TrngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012 Chuyên đề i: Biến ®ỉi biĨu thøc ®¹i sè a – biĨn ®ỉi biĨu thức nguyên I Một số đẳng thức (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a + + a n )2 = = a1 + a + + a + 2(a1a + a1a + + a 1a n + a 2a + + a 2a n + + a n −1a n ) ; n = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b) (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k – + b2k) ; II Bảng hệ số khai triển (a + b)n Tam giác Pascal Đỉnh Dòng (n = 1) 1 Dßng (n = 2) Dßng (n = 3) 3 Dßng (n = 4) Dßng (n = 5) 10 10 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số ; dòng k + đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triĨn (x + y) n thµnh tổng hệ số hạng tử số dòng thứ n bảng Ngời ta gọi bảng tam giác Pascal, thờng đợc sử dụng n không lớn Chẳng hạn, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II Các ví dụ Ví dụ Đơn giản biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – 3] – z – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh giá trị biểu thức sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i Trang TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ Chứng minh đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lời giải Đặt S = a + b P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP V× vËy : A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lời giải Vì x + y + z = nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = z) Tơng tự : Mà x y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm) Suy : 2(x Bài tập Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + ; Trang TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + ; c) x12 + ; Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = xy + yz + zx = Tính giá trÞ cđa biĨu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 – b2 = 4c2 Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – Cho a 5b)2 Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z a b a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y khác = x y + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 x, y, z khác b) Chøng minh r»ng nÕu (a a b c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) 10.Chứng minh đằng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 11 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Tính giá trị biểu thức : C = a2 + b9 + c1945 13 Hai sè a, b lần lợt thỏa mÃn hệ thức sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh : D = a + b 14 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008 Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số a biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ Trang TrngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 a) Chøng minh r»ng ph©n số 3n + phân số tối giản nN ; 5n + n2 + (n∈N) Cã số tự nhiên n nhỏ 2009 n +5 cho phân số A cha tối giản Tính tổng tất số tự nhiên Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay Μ d ⇒ d = 3n + Vậy phân số phân số tối giản 5n + 29 29 b) Ta cã A = n - + Để A cha tối giản phân số phải cha tối giản n +5 n +5 Suy n + ph¶i chia hÕt cho ớc dơng lớn 29 Vì 29 số nguyên tố nên ta có n + Μ 29 ⇒ n + = 29k (k ∈ N) hay n = 29k – Theo điều kiện đề n = 29k – < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n thỏa mÃn điều kiện đề Tổng sè nµy lµ : 29(1 + + … + 69) – 5.69 = 69690 1 1 VÝ dơ Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn + + = a b c a +b +c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng : 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 a 2009 b c a + b 2009 + c 2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã : + + = ⇔ + + =0 a b c a +b +c a b c a +b +c a +b a +b c(a + b + c) + ab + = ⇔ (a + b) =0 ⇔ ab c(a + b + c) abc(a + b + c) é +b =0 é =- b a a ê ê b b ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ ê + c = ⇔ ê =- c ⇒ ®pcm ê ê ê +a = ê =- a c c ở b) Cho phân số A = Từ suy : a 2009 + b 2009 + c 2009 a Trang 2009 +b 2009 + c 2009 1 + 2009 = 2009 2009 a (- c) c a 1 = 2009 = 2009 2009 2009 a + (- c) + c a = 2009 + TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu ⇒ + Năm học2011-2012 + = a b c a + b + c2009 VÝ dụ Đơn giản biểu thức : ử ổ ổ ổ 1ử ỗ1 + ữ ç1 + ÷ ç1 + ÷ A= + + ữ ữ ữ 3ỗ 3ữ 4ỗ 2ữ 5ỗ ữ ỗ ỗ ố (a + b) ỗa b ø (a + b) èa b ø (a + b) èa b ø Lêi gi¶i + b2 = (a + b)2 2ab = Đặt S = a + b vµ P = ab Suy : a S - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP 1 a +b S 1 a + b S - 2P Do ®ã : + = = ; 2+ 2= 2 = ; a b ab P a b ab P2 1 a + b S - 3SP + = 3 = a3 b3 ab P3 3SP S - 2P S Ta cã : A = 13 S - + + S P S P2 S P = S - 3P 3(S - 2P) (S - 3S P) + (3S P - 6P ) + 6P S4 + + = = S2P3 S4P2 S P S4P3 S P 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dơ Cho a, b, c lµ ba số phân biệt Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) Lời giải Cách x - (a + b)x + ab x - (b + c)x + bc x - (c + a)x + ca = Ax2 – Bx + S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) C 1 + + víi : A = ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) a +b b +c c +a B= + + ; (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) b - a +c - b +a - c =0 ; Ta cã : A = (a - b)(b - c)(c - a) Trang 2009 2009 2009 2009 2009 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) (a - b)(b - c)(c - a) 2 2 b - a + c - a + a - c2 = =0 ; (a - b)(b - c)(c - a) ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) C= = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) Vậy S(x) = 1x (đpcm) Cách Đặt P(x) = S(x) đa thức P(x) đa thức có bậc không vợt Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = ⇒ a, b, c ba nghiệm phân biệt P(x) Điều xảy P(x) đa thức không, tức P(x) = x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dơ Cho x + = TÝnh gi¸ trị biểu thức sau : x 1 1 a) A = x + ; b) B = x + ; c) C = x + ; d) D = x + x x x x Lêi gi¶i ổ 1ử ỗx + ữ - = - = ; a) A = x + = ỗ ữ ữ ỗ ố xứ x B= ỉ ỉ b) B = x + 13 = ỗx + ữ- 3ỗx + ữ 27 - = 18 ; ữ ỗ ữ ỗ ữ ố x ứ= ữ ỗ ỗ ố xứ x ổ2 ỗx + ÷- = 49 - = 47 ; c) C = x + = ỗ ữ ữ ỗ è x x2 ø ỉ ỉ 1ư 1ư 1 ç d) A.B = çx + ÷x + ÷ x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 – = 123 = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç è è x ø x ø x x ax + b c = + VÝ dô 10 Xác định số a, b, c cho : (x +1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x +1) (a + c)x + (b - a)x + (c - b) Ta cã : + = = x +1 x - (x +1)(x - 1) (x +1)(x - 1) Đồng phân thức với phân thức , ta đợc : (x +1)(x - 1) Trang TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu ì a +c =0 ï ï ï í b- a =0 Û ï ï c- b =2 ï ï ỵ Năm học2011-2012 ì a =- ï ï - x- 1 ï = + í b =- VËy ï (x +1)(x - 1) x +1 x - ù c =1 ù ù ợ Bài tập n + 2n - 16 Cho ph©n thøc P = n + 2n + 2n +1 a) Rót gän P ; b) Chøng minh r»ng n số nguyên giá trị phân thức tìm đợc câu a) n phân số tối giản 17 a) Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiªn n : 12n +1 ; 30n + n n + 2n 2n +1 ; n + 3n +1 2n - n + n +1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè không tối giản với số nguyên dơng n + n +1 n2 + c) TÝnh tỉng c¸c số tự nhiên n nhỏ 100 cho phân số cha tối giản n +1 18 Tính tæng sau : 2n +1 + + + a) A = ; 2 (1.2) (2.3) [n(n +1)]2 1 1 + + + + 2n b) B = + ; +1 +1 +1 +1 1 1 + + + c) C = ; 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) 1 + + + d) D = ; 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 + + + + e) E = ; 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n - 1)n(n +1) 1.2! 2.3! n.(n +1)! f) F = (k! = 1.2.3…k) + + + 2 2n (a + b + c2 )(a + b + c)2 + (bc + ca + ab)2 19 Rót gän : A = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) Trang TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 (a + 2b)3 - (a - 2b)3 3a + 7a b + 3b : (2a + b)3 - (2a - b)3 4a + 7a b + 3b 21.Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh : x - yz y - zx z - xy + + a) y +z z +x x +y ; 1+ 1+ 1+ x y z a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c- a c- b ; b) 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 1+ 1+ 1+ (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) c) a + b - 2c b + c - 2a c + a - 2b + + 3 (a - b) (c - a)(c - b) (b - c) (a - b)(a - c) (c - a) (b - c)(b - a) + + + a3 - b3 a + ab + b b - c3 b + bc + c c3 - a c + ca + a 20 Rót gän : B = 3a - 2b 3b - a ; + 2a + b- 5a - b 3b - 3a b) BiÕt 2a – b = 7, hÃy tính giá trị biểu thức : Q = ; 3a + 2b - 2a - b 5b - a + c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : R = 3a - b 3a + b 23 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức sau : 1 a) A = ; + + a + b - c2 b + c2 - a c + a - b 2 b2 c2 b) B = a ; + + a - b - c2 b - c2 - a c - a - b 1 1 + + + + A (2n - 3).3 (2n - 1).1 24.Rót gän biĨu thøc : = 1(2n - 1) 3(2n - 3) 1 B + + + + 2n - 22 a) Biết a 2b = 5, hÃy tính giá trị cđa biĨu thøc : P = 25.Cho a b c a2 b2 c2 Chøng minh r»ng + + =1 + + =0 b +c c +a a +b b +c c +a a +b a b c + + = Chøng minh r»ng x y z ax2 + by2 + cz2 = 26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = vµ Trang TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 1 vµ B = x7 + x x 2 x x x 28 Cho vµ N = = 2008 TÝnh M = x - x +1 x + x +1 x - x +1 a - a - a - 29 Cho d·y sè a1, a2, a3, … cho : a = ; a3 = ; … ; a n = n- a1 +1 a +1 a n- +1 a) Chøng minh r»ng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu dÃy, biết a101 = 108 27 Cho x2 – 4x + = Tính giá trị biểu thức A = x5 + Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x x +6 d, x −13 x +36 b, 3x −8 x +4 e, x +3 x −18 c, x +8 x +7 f, x −5 x −24 g , 3x −16 x +5 h, 8x +30 x +7 i, 2x −5 x −12 k, 6x x 20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x3 x + x − 2, x + x − 3, x3 + x + x + 4, x3 − x + 5, x3 − x + x +16 6, 4x −13 x + x −18 7, x3 − x − x + 8, − x − x + x +1 9, 6x − x − 486 x + 81 10, x3 − x − 11, x3 − x + 12, x − x + 3x + 13, x3 + x + 17 x + 10 14, x + x + x + 15, x3 − x − 16, 2x − 12 x + 17 x II- Phơng17, x thêm + 4bít cïng mét h¹ng tư x + x + x + ph¸p + x 18, 1) Dạng 1: Thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phơng: A2 B2x= (A26 x + 24 B) 19, x + + – B)(A + 20, 2x − x + x Bài 1: Phân tíchxcác 14 x + sau + nh©n tư: 22, x + x + x + x + 21, 3 đa thức x thành 1, (1 + x ) − x(1 − x ) 2, ( x − ) + 36 3, x + 5, 64x + Trang 4, x + 64 6, 81x + 7, 4x + 81 8, 64x + y 9, x + y 10, x + x + TrườngTHCS Nguyn ỡnh chiu Nm hc2011-2012 2) Dạng 2: Thêm bớt hạng tử làm xuất thừa số chung Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: 1, x + x + 2, x + x5 + 3, x5 + x + 4, x + x + 5, x8 + x + 6, x − x − 7, x + − biÕn 8, x + x + III- Phơng phápxđổi1 Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 1, x( x + 4)( x + 6)( x + 10) + 128 2, (x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 3, ( x + x + 8) + x( x + x + 8) + x 4, ( x + x) + x + x − 12 5, x + xy + y + x + y − 15 6, (x + a)( x + 2a)( x + 3a)( x + a) + a 7, x − 11x + 8, ( x + x) + 3( x + x) + 9, x − xy + y + x − y − 10 10, ( x + x) + x + 18 x + 20 Bài 2: 2Phân tích y x + y sau thành nhân (x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 16 11, x xy + đa thøc 35 12, tö 1, x + x3 + x − x +1 2, ( x + y + z )( x + y + z ) + ( xy + yz + zx) IV- Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, P = x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) b, Gi¶i Q =a (b + c − a ) + b(c + a − b) + c (a + b − c ) + (a + b − c ) (b + c − a )(c + a b) a, Giả sử thay x y P = y ( y − z ) + y ( z − y ) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z x P không đổi(ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh biÕn x, y, z) Do ®ã nÕu P ®· chóa thïa sè x – y th× cịng chóa thõa sè y – z, z – x VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải số(không chúa biến) P có bậc tập hợp biến x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức 2 x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) = k ( x − y )( y − z )( z − x) Trang 10 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 Với a = -2 A = x − x − x + 4, Q( x) = x − 10 x + Với a = A = x + x − x − 6, Q( x) = x − *Phơng pháp 3:Thực phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập áp dụng Bi 1: Cho a thc A( x) = a x + 3ax − x − 2a(a ∈ Q) X¸c định a cho A(x) chia hết cho x + Bµi 2: Phân tích đa thức P( x) = x x x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x + dx + Bài 3: Với giá trị a b đa thức : x3 + ax + x + b chia hÕt cho ®a thøc: x + x + H·y gi¶i toán nhiều cách khác Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x) = x − x + 21x + x + k chia hÕt cho ®a thøc: g ( x) = x − x − Bài 5: Tìm tất số tự nhiên k đa thức: f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức: g (k ) = k + Bài 6: Với giá trị a b đa thức: f ( x) = x − 3x + 3x + ax + b chia hết cho đa thức: g ( x) = x − 3x + Bài 7: a) Xác định giá trị a, b c để đa thức: P( x) = x + ax + bx + c Chia hết cho ( x − 3)3 b) Xác định giá trị a, b để đa thức: Q( x) = x − x3 + ax + 3x + chia hết cho đa thức M ( x) = x − x + b c) Xác định a, b để P( x) = x + x − x + a chia hết cho M ( x) = x + x + b Bài 8: Hãy xác định số a, b, c để có đẳng thức: x − ax + bx − c = ( x − a )( x − b)( x − c) Bài 9: Xác định số a cho: a) 10 x − x + a chia hết cho x − b) x + ax + chia cho x − dư c) ax + x − chia hết cho x − Bài 10: Xác định số a b cho: a) x + ax + b chia hết cho x − x + b) ax + bx + x − 50 chia hết cho x + 3x + 10 c) ax + bx + chia hết cho ( x − 1) d) x + chia hết cho x + ax + b Bài 11: Tìm hăng số a b cho x + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x − dư -5 Bài 12: Tìm số a, b, c cho ax + bx + c chia hết cho x + , chia cho x − dư x + Trang 13 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 Bài 13: Cho đa thức: P( x) = x + x − x + ax + b Q( x) = x + x − Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x) Bài 14: Xác định a b cho đa thức P( x) = ax + bx + chia hết cho đa thức Q( x) = ( x − 1) Bài 15: Cho đa thức P( x) = x − x + ax + 3x + Q( x) = x − x + b Xác định a b để P(x) chia hết cho Q(x) Chuyên đề IV: xác định đa thức Dng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không n biết giá trị đa thức n + điểm C1 , C , C ,  , C n +1 ta biểu diễn P(x) dạng: P ( x ) = b0 + b1 ( x − C1 ) + b2 ( x − C1 )( x − C ) +  + bn ( x − C1 )( x − C )  ( x − C n ) Bằng cách thay x giá trị C1 , C , C3 ,, C n+1 vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , b2 ,, bn Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0) = 25, P(1) = 7, P(2) = −9 Giải Đặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) (1) b0 = 25 Thay x lần lượy 0; 1; vào (1) ta được: = 25 + b1 ⇔ b1 = −18 − = 25 − 18.2 + b2 2.1 ⇔ b2 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P ( x ) = 25 − 18 x + x( x − 1) ⇔ P ( x) = x − 19 x + 25 Bài 2: Tìm đa thức bậc P(x), biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = Hướng dẫn: Đặt P( x) = b0 + b1 x + b2 x( x − 1) + b3 x( x − 1)( x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết chia P(x) cho ( x − 1), ( x − 2), ( x − 3) dư P(-1) = - 18 Hướng dẫn: Đặt P( x) = b0 + b1 ( x − 1) + b2 ( x − 1)( x − 2) + b3 ( x − 1)( x − 2)( x − 3) (1) P (−1) = Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P( x) − P( x − 1) = x( x + 1)(2 x + 1), (1) a) Xác định P(x) b) Suy giá trị tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 +  + n(n + 1)(2n + 1), (n ∈ N * ) Hướng dẫn: Thay x 0; 1; 2; vào (1), ta : P (−1) − P( −2) = ⇔ P (−2) = 0, P (0) − P (−1) = ⇔ P (0) = P (1) − P (0) = 1.2.3 ⇔ P (1) = P (2) − P (1) = 2.3.5 ⇔ P (2) = 36 Trang 14 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 Đặt P( x) = b0 + b1 ( x + 1) + b2 ( x + 1) x + b3 ( x + 1) x( x − 1) + b4 ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) (2) Thay x -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: = b0 = b1 ⇔ b1 = 0, = b2 2.1 ⇔ b2 = 3, 36 = 3.3.2 + b3 3.2.1 ⇔ b3 = = 3.(−1)(−2) + 3.( −1)(−2)(−3) + b4 (−1)(−2)(−3)(−4) ⇔ b4 = Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 1 P ( x ) = 3( x + 1) x + 3( x + 1) x ( x − 1) + ( x + 1) x( x − 1)( x − 2) = x ( x + 1) ( x + 2) 2 (Tuyển chọn thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P( x) = ax + bx + c, (a, b, c ≠ 0) Cho biết 2a + 3b + 6c = 1 1) Tính a, b, c theo P(0), P , P(1) 2 1 2) Chứng minh rằng: P(0), P , P(1) âm dương 2 P (0) = 19 Bài 6: Tìm đa thức bậc hai, cho biết: P(1) = 85 P (2) = 1985 Chuyên đề V: Tớnh chia ht với số nguyên Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hƯ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thức phụ thuộc vào n (n N n ∈ Z) a/ §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số + Trong k số liên tiếp tồn sè lµ béi cđa k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 với số tự nhiên n Giải: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: Trang 15 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu 5040 Năm học2011-2012 - Tån bội số (nên A M5 ) - Tồn bội (nên A M7 ) - Tồn hai bội (nên A M9 ) - Tån t¹i béi cđa ®ã cã béi cđa (nªn A M 16) VËy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố cïng ⇒ A M 5.7.9.16= VÝ dô 2: Chng minh với số nguyên a : a/ a3 –a chia hÕt cho b/ a5-a chia hÕt cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) ã Cách 1: Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho - NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M (1) 2-1 = (5k2 1) -1 = 25k2 - NÕu a= 5k ± th× a 5 ± ± 10k M ⇒ A M (2) 2+1 = (5k 2)2 + = 25 k2 20k +5 ⇒ A (3) - NÕu a= 5k ± th× a ± ± M Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M ∀ n ∈ Z 5, C¸ch 2: Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho : + Một số hạng tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 2-1) 5a (a M Do ®ã a5-a M * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M ⇒ a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M ⇒ a5-a M 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an bn = (a b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - - abn-2+ bn-1) (HĐT 9) - Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái sè liỊn trªn Trang 16 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 M VËy AM 17 17 n – = 16 n + – mà n lẻ 16 n + 16+1=17 - Nếu n lẻ : A = 16 M (HĐT 9) A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1) n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 - Nếu n lẻ A = BS17 – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 n số chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết ã VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004.2004 Giải: Xét 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có cïng sè d chia cho 2003 Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( ≤ n nên 3n > Ta lại có: 3n < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 5n 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – = ⇒ n = Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 5n 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) BiÕn ®ỉi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố 3 c/ A = n + 3n Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) M 4 Hai số n n + chẵn VËy hc n , hc n + chia hÕt cho - NÕu n = th× A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k víi k ∈ Z, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - NÕu n + = th× A = 1, không số nguyên tố - Nếu n + = 4k víi k ∈ Z, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số VËy víi n = th× n + 3n số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi: - Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: - Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn - Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách đà suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI tr ờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 Chuyên đề VI: Tam giác phân giác C ác toán tổng quát đờng phân giác 1/ Cho ABC vụựi AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác N ( khác A ) thuộc đường phân giác góc A Chứng minh : a/ AB – AC > MB – MC Trang 21 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 b/ AB + AC < NB + NC 2/ Ba đường phân giác AD , BE , CF ∆ ABC gặp O Từ O dựng OG vuông góc với BC a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A c/Tính góc GOD theo góc B góc C 3/ Cho ∆ ABC , đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L giao điểm AA’ B’C’ , K giao điểm CC’ A’B’ Chứng minh : BB’ phân giác góc KBL 4/ Cho ∆ ABC có dộ dài cạnh a,b,c l a , lb , lc độ dài đường phân giác 1 1 1 ứng với cạnh BC , CA , AB Chứng minh : a + b + c < l + l + l a b c HƯỚNG DẪN E c Chú ý nhận xét : + Ta tạo đoạn thẳng b+c cách từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC E A 2bc = 2c + 2b (1) ( tương tự a C B D la với trường hợp lại ) cách tính BE ( liên a quan đến b , c , la ) Qua B veõ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA E ∆ ABE cân E Xét ∆ ABE ta coù : BE < AB + AE = 2AB = 2c b BE CE Xeùt ∆ CBE ta coù : AD // BE ⇒ AD = AC AD.CE l a (b + c) = < 2c ⇒ AC b 1 Chứng minh tương tự ta coù : l > 2a + b ⇔ BE = b+c 1 > = + (1) la 2bc 2c 2b 1 1 (2) > + (3) 2c l c 2b 2a Laáy (1) + (2) +(3) suy điều phải chứng minh 5/ Cho tam giác ABC có phân giác AY , BZ , CX Chứng minh : AX BY CZ + + ≥ XB YC ZA A Trang 22 HƯỚNG DẪN Nhận xét ý : + Bài toán cho đường phân giác nên TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu B đến ý đến tính chất đường phân giác tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh bất Z X đẳng thức Năm học2011-2012 nên ý đến BĐT ý C Y BĐT Côsi AX BY CZ p dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương XB ; YC ; ZA ta coù : AX BY CZ AX BY CZ + + ≥ 3 XB YC ZA XB YC ZA AX BY CZ b c a AX BY CZ = + ≥ Do XB + XB YC ZA a b c YC ZA Theo tính chất đường phân giác : Dấu “=” xảy a = b = c tức ∆ ABC 6/ Cho ∆ ABC , ba đường phân giác AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC SDEF = ¼ SABC 8/ Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh a , b , c Vẽ phân giác AD , BE , CF Chứng minh SDEF ≤ ¼ SABC , dấu “=” xảy ⇔ ∆ ABC 2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC 1/ Cho ∆ ABC , đường phân giác BD , CE Tính số đo góc tam giác BDE = 240 , CED = 180 2/ Cho ∆ ABC , góc B C cóù tỉ lệ : , phân giác góc A chia diện tích tam giác theo tỉ số 2: Tính góc tam giác 3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho ∆ ABC có hai đường phân giác BD , CE cắt I Biết ID = IE Chứng minh ∆ ABC cân A BAC = 600 HƯỚNG DẪN A E’ D E I C Trang 23 B TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 AI đường phân giác góc A Khi hai ∆ IEA ∆ IDA xảy hai trường hợp : a/ ∆ IEA = ∆ IDA Khi : BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC caân A b/ ∆ IEA ∆ IDA không ⇒ ∆ ABC không cân A Không tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ AB cho IE’ = IE = ID ⇒ ∆ IE’E caân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800 ⇒ A + DIE = 1800 ⇒ A + BIE = ICB + IBC ⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Maø BIE + DIE = 180 vaø A + B + C = 1800 ⇒ A + 2A = 1800 ⇒ A = 600 4.CỰC TRỊ 1/ Cho ∆ ABC với AB ≤ AC AD đường phân giác Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho BM.CN = k không đổi ( k < AB ) Xác định vị trí M , N cho diện tích tứ giác AMDN lớn HƯỚNG DẪN Nhận xét : 1/ BM + CN ≥ BM CN A 2/ SAMDN = SAMD + SADN 3/ M M K N H B D C k B H ñv E Hạ DH , DK vuông góc với AB AC Ta có : DH = DK = số ( AD phân giác góc A ) 2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1) p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN : BM + CN ≥ BM CN = k , daáu “ = “ xảy ⇔ BM = CN Thay vào (1) ta : 2SAMDN ≤ DH(AB+AC- k ) Diện tích tứ giác AMDN lớn BM = CN = k < AB ≤ AC Trang 24 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 Lúc SAMDN = ½ (AB+AC - k ) Dễ dàng dựng đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( đơn vị dài ) Cách dựng : Trên BC lấy E cho BE = BF lấy H cho BH = k Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn M BM có độ daứi can dửùng Chuyên đề VIi: Tam giác - đờng cao -trung tuyến I.Các toán đờng cao 1/ Cho ∆ ABC coù a > b > c Chứng minh : a/ < hb < hc b/ a + ≥ b + hb 2/ Cho ∆ ABC có ba cạnh a , b , c ba đường cao , hb , hc Chứng minh 1 + + = hb hc p( p − a) + p ( p − b) + p ( p − c) tam giác ABC tam giác ( p nửa chu vi ∆ ABC 3/ Chứng minh tam giác cóù cạnh không tổng cạnh lớn đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ đường cao tương ứng 4/ Cho ∆ ABC có đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ CC’ I , J , K , L Chứng minh điểm I , J , K , L thẳng hàng 5/ Cho ∆ ABC , đường cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB Gọi B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K Chứng minh BI CK đường cao ∆ ABC ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC 1/ Chứng minh ∆ ABC ta coù : p2 ≥ ha2 + hb2 + hc2 ( p nửa chu vi tam giác ABC ) 2/ Cho ∆ ABC Xác định điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc cạnh BC , CA , AB cho chu vi ∆ MNP nhỏ ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ 1/ Cho điểm A , B cóùá định điểm M di động cho ∆ MAB cóù góc nhọn Gọi H trực tâm ∆ AMB , K chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn KH.KM TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC Trang 25 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 1/ Đường cao đường phân giác vẽ từ đỉnh A ∆ABC tạo thành góc Tính góc đo theo góc B C tam giác ABC ( chứng minh góc nửa hiệu hai góc B C ) HƯỚNG DẪN A Chú ý vànhận xét : + D nằm H trung điểm M ( chứng minh B H D E C phần sau ) + Tìm cách tạo góc B – C tính B-C Cách : Từ A vẽ tia AE cho CAE = BAH Suy : HAD = DAE , HAE = HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = HAD Caùch : B = 900 – BAH C = 900 – CAH B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = HAD 1.1/ Cho ∆ ABC đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt cạnh AB kéo dài D Chứng minh góc EDC nửa hiệu góc A B 1.2/ Đøng phân giác kẻ từ đỉnh A ∆ ABC tạo với cạnh BC góc 30 Tìm hiệu góc C B ( Cho AB > AC ) 1.3/ Chứng minh tam giác hiệu góc đáy 90 đường phân giác đường phân giác góc đỉnh II TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN 1/ Chứng minh tam giác ta có : 20 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) HƯỚNG DẪN A P Q N G B M C + Trong tam giác ta có : ma + mb + mc < a + b + c Trang 26 TrườngTHCS Nguyễn đình chiểu Năm học2011-2012 ⇒ ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) ( ) Do : ma2 + mb2 + mc2 = 3a + 3b + 3c a2 + b2 + c2 Neân ( ) ⇔ 2(mamb + mbmc + mcma ) < + ( ab + bc + ca ) ab + bc + ca < + ( ab + bc + ca ) ⇔ (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * ) + Keû PQ // AM ; AM , BN , CP laø trung tuyến ∆ ABC ∆ PQG có cạnh : 1 a b c ma ; mb ; mc trung tuyến ; ; 3 4 Aùp dụng bất đẳng thức ( * ) vào ∆ PQG ta coù : a b b c c a 1 1 1 ( + + ) < ma mb + mb mc + mc ma 20 ⇔ ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) 2/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AM Một cát tuyến ∆ quay quanh trọng tâm G cắt AB , AC P Q Chứng minh : AB AC + AP AQ không phụ thuộc vị trí ∆ 3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng qua trọng tâm G ∆ ABC , cắt cạnh AB , AC E , F Hãy xác định vị trí điểm E cho AE + AF đạt giá trị nhỏ ( Mở rộng ) 4/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AD Từø điểm M BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB E , cắt AC F Chứng minh : 2AD = ME + MF HƯỚNG DẪN Chú ý nhận xét : + 2AD = ME + MF ⇔ ME + MF =2 AD + Tạo đoạn thẳng ME + MF Trang 27 ... năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1 980 Chuyên đề VI: Tam giác phân giác C ác toán. .. hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) M 16 Ta cã 51994 = 56(51 988 – 1) + 56 mµ 56 M4 vµ 51 988 – = (54)497 – chia hÕt cho 16 ⇒ ( 51994)3 56(51 988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625 ⇒ 51994 = BS10000... 98 H·y tÝnh : E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị biểu thức sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x20 08 + y2008