thêm vào thùng thứ hai 35 lít thì số dầu trong hai thùng bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?” Tóm tắt: Lúc đầu : - Số dầu thùng I bằng 2 lần số dầu thùng II - Bớt thùng I đi 75lít. - Thêm vào thùng II là 35 lít. Lúc sau : - Số dầu thùng I bằng số dầu thùng II. Tìm lúc đầu : Thùng I ? (lít), thùng II ? (lít) - Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau : + Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là 2 thùng dầu). + Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào? (Số dầu T 1 = 2T 2 ) + Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (Thùng I bớt 75lít, thùng II thêm 35lít). + Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao (Số dầu T 1 = số dầu T 2 ). + Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng? (Số lít). 4 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 + Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết. Ở đây cần phải ghi rõ cho học sinh thấy được là bài toán yêu cầu tìm số dầu mỗi thùng lúc đầu, có nghĩa là 2 đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn số lít dầu thùng thứ nhất hoặc số lít dầu thùng thứ hai lúc đầu là ẩn. - Số chọn số lít dầu thùng thứ II lúc đầu là x (lit). - Điều kiện của ẩn? (x > 0) (Vì số lít dầu phải là số dương). - Biểu thị đại lượng khác qua ẩn? Số dầu thùng thứ I lúc đầu là 2x(lít). Chú ý : Thêm (+), bớt (-). - Số dầu thùng I khi bớt 75 lít ? (2x – 75) - Số lit dầu thùng II khi thêm 35 lit ? (x + 35) - Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng lúc sau là (số lit dầu 2 thùng bằng nhau) ta lập phương trình. x + 35 = 2x –75 (1) - Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương trình không phải là khó, song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biến đổi, giải theo các bước đã được học. Sau khi giải xong, tìm được giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đối chiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán. - Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem còn có thể giải theo cách nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn số dầu thùng 1 lúc đầu là ẩn. Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các em sẽ lập được phương trình bài toán : x - 75 = 2 1 x + 35 (2) Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với cách giải thứ nhất thì giải phương trình nào dễ hơn. Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì khi giải phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình rồi khử mẫu, điều này cũng gây lúng túng cho các em. Từ đó cần chốt lại cho học sinh là ta nên chọn số lít dầu thùng II lúc đầu là ẩn, vì nếu chọn số dầu thùng I lúc đầu là ẩn thì lập phương trình có dạng phân số, ta giải khó khăn hơn. Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này gấp mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là ẩn để bớt khó khăn khi giải phương trình. Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn : “nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung thực tế bài toán cho. 5 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Ở chương trình lớp 8, 9 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển động trên dòng nước. Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng. Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức S= v.t . Từ đó suy ra: s v = t ; s t = v Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy. Thì : V xuôi = V Riêng + V dòng nước V ngược = V Riêng - V dòng nước * Ta xét bài toán sau : Để đi đoạn đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3giờ 30’; ô tô đi hết 2giờ 30’ phút. Tính quãng đường AB. Biết vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h. Đối với bài toán chuyển động, khi ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ra vẽ sơ đồ minh họa thì học sinh dễ hình dung bài toán hơn Tóm tắt: Đoạn đường AB t 1 = 3g 30 phút t 2 = 2g 30 phút V 2 lớn hơn V 1 là 20km/h (V 2 – V 1 = 20) Tính quãng đường AB=? - Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy) - Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian. - Các số liệu đã biết: + Thời gian xe máy đi : 3 giờ 30’ + Thời gian ô tô đi :2 giờ 30’ + Hiệu hai vận tốc : 20 km/h - Số liệu chưa biết: V xe máy ? V ôtô ? S AB ? * Cần lưu ý : Hai chuyển động này trên cùng một quãng đường không đổi. Quan hệ giữa các đại lượng s, v, t được biểu diễn bởi công thức: s = v.t. Quan hệ giữa v và t là hai đại lượng tỷ lệ nghịch. Như vậy ở bài toán này có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên có thể chọn x (km) là chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > 0 Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua các đại lượng đã biết. Vận tốc xe máy : 3,5 x (km/h) 6 A B Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Vận tốc ôtô : 2,5 x (km/h) Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng(V 2 – V 1 = 20) 20 2,5 3,5 x x - = - Giải phương trình trên ta được x = 175. Giá trị này của x phù hợp với điều kiện trên. Vậy ta trả lời ngay được chiều dài đoạn AB là 175km. Sau khi giải xong, giáo viên cần cho học sinh thấy rằng : Như ta đã phân tích ở trên thì bài toán này còn có vận tốc của mỗi xe chưa biết, nên ngoài việc chọn quãng đường là ẩn, ta cũng có thể chọn vận tốc xe máy hoặc vận tốc ôtô là ẩn. - Nếu gọi vận tốc xe máy là x (km/h) : x > 0 Thì vận tốc ôtô là x + 20 (km/h) - Vì quãng đường AB không đổi nên có thể biểu diễn theo hai cách (quãng đường xe máy đi hoặc của ôtô đi). - Ta có phương trình : 3,5 x = 2,5 (x + 20) Giải phương trình trên ta được: x = 50. Đến đây học sinh dễ mắc sai lầm là dừng lại trả lời kết quả bài toán : Vận tốc xe máy là 50 km/h. Do đó cần khắc sâu cho các em thấy được bài toán yêu cầu tìm quãng đường nên khi có vận tốc rồi ra phải tìm quãng đường. - Trong bước chọn kết quả thích hợp và trả lời, cần hướng dẫn học sinh đối chiếu với điều kiện của ẩn, yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn như bài toán trên, ẩn chọn là vận tốc của xe máy, sau khi tìm được tích bằng 50, thì không thể trả lời bài toán là vận tốc xe máy là 50 km/h, mà phải trả lời về chiều dài đoạn đường AB mà đề bài đòi hỏi. Tóm lại : Khi giảng dạng toán chuyển động, trong bài có nhiều đại lượng chưa biết, nên ở bước lập phương trình ta tùy ý lựa chọn một trong các đại lượng chưa biết làm ẩn. Nhưng ta nên chọn trực tiếp đại lượng bài toán yêu cầu cần phải tìm là ẩn. Nhằm tránh những thiếu sót khi trả lời kết quả. Song thực tế không phải bài nào ta cũng chọn được trực tiếp đại lượng phải tìm là ẩn mà có thể phải chọn đại lượng trung gian là ẩn. - Cần chú ý 1 điều là nếu gọi vận tốc ôtô là x (km/h) thì điều kiện x>0 chưa đủ mà phải x > 20 vì dựa vào thực tế bài toán là vận tốc ôtô lớn hơn vận tốc xe máy là 20 (km/h) Đối với bài toán “làm chung – làm riêng một công việc” giáo viên cần cung cấp cho học sinh một kiến thức liên quan như : - Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị công việc biểu thị bởi số 1. - Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian. 7 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 A : Khối lượng công việc Ta có công thức A = nt ;Trong đó n : Năng suất làm việc t : Thời gian làm việc - Tổng năng suất riêng bằng năng suất chung khi cùng làm. - Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể. Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán. Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8) 2 vòi cùng chảy 5 4 4 giờ đầy bể 1 giờ vòi 1 chảy bằng 2 1 1 lượng nước vòi 2 Hỏi : mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ? - Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau : + Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể. + Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước) + Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy). + Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của mỗi vòi. + Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi vòi). - Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể. Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể. Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) Điều kiện của x ( x > 4 4 5 giờ = 24 5 giờ) - Bài toán cho mối quan hệ năng suất của hai vòi chảy. Nên tìm : + Năng suất của vòi 1 chảy là? 1 x (bể) + Năng suất vòi 2 chảy là ? 3 2x (bể) + Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ : 24 5 1 : = 5 24 (bể) Ta có phương trình : 1 x + 3 2x = 5 24 8 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Đây là dạng phương trình có ẩn mẫu, ta vận dụng các bước để giải phương trình trên, ta được x = 12. Vậy thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 12 giờ. - Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của một vòi thì ta tìm năng suất của vòi 1 là : 3 2.12 = 8 1 (bể) Từ đó ta tìm được thời gian là 8 giờ. * Ở chương trình đại số lớp 8, 9 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp học sinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một số kiến thức liên quan. - Cách viết số trong hệ thập phân. - Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điều kiện của các chữ số. Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị. Tìm số đã cho. Học sinh phải nắm được : - Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số). - Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào? (Tổng 2 chữ số là 16). - Vị trí các chữ số thay đổi thế nào? - Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao? - Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị). - Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ số hàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị). Nếu gọi chữ số hàng chục là x Điều kiện của x ? (x ∈ N, 0 < x < 10). Chữ số hàng đơn vị là : 16 – x Số đã cho được biết 10x + 16 - x = 9x + 16 Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết. 10 ( 16 – x ) + x = 160 – 9x Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình : (160 – 9x) – (9x + 16) = 18 - Giải phương trình ta được x = 7 (thỏa mãn điều kiện). Vậy chữ số hàng chục là 7. Chữ số hàng đơn vị là 16 – 7 = 9. 9 Một số kinh nghiệm HD học sinh ôn tập “Giải toán bằng cách lập phương trình” - 2010 Số cần tìm là 79. III- MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH VỀ CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ : Trong phần soạn một số bài toán điển hình của từng loại, bản thân tôi không có tham vọng gì lớn chỉ mong đó là tài liệu tham khảo các em học sinh luyện tập thêm. Do đó, bản thân tôi cũng đúc rút từ các sách do quý thầy giáo , quý cô giáo đi trước đã dày công nghiên cứu để biên soạn và viết lại. Mong quý thầy cô và các em học sinh vui lòng góp ý. Loại 1 : Bài toán về chuyển động Ví dụ 1 :Nhà Hòa và nhà Bình cùng nằm trên đường quốc lộ cách nhau 7km. Nếu Hòa và Bình đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều thì sau 4 1 giờ họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của Hòa bằng 4 3 vận tốc của Bình. Lời giải : Gọi vận tốc của Bình là x (km/h)(x > 0).vận tốc của Hòa là 4 3 x (km/h). Trong 1 x giờ, Bình đi được 1 x 4 (km). Hòa đi được 1 3 . x 4 4 (km) Ta có phương trình : 1 x 4 + 1 3 . x 4 4 =7 Giải ra được : Þ 7 1 x. = 7 x = 16 4 4 3 3 x = 16. = 12 4 4 Thử lại : 1 3 16. + 12. = 12 4 4 Vậy vận tốc của Hòa là 12 (km/h), của Bình là 16 (km/h). Ví dụ 2 : Hai ôtô vận tải khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km một giờ, nên đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Giải : Gọi vận tốc của xe thứ nhất là : x km/h (với x > 10). Vận tốc của xe thứ hai là (x – 10) km/h. Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là 120 x giờ, xe thứ hai đi từ A đến B mất 120 -10x giờ, và như vậy lâu hơn 1giờ. Ta có phương trình : 120 x + 1 = 120 -10x 10 [...]... quan tõm v ch o Mt khỏc , 20 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 vi cỏch trỡnh by nh trờn (nu thnh cụng) Tụi thit ngh , chỳng ta cú th ỏp dng cho mt s phn khỏc nh:Gii phng trỡnh quy v bc hai,H thc Viet v ỏp dng ca nú.Cỏc phng phỏp chng minh hỡnh hc Tụi tin chc rng nhng kinh nghim ca tụi cng ch l mt trong nhng bin phỏp nh bộ trong vụ vn kinh nghim c ỳc kt qua sỏch v,ỷ... thu v ca cỏc em, chm v cha tng bi gii ca mt s em, sa tng cõu vn, phộp tớnh õy l mt vic lm khụng khú, tuy nhiờn nú ũi hi giỏo viờn s tn tõm, tn ty chu khú trong cụng vic D - KT QU V BI HC KINH NGHIM Trờn õy ch l mt vi kinh nghim nh c rỳt ra t thc t nhng nm ging dy ca bn thõn tụi Phn gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh cng rt a dng, tuy nhiờn vi kh nng ca mỡnh, tụi ch cp n mt s dng n gin m cỏc em thng gp... liờn quan n s hc v hỡnh hc Chỳ ý v cu to thp phõn ca mt s : mi n v ca hng ny ln hn (hoc nh hn) mi n v ca hng lin sau nú (hoc lin trc nú) 10ln Chng hn, s cú ba ch s abc bng : abc = 100a + 10b + c 12 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 trong ú a, b, c l cỏc s t nhiờn t 0 n 9, riờng a t 1 n 9 Vớ d 1 : Tỡm mt s cú hai ch s, bit rng tng hai ch s ú bng 7 v nu ta vit hai ch... bit rng nu gim chiu di 10m v tng chiu rng lờn 4m thỡ din tớch vn khụng i 2- Trong mt tam giỏc vuụng, ng cao thuc cnh huyn di 12cm v chia cnh huyn thnh hai on hn kộm nhau 7cm Tớnh di cnh huyn 13 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 Loi 4 : Bi toỏn cú ni dung vt lý, húa hc lp c phng trỡnh, ta phi da vo cỏc cụng thc, nh lut ca vt lý, húa hc liờn quan n nhng i lng cú... hai cht lng cú khi lng riờng khỏc nhau thỡ khi lng riờng ca hn hp cng s khỏc nhng th tớch ca mi hn hp thỡ bao gi cng bng tng th tớch ca hai cht lng em trn m cụng thc tớnh th tớch: V = Gii : 14 M D Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 Gi khi lng riờng ca cht lng th nht l x (kg/m 3) thỡ khi lng riờng ca cht lng th hai l (x - 100) kg/m3 iu kin x > 100 So sỏnh th tớch ca... vic n Vớ d 1 : Hai i cụng nhõn xõy dng nu lm chung thỡ mt 6 ngy s lm xong cụng trỡnh Nu lm riờng thỡ i I phi lm lõu hn i II l 5 ngy Hi mi i lm riờng thỡ mt bao nhiờu ngy s xong cụng trỡnh Gii : 15 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 Gi x l s ngy m i I phi lm mt mỡnh hon thnh cụng trỡnh Nh vy i II lm riờng phi mt x - 5 ngy iu kin x > 5 Mi ngy i I lm c lm c 1 cụng trỡnh,... xut cựng o mt con mng Nu mi i lm riờng c con mng thỡ tớnh ra c hai i s mt tt c 25 ngy mi xong Nu gúp sc lm chung thỡ c hai i ch mt 6 ngy Hi nu lm mt mỡnh thỡ mi i phi mt bao lõu o xong mng ? 16 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 11 gi thỡ y b Nu chy 12 3- Hai vũi nc cựng chy vo b khụng cú nc, sau 2 riờng thỡ vũi th nht s y b nhanh hn vũi th hai 2 gi Hi mi vũi chy... phi ch x 120 120 120 tn v nh th phi ch thờm 16 tn Ta cú phng trỡnh : = 16 x- 2 x- 2 x Gii phng trỡnh :120x - 120(x - 2) = 16x (x - 2) 16x2 - 32x - 240 = 0 x2 - 2x - 15 = 0 = 1 + 15 = 16 ' = 4 17 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 Phng trỡnh cú nghim l x1 = 5 v x = -3 Ch cú giỏ tr x =5 l thớch hp vi iu kin nờu Th li: 120 : 5 =24 (tn) ; 5-2=3 (xe) 120 : 3 =40 (tn)... khỏc, din gii cỏc b phn hỡnh thnh phng trỡnh, h phng trỡnh h-Lp phng trỡnh gm cỏc cụng vic : b-Gii phng trỡnh (h phng trỡnh) Tựy theo tng dng phng trỡnh m chn cỏch gii thớch thớch hp v ngn gn. 18 Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 *Hoc vi bi toỏn :Nu hai vũi cựng chy vo b thỡ sau 1 gi 20 phỳt thỡ y b Nu m vũi th nht trong 10 phỳt v vũi th hai trong 12 phỳt thỡ y...Mt s kinh nghim HD hc sinh ụn tp Gii toỏn bng cỏch lp phng trỡnh - 2010 Hay : 120 (x 10) + x (x 10) = 120x x2 10x 1200 = 0 = 25 + 1200 = 1225 = 352 ; Phng trỡnh cú hai nghim l : x1 = 40 ' = 35 ; x2 = - . ra 3x = 84 0 hay x = 280 , từ đó y = 600 - 280 hay y = 320. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện đã nêu. Thử lại : 280 + 320 = 600 ; 320 + 80 = 2 . 200 = 2 ( 280 - 80 ) Vậy cửa hàng thứ nhất có 280 lít và. 2) + x (x - 2) = 40x x 2 - 2x - 80 = 0 ∆‘ = 1 + 80 = 81 ⇒ 9' =∆ Phương trình có hai nghiệm là x 1 = 10; x 2 = - 8 Vì x > 0 nên ta loại nghiệm âm. Vậy khối nước nhỏ được đun nóng. y = 600. Sau khi chuyển 80 lít sang cửa hàng thứ hai có (y + 80 ) lít. Theo đề bài thì y + 80 = 2(x - 80 ). Như vậy ta có hệ phương trình: x + y = 600 y + 80 = 2(x - 80 ) Giải hệ phương trình