Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 cực hay

64 1.3K 1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 cực hay

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n N n Z) a/ Để chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố cïng råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt số + Trong k số liên tiếp tồn số bội k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi số tự nhiên n Giải: Ta có 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: Tồn bội số (nên A M ) Tồn bội (nên A M ) Tồn hai bội (nên A M ) Tồn béi cđa ®ã cã béi cđa (nªn A M 16) VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A M5.7.9.16= 5040 VÝ dơ 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyên a : a/ a3 a chia hết cho b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) ã Cách 1: Ta xết trờng hỵp vỊ sè d chia a cho NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M5 (1) NÕu a= 5k ± th× a2-1 = (5k2 ± 1) -1 = 25k2 ± 10k M5 ⇒ A M5 (2) NÕu a= 5k ± th× a2+1 = (5k ± 2)2 + = 25 k2 ± 20k +5 ⇒ A M5 (3) Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M5, n Z Cách 2: Phân tích A thành mét tỉng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M5 (tÝch cđa số nguyên liên tiếp ) 5a (a2-1) M5 Do a5-a M5 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a tích số nguyên liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M5 ⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M5 Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M5 ⇒ a5-a M5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cđa luỹ thừa ta sử dụng đẳng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9) Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 M17 VËy A M17 - NÕu n lẻ : A = 16n = 16n + mà n lẻ 16n + M16+1=17 (HĐT 9) A không chia hết cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo công thức Niu Tơn) Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17 Nếu n lẻ A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết ã VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004 .2004 Giải: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 a2004 = 2004 2004, 2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gọi hai số am an ( ≤ n nªn 3n – > Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Ta lại có: 3n < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 5n 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – = ⇒ n = Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 5n 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố c/ A = n3 + 3n Do A số tự nhiên nên n(n + 3) M4 Hai số n n + chẵn Vậy n , hc n + chia hÕt cho - Nếu n = A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, không sè nguyªn tè - NÕu n + = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín nên A hợp số Vậy với n = n3 + 3n số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai häc sinh Ngêi kh¸ch hái: Cã lÏ hai em b»ng tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách đà suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a ∈ {1; 3; 5; 7; 9} HiĨn nhiªn Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 Chuyờn 2: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ I.Một số dấu hiệu chia hết Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125 an an −1 a1a0 M2 ⇔ a0 M2 ⇔ a0 = 0; 2; 4;6;8 an an −1 a1a0 M ⇔ a0 = 0;5 an an −1 a1a0 M4 ( hc 25) ⇔ a1a0 M4 ( hc 25) an an −1 a1a0 M ( hc 125) ⇔ a2 a1a0 M ( hc 125) 8 Chia hÕt cho 3; an an −1 a1a0 M (hc 9) ⇔ a0 + a1 + + an M ( hc 9) NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( hc 9) DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: 11  Cho A = a5 a4 a3a2 a1a0 AM ⇔ ( a0 + a2 + a4 + ) − ( a1 + a3 + a5 + )  M  11 4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101 Giáo án BDHSG Toán 101  A = a5 a4 a3 a2 a1a0 AM ⇔ ( a1a0 + a5a4 + ) − ( a3a2 + a7 a6 + )  M  101 Năm học : 2011-2012 II.Ví d Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y ®Ĩ: a) 134 x yM45 b) 1234 xyM72 Gi¶i: a) Để 134 x yM45 ta phải có 134 x y chia hÕt cho vµ ⇒ y = hc y = Víi y = từ 134 x 40M ta phải có 1+3+5+x+4 M9 ⇒ x + 4M9 ⇒ x = ®ã ta cã sè 13554 víi x = từ : 134 x yM ta phải có 1+3+5+x+4 +5 M9 ⇒ x M ⇒ x = 0; x = lóc ®ãta cã sè: 135045; 135945 b) Ta cã 1234 xy = 123400 + xy = 72.1713 + 64 + xy M72 ⇒ 64 + xy M72 V× 64 ≤ 64 + xy ≤ 163 nên 64 + xy 72 144 + Víi 64 + xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408 + Víi 64 + xy =14 th× xy =80, ta có số 123480 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N = x36 y5M 1375 Gi¶i: Ta cã: 1375 = 11.125 N M ⇔ y 5M ⇔ y = 125 125 N = x3625M ⇔ ( + + x ) − ( + + ) = 12 − x M ⇔ x = 11 11 Vậy số cần tìm 713625 Ví dụ a) 42 43 Hái sè A1991 = 1991 1991 cã chia hết cho 101 không? 1991so1991 101 Tìm n để An M Giải: a) Ghép chữ số liên tiếp A1991 có cặp số 91;19 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72 M 101 nªn A1991 M101 101 101 101 b) An M ⇔ n.91 − n.19 = 72nM ⇔ nM : II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HẾT A.Tãm t¾t lý thuyÕt b) §Þnh lý vỊ phÐp chia hÕt: a) §Þnh lý Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b , có số nguyên q, r nhÊt cho : a = bq + r víi ≤ r ≤ b , a lµ sã bị chia, b số chia, q thơng số r số d Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nói a chia hÕt cho b hay b lµ íc cđa a, ký hiÖu aM b VËy a M ⇔ cã sè nguyªn q cho a = b.q b b) Tính chất a) Nếu a Mb b Mc a Mc M b) NÕu a Mb vµ b Ma th× a = b c) NÕu a Mb , a Mc (b,c) = a Mbc d) Nếu ab Mc (c,b) = a Mc TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch Giáo án BDHSG Toán aM  m - NÕu  → a + bM m b Mm  - NÕu aM  m  bM  m - NÕu Năm học : 2011-2012 a Mm m  → a b M bM  m → a − bM m - NÕu aMm → a n M m (n số tự nhiên) 3.Mt s tớnh cht khỏc: • Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n • Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! • A Ma A Mb (a;b) = ⇒ AMa.b B.Ví dụ: ( ) Chứng minh với số nguyên dương n ta có: n + n − − 1M 24 Giải: ( ) A = n + n − − =  n ( n + 1)  ( n − 1) ( n + )  M4! = 24    Bài tập tự luyện: Chứng minh a n + 6n + 8n M với n chẳn 48 b n − 10n + M 384 với n lẻ Chứng minh : n + n − 2n M với n nguyên 72 CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn) CMR với số tự nhiên n biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho §ång d thøc I.Lí thuyt ng d: a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > NÕu sè nguyªn a, b cho cïng sè d chia cho m th× ta nãi a đồng d với b theo môđun m Kí hiÖu : a ≡ b(mod m) b) TÝnh chÊt a) a ≡ b(mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c (mod m) b) a Mb(mod m) ⇒ na Mnb(mod m) c) a ≡ b(mod m) ⇒ a n ≡ b n (mod m) d) a ≡ b(mod m) ⇒ ac ≡ bc(mod m) c) Một số đẳng thức: a m − b m Ma − b • a n + b n Ma + b (n lẻ) • n ( a + b ) = B (a ) + b • Giáo án BDHSG Tốn Năm học : 2011-2012 II.Ví dụ: Chứng minh: 29 + 299 M200 Giải: + = = 512 ≡ 112(mod 200) (1) ⇒ = ≡ 112 (mod 200) 112 = 12544 ≡ 12 (mod 200) ⇒ 112 ≡ 12 (mod 200) 12 = 61917364224 ≡ 24(mod 200) 112 ≡ 24.112(mod 200) ≡ 2688(mod 200) ≡ 88(mod 200) ⇒ ≡ 88(mod 200) (2) Từ (1) (2) ⇒ + = 200(mod 200) hay 29 + 299 M200 III,Bài tập tự luyện: Sử dụng đẳng thức đồng dư 1962 1964 (1961 + 1963 + 19651966 + 2) M7 ( 241917 + 141917 ) M19 ( + 99 ) M200 13123456789 − M 183 1979 (1979 − 19811981 + 1982) M1980 (3 + 32 + 33 + + 3100 ) M120 ( 2222 5555 + 5555 2222 ) M7 QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề với n = k ≥ Chứng minh mệnh đề với n = k + II.VÍ DỤ: Chứng minh với số nguyên dương n thì: n + + 82 n +1 M 57 ( ) Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 + 57 57 - Giả sử Ak + 57 nghĩa n + + 82 n +1 M ⇒ Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8 M 57 ⇒ Ak+1 M 57 Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + M 57 *Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n ≥ n0 Thì ta kiểm tra mệnh đề n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n số tự nhiên thì: (5 2n+1 + n+4 + n+1 ) M23 11 + 12 M 133 (5 n+ + 26.5 n + 2n+1 ) M59 ( 2n+1 + 33n+1 ) M5 ( 2n+2 + 24n + 14) M18 LUYỆN TẬP A = 1ab 2c M 1025 Giáo án BDHSG Toán B = abca = ( 5c + 1) Năm học : 2011-2012 E = ab cho ab = ( a + b ) A = ab = ( a + b ) HD: ab = ( a + b ) ⇔ ( a + b )( a + b − 1) = 9a ≤ ⇒ (a + b) 3 ≤ (a + b) = 9k ⇒ k = ⇒ a + b = ⇒ 9a = 9.8 = 72 ⇒ a = b = B = abcd = ( ab + cd ) HD: Đặt x = ab ; y = cd ⇒ 99x = (x + y)(x + y - 1) ≤ 992  x = 99(1)  x < 99(2) Xét khả :  (1) ⇒ B = 9801  x + y = 9k   x + y − = 11l (2) ⇒   x + y = 11k   x + y − = 9l  (  B = 2025 ⇒   B = 3025 C = abcdef = abc + def ) ĐS: B = 9801;2025;3025   H = abcd cho aa abb bcc c + =  dd d + 1         n n n  n  Tìm xyy1 + z = z Tính giá trị biểu thức: 1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy 3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy 4/ Cho x + y = m x.y = n.Tính giá trị biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 5/ Cho x + y = m x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m n 6/ a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 b) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 Chuyên đề SỐ CHÍNH PHƯƠNG I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số nguyên II TÍNH CHẤT: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; có chữ số tận 2, 3, 7, Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn 10 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 a) T×m GTNN P = x + y + xy + x + y b) T×m GTLN Q = –5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – Giải 2 a) 4P = x + y + xy + x + y = (4 x + y + + xy + x + y ) + y + y − 1 4  = (2 x + y + 1) + 3 y +  − ≥ − 3 3  3 Vậy GTNN cña P = − Đạt đợc x = y = b) – 5Q = 25 x + 10 xy + 10 y − 70 x − 50 y + = (5 x − y − 7) + (3 y − 6) − 80 ⇒ Q = − (5 x − y − 7) − ( y − 2) + 16 ≤ 16 5 Vậy GTLN cña Q = 16 Đạt đợc x = 1, y = Ví dụ 3.2 T×m cặp số (x, y) với y nhỏ thỏa m·n ®iỊu kiƯn: x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = (*) Giải Ta cã (*) ⇔ ( x − y ) + ( y + 1) = ⇒ ( y + 1) ≤ ⇒ ( y + 3)( y − 1) ≤ ⇒ −3 ≤ y ≤ Vy GTNN y = Đạt đợc x = – Vậy cỈp số (x, y) = (–6; –3) VÝ dụ 3.3 Cho x, y liªn hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 7y2 + 10 = (**) H·y t×m GTLN, GTNN biĨu thøc: S = x + y + Giải Ta cã (**) ⇔ x + xy + 28 x + 28 y + y + 40 = ⇔ (2 x + y + 7) + y = ⇒ (2 x + y + 7) ≤ ⇔ ( x + y + 5)( x + y + 2) ≤ x + y + ≥ ⇔ x + y + ≤ (v× x + y + ≤ x + y + ) ⇔ −4 ≤ S Vy GTNN S = Đạt ®ưỵc x = –5, y = GTLN cđa S = Đạt đợc x = 2, y = II PHƯƠNG PH¸P MIỀN GI¸ TRỊ VÝ dụ T×m GTLN, GTNN A = x + 2x + x2 +1 GiảiBiểu thức A nhn giá tr a phng trình: a = x + 2x + cã nghiệm x2 +1 ⇔ (a − 1) x − x + a − = cã nghiÖm Nếu a = th× phương tr×nh (1) cã nghiệm x = − (1) Nếu a ≠ th× phương tr×nh (1) cã nghiệm ∆' ≥ ⇔ −a + 4a + ≥ ⇔ −1 ≤ a ≤ 50 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Vậy GTNN cđa biĨu thøc A - Đạt đợc x = Vµ GTLN cđa biĨu thøc A Đat đợc x = x + 2y +1 VÝ dụ T×m GTLN, GTNN biểu thức: B = x + y + x + 2y +1 GiảiBiểu thức B nhận gi¸ trị b phương tr×nh b = x + y + cã nghiệm ⇔ bx − x + by − y + 7b − = (2) cã nghiÖm Trong x Èn, y tham số b tham số cã điều kiện Nếu b = ⇒ x + y + = Nếu b ≠ th× PT (2) cã nghiệm x ∆ ≥ ⇔ − 4b(by − y + 7b − 1) ≥ (3) Coi (3) bất phương trình n y BPT ny xy vi mi giá trị y 16b + 4b (−28b + 4b + 1) ≥ Vậy GTNN cña biĨu thøc B = − GTLN cđa biĨu thøc B = 14 Đạt đợc x = − vµ y = − 14 5 Đạt đợc x = y = III phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Sử dung BĐT Cô - Si Ví d 1.1 T×m GTLN, GTNN cđa biĨu thøc: A = x − + − x víi ≤x≤ 3 Ta cã: A2 = 3x − + − 3x + (3x − 5)(7 − 3x) = + (3x − 5)(7 − 3x) ⇒ A2 ≥ ⇒ A ≥ Vậy giá trị nhỏ biểu thức A Đạt đợc x = y = 3 (Biểu thức cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy cã tổng số) VÝ dụ 1.2 Cho x, y > thoả mÃn điều kiện x + y ≥ 6 x y T×m GTNN cđa biĨu thøc: P = 3x + y + + GiảiTa cã: P = ( x + y ) + 3x y 3x y + + + ≥ + +2 = + + = 19 x y 2 x y VËy giá trị nhỏ biểu thức P 19 Đạt đợc x = y = VÝ dụ 1.3 T×m GTLN cđa biĨu thøc : M = Giải Ta cã : M = x −3 + x y−2 y 51 x y −2 + y x−3 xy Víi x ≥ 3; y ≥ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 x  ⇒  y 2( y − 2) ≤  3( x 3) áp dụng BĐT Cô - Si ta có : Vậy Giá trị lớn cđa biĨu thøc M lµ VÝ dụ 1.4 Cho x, y, z > tho¶ m·n: x−3 3 ≤  x  + ⇒ M ≤ y−2 2 ≤ y   Đạt đợc x = y = + 1 + + ≥2 1+ x 1+ y 1+ z (1) T×m GTLN cđa biĨu thøc P = xyz GiảiTõ (1) ⇒ T¬ng tù:  1    y z yz ≥ 1 −  + y  + 1 − + z  = + y + + z ≥ (1 + y )(1 + z )  1+ x     zx xy ≥2 ≥2 Vµ 1+ y (1 + z )(1 + x ) 1+ z (1 + x)(1 + y ) Nh©n vế với vế ba BĐT trªn ta cã: P = xyz ≤ VËy GTLN cđa biểu thức P 1 Dấu = xảy x = y = z = 1 Đạt đợc x = y = z = VÝ dụ 1.5 Cho < x < 1, T×m GTNN biĨu thøc: Q = GiảiTa cã: P = + 1− x x 3x 4(1 − x ) x 4(1 − x) + +7≥2 + = (2 + ) 1− x x 1− x x ⇒ GTNN biĨu thøc: Q = + lµ (2 + ) Đạt đợc x x 3x 4(1 − x) = ⇔ x = ( − 1) 1− x x (Đặt P = 3ax 4b(1 − x) + + c råi đồng hệ số suy a = b = 1; c = 7) 1− x x VÝ dụ 1.6 Cho x, y, z, t > T×m GTNN biểu thức: M = GiảiAp dụng bất đẳng thức C«-Si ta cã: x−t t − y y − z z − x + + + t + y y+ z z+ x x+t 1 + ≥ với a, b > a b a+b  x−t  t−y  y−z  z−x  + 1 +    y + z + 1 +  z + x + 1 +  x + t + 1 −     t + y     Ta cã : M = M + – =   = x+ y t + z y+ x z+t   1   + + + − = ( x + y )  t + y + z + x  + ( z + t ) y + z + x + t  −    t + y y+ z z+ x x+t     ≥ 4( x + y ) 4( z + t ) + −4=0 x+ y+ z+t x+ y+ z+t x−t t−y y−z z−x VËy GTNN biểu thức: M = t + y + y + z + z + x + x + t lµ Đạt đợc x = y z = t Sử dụng BĐT Bunhiacopski (BCS) 52 Giáo án BDHSG Tốn Năm học : 2011-2012 Ví dụ 2.1 Cho x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm GTNN biểu thức: A = x4 + y4 + z4 Gii áp dụng BĐT Bunhia Copski ta cã: = ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z )( x + y + z ) = ( x + y + z ) ⇒ ≤ ( x + y + z ) ≤ (1 + + 1)( x + y + z ) ⇒ P ≥ 1 Giá trị nhỏ biểu thức P đạt đợc x = y = z = 3 Ví dụ 2.2 Tìm GTNN P = 4a 9b 16c + + a, b, c độ dài ba b+c −a c+ a −b a +b−c cạnh tam giác Giải P= 4a 9b 16c a 1  b 1  c  29  + + = 4 +  + 9 + + + − b+c−a c + a −b a +b−c b+c −a 2 c + a −b 2 a +b−c 2 16  29  a + b + c  = + + . −  b + c − a c + a −b a + b − c   29 a + b + c ( + + 4) 81 29 a+b+c ≥ = − = 26 . − 2 a+b+c    (b + c − a ) + (c + a − b) + ( a + b − c)  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 26 đạt đợc Vớ d 2.3 Tỡm giỏ trị nhỏ Q = a b c = = a b c + + 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Trong a, b, c > vµ a + b + c = Giải Ta cã: Q a b c (a + b + c) (a + b + c) = + + ≥ = ≥ b − 4ac 2b + c 2c + a 2a + b a (2b + c) + b(2c + a) + c(2a + b) 3(ab + bc + ca) Vậy giá trị nhỏ biểu thức Q đạt đợc a = b = c = Ví dụ 2.4 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN P = Giải 1 1 + + + 2 ab bc ca a +b +c 1 9 + + ≥ ⇒ P≥ + 2 ab bc ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c   =  a + b + c + 2(ab + bc + ca)  + ab + bc + ca    ≥ (1 + 2) 21 + ≥9+ = 30 ab + bc + ca (a + b + c) (a + b + c) 53 Giáo án BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 30 đạt đợc a = b = c = I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si) Giải: ( a – b ) = a - 2ab + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ≥ 0) Giải: ( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a , b ≥ 0) Giải: 2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ) Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b > 0) + = Giải: Do ab ≤ ⇒ ≥ Hay + ≥ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh: (Với a.b < 0) Giải: + = - Do ≥ ⇒ - ≤ -2 Hay + ≤ - Đẳng thức xảy a = -b Chứng minh: (Với a , b > 0) Giải: + - = = ≥ ⇒ + ≥ Đẳng thức xảy a = b Chứng minh rằng: Giải: 2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ ⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca Đẳng thức xảy a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c A ≥ B ⇔ A− B ≥ Cần lưu ý tính chất: A ≥ Đẳng thức xảy A = Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với số khác thích hợp B.Bài tập vận dụng: Chứng minh bất đẳng thức sau a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e) ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 10 ≥ a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ • • • • 19 > 2a + 12b + 4c a2 – 4ab + 5b2 – 2b + ≥ a2 + 9b2 + c2 + 54 Giáo án BDHSG Toán x2 – xy + y2 ≥ 10 11 12 13 14 15 Năm học : 2011-2012 x2 + xy + y2 -3x – 3y + ≥ x2 + xy + y2 -5x - 4y + ≥ x4 + x3y + xy3 +y4 ≥ x5 + x4y + xy4 +y5 ≥ với x + y ≥ a4 + b4 +c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 (a2 + b2).(a2 + 1) ≥ 4a2b ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) 16 a2 + b2  a + b  ≥    17 a2 + b2 + c2  a + b + c  ≥  3   18 19 20 a b c b a c + + ≤ + + (với a ≥ b ≥ c > 0) b c a a c b 12ab a+b ≥ ( Với a,b > 0) + ab a b c 1 + + ≥ + + (Với a,b,c > 0) bc ca ab a b c HƯỚNG DẪN: Bài 1: Gọi VT bất đẳng thức A VP bất đẳng thức B (Nếu khơng nói thêm qui ước dùng cho tập khác).Với BĐT có dấu ≤; ≥ cần tìm điều kiện biến để đẳng thức xảy A – B = ( a + 2c − 2b ) Bài 2: 4A – 4B = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) 2 Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: A – = ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + = ( Y + 3) A – B = ( a − 1) + ( 2b − 3) + 3( c − 1) + A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 Bài 7: A – B = ( a − 2b ) + ( b − 1) 2 Bài 8: Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +   y 2 x2 – xy + y2 =  x −  + 3y x2 – xy + y2 -3x – 3y + = ( x − 1) − ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1) Biến đổi tiếp Tương tự x4 + x3y + xy3 +y4 = x − xy + y ( x + y ) Tương tự 11 Xem ví dụ A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) = ( c − d )( a − b ) ( ( ) ) Bài 16: a + b − ( a + b) A-B= Bài 17: Xem tập 16 55 Giáo án BDHSG Toán Bài 18: Bài 19: Năm học : 2011-2012 A - B = (a-c)(b-a)( b ( a − ) + a ( b − 3) + ab A-B= (Với a ≥ b ≥ c ≥ 0) ( Với a,b > 0) ( ab − bc ) + ( bc − ac ) + ( ac − ab ) A-B= abc (Với a,b,c > 0) TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I: DẠNG - Bài 20: • Nếu a > : P = ax + bx +c = x=- 4ac-b 4ac-b b   +ax + MinP = Khi ÷ Suy 4a 2a  4a  b 2a •  a c+b b  − a x− Nếu a < : P = ax + bx +c = ÷  4a 2a÷   a c+b b Suy MaxP = Khi x= a 4a Một số ví dụ: Tìm GTNN A = 2x + 5x + 25 25 Giải:A = 2x2 + 5x + = 2( x + x + − ) + = 16 16 25 56 − 25 31 = 2( x + )2 − +7 = + 2( x + ) = + 2( x + ) 8 31 Khi x = − Tìm GTLN A = -2x + 5x + Suy MinA = 25 25 Giải: A = -2x2 + 5x + = - 2( x − x + − ) + = 16 16 25 56 + 25 81 = −2( x − ) + + = − 2( x − ) = − 2( x − ) ≤ 8 81 Suy MinA = Khi x = 4 10 Tìm GTNN B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + ≥ ⇒ MinB = : ⇔ Tìm GTLN C = -3x - y + 8x - 2xy + Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + = 10 - ≤ 10 ⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ BÀI TẬP: −5 x + 2008 Tìm GTNN A= x Tìm GTLN B = + 3x - x2 Tìm GTLN D = 2007 − x −5 x Tìm GTNN F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Tìm GTNN G = x −10 x3 + 25 x +12 Tìm GTNN M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y 56 Giáo án BDHSG Tốn 11 12 13 Tìm GTNN C = ( x − 1) − 3x − + Tìm GTNN N = (x +1) + ( x - 3) Tìm GTNN K = x + y - xy +x + y 57 Năm học : 2011-2012 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 HƯỚNG DẪN A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 ⇒ MinA = 2001,75 x = 2,5 B = + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x +x+1) = G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12 10 M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16 11 C = ( x − 1) − 3x − + * Nếu x ≥ C = (3x - 3) + * Nếu x < C = (3x + 1) + 12 N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - * Một phương pháp thường dùng sử dụng bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác.Tuy nhiên sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski Các bất đẳng thức khác sử dụng làm thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, liệt kê bất đẳng thức vào a + b ≥ 2ab (a,b>0) (BĐT Cô-si) (a +b ) 2 ( ) ≥4ab a + b ≥ ( a + b) a b + ≥ 2; a, b > b a 1 + ≥ ; a, b > a b a+b a + b + c ≥ ab + bc + ca ( ax + by ) ≤ ( a + b )( x + y ) a b ( a + b) x + y ≥ ( Bu nhi a cop xki) x+ y a b c ( a + b + c) + + ≥ x y z x+ y+z ab bc ca + + ≥ a + b + c (Với a,b,c > 0) Ví dụ 9:Chứng minh c a b ab bc ca Giải:2A - 2B = + + − 2a − 2b − 2c c a b       = a + −  + b + −  + c + −  b c c b  a c c a Áp dụng bất đẳng thức  b a a b  a b + ≥ 2; a, b > Ta có:2A - 2B ≥ a ( − 2) + b( − ) + c( − 2) ≥ b a Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy a = b = c > Ví dụ 10: Cho số dương x , y thoả mãn x + y = Chứng minh : xy + x + y ≥ 58 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012  1 2  ≥2 + = + = 2 + 2 2   xy x + y xy x + y xy x + y x + xy + y   = = Đẳng thức xảy x = y = ( x + y) Giải: a2 b2 c2 a c b Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : + + ≥ + + c b a b c a a2 b2 a b a b2 c2 a2 c a c b c b c Giải: + ≥ = ; + ≥ = ; + ≥ = c a a a a b c c c b c a b b b Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:  a b2 c  b2 c a c b a c b a  + + ÷ ≥  + + ÷⇒ + + ≥ + + c a  c a c b a c b a b b Đẳng thức xảy a = b = c Bài tập: 1 1 Cho a,b,c số dương.Chứng minh ( a + b + c )  + +  ≥ a b c Cho số dương a,b,c biết a.b.c = Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ Cho số a,b biết a + b = Chứng minh a) a + b ≥ b) a + b ≥ Cho số dương a,b,c a + b + c = Chứng minh: + + ≥ Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ Chứng minh rằng: + + ≤ ≤ + + Cho số dương a , b có tổng Chứng minh a + ≥ b + ≥ 14 Cho số dương a , b có tổng Chứng minh (a + ) + (b + ) ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c>0 1 1 1 + + ≥ + + , a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Cho a,b,c số dương Chứng minh : a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c 10 Cho a,b,c số dương a2 b2 c2 a+b+c Chứng minh : + + ≥ b+c a+c b+a 11 Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ a b c + + ≥ Với a,b,c > 12 Chứng minh: b+c c+a a+b 13 Chứng minh: a + b + c ≥ abc( a + b + c ) Bài 28: Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0; Chứng minh :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz 1 1 + + + + + + 15 Cho A = Chứng minh A > n +1 n + 2n + 2n + 3n + 14 59 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 HƯỚNG DẪN: a b a c  b c  A = 3+ + + + + +  ≥ 3+ 2+ 2+ = b a c a c a Áp dụng (a + 1) ≥ 2a a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ b) Áp dụng câu a Xem + + ≤ + + = ++ = + + ≥ ≥ = A = + = ( + ) + ≥ + = ( 2ab ≤ (a+b) ) B = + = 3( +) + (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + ) = 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + = 25 Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥ + ≥ ; + ≥ ; + ≥ Cộng theo vế BĐT ta Đpcm Ta có: + = ( + ) ≥ b c 1b c + =  +  ≥ ac ab a  c b  a c a 1 c a + =  +  ≥ ab bc b  a c  b Cộng vế bất đẳng thức ta đpcm Đẳng thức xáy a = b = c (Hãy kiểm tra lại) a b c ( a + b + c) + + ≥ 10 Áp dụng BĐT x y z x+ y+z 11 a+b ≥ (a+b) ≥ ≥ 12 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + + a b c + + ≥ = (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) = Suy ra: b+c c+a a+b 13 Áp dụng BĐT ví dụ cho số a + b + c tiếp tục áp dụng lần nửa cho số a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm 14 Áp dụng BĐT ( x + y ) ≥ xy Nhân thừa số BĐT suy ĐPCM 15 A có 2n + số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT hạng thích hợp có pcm Chuyên đề 9: 1 + ; a, b > Với cặp số a b a+b Phơng pháp tam giác đồng dạng I Kiến thức Ta đà biết tam giác đồng dạng suy đợc cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ, đặc biệt tỉ số diện tích chúng bình phơng tỉ số đồng dạng Để chứng minh góc hay cặp đoạn thẳng tỉ lệ pp tam giác đồng dạng ta làm theo bớc sau : Bớc : Xét tam giác có chứa góc hay chứa cặp đoạn thẳng Bớc : Chứng minh tam giác đồng dạng Bớc : Suy cặp góc tơng ứng nhau, cặp cạnh tơng ứng tỉ lệ Để tạo đợc tam giác đồng dạng với tam giác khác, cách vẽ đờng song song với cạnh tam giác ta vẽ thêm đờng phụ nhiều cách khác, chẳng hạn : 60 Giỏo ỏn BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 - Nèi điẻm có sẵn hình làm xuất tam giác - Từ điểm cho trớc, vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng - Trên tia cho trớc, đặt doạn thẳng đoạn thẳng khác Một vài ứng dụng pp tam giác đồng dạng a) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM điểm thẳng hàng Ta CM tam giác đồng dạng để suy cặp góc tơng ứng nhau, từ dùng cách cộng góc để dợc góc bẹt dẫn tới điểm thẳng hàng Ví dụ : Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B góc C cắt O Trên cạnh AB, AC lần l ît lÊy M vµ N cho BM.BC = BO2 ; CN.CB = CO2 CMR ®iĨm M, O, N thẳng hàng @ Bg : A BM BO = BM.BC = BO ; ∆ BOM vµ ∆ BCO có BO BC BM BO N O ả µ = nªn ∆ BOM ~ ∆ BCO (c.g.c) ⇒ O1 = C1 B1 = B2 ; M BO BC 12 ¶ ¶ ⇒ O2 = B2 B C Chứng minh tơng tự ta đợc CON ~ CBO (c.g.c) ả ả ả ¶ Ta cã O + O + O = C + B + O = 1800 Suy điểm M, O, N thẳng hàng 3 Nhận xét Điều gợi ý cho ta dùng pp đồng dạng để giải ví dụ ? Đó đề có cho BO trung bình nhân BM BC ; CO trung bình nhân CN CB, từ suy đợc cặp đoạn thẳng tỉ lệ dẫn tới tam giác đồng dạng b) Dùng pp tam giác đồng dạng để CM tích đoạn thẳng tổng tích cặp đoạn thẳng sè cho tríc Ta cã thĨ CM tam gi¸c đồng dạng để suy cáắccpj cạnh tơng ứng tỉ lệ, dẫn tới tích cặp đoạn thẳng Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H K lần lợt hình chiếu B AD CD Chứng minh r»ng DA.DH + DC.DK = DB2 @ Bg : *Tìm hớng giải : Các tích DA.DH, DC.DK cha có mối liên quan trực tiếp với nh với DB Vì ta thay tích tích khác H chúng, có liên quan víi cịng nh liªn quan víi DB Mn vËy phải tạo đợc cặp tam giác đồng dạng với điều kiện DB phải cạnh tam giác nh A B *Lời giải: Vẽ AI ⊥ DB DA DI I = ⇒ DA.DH = DB.DI (1) ∆ IDA ~ ∆ HDB ⇒ DB DH D K C BA BI DC BI = ⇒ ⇒ = ⇒ DC.DK = DB.BI (2) ∆ IBA ~ ∆ KDB ⇒ DB DK DB DK Céng tõng vÕ c¸c BĐT (1) (2) ta đợc : DA DH + DC DK = DB DI + DB BI = DB(DI + BI) = DB2 (đpcm) Chú ý : Nếu B = 900 hình bình hành ABCD trở thành hình chữ nhật Lúc áp dubgj định lý Ptta-go ta có điều phải chứng minh c) Dùng pp tam giác đồng dạng để giải toán dựng hình Đối với số toán dựng hình dựng hình tam giác, biết yếu tố độ dài, lại biết tỉ số độ dài biết số đo góc ta nghĩ đến pp tam giác đồng dạng Ví dụ : AB = BC = a Dựng tam giác ABC biết = 600 ; A BC @ Bg : Ph©n tích : Giả sử đà dựng đợc tam giác ABC thoả mÃn đề 61 Giỏo ỏn BDHSG Toỏn Nm hc : 2011-2012 Vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lợt M N Từ C vẽ đờng thẳng song song với AB cắt MN P Dễ thấy A AM AB i = = MP = BC = a ∆ AMN ~ ∆ ABC ⇒ 600 AN AC VËy AMN dựng đợc, từ dựng đợc P, C B N Cách dựng : p M i A µ = 60 ; AM = ; AN = i - Dùng ∆ AMN cho A i a - Trên tia MN lấy điểm P cho MP = a C B i - Dùng PC // AB (C thuéc tia AN) i i - Dùng CB // MN (B thuéc tia AM) Tam gi¸c ABC tam giác phải dựng (Phần CM biện luËn tù lµm) II – Bµi tËp Bµi 1: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi M N lần lợt trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chøng minh r»ng : a) AN ⊥ CM b) AH2 = MC.MO @ Bg AB BN AB BH BN A = = = a) ∆ ABH ~ ∆ CAH (g-g) ⇒ hay (1) CA AH AM CA AM µ A Ta cã B1 = µ1 (2) O M Tõ (1) vµ (2) suy ∆ ABN ~ ∆ CAM (c.g.c) ⇒ ¶ = C A ả 2 à ả à Xét tam giác CAO cã CAO + C2 = CAO + ¶ = 90 A µ ⇒ O = 900 VËy AN ⊥ CM b) ∆ AOM ~ ∆ CHM (g.g) ⇒ ⇒ B N H AM MO ⇒ AM.MH = MC.MO = CM MH AH AH = MC.MO hay HA2 = MC.MO 2 Bµi : Cho tam giác ABC, phân giác AE Chứng minh r»ng AB.AC > AE2 A @ Bg · µ AEC > B (t/c gãc ngoµi cđa ∆ ABE) µ Trên AC lấy điểm F cho à F AEF = B ⇒ AF < AC AE AF ⇒ AB.AF = AE2 ⇒ AB.AC > AE2 = ∆ AEF ~ ∆ ABE (g-g) ⇒ C B E AB AE Bµi : Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh r»ng : a) OA.OB = OC.OH b) Gãc OHA cã số đo không đổi c) Tổng BM.BH + CM.CA không ®æi O @ Bg OB OH ⇒ OA.OB = OC.OH = a) ∆ BOH ~ ∆ COA (g-g) ⇒ OC OA H OB OH OA OH ⇒ = = b) (1) A M OC OA OC OB µ (2) ∆ OHA vµ ∆ OBC cã O chung B K C Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆ OHA ~ ∆ OBC (c.g.c) à à OHA = OBC (không đổi) 62 C Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 BM BK = ⇒ BM.BH = BK.BC c) VÏ MK ⊥ BC ; ∆ BKM ~ ∆ BHC (g.g) ⇒ (3) BC BH CM CK = ⇒ CM.CA = BC.CK (4) ∆ CKM ~ ∆ CAB (g.g) ⇒ CB CA Cộng vế (3) (4) ta đợc BM.BH + CM.CA = BK.BC + BC.CK = BC(BK + CK) = BC2 (không đổi) Bài : Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH Trên đoạn thẳng CH HB lần lợt lấy hai điểm M N cho CM = HN Đờng thẳng qua M vuông góc với BC cắt AC E Qua N vẽ đờng thẳng d NE Chứng minh M di động đoạn thẳng CH đờng thẳng d luôn qua điểm cố định @ Bg A DÔ thÊy CH = MN = BC E HF HN CM = = (1) ∆ HFN ~ ∆ MNE (g.g) ⇒ MN ME ME AH CH CH CM = ⇒ = (2) ∆ AHC ~ ∆ EMC (g.g) ⇒ H M B N C EM CM AH EM 1 HF CH BC BC BC (không F = Từ (1) (2) Do ®ã HF = MN CH ®ỉi) = = MN AH AH AH AH V× H cè định nên F cố định Bài : Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF Gọi M, N, I, K lần lợt hình chiếu D AB, AC, BE, CF Chứng minh điểm M, N, I, K thẳng hàng @ Bg BM BD BI = = ⇒ MI // FE BF BC BE CN CD CK = = ⇒ NK // FE V× DN // BE DK // AB nên CE CB CF AM AD = ∆ AMD ~ ∆ ADB ⇒ AD AB Vì DM // CF DI // CA nªn ∆ AND ~ ∆ ADC ⇒ AN AD = AD AC (1) A (2) E (3) F (4) M B K I D N C AM AC = Chia vế (3) cho (4) ta đợc AN AB AF AC AM AF ⇒ MN // FE = = ®ã (5) ∆ ACF ~ ∆ ABE ⇒ AE AB AN AE Tõ (1) ; (2) ; (5) suy điểm M, I, N, K thẳng hàng Bài : Lấy cạnh AB, AC BC ABC làm cạnh đáy, dựng tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng phía ABC tam giác thứ dựng nửa mặt phẳng bờ BC với ABC Chứng minh tứ giác AEFD hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng) @ Bg · • NÕu BAC ≠ 900 ; ∆ BAD ~ BCF(2 tam giác vuông cân) A E BD BA BD BF F o µ · ⇒ = ⇒ = Mặt khác DBF = à ABC ( = 45 + B1 ) D BF BC BA BC · · ⇒ ∆ BDF ~ ∆ BAC (c.g.c) ⇒ BDF = BAC à à Chứng minh tơng tợ có FEC ~ ∆ BAC ⇒ FEC = BAC B C 63 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 o 0 ⇒ · · · · Ta cã DAE + ADF = (90 + BAC ) + (90 - BDF ) = 180 AE // DF Chøng minh tơng tự ta đợc AD // EF Vậy AEFD hình bình hành à ã Trờng hợp BAC = 900 điểm A, E, F, D thẳng hàng Bài : Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Gọi E F lần lợt giao điểm BN víi MC vµ AC Cho biÕt AB = 30 cm, tính diện tích tam giác BEM AFN @ Bg A M B µ µ ∆ ABN = ∆ BCM (c.g.c) ⇒ B1 = C1 ⇒ BN ⊥ CM ABN vuông A, AB = 30; AN = 15 ⇒ BN2 = 1125 E S 225  BM  F = ∆ BEM ~ ∆ BAN ⇒ BEM =  ÷ = N S BAN  BN  1125 1 SBAN = 30.15 = 225 ⇒ SBEM = 225 = 45 (cm2) D C FN AN 1 = = ⇒ FN = BF = BN ∆ AFN ~ ∆ CFB ⇒ FB BC 2 1 ®ã SAFN = SABN = 225 = 75 cm2 3 Bài : Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đờng thẳng song song với cạnh Các đờng thẳng chia tam giác ABC thành hình bình hành tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2 , b2 , c2 a) TÝnh SABC b) Chøng minh S ≤ a2 + b2 + c2 @ Bg a) DƠ thÊy c¸c tam gi¸c ODH, EON, FMO ®ång d¹ng víi ∆ ABC a  DH a DH A Đặt SABC = d Ta cã =  (1) ÷ ⇒ = d d BC  BC  2 (2) Ví dụ 8: a Rút gọn Biếu thức B = b Thực phép tính: a B = 4a + 12a + Với a ≠ − 2 2a − a − 0,5a + a + a − : + (a ≠ ± 2.) + 0,5a a + a( − a ) ( 2a + 3) = 2a + 4a + 12a + = ( 2a + 3)( a − 2) a − 2a − a − 2 M c c  MO   BD  c BD (3) = ÷ = ÷ ⇒ = d d BC  BC   BC  B a + b + c DH + HC + BD = =1 Céng tõng vÕ đẳng thức (1) , (2) , (3) ta đợc d BC ⇒ a + b + c = d VËy S = d2 = (a + b + c)2 b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≤ a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) DÊu “=” xÈy ⇔ a = b = c ⇔ O trïng víi träng t©m G cđa ∆ ABC • E F b  ON   HC  b HC = ÷ = ÷ ⇒ = d d BC  BC   BC  Giải: 64 O b2 N a2 D H C ... 43 Hái sè A 199 1 = 199 1 199 1 cã chia hÕt cho 101 không? 199 1so 199 1 101 Tìm n để An M Giải: a) Ghép chữ số liên tiếp A 199 1 có cặp số 91 ; 19 Ta có: 199 1 .91 - 199 1. 19 = 199 1 72 M 101 nªn A 199 1 M101 101... 200) hay 29 + 299 M200 III,Bài tập tự luyện: Sử dụng đẳng thức đồng dư 196 2 196 4 ( 196 1 + 196 3 + 196 5 196 6 + 2) M7 ( 24 191 7 + 14 191 7 ) M 19 ( + 99 ) M200 131234567 89 − M 183 197 9 ( 197 9 − 198 1 198 1... hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+ a +9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 195 9 199 9 Vậy Mai sinh năm 197 9, bạn Mai sinh năm 198 0 Chuyờn 2: TNH CHT CHIA

Ngày đăng: 16/07/2014, 10:35

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan