WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán Giáo viên : Phan Đức Thành Trường THCS Quỳnh vinh Phương trình nghiệm nguyên lĩnh vực khó,đa dạng phương pháp giải,linh hoạt cách suy luận…Tuy nhiên,ở mức độ đó,chúng ta “ trấn an” học sinh cách cung cấp tập cách hệ thống kèm theo phương pháp điển hình…và qui trình bắt buộc (nếu có) Với phạm vi bồi dưỡng HSG thi cấp huyện, chuyên đề ưu tiên đề cập dạng Giải phương pháp phân tích, phương pháp khác Chẵn lẻ,Cực hạn, Dùng bất đẳng thức, Loại trừ ,Chia hết, Đồng dư, Xuống thang…chỉ giới thiệu với mục đích tham khảo làm cho học sinh có khái niệm chúng mà thơi i Giải phương pháp phân tích Vài lưu ý giảng dạy phương pháp này: - Chuyên đề đề cập đến kiểu phân tích: thành tích,thành tổng luỹ thừa, thành tổng dạng liên phân số (Kiểu phù hợp với trình độ thi HSG cấp huyện) - Cần phải nhắc nhở rõ : Chỉ có tập Z (hoặc hẹp số tự nhiên,tập số nguyên tố) việc phân tích số nguyên thành tích thừa số tổng luỹ thừa thực Điều không thực số tập R (vì có vơ hạn khả năng),để tránh nhầm lẫn đáng tiếc giống trường hợp sau: Bài tập: Giải pt: x 2+2x-3 = Có h/s giải:  x(x+2) =3 Giải khả chọn x=1, x=-3 ! ( Một trùng hợp thú vị) H/s không đọc kỹ đề (giải R),vì mắc mắc sai lầm lớn - a/ Đối với dạng phân tích thành tích +) Dạng đơn giản: Không cần giải hệ mà giải ước, thay giá trị vừa tìm vào phương trình suy nghiệm (BT: 1; 2; 5; 9; 10; 11) Loại toỏn sau phân tích có dạng ( x ± a)( y ± b) = (Nhân tử chứa biến) mà a b số +) Dạng phải giải hệ tập sau biến đổi phương trình có dạng (ax ± by ± m)(a ' x ± b' y ± n) = (nhân tử chứa nhiều biến) ,trong trường hợp có nhiều khả nhận xét để loại bỏ bớt ( BT: 3; 4; 7) Cũng phải nhận xét tập xác định đặc điểm riêng biệt để loại bỏ bớt khả ( BT: 8; 9) +) Dạng nghiệm nguyên phương trình bậc hai ẩn lưu ý phải giải theo Đk cần ( ∆ phương) phải kiểm tra khả xảy chọn nghiệm thoả mãn Loại dùng vào cuối năm lớp (Bài12 đến 17) -b/ Đối với dạng Phân tích thành tổng luỹ thừa Khi khơng phân tích thành tích nghĩ đến Cần chọn cách viết hợp lý để phân tích -c/ Dạng liên phân số cách cho đề rõ, cần lưu ý là: phân số phân tích thành liên phân số, kết phân tích nhất,do việc đặt tương ứng thành phần hợp lý WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Bài tập GiảI phương pháp phân tích a Phân tích thành tích 1, Tìm nghiệm nguyên phương trình: a x + y = xy ; b x + xy + y = ; c xy + x + y = 21 (thi chọn HSG lớp 8-2003-2004) d p ( x + y ) = xy với p số nguyên tố 2, a Tìm x, y thuộc N: x − xy = x + y = z b Tìm x, y, z thuộc N* thỏa mãn   xy = 2( x + y + z ) Hay tìm tam giác vng có số đo diện tích số đo chu vi (Thi chọn HSG lớp năm 2001-2002) 3, Giải phương trình sau Z a x + 10 xy + y = 96 c x + x − y = b x + xy − y − = d x − y = 91 4, Tìm số nguyên x để x + x + số phương (Sơ tuyển 2004-2005) 5, Tìm tất cặp số nguyên dương cho tổng số với số thỡ chia hết cho số 6, Tìm n ∈ N cho + 211 + n số phương 7, Tìm nghiệm ngun phương trình: y = x ( x + 1)( x + 7)( x + 8) 8, Tìm x, y, z ∈ N* để: y z + ( y − xy ) z + x( x − y ) = 9, Tìm xy cho ( x − y ) = xy + 10, Tìm x;y nguyên phương trình: x − xy = x + y − 19 (Sơ tuyển 2006-2007) 11,( Sơ tuyển 2002-2003) Hai đội cờ vua hai trường thi đấu với nhau, đấu thủ đội phải đấu vỏn với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ phải đấu lần tổng số đấu thủ hai đội hai đội có số đấu thủ số lẻ Tìm số đấu thủ đội 12.Tìm n nguyên để nghiệm pt : x2- (4+n)x +2n = nguyên 13 Tìm n nguyên để nghiệm pt : x2-(4+n)x+ 4n- 25 = nguyên 14 Tìm số p nguyên tố,biết pt: x2+px-12p = có nghiệm nguyên 15.Tìm m; n ∈ N cho nghiệm phương trình: x2-m(n+1)x +m +n +1 = số tự nhiên 16, Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn phương trình: a x + y + 3xy + 3x + y = 15 b x − 10 y − xy + y − y = 17, Tìm x, y ∈ Z thỏa mãn phương trình: a 12 x + xy + y = 28( x + y ) ; b 7( x + y ) = 3( x − xy + y ) b Phân tích thành tổng luỹ thừa WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net y = −2( x − x y − 32) 1, Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + z − xy − yz − z = 2, Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: x − xy + y = 169 4, Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: a x + 13 y − xy = 100 b x − x − = − y x + y + z + xy + xz + yz = 26 5, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: x + y − y = 65 − y 6, Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: 7, Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: y = + − x − 2x ( Thi HSGlớp 9- huyện Quỳnh lưu 2005-2006) 8, Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: a x + z − 15 x z = x y z − ( y + 5) b ( x + y + 28) = 17( x + y + 14 y + 49) c phân tích thành liên phân số x+ = 10 z 31( xyzt + xy + xt + zt + 1) = 40( yzt + y + t ) 2, Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : 3, Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: 55( x y + x + y ) = 229( xy + 1) 4, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau: 7( x y + x + xy + y ) = 38 xy + 38 1, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau y+ II-HƯỚNG DẪN GIẢI A, PHÂN TÍCH THÀNH TÍCH x + y = xy ⇔ xy − x − y = ⇔ x( y − 1) − ( y − 1) = ⇔ ( x − 1)( y − 1) = a/ ⇒ ( x − 1) ∈ {1;−1} ) x − = ⇒ x = ⇒ y = cặp nghiệm (2;2) ) x − = −1 ⇒ x = ⇒ y = cặp nghiệm (0;0) x + xy + y = ⇔ x( y + 1) + ( y + 1) = 10 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 10 b/ Suy x + ước 10 Suy x + ∈ { ± 1;±2;±5;±10} suy x ∈ { 0;−2;1;−3;4;−6;9;−11} Thay giá trị x vào phương trình cho thu y tương ứng Các nghiệm ph.t là: (1;4); (4;1); (-3;-6); (-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2) c/ 2xy+x+y=21 4xy+2x+2y+1=43 (2x+1)(2y+1)=43  2x+1 ước 43 => ∈ {1;−1;43;−43} ⇒ x ∈ { 0;−1;21;−22} Thay giá trị vào pt ta có giá trị y tương ứng là: 21;-22; 0; -1 1, Vậy phương trình có nghiệm (x;y)= (0;21) ; (-1;-22) ; (21;0); (-22;-1) d/ p ( x + y ) = xy ⇔ xy − px − py = ⇔ x( y − p ) − p ( y − p ) = p ⇔ ( x − p )( y − p ) = p Suy x − p ∈ ± 1;± p;± p Do tính chất đối xứng ta có nghiệm (0;0); (2p;2p); (p+1;p 2+p); (p2+p;p+1); (p-p2;p-1); (p-1;p-p2) { } ( ) 2, a/ x − xy = ⇔ x x − y = x ∈ Ν ⇒ x ∈ {1;5} ⇒ y tương ứng { − 2;74} Nghiệm phương trình (x;y) = (5;74) vỡ y = -2 bị loại WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net b/  x + y = z (1) ⇒ z = ( x + y ) − xy x, y, z ∈ Ν từ hệ   xy = 2( x + y + z )(2) Suy z = ( x + y ) − 4( x + y + z ) (*) * (*) ⇔ ( x + y ) − 4( x + y ) + = z + z + ⇔ ( x + y − 2) = ( z + ) Do x + y − ≥ ⇔ x + y − = z + ⇔ z = x + y − thay kết vào (2) ta xy = 2( x + y − ) ⇔ xy − x − y = −8 ⇔ x( y − ) − 4( y − 4) = ⇔ ( x − )( y − ) = Suy x − ∈ { ± 1;±2;±4;±8} ⇒ x ∈ { 5;3;6;2;8;0;12;−4} Giỏ trị x = 0; -4 bị loại nên y tương ứng là: {12;-4;8;0;6;5} Giỏ trị y = -4; bị loại nên z tương ứng là: {13;10;10;13} Các nghiệm phương trình (5;12;13); (12;5;13); (6;8;10); (8;6;10) Giải hệ Z x + 10 xy + y = 96 ⇔ x + 12 xy + y − x + xy + y = 96 a/ ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) = 96 ⇔ ( 3x + y )( x + y ) = 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 16 ( Các hoán vị trỏi dấu (-).(-) nên có 24 khả ) ( ) ( ) Nhận xét: Do ( 3x + y ) + ( x + y ) = x + y số chẵn nên khả tổng thừa số số lẻ bị bỏ: 1.96; 3.32 nên ta giải 16 hệ 16 nghiệm (x,y)=(-94;71); (44;-21);(94;-71);(-44;21);(-14;34);(14;-34);(16;-6);(-16;6);(-26;21); (26;-21);(4;1);(-4;1);(-16;14);(16;-14);(-4;6);(4;-6) b/ x + xy − y − = ⇔ x − y + x + xy = ⇔ ( x + y )( x − y ) + x( x + y ) = ( x + y )( x − y ) = = ⋅ = ⋅ hoán vị đổi dấu chúng ( ) ( ) Nhận xét: ( x + y ) + ( x − y ) = x để x ∈ Z khả từ 1.9 bị loại 1+9 = 10 (-1)+(-9) = -10 bị loại,( ± 10 không chia hết cho 3) nên giải2 hệ 3.3 (-3)(-3)  x + y =  x =    2 x − y = ⇔   y = =>   x = −2 nên phương trình có nghiệm (2;1); (-2; -1)  x + y = −3     x − y = −3  y = −1   c/ x + x − y = ⇔ x + x − y = ⇔ ( x + 1) − ( y ) = 2 ⇔ ( x + y + 1)( x − y + 1) = = ⋅ = ( − 1)( − 1) Giải hệ nghiệm (0; 0); (-1; 0) x − y = 91 ⇔ ( x + y )( x − y ) = 91 = ⋅ 91 = ⋅ 13 d/ Giải hệ nghiệm (x,y) = (46;45); (46;-45); (-46;45); (-46;-45) WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net (10;3); (-10;3) ; (-10;-3); (10;-3) 1 23  2 2 Đặt x + x + = m với m ∈ Z => x + x + − m = ⇔  x + ⋅ x +  − m = − 4  1 23  1 23   ⇔  x +  − m = − ⇔  x + m +  x − m +  = − 2  2   ⇔ ( x + 2m + 1)( x − 2m + 1) = −23 = −23 ⋅ = 23 ⋅ (−1) (*) Và hoán vị nên ta giải hệ : 2 x + 2m + = −23   x = −6    2 x − m + = m = −6 2 x + 2m + = 23  x =     x − m + = −1  m = ⇔ (*) ⇒   2 x + m + =   x = −6  2 x − 2m + = −23  m =      x + m + = −1  x = 2 x − 2m + = 23 m = −6   Như có giá trị x thoả mãn x=5; x= -6 5, Gọi x, y số nguyên dương cần tìm suy x + 1y y + 1x Nên ( x + 1)( y + 1) = p ⋅ xy (∗) với p ∈ N ⇔ xy + x + y + = pxy 1 = p −1 Do x ≥ 1; y ≥ ⇒ chia vế (*) cho xy suy  + + x y xy 1 ≤ ⇒ < p − ≤ ⇒ p ∈ { 2;3;4} Do + + x y xy Nếu p = ,khi phân số ≤ có tổng 3=> phân số => x=y=1 1 y + y − − ( y − 2) = ⇔ x + y + = xy ⇔ y + = x( y − 1) ⇒ x = = Nếu p = ⇒ + + x y xy 2y −1 2y −1 y−2 =1− 2y −1 y−2 ∈ Ζ ⇔ y = { 2;1} ⇒ x = {1;2} suy có nghiệm (1; 2); (2; 1) Do y ≥ ⇒ 2y −1 1 y +1 = ⇔ x + y + = xy ⇔ x( y − 1) = y + ⇒ x = = 1+ Nếu p=2 ⇒ + + x y xy y −1 y −1 Để x ∈ Ζ ⇔ y = { 2;3} ⇒ x = { 3;2} suy có nghiệm (3; 2); (2; 3) Kết luận: Phương trình cho có nghiệm (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3;2) Chú ý: Trường hợp p =3; p =2, phương trình có dạng tập nên giải cách phân tích thành tích ( nhớ x,y nguyên dương) WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net (2 y − 1) = ⇔ (2 x − 1)(2 y − 1) = 2 ⇒ x − ∈ { ± 1;±3} ⇒ x ∈ {1;2} ⇒ y ∈ { 2;1} Vậy p.t có nghiệm : (1;2);(2;1) Ví dụ: p=3 => x+y+1=2xy  x(2y-1)- 2560) Đặt + 211 + n = A Thử n ≤ thấy A khơng phương (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336; 2368; 2442; Với n > ta có A= ( n −8 + + 1) = ( n −8 + ) Do 28 phương nên để A phương n-8 +9 = m2 với m ∈ N* ⇔ ( m + 3) ⋅ ( m − 3) = n −8 m + = a  ⇔ với a,b ∈ N a > b m − = b  2 a ⋅ b = n −8 (1)  ⇔ a 2 − b = 6.(2) ⇒ b a −b − = 6(*)  b Suy ước 6, hay 2b ∈ {1; 2; 3; 6} ⇒ b ∈ {0; 1} (chỉ nhận 1;2; cịn 3;6 loại) a thay vào (2) ta có ∈ {7; 8} suy a =3 (chỉ nhận 8, ứng với b=1; loại ) Vậy b =1; a = suy n = a + b + = 12 Với n =12 ta có + 211 + 212 = + = 80 thoả mãn yêu cầu toán ( ( ) ) ( )( ) ( y = x( x + 1)( x + )( x + 8) ⇔ y = x + x x + x + 7 Đặt z = x + x ⇒ y = z ( z + ) ⇔ y − z − z = ⇔ y − z + ⋅ z ⋅ + 49 + 49 = ⇔ ( y ) − ( z + ) = −49 ) ⇔ ( y − z − )( y + z + ) = −49 = −1 ⋅ 49 = −7 ⋅ Giải khả có hệ  y + z + = −1 ⇒ *)  2 y − z − = 49  y = 12 ;   z = −16 2 y + z + =  y = −12 ⇒ *)  2 y − z − = −49  z = 2 y + z + = 49  y = 12 ⇒ *)   y − z − = −1  z = 2 y + z + = −49  y = −12 ⇒ *)  2 y − z − =  z = −16 2 y + z + = −7  y = ⇒ *)  2 y − z − =  z = −7 2 y + z + = y = ⇒ *)   y − z − = −7  z = Giải phương trình đặt cho z *) z = -16 ⇒ x + x = −16 ⇔ ( x + ) = ⇒ x = −4 ⇒ ( − 4;12 ) ; ( − 4;−12 ) WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net *) z = ⇒ x + x = ⇔ x = 1; x = −9 ⇒ (1;12 ) ; (1;−12 ); ( − 9;12 ) ; ( − 9;−12) *) z = ⇒ x + x = ⇔ x = 0; x = −8 ⇒ ( 0;0 ); ( − 8;0 ) *) z = -7 ⇒ x + x = −7 ⇔ x = −1; x = −7 ⇒ ( − 1;0) ; ( − 7;0 ) Vậy phương trình cho có 10 nghiệm y z + y − xy z + x( x − y ) = ⇔ y z + y z − xyz + x − xy = ⇔ −2 xyz + x − xy = − y z − y z ⇔ y z − xyz + x − xy + y z = − y z − y z + y z + y z ( ) y y2  ⇔ ( yz − x ) + y ( yz − x ) = y z ( z + − yz − y ) ⇔  yz − x +  = y z ( z + 1)(1 − y ) + (*) 2  y2 Do VT ≥ ⇒ VP ≥ ⇔ ≥ y z ( z + 1)( y − 1) ( Đổi dấu 1- y) y2 ⇔ y = y > ⇒ > y vơ lí (chú ý: x;y;z ∈ N * ) 1  z − x + = z = x 1  ⇒ Khi y =1 phương trình cho trở thành (*) ⇔  z − x +  = ⇔  2  z = x −1 z − x + = −  2  Phương trình cho có vơ số nghiệm (n; 1; n); (n; 1; n-1) với n ∈ N* 2 Tìm xy cho ( x − y ) = xy + Đk x, y chữ số ,x ≠ ( x − y ) = xy + ⇔ x − x y + y − xy − = ( ⇔ (x ⇔ (x ) ( ) ⇔ x + x y + y − x y + xy + = 2 ) + y − ( xy + 1) = + y − xy − x + y + xy + = x2+y2+2xy+1 >0 2 )( ) ⇔ x + y − xy − = ⇔ ( x − y ) − = 2  x = y − ⇒ xy = 12;23;34;45;56;67;78;89 ⇔ ( x − y + 1)( x − y − 1) = ⇔   x = y + ⇒ xy = 10;21;32;43;54;65;76;87;98  Có 17 số thoả mãn yêu cầu 10 x − xy = x + y − 19 ⇔ x( x − y ) − x + ( x − y ) + 19 = ⇔ ( x − y )( x + 1) − 3( x + 1) + 22 = ⇔ ( x + 1)( x − y − 3) = −22(*) ⇒ x + ước 22 Hay x + ∈ { ± 1;±2;±11;±22} ⇒ x ∈ { 0;−1;5;−6} ,(Các ước ± 2;±22 bị loại 2x+1 lẻ)… Thay vào phương trình (*) có y tương ứng y ∈ {19;−26;4;−11} Vậy phương trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11) 11 Theo ta có phương trình: xy = 2( x + y) (*) x, y thuộc Z+ x lẻ WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net (*) ⇔ − xy + x + y = ⇔ x( − y ) + y = ⇔ x( − y ) − 2( − y ) = ⇔ ( x − )( − y ) = ⇒ x − ∈ Ư(4)={ ± 1; ± 2; ± 4} ⇒ x ∈ { 3;1;4;0;6;2} ⇒ x = {1;3} x lẻ Thay x=1; x=3 vào phương trình (*) ta kết y ∈ { − 2;6} ;-2 bị loại Vậy số đấu thủ hai trường 3; 12.Tìm n nguyên để nghiệm pt : x2- (4+n)x +2n = nguyên Vì hệ số pt nguyên nên đk cần ∆ = n + 16 > số phương Đặt n2+16 = k2; k ∈ Z ⇒ n − k = −16 ⇔ (n + k )(n − k ) = −1.16 = −2.8 = −4.4 Để ý : (n+k) +(n-k)=2n số chẵn, nên khả năng-1.16 bị loại( tổng thừa cố =15(lẻ), cịn phải xét khả có từ -2.8 -4.4.Kết cho bảng sau: n+k n- k n -2 -8 -3 -8 -3 -2 -4 -4 Ta kiểm tra lại cho khả có n=-3;0;3 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp) *) n = => x2-7x+6 = =>x =1;6 , nghiệm thoả mãn => n = thoả mãn *) n =-3 => x2-x-6 = =>x = -2;4 , nghiệm thoả mãn => n = -3 thoả mãn *) n = => x2- 4x = =>x = 0;4 , nghiệm thoả mãn => n = thoả mãn Vậy có giá trị thoả mãn : n = -3;0;3 13 Tìm n nguyên để nghiệm pt : x2-(4+n)x+ 4n- 25 = nguyên Vì hệ số pt nguyên nên đk cần ∆ = (n − 4) + 100 > số phương Đặt (n-4)2+100 = k2; k ∈ Z ⇒ (n − − k )(n − + k ) = −100 = −1.100 = −2.50 = −10.10 Để ý : (n-4+k) +(n-4-k)=2n số chẵn, nên khả năng-1.100 bị loại( tổng thừa cố =99(lẻ), cịn phải xét khả có từ -2.50 - 10.10 Kết cho bảng sau: n- 4+k n- - k n 50 -2 28 -50 -20 - 50 -20 -2 50 28 10 - 10 Ta kiểm tra lại cho khả có n=- 20;4;28 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp) *) n = 28 => x2-32x+87 = =>x =3;29 , nghiệm thoả mãn => n = 28 thoả mãn *) n =- 20=>x2+16x-105 = =>x =-21;5, nghiệm thoả mãn => n =-20 thoả mãn *) n = => x2- 8x - = =>x = -1;9 , nghiệm thoả mãn => n = thoả mãn Vậy có giá trị thoả mãn : n = - 20;4;28 14 Tìm số p nguyên tố,biết pt: x2+px-12p = có nghiệm nguyên WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net - 10 10 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Vì hệ số pt nguyên nên đk cần ∆ = p (48 + p ) > số phương Do p số nguyên tố =>đk cần là: 48 + p p ⇒ 48p ⇒ p = 2;3 Với p = ⇒ ∆ = 100 ⇒ x + x − 24 = ⇒ x = 4;−6 nghiệm nguyên,p=2 TMĐK Với p = ⇒ ∆ = 153 , khơng phương nên p = bị loại Vậy p = số nguyên tố cần tìm 15.Tìm m; n ∈ N cho nghiệm phương trình: x2-m(n+1)x +m +n +1 = số tự nhiên Gọi x1 ; x nghiệm pt,khi ,theo Viet ta có:  x1 + x = m(n + 1) (1) ⇒ x1 x − x1 − x = n − mn + ⇔ ( x1 − 1)( x − 1) = n(1 − m) +   x1 x = m + n + (2) ⇔ n(m − 1) + ( x1 − 1)( x2 − 1) = (*) Do x;m;n số tự nhiên,nên ,từ pt (2) hệ Viet ta có : x1 ; x ≥ Kết hợp đk với pt (1)=> m> => vế trái (*) tổng số khơng âm Vì VP = có cách viết là: = 0+2 = 2+0 = 1+1 Giải khả Cụ thể là: n(m − 1) = (1) ⇒ (n; m) = (1;3), (2;2) ⇒ x = 1;5 a)  ( x1 − 1)( x − 1) = (2) (Tính m;n từ (1) ,do có kết quả, sau thay cặp (m;n) vào pt để tìm x….) n(m − 1) = (1) ⇒ (n; m) = (1;2) b) (Tính trực tiếp  ( x1 − 1)( x − 1) = (2) ⇒ x1; = từ hệ)  n = n(m − 1) = (1) ⇒  c)  m = ( x − 1)( x − 1) = (2) ⇒ ( x ; x ) = (2;3) 2  Khả c) ta tìm giá trị cụ thể m;n trường hợp,với ý pt có nghiệm *) n = Do x=2 nghiệm , nên: 4-2m+m+1 = =>m = 5, =>(m;n)= (5;0) Do x=3 nghiệm , nên: 9-3m+m+1 = =>m = 5, =>(m;n)= (5;0) *) m=1 Do x=2 nghiệm , nên: 4-2(n+1)+1+n+1 = =>n = 4, =>(m;n)= (1;4) Do x=3 nghiệm , nên: 9-3(n+1)+1+n+1= => n = 4, =>(m;n)= (1;4) Vậy cặp (m;n) có (m;n)= (3;1);(2;2),(2;1),(1;4),(5;0) 16 Các tập 16 dạng, có qui trình giải đặc biệt ( pt bậc hai cho ẩn,xem ẩn tham số- giống m;n ) a.+ Nhóm theo x ( xem y tham số) x + y + 3xy + 3x + y = 15 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net ( ) ⇔ x + 3x( y + 1) + y + y = 15(*) +Thêm bớt vào vế với số m (tạo cho ∆ vế trái phương) (*) ⇔ x + 3x( y + 1) + y + y + m = 15 + m + Chọn m cho ∆ vế trái phương ( đảm bảo Đk cần cho x ∈ Ζ ) ⇔ ∆ = 9( y + 1) − y + y + m = y − y + − 4m chọn m =2 Khi ∆ = (y-1) x = − y − 2 +Tìm nghiệm VT: VT = ⇔ x + 3x( y + 1) + y + y + = ⇔   x = −2 y − ( ) +Dùng định lý Bơzu ( ⇔ a ( x − x1 )( x − x ) = ) đưa phương trình dạng A.B = m ( Để dùng phương pháp phân tích thành tích) (*) ⇔ ( x + y + )( x + y + 1) = 17 = ⋅ 17 = 17 ⋅ = −1 ⋅ (−17) = −17 ⋅ ( −1) Giải hệ chọn nghiệm ngun ( ∆ phương Đk cần), thử lại x + y + =  x = −18  x + y + = 17  x = 30 ⇔ ⇔ *)  ; *)   x + y + = 17  y = 17 x _ y + =  y = −15  x + y + = −1  x = 12  x + y + = −17  x = −36 ⇔ ⇔ *)  ; *)   x + y + = −17  y = −15  x + y + = −1  y = 17 Phương trình cho có nghiệm : ( -18; 17); ( 30; -15); (12; -15); (-36; 17) b x − 10 y − xy + 3x − y = ⇔ x − x( y − 1) − 10 y − y + m = + m ∆ = 9(3y - 1)2+ 36.(10y2 + 5y - m) = 81 y − 54 y + + 360 y + 180 y − m = 441y + 126 y + − 36m = ( 21 y ) + ⋅ 21 y ⋅ + − 36m chọn m = = ( 21 y + 3) 2y +1 VT = x1 = y; x = − 3  y + 1   = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = Phương trình cho trở thành 9 x − y  x +    Mà Ư(9)= { ± 1; ± 3; ± 9} Giải hệ có thể, thu nghiệm, chọn nghiệm phù hợp  x = 3 x − y = x = 3 x − y =  ⇔ ⇔ *)  ; *)  (loại); 3 x + y + = y = 3 x + y + = y = −   52    x = − 21 3 x − y = −1 3 x − y = −9  x = ⇔ ⇔ (Loại); *)  (loại); *)  3 x + y + = −9 3 x + y + = −1 y = − y =    10 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net ( ) ( ) ⇔ x + x + xy + y + x + y + z + xy + xz + yz = 26 2 ⇔ x + ( x + y ) + ( x + y + z ) = 26 = 12 + + (*) =02+12+52 Với x, y , z ∈ Z + nen ≤ x ≤ x + y ≤ x + y + z (Cách phân tích 26 = 02+12+52 bị loại ,do x= ∉ Z + ) x = x =    2 ⇔  y = phương trình có 1nghiệm (x , y, z) =(1; 2; 1) (*) ⇔ ( x + y ) =  z = 2  ( x + y + z ) =  x + y − y = 65 − y (*) Tìm N: ( ) ⇔ x + y − y + y − = 64 ⇔ x + ( y − 1) = 64 = + = + 3 Giải khả x = x = ⇔  y = y −1 = *) x = 82 x = ⇔ *)  y = y −1 = Vậy phương trình có nghiệm: (0; 5); (8; 0) y2 ≥  Txđ:  4 − x − x ≥  y = + − x − 2x 2 ( ⇔ y2 − ) ( ) = − x − x ⇔ y − + ( x + 1) = = 12 + 2 2  y − = ±1 ⇒ y = 3;1.(loai ) ⇒ Hệ vô nghiệm (do y2 phải số phương) *)  x + = ±2   y − = ±2 ⇒ y = ⇒ y = ±2 *)   x + = ±1 ⇒ x = 0;−2 Vậy phương trình có nghiệm: (-2; -2); (-2; 2);(0;2);(0;-2) Tìm N: a ( ) ⇔ x2 x + z − 15 x z = x y z − ( y + 5) 3 ( ) ( + z + y + = x y z + 15 x z = x z y + ) Theo bất đẳng thức Côsi cho số không âm: a + b + c ≥ 33 abc Ta có: VT ≥ 33 ( x z ( y + 5) = VP 14 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Dấu = xẩy x = z = y + Giải x = y + ⇔ ( x − y )( x + y ) = = ⋅ (*)( lấy khả x - y < x + y x;y số tự nhiên) sau tìm z: x − y = x = ⇔ (*) ⇒  x + y = y = Do x = z ⇒ z = Vậy phương trình có nghiệm là: (3; 2; 9) ( x + y + 28) = 17( x + y + 14 y + 49) (*) b Nhận xét: Vế trái bình phương tổng, vế phải có tượng tổng bình phương [ ( (*) ⇔ x + y + [ )] [ ( )] )[ x + ( y [ ( = 17 x + y + 14 y + 49 = 17 x + y + ( Theo Bunhia có: VT = ⋅ x + y + )] ≤ (1 2 + 42 +7 ) ] = VP ) ] x2 y2 + = ⇔ 4x − y = ⇔ ( x − y )( x + y ) = = ⋅ Do 2x - y < 2x + y 2 x − y = x = ⇔ ⇔ 2 x + y = y = Vậy phương trình có nghiệm (2; 3) Dấu = xẩy khi: c Phân tích thành liên phân số 10 x+ = = 1+ ⇒ x = 1; y = 2; z = 1 Vậy nghiệm Pt (1; 2; 3) y+ 2+ z 31( xyzt + xy + xt + zt + 1) = 40( yzt + y + t ) xyzt + xy + xt + zy + 40 ⇔ = yzt + y + t 31 Nhận thấy x, y, z, t không đồng thời Vì ngượclại 31.(xyzt+xy+xt+zt+1)= Nên cách viết vế trái có nghĩa Thực phép chia đa thức 1 x+ = x+ yzt + y + t t Ta có: VT = y+ zt + zt + 40 1 = 1+ = 1+ 31 31 3+ VP = 2+ 1 31 ⇒ x + =1+ ⇒ y = ∉N 31 Nếu t = loại t = y 9 15 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net ≠ ⇒ VT = x + Nếu t y+ = VP = + z+ t 3+ 1 2+ suy x = 1; y = 3; z = 2; t = Vậy phương trình có nghiệm (1; 3; 2; 4) 55( x y + x + y ) = 229( xy + 1) (*) Do xy3 + ≠ x y + x + y 229 = Nên (*) ⇔ 55 xy + ⇔ x2 + 1  x = x = 1 ⇒ ⇔ x, y ∈ N xy + 6+ y = y =  y Vậy nghiệm pt (2; 3) = 4+ 7( x y + x + xy + y ) = 38 xy + 38 x y + x + xy + y 38 x( xy + 1) + y ( xy + 1) + y 38 = ⇔ = xy + xy + 1 ⇔ ( x + y) + = 5+ ⇒ x = 2; y = 1 x+ 2+ y Vậy nghiệm phương trình (2; 3) ⇔ II-Giải phương pháp “chẵn- lẻ” Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: x2-2y2= Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3- 2y3- 4z3= Bài “Đấu cờ” Sơ tuyển huyện Quỳnh lưu- năm 2002-2003(In phần I) x Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : +y2+y =111 ( Sơ tuyển tỉnh huyện Quỳnh lưu- năm 2005-2006) Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2x+5y+1)( x +y+x2+x) = 105 Tìm số nguyên tố p để (4p+1) số phương Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: xy+1 = z Hướng dẫn giải 1.Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: x2-2y2= (1) (1) => x2=2y2+1=> x2 lẻ => x lẻ=> x=2n+1 =>2y2= (2n+1)2- =4(n2+n) =>y chẵn =>y chẵn => y=2 ( số nguyên tố chẵn nhất) => x=3 Vậy pt có nghiệm (x;y)= (2;3) 16 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net 2.Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2)=> x3 chẵn=> x chẵn x3- 2y3- 4z3= (2) => x = x / ⇒ 8x / − y − 4z = ⇒ y chẵn /3 =>y chẵn =>y = y / ⇒ x / − 16 y − z = ⇒ z chẵn => z chẵn => z = 2z / x0 y z ; ; ) nghiệm 2 x y z A 3 (Thật vậy: Nếu A = x0 − y − z = ⇒ ( ) − 2( ) − 4( ) = = ) 2 Nhận xét: Nếu ( x ; y ; z ) nghiệm ( Lặp lại q trình ta có ( x0 y z ; ; ) nghiệm, với n tuỳ ý Do x;y;z nguyên nên điều 2n 2n 2n xẩy x=y=z=0 Vậy pt có nghiệm (x;y;z) = (0;0;0) (Cách làm nhận xét vừa ta gọi phương pháp “Xuống thang” ) 3.Bài “Đấu cờ” Sơ tuyển tỉnh huyện Quỳnh lưu- năm 2002-2003(In phần I) … ta có pt :xy = 2(x+y)=> xy chẵn,do x lẻ (cách đặt)=>y chẵn =>y = 2t (t >0) 2t = 2+ =>2tx = 2(x+2t) => x = ; x;t nguyên dương nên (t-1) nhận giá trị 1;2 t −1 t −1 Với t-1 = => x= (loại ,vì x lẻ) Với t-1 = => x = =>y= ( TMĐK) Vậy số đấu thủ trường 4.Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : 2x+y2+y =111.(4) ( Sơ tuyển tỉnh huyện Quỳnh lưu- năm 2005-2006) x x (4)  +y(y+1) = 111 Do y(y+1) tích số tự nhiên liên tiếp nên số chẵn 111 lẻ => n n số lẻ => x= ( ý: số chẵn với n > 0; 20=1 số lẻ ) 5.Tìm nghiệm nguyên phương trình: (2x+5y+1)( x +y+x2+x) = 105 (5) Do 105 số lẻ nên thừa số lẻ *) (2x+5y+1) lẻ => y chẵn *) (x2+x)=x(x+1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chẵn, y chẵn => Thay x= vào pht ta thu được: (5y+1)(y+1) = 105 = 1.105 = 3.35 = 5.21 x lẻ=>x = Một số khả bị loại (nhờ y chẵn) như: (5y+1) = 105  5y= 104 => y không nguyên (tương tự cho -105) Hay (5y+1) = 35 5y= 34 => y không nguyên (tương tự cho - 35) 17 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net 5 y + = 21 Giải khả lại ta chọn y = (ứng với  ) y +1 = Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (0; 4) 6.Tìm số nguyên tố p để (4p+1) số phương Giả sử (4p+1) = x2 => x2 lẻ => x lẻ=> x =2n+1 với n số nguyên Khi 4p+1 = 4n 2+ 4n+ 1=>p = n(n+1) => p chẵn => p = (2 số nguyên tố chẵn nhất) Vậy số nguyên tố cần tìm p = 7.Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: xy+1 = z.(7) Do x;y;z số nguyên tố, nên x ≥ 2; y ≥ ⇒ z ≥ ; Vì z lẻ nên xy số chẵn => x chẵn ( Luỹ thừa số lẻ số chẵn) => x = Nếu y số lẻ y=2k+1,(k nguyên dương), đó: z = 2 k +1 + = 2.4 k + = 2(3 + 1) k + = A + (*) (khai triển Niu tơn) Ta thấy 3A+3 chia hết cho  z chia hết cho 3=> Vơ lý ( z số ngun tố) Sự vơ lý khẳng định y phải số chẵn =>y = Vậy nghiệm pt (x;y;z) = (2;2;5) III-giải phương pháp cực hạn Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) x+y+z = xyz ; b) x+y+z+t = xyzt ; c) x+y+z+9 =xyz ; Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x+y+1=xyz Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3+7y = y3+7x xy yz zx + + = Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: z x y Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) 4( x+y+z) = xyz ; b)5( x+y+z+t)+10 = 2xyzt ; c) 2( x+y+z)+9 = 3xyz b)5( x+y+z+t)+7 = xyzt Hướng dẫn giải Phương pháp Cực hạn, (ở góc độ coi PP Bất đẳng thức), thường sử dụng cho phương trình đối xứng loại I-(vai trị ẩn nhau) Thông thường ta giả sử thứ tự để xét cực hạn, sau lấy hốn vị tập nghiệm Nhớ : Số hoán vị n phần tử = n!; 3!= 3.2.1= 6; 4!= 4.3.2.1= 24 Một kỹ thuật quan trọng hay sử dụng loại này,đó kỹ thuật làm trội” Đối tượng áp dụng loại tìm nghiệm nguyên dương(để việc thứ tự đơn giản) 18 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net 1.Tìm nghiệm nguyên dương ph.tr dạng: a(x+y)+b = cxy (a;b;c hệ số) Vai trò ẩn , nên ta giả sử x ≤ y a a2 (cx − a) = +b c c  (cx-a)(cy-a) = a2+bc Đến ta phân tích a2+b thành tích nhân tử giải khả năng,tìm nghiệm lấy hốn vị… a a b 2a + b 2a + b ≤ ⇒1≤ x ≤ Cách 2: Giả sử ≤ x ≤ y ⇒ (1) ⇔ c = + + , từ ta tìm x y xy x c x suy y tương ứng, sau lấy hoán vị Cách 1: a(x+y)+b = cxy (1)  cxy- ax –ay= b y(cx-a)- Đối với tập có 3;4 ẩn ,ta giải theo cách Cụ thể: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z 1 + + ≤ ⇒ ≤ x ≤ ⇒ x = , (do x nguyên dương) Khi (1a) ⇔ = xy yz xz x Thay x=1 vào pht ta y+z+1=yz(*) -Từ áp dụng theo cách (1) với a = b = c =1, ẩn y;z Ta có : ≤ y ≤ ⇒ y = 1;2;3 Cách làm dài(vì phải tính khả năngcủa y),ta dùng cách 1, cụ thể(*)  y(z-1) –(z-1)=  (y-1)(z-1) = 2=1.2 => y=1;z=2 (chú ý “giả sử”) Vậy (1a) có nghiệm (x;y;z) = (1;2;3) Vì vai trị x;y;z nên hoán vị nghiệm thoả mãn (1a) Nghĩa là: (1a) có 3! =6 ( nghiệm) a) x+y+z = xyz (1a) Cụ thể: (x;y;z) = (1;2;3),(1;3;2),(2;1;3), (2;3;1), (3;1;2),(3;2;1) b) x+y+z+t = xyzt (1b) Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t 1 1 + + + ≤ ⇒ ≤ x3 ≤ ⇒ x = , Khi (1b) ⇔ = xyz yzt xzt xyt x Thay x=1 vào (1b) được: y+z+t+1=yzt (*) ⇔ = 1 1 + + + ≤ ⇒ ≤ y ≤ ⇒ y = 1;2 yzt zt yz yt y *) y=1,ta lại có từ (*) z+t+2 =zt z(t-1)-(t-1)=  (z-1)(t-1)= 3=1.3 => z=2; t = 1 (2t-1)= 3+  (2z-1)(2t-1)= 7=1.7 => z =1; t 2 = ( Kết bị loại khơng thoả mãn giả sử y=2 >z=1) Vậy (1b) có nghiệm (x;y;z;t) = (1;2;2;4) Thực hoán vị cho nghiệm ta có 24 nghiệm cần tìm……… *) Với y=2,ta lại có từ (*) z+t+3 = 2zt z(2t-1)- b) x+y+z+9 =xyz (1c) Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z 19 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Khi (1c) ⇔ = 1 12 + + + ≤ ⇒ ≤ x ≤ 12 ⇒ x = 1;2;3 Xét khả cho x xy yz xz xyz x *) x=1=> (1c) yz-y-z = 10  (y-1)(z-1)=11=1.11 => y=2; z=12 (TMgiả sử) *) x=2=> (1c) 2yz-y-z = 11  (2y-1)(2z-1)=23=1.23 => y=1; z=12 (khôngTMgiả sử) *) x=3=> (1c)3 yz-y-z = 12  (3y-1)(3z-1)=37=1.37 => 3y=2; 3z=38 ( loại y;z khơng ngun) Vậy (1c) có nghiệm (x;y;z) = (1;2;12) Thực hốn vị cho nghiệm ta có nghiệm cần tìm……… Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x+y+1=xyz.(2) Bài khơng có dạng 1, vai trị cho x y Giả sử ≤ x ≤ y - Khi x = y => (2)2x +1 = x2z  x(xz-2)=1 => x = 1=> z = => (1;1;3) x = 1; z = ⇒ y = ⇒ (1;2;2) - Khi x< y => (2) xyz < 2y+1  xyz ≤ y ⇔ xz ≤ ⇒ x = 2; z = ⇒ y = ⇒ (2;3;1) Do vai trị x;y nên phương trình có nghiệm: (x;y;z) = (1;1;3); (1;2;2),(2;1;2),(2;3;1),(3;2;1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x3+7y = y3+7x.(3) (3) (x-y)(x2+xy+y2-7) = => x=y x2+xy+y2 = Khi x=y => nghiệm pt (x;y)= (n;n), với n số nguyên dương ≥ ⇒ xy ≤ x≠ y Khi , từ x2+xy+y2 = 7=> (x-y)2 = 7- 3xy, (x-y)2 Vậy pt có vơ số nghiệm (x;y)= (2;1),(1;2), (n;n) x = 1; y = ⇒ x = 2; y = xy yz zx + + = (4) z x y Do x;y;z nguyên dương vai trò nhau, ta giả sử ≤ z ≤ y ≤ x xy yz zx y x ≥ z; + = z ( + ) ≥ z; (4) ⇒ ≥ 3z ⇒ z = Vì : z x y x y y x 2 Thay z=1 vào (4) xy ≥ y ⇒ (4) ⇔ xy + ( + ) = ⇔ ≥ y + ⇔ ≥ y ⇔ y = x y Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 = ⇔ x − x + = ⇔ x = 1(TMDK ); x = (loại) x Vậy pht có nghiệm (x;y;z) = (1;1;1) Thay z=y=1 vào (4) : x + x + Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a) 4( x+y+z) = xyz ; b)5( x+y+z+t)+10 = 2xyzt ; c) 2( x+y+z)+9 = 3xyz d)5( x+y+z+t)+7 = xyzt (Học sinh tự giải theo tập 1) 20 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net IV-Giải cách sử dụng bất đẳng thức Giải phương trình sau Z: (x+y+1)2 = (x2+y2+1) x2- 6xy+13y2 = 100 y3 = 1+x+x2+x3 xy yz zx + + =3 z x y y2 = 1+x+x2+x3+x4 Hướng dẫn giải Việc sử dụng BĐT vào giải phương trình thay việc giải phương trình việc giải điều kiện xẩy dấu “=” BĐT phù hợp với vế pt Trong nhiều trường hợp ta dùng BĐT để thay đổi toán (Đổi biến,hoặc xét Cực hạn) Ta thường sử dụng BĐT Cô si; Bunhia…; việc nhận dạng kiểm tra lại xem có phù hợp hay khơng cần thiết (x+y+1)2 = (x2+y2+1) (1) (có dạng Bunhia: 1vế bình phương tổng ;1 vế tổng bình phương nhân với số) x y z Sử dụng Bunhia (ax+by+cz)2 ≤ (a2+b2+c2)(x2+y2+z2); dấu “=” có ⇔ = = a b c với a=b=c=1;z=1 Ta thấy (1) chứng tỏ điều kiện xẩy dấu “=” Bunhia thoả mãn Có nghĩa : x= y = Vậy nghiệm pt (x;y) = (1;1) Chú ý: Bài giải “Phân tích thành tổng lượng không õm” Cụ thể: Khai triển (1) 2x2+2y2-2xy-2x-2y+2 =  (x-y)2+(x-1)2+(y-1)2 = Suy x=y=1 x2- 6xy+13y2 = 100.(2) (2)  (x-3y)2 = 4(25-y2) DoVT bình phương số nguyên => 25-y số phương y ≤ 25 ⇒ y ∈ { 0;9;16;25} ⇒ y ∈ { 0;±3;±4;±5} Thay giá trị y vào (2) để tìm x (y2= 1;4 25- y2 số khơng phương -Đang dùng BĐT theo nghĩa “Cực hạn”) *) y = =>2 nghiệm (x;y) = (-10;0), (10;0) x − y = ⇒ x = + y (a ) x − y = −8 ⇒ x = y − (b) thay vào (b) có (x;y) = (1;3), 2 *) y = ±3 ⇒ 25 − y = 16 ⇒ ( x − y ) = 4.16 = 64 ⇒ Nếu y=3, thay vào (a) có (x;y) = (17;3); Nếu y= -3, thay vào (a) có (x;y) = (-1;-3); thay vào (b) có (x;y) = (-17;-3), 21 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net 2 *) y = ±4 ⇒ 25 − y = ⇒ ( x − y ) = 4.9 = 36 ⇒ Nếu y=4, thay vào (a) có (x;y) = (18;4); x − y = ⇒ x = + y (a ) x − y = −6 ⇒ x = y − (b) thay vào (b) có (x;y) = (6;4), Nếu y= - 4, thay vào (a) có (x;y) = (-6;-4); thay vào (b) có (x;y) = (-18;-4), *) y = ±5 ⇒ 25 − y = ⇒ ( x − y ) = 4.0 = ⇒ x = y Nếu y=5, thay vào x=3y có (x;y) = (15;5); Nếu y= - 5, thay vào x=3y có (x;y) = (-15;-5); Vậy pht có 12 nghiệm… y2 = 1+x+x2+x3+x4.(3) *) Nếu x = => nghiệm (x;y) = (0;1) (0;-1) *) Nếu x ≠ ta có (3) 4y2= 4+4x+4x2+4x3+4x4=(2x2+x)2+2x2+(x+2)2> (2x2+x)2 Bằng cách phân tích khác,ta lại có: 4y2= (2x2+x+2)2-5x2< (2x2+x+2)2 Như vậy: (2x2+x)2< 4y2 < (2x2+x+2)2.Do 4y2=(2y)2 số tự nhiên, theo “ nguyên lý kẹp” số tự nhiên : 4y2= (2x2+x+1)2 (*) Thay y2 VP (3) ta có pht ẩn (Ta dùng BĐT để thay đổi toán) (*)  4(1+x+x2+x3+x4) = (2x2+x+1)2 …… x2-2x-3 = 0=> x=-1;x= +) Với x=-1=>y2 = => nghiệm (x;y) =(-1;-1) (-1;1) +) Với x=3 => y2=121=112 => nghiệm (x;y) =(3;11) (3;-11) Vậy pt có nghiệm: (x;y) = (0;1) , (0;-1),(-1;-1), (-1;1),(3;11) (3;-11) y3 = 1+x+x2+x3.(4) Do x2+x+1> 0,nên x3< y3 y = (x+1)  1+x+x +x = x +3x +3x+1  2x +2x =  x= 0; x = -1 *) x = => y = => (x;y) =( 0;1) *) x = - => y = => (x;y) =( -1;0) (Vì : x3+6x2+12x+3= y3+(5x2+11x+7) = y3+ 5( x + Vậy pt có nghiệm: (x;y) = (0;1) , (-1;0) xy yz zx + + = (5) Pt tập PP cực hạn, khác tìm nghiệm nguyên z x y 22 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net (5)  x2y2+y2z2+z2x2= 3xyz => xyz > Theo BĐT Co si cho số dương : VT= x2y2+y2z2+z2x2 ≥ 33 ( xyz ) = xyz xyz VP = 3xyz ≥ xyz xyz ⇔ ≥ xyz ⇔ xyz ≤ ⇔ xyz = (Do x;y;z nguyên xyz > 0) Vậy pt có nghiệm: (x;y;z) = (1;1;1) , (1;-1;-1), (-1;1;-1),(-1;-1;1) V- giải phương pháp loại trừ Giải phương trình sau Z x6+3x3+1=y4 x(x+1)(x+7)(x+8) = y2 (x+2)4-x4 = y3 6x2+5y2=74 Hướng dẫn giải x6+3x3+1=y4 (1) Nhận thấy : (x;y)= (0;1) (0;-1) nghiệm Ta chứng tỏ ngồi nghiệm đó, khơng cịn nghiệm khác Thật vậy: *) Với x> 0,ta có(x3+1)2= x6+2x3+1< x6+3x3+1=y4< x6+4x3+4 = (x3+2)2 Nghĩa : y nguyên mà (x3+1)2< y4 < (x3+2)2 => Vô lý( x3+1và x3+2 số nguyên liên tiếp) *) Với x ≤ -2, ta có: (x3+2)2< x6+3x3+1=y4< x6+2x3+1 =(x3+1)2 3 Nghĩa : y nguyên mà x + < y < x + => Vơ lý *) Với x= -1, ta có : y4=-1 => Vơ lý Vậy phương trình có nghiệm : (x;y)= (0;1) (0;-1) x(x+1)(x+7)(x+8) = y2 (2) Bài giải PP phân tích thành tích ( Bài 7) Chỉ xin giới thiệu cách giải, nhờ bạn đọc làm chi tiết so sánh để rút kinh nghiệm (2)  (x2+8x)(x2+8x+7) = y2= z2+7z , với z = x2+8x Nếu z > thì: (z+3)2= z2+6z+9 < z2+7z = y2< (z+4)2 =>(z+3)2= < y2< (z+4)2.Vô lý Vậy z = x2+8x ≤ ⇔ x + x − ≤ ⇔ −9 ≤ x ≤ (Dạng a+b+c = 0) Đến ta thử trực tiếp giá trị x để tìm y (nếu có) …… (x+2)4-x4 = y3.(3) Khai triển (x+2)4= x4+ 8(x3+3x2+4x+2) (3)  y3= 8(x3+3x2+4x+2) Đặt (x3+3x2+4x+2) = z3, x ∈ Z ⇒ z ∈ Z *) Với x ≥ ⇒ ( x + 1) = x + 3x + x + < z < ( x + 2) ⇒ z ∉ Z ⇒ x ≥ => PT vô nghiệm 23 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net **) Với x ≤ −2 Đặt x1 = − x − ⇒ x1 ≥ 0; y1 = − y Thay vào (3) ta có: ( x1 + 2) − x14 = (− x − + 2) − (− x − 2) = x − ( x + 2) = − y = y13 Theo cách đặt x1 ; y1 thoả mãn (3), giải *) phương trình vơ nghiệm ***) x=-1 (3)  y3 = y = Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (-1; ) 6x2+5y2=74 6(x2- 4) = 5(10- y2).(*) Do (6;5) = x;y nguyên ,nên  x − = 5u (1)  ⇔ ⇒ 30u = 30v ⇒ u = v; u; v ∈ Z (*) 10 − y = 6v (2)  Mặt khác: − 4 u=v=0   Từ  ⇒ − ≤ u; v ≤ ⇒ u = v =1 (2) ⇒ y = 10 − 6v ≥ ⇒ v ≤   3 Thay giá trị u;v vào hệ (*) ta có +) u = v = hệ vơ nghiệm ( y2 =10 => y không nguyên)  x = + 5.1 = ⇒ x = ±3  +) u=v = ta có :   y = 10 − 6.1 = ⇒ y = ±2  Vậy phương trình có nghiệm (x;y) = (3;2 ),(-3;2),(3;-2),(-3;-2) (1) ⇒ x = 5u + ≥ ⇒ u ≥ VI-giải tính chất chia hết,tính chất đồng dư Giải Z phương trình : a) x2-2y2 = b) x2-3y2 = 17 2 c) x -5y = 17 d)2x+122 = y2- 32 4 4 4 Giải Z phương trình : x1 + x + x3 + x + x5 + x + x = 2008 (7 ẩn) Tìm chữ số x;y;z để : xyz + xzy = zzz Chứng minh phương trình x +y2= 1999 khơng có nghiệm ngun Ch/m: Với x;y;z ngun ( x2+y2+z2) khơng đồng dư với theo mơdun Từ suy phương trình 4x2+y2+9z2 = 71 khơng có nghiệm ngun Hướng dẫn giải 1a) x2-2y2 = Chú ý rằng: ∀x ∈ Z ; x ≡ ±1(mod 5); x ≡ ±2(mod 5) ⇒ x ≡ ±1(mod 5) Tương tự : y ≡ ±1(mod 5) ⇒ y ≡ ±2(mod 5) 24 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net Do VT = x2-2y2 ≡ ±1;±3(mod 5) Trong VP = ≡ 0(mod 5) Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun 1b) x2-3y2 = 17 x2 =3y2+17 Chú ý rằng: ∀x ∈ Z ; x ≡ 0;1(mod 3);3 y ≡ 0(mod 3);17 ≡ 2(mod 3) Do VT = x2 ≡ 0;1(mod 3) Trong VP = 3y2+ 17 ≡ 2(mod 3) Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun 1c) x2-5y2 = 17 x2 =5y2+17 Tương tự câu VT = x2 ≡ 0;1;4(mod 5) Trong VP = 5y2+17 ≡ 2(mod 5) Vậy phương trình khơng có nghiệm nguyên x 1d) +122 = y2- 32  y2 = 2x+153 *) Nếu x lẻ => 2x = 22k+1=2.22k=2.4k ≡ 2(mod 3) ;153 ≡ 0(mod 3) ⇒ VP ≡ 2(mod 3) Trong VT = y2 ≡ 0;1(mod 3) Vậy phương trình khơng có nghiệm nguyên x lẻ *) Nếu x chẵn => 2x= 22k= (2k)2 Khi pt trở thành: k k k y2- (2 )2= (y-2 )(y+2 ) =153 = 1.153 = 3.31 = 9.17 k k Do (y+2 ) – (y-2 ) = k+1 > => k (y+2k) > (y-2k)=> Chỉ chọn kiểu tương ứng cho y+2 số k lớn, y-2 số nhỏ (để giải theo kiểu phân tích thành tích) Cần lưu ý: y2- (2k)2= 153 khơng giải theo cách ,vì , ví dụ như: k ≡ ±1(mod 3) ⇒ (2 k ) ≡ 1(mod 3); y ≡ 1(mod 3) ⇒ VT ≡ 0;2(mod 3) .;VP ≡ 0(mod 3) Điều chứng tỏ khả có nghiêm tồn  y + k = 153  ⇒ y = 77 ⇒ 77 − 153 = x ⇔ 5776 = x ⇒ x ∉ Z *)  k y − =  k   y + = −1 ⇒ y = −77 ⇒ 77 − 153 = x ⇔ 5776 = x ⇒ x ∉ Z *)  k  y − = −153  k  y + *)   y − 2k  k  y + *)   y − 2k  = 51 =3 ⇒ y = 27 ⇒ 27 − 153 = x ⇔ 576 = x ⇒ x ∉ Z = −3 = −51 ⇒ y = −27 ⇒ 27 − 153 = x ⇔ 576 = x ⇒ x ∉ Z *)  y + k = 17  ⇒ y = 13 ⇒ 13 − 153 = x ⇔ 16 = x ⇒ x = (TM ) ⇒ ( x; y ) = (4;13)  k y − =  25 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net k   y + = −9 ⇒ y = −13 ⇒ 13 − 153 = x ⇔ 16 = x ⇒ x = (TM ) ⇒ ( x; y ) = (4;13) *)  k  y − = −17  Vậy phương trình có nghiệm ngun: (x;y) = (4;13) 4 4 4 Giải Z phương trình : x1 + x + x3 + x + x5 + x + x = 2008 (7 ẩn) Ta ln có : *) x chẵn =>x=2k, Khi x  16 16 *) x lẻ =>x=2k+1, Khi x − = ( x − 1)( x + 1) = ( x − 1)( x + 1)( x + 1)  ⇒ x ≡ 1(mod16) (Vì x lẻ nên (x-1)(x+1) tích số chẵn liên tiếp => chia hết cho 8,còn x +1 chia hết cho2) Như : Dù x chẵn hay lẻ số dư VT chia cho 16 không vượt Trong số dư VP chia cho 16 (2008 = 125.16 + 8) Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Tìm chữ số x;y;z để : xyz + xzy = zzz (3) xyz + xzy = zzz  100x+10y+z+100x+10z+y = 111z 200x+11y= 100z 100(z-2x) =11y => y chia hết cho 100, lại y ∈ { 0;1;2; ;9} ⇒ y = Khi y= => z=2x;do x > nên : z ∈ { 2;4;6;8} ⇒ x ∈ {1;2;3;4;} Vậy ta có số cần tìm là: 102; 204; 306; 408 Chứng minh phương trình x2+y2= 1999 khơng có nghiệm nguyên Giả sử pt có nghiệm nguyên,khi x;y nguyên nên … 2 x ; y ≡ 0;1(mod 4) ⇒ VT ≡ 0;1;2(mod4) Trong VP =1999 =499.4 + ( VP ≡ 3(mod 4) Vậy điều giả sử sai, hay phương trình khơng có nghiệm ngun Ch/m: Với x;y;z ngun ( x2+y2+z2) không đồng dư với theo môdun Từ suy phương trình 4x2+y2+9z2 = 71 khơng có nghiệm nguyên Giả sử x + y + z ≡ 7(mod 8) (*) Ta ln có Thay kết vào (*) ta : ∀x ∈ Z ; x ≡ 0;±1;±2;±3;4(mod 8) ⇒ x ≡ 0;1;4(mod 8) y + z ≡ 7;6;3(mod 8) (1)  y ≡ 0;1;4(mod 8)  ⇒ y + z ≡ 0;1;2;5(mod 8) (2) Mặt khác, x ,ta lại có :   z ≡ 0;1;4(mod 8)  So sánh kết (1) (2) ta thấy điều giả sử sai (2 kết không khớp nhau) Bài toán đựơc chứng minh 26 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net 4x2+y2+9z2 = 71 (2x)2+y2+(3z)2 = 71 Do x;y;z nguyên nên 2x;y;3z nguyên Theo chứng minh VT khơng đồng dư với theo mơdun Trong lúc 71= 8.8 +7 => VP lại đồng dư với theo môdun *) Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Tài liệu tham khảo I-định nghĩa,Các tính chất “chia hết” tập Z: Đ/n: Số a nguyên gọi chia hết cho số b nguyên số dư a:b Kí hiệu : a ; viết tắt a chc b b T/c: .a a; ∀a ≠ 0.; a ± 1, ∀a ∈ Z  ; ∀b ≠ b a  ; b  ⇒ a  b c c .a  ; b a ⇒ a = b, ∀a, b ∈ N * b .a  ⇒ ac  ; ∀c ∈ Z b b .a; b ∈ Z + ; a  va a ≠ b ⇒ b.a * b .a  ; c  ⇒ (m.a ± n.c )  ; ∀m, n ∈ Z b b b (a + b + c + d ) m . ⇒ d m a m; b m; c m S = (a + b + c + d ) m  ⇒ S m * a m; b m; c m; d m 10 a  ; c d ⇒ ac  ; a  ⇒ a n  n ∀n ∈ N b bc b b 11 ac  (b; c) = ⇒ a  b c 12 a  ; a  (b; c ) = ⇒ a  b c bc 13.a;b ∈ Z ;b> 0,ln tìm (q;r) để a = b.q+r; ≤ r < b II-Định nghĩa tính chất đồng dư Đ/n: Với m ∈ Z + ; a; b ∈ Z ,Ta nói a;b đồng dư với theo mơ đun m (a − b) m Kí hiệu a ≡ b(mod m) Và a ≡ b(mod m) gọi đồng dư thức Nếu ( a-b) không chia hết cho m, ta viết a ≡ b(mod m) T/c(6t/c): 27 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net a ≡ a (mod m)∀a ∈ Z ; a ≡ b(mod m) ⇒ b ≡ a (mod m) a ≡ b(mod m); b ≡ c(mod m) ⇒ a ≡ c (mod m) a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒ a + c ≡ (b + d )(mod m) a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ⇒ a.c ≡ b.d (mod m) Các hệ t/c t/5: 1) ≡ bi (mod m) ⇒ ∑ ≡ ∑ bi (mod m) 2) ≡ bi (mod m) ⇒ ∏ ≡ ∏ bi (mod m) 3) a ≡ b(mod m) ⇒ a n ≡ b n (mod m) Chú ý: 1) a ≡ 1(mod 2); b ≡ 1(mod 2) ⇒ a + b ≡ 0(mod 2) ; a.c ≡ 1(mod 2) (Tổng số lẻ số chẵn; tích số lẻ số lẻ) 2) a ≡ 3(mod 7) ⇒ a ≡ 2(mod 7) Nếu số chia cho dư bình phương chia cho dư 2… 3) Chia vế đồng dư thức cho số, nói chung, khơng Ví dụ: ≡ 12(mod10) ≡ 6(mod10) * 4) số đồng thời không chia hết cho m tích chúng chia hết cho m a ≡ b(mod m); d ∈ ƯC(a,b) cho (d;m) = a b ≡ (mod m) d d 28 WWW.ToanTrungHocCoSo.ToanCapBa.Net