Bài giảng Xử lý ảnh 50 GV. Mai Cường Thọ CHƯƠNG VI PHÁT HIỆN BIÊN VÀ PHÂN VÙNG ẢNH I. Biên và kỹ thuật phát hiện biên Nhìn chung về mặt toán học người ta coi điểm biên của ảnh là điểm có sự biến đổi đột ngột về độ xám như chỉ ra trong hình dưới đây: Như vậy, phát hiện biên một cách lý tưởng là xác định được tất cả các đường bao trong các đối tượng. Định nghĩa toán học của biên ở trên là cơ sở cho các kỹ thuật phát hiện biên. Điều quan trọng là sự biến thiên giữa các điểm ảnh là nhỏ, trong khi đó biến thiên độ sáng của điểm biên (khi qua biên) lại khá lớn. Xuất phát từ cơ sở này người ta thường sử dụng 2 phương pháp phát hiện biên sau: • Phương pháp phát hiện biên trực tiế p: phương pháp này nhằm làm nổi đường biên dựa vào biến thiên về giá trị độ sáng của điểm ảnh. Kỹ thuật chủ yếu là dùng kỹ thuật đạo hàm. Nếu lấy đạo hàm bậc nhất của ảnh ta có phương pháp Gradient, nếu lấy đạo hàm bậc 2 ta có kỹ thuật Laplace. • Phương pháp gián tiế p: Nếu bằng cách nào đấy ta phân ảnh thành các vùng thì đường phân ranh giữa các vùng đó chính là biên. s(m,n) Biên lý tưởng n s(m,n) Biên bậc thang n Biên thực tế s(m,n) n Bài giảng Xử lý ảnh 51 GV. Mai Cường Thọ II. Phương pháp phát hiện biên trực tiếp Tương tự như các phép toán làm trơn ảnh, khả năng lấy đạo hoàm theo tọa độ các điểm là hết sức quan trọng. Bài toán cơ bản ở đây là nếu chiếu theo đúng định nghĩa toán học về đạo hàm thì chúng ta không thể thực hiện được việc lấy đạo hàm các điểm ảnh, do một ảnh số hóa không phải là một hàm liên tục a[x,y] theo các biến tọa độ mà chỉ là một hàm rời rạc a[m,n] với các biến tọa độ nguyên. Vì lý do đó, những thuật toán ma chúng ta trình bày ở đây chỉ có thể được xem là các xấp xỉ cho đạo hàm thật sự theo tọa độ của ảnh liên tục ban đầu. 1. Phương pháp Gradient Phương pháp gradient là phương pháp dò biên cục bộ dựa vào cực đại của đạo hàm bậc nhất. Vì ảnh là một hàm 2 biến, khi tính đạo hàm chúng ta cần phải xác định hướng cần lấy đạo hàm. Các hướng ở đây có thể là hướng ngang, dọc, hoặc tùy ý là sự kết hợp của 2 hướng ngang dọc. Ký hiệu h x , h y , h θ là các bộ lọc đạo hàm theo các hướng x,y, bất kỳ. Ta có quan hệ sau: yx hhh .sin.cos][ θθ θ += Theo định nghĩa gradient ),( yxf ∇ là một vectơ có các thành phần biểu thị tốc độ thay đổi giá trị của điểm ảnh theo hai hướng x và y. yx ii r r , là các vector đơn vị theo hai hướng x và y. yxxxyx iyxfhiyxfhi y yxf i x yxf yxf r r r r )),(()),(( ),(),( ),( ⊗+⊗= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ x x x f(x) f’(x ) f’’(x) Bài giảng Xử lý ảnh 52 GV. Mai Cường Thọ Các thành phần của gradient được tính bởi: dx yxfydxxf f x yxf x ),(),(),( − + ≈= ∂ ∂ dy yxfdyyxf f y yxf y ),(),(),( − + ≈= ∂ ∂ Với dx là khoảng cách các điểm theo hướng x(khoảng cách tính bằng số điểm) và tương tự với dy. Trên thực tế người ta hay dùng dx=dy=1 Như vậy ta có : Độ lớn Gradient : 22 )),(()),((,( yxfhyxfhyxf yx ⊗+⊗=∇ Hướng Gradient :       ⊗ ⊗ =∇ ),( ),( arctan)),(( yxfh yxfh yxf x y ψ Độ lớn Gradiant xấp xỉ : ),(),(),( yxfhyxfhyxf yx ⊗+⊗=∇ Trong kỹ thuật gradient, người ta chia nhỏ thành 2 kỹ thuật(do dùng 2 toán tử khác nhau) : kỹ thuật gradient và kỹ thuật la bàn. Kỹ thuật gradient dùng toán tử gradient lấy đạo hàm theo một hướng; còn kỹ thuật la bàn dùng toán tử la bàn lấy đạo hàm theo 8 hướng: Bắc, Nam, Đông, Tây và Đông Bắc, Tây Bắc, Đông Nam, Tây Nam. Thực hiện ký thuật trên, với mỗi điểm ảnh I(m,n) của I, đạo hàm theo x, theo y được kí hiệu tương ứng bởi I x , I y Ta có:    −+= −+= ),()1,(),( ),(),1(),( nmInmInmI nmInmInmI y x yx inmInmIinmInmInmI r r )),()1,(()),(),1((),( −++−+=∇⇒ ),()1,(),(),1(),( nmInmInmInmInmI −++−+=∇⇒ Điều này tương đương với nhân chập ảnh với 2 mặt nạ (bộ lọc) h x và h y ]11[][][ −== T yx hh h x (m,n) h y (m,n) + I(m,n) ),( nmI ∇ Bài giảng Xử lý ảnh 53 GV. Mai Cường Thọ Nói chung, ảnh kết quả sau khi áp dụng kỹ thuật nổi biên phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn (h x , h y .). Sau đây là một số bộ lọc khác hay dùng - ]101[][][ −== T yx hh (2.1) - Bộ lọc Sobel [ ] [ ] 101 1 2 1 4 1 101 202 101 4 1 −•           =           − − − = x h [ ] [ ] 121 1 0 1 4 1 121 000 121 4 1 •           − =           −− = y h Theo trên ta thấy h x và h y đều tách được, mỗi bộ lọc lấy đạo hàm theo một hướng nhờ phương trình (2.1) và làm trơn theo hướng trực giao với hướng đó nhờ một bộ lọc tam giác một 1- chiều. - Bộ lọc Prewitt [ ] [ ] 101 1 1 1 3 1 101 101 101 3 1 −•           =           − − − = x h [ ] [ ] 111 1 0 1 3 1 111 000 111 3 1 •           − =           −−− = y h Theo trên ta thấy h x và h y đều tách được, mỗi bộ lọc lấy đạo hàm theo một hướng nhờ phương trình (2.1) và làm trơn theo hướng trực giao với hướng đó nhờ một bộ lọc đều một 1- chiều. Toán tử la bàn Toán tử la bàn đo gradient theo một số hướng đã chọn. Nếu kí hiệu g k là gradient la bàn theo hướng θ k =π/2 +2kπ với k=0,1, 2,…7. Như vậy ta có gradient E theo 8 hướng ngược chiều kim đồng hồ. yx hhh .sin.cos][ θθ θ += Bài giảng Xử lý ảnh 54 GV. Mai Cường Thọ Có nhiều toán tử la bàn khác nhau. Nhưng ở đây, trình bày một cách chi tiết toán tử Kish. Toán tử này sử dụng mặt nạ 3x3. 333 503 553 333 303 555 21 −−− − − = −−− −−= HH 553 503 333 533 503 533 43 − − −−− = −− − −− = HH 333 305 355 335 305 335 355 305 333 555 303 333 8765 −−− − − = −− − −− = − − −−− =−− −−− = HHHH Trong đó H 1 , H 2 , H 3, …H 8 tương ứng với 8 hướng: 0 0 , 45 0 , 90 0 , 135 0 , 180 0 , 225 0 , 315 0 . Nếu ta kí hiệu ∇ i , i=1, 2, …8 là gradient thu được theo 8 hướng bởi 8 mặt nạ, biên độ gradient tại (x, y) được tính như sau: ( ) 8 ,2,1,),(),( =∇=∇ iyxMaxyx i 2. Kỹ thuật Laplace Các phương pháp đánh giá gradient ở trên làm việc khá tốt khi độ sáng thay đổi rõ nét. Khi mức xám thay đổi chậm, miền chuyển tiếp trải rộng, phương pháp hiệu quả hơn đó là phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2, gọi là phương pháp Laplace. Toán tử Laplace được định nghĩa như sau: 2 2 2 2 2 dy f dx f f ∂ + ∂ =∇ Toán tử Laplace dùng nhiều kiểu mặt nạ khác nhau để xấp xỉ rời rạc đạo hàm bậc hai. Dưới đây là 3 kiểu mặt nạ hay dùng: 121 252 121 111 181 111 010 141 010 321 − −− − = −−− −− −−− = − −− − = HHH Với mặt nạ H 1, đôi khi người ta dùng phần tử ở tâm có giá trị là 8 thay vì giá trị là 4 như đã chỉ ra. Để dễ hình dung việc xấp xỉ đạo hàm bậc hai trong không gian rời rạc bởi mặt nạ H 1 hay là ý nghĩa của mặt nạ H 1, ta xét chi tiết cách tính đạo hàm bậc 2. Trong không gian rời rạc đạo hàm bậc 2 có thể tính: WS NW E W N S NE SE Mô hình 8 hướng Bài giảng Xử lý ảnh 55 GV. Mai Cường Thọ )1,()1,(),(2 ),1(),1(),(2 2 2 2 2 +−−−= ∂ ∂ +−−−= ∂ ∂ yxfyxfyxf y f yxfyxfyxf x f Vậy ),1()1,(),(4)1,(),1( 2 yxfyxfyxfyxfyxff +−+−+−−−−=∇ 3. Phương pháp khớp nối lỏng a. Khái niệm láng giềng 4 và láng giềng 8 Với điểm P được bao phủ xung quanh bởi 8 điểm: P 0 , P 1 , …P 8 Ta có láng giềng 8 của P gồm các điểm: P 0 , P 1, P 2 , P 3, P 4 , P 5 , P 6 , P 7 Láng giềng 4 của P gồm các điểm: P 0 , P 2 , P 4 , P 6 . b. Phương pháp khớp nối lỏng • Xét các điểm p và q là 2 điểm 4 láng giềng. • I(p), I(q): giá trị mức xám của điểm p và q • Nếu θ>− )()( qIpI thì coi như có cặp biên (p, q). Ví dụ: Cho ma trận ảnh chọn θ =3 ta có II. CÁC KỸ THUẬT DÒ BIÊN 1 Kỹ thuật Freeman(dò biên theo ảnh đen trắng) Thuật toán Bước1: Quét ảnh đến khi gặp điểm đen. Gọi nó là pixel 1. Bước 2: Lặp Nếu “điểm ảnh hiện thời là đen” rẽ trái Ngược lại thì rẽ phải. Dừng khi gặp điểm 1 ban đầu. P 3 P 2 P 1 P 4 P P 0 P 5 P 6 P 7 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 3 2 3 6 2 3 1 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 1 2 8 5 7 1 4 3 6 1 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 1 2 8 5 7 1 4 Bài giảng Xử lý ảnh 56 GV. Mai Cường Thọ Cải tiến thuật toán trên (Luân văn tiến sĩ: Hồ Ngọc Kỷ -1992) Thuật toán Bước1: Quét ảnh đến khi gặp điểm đen. Gọi nó là pixel 1. Bước 2: Lặp Nếu “điểm ảnh hiện thời là đen” Thì “dò ngược”. Ngược lại “sang phải”. Đến khi gặp pixel 1 2. Dò biên theo cặp nền vùng Phương pháp Tìm cặp điểm (n,v), trong đó n và v là điểm 8 láng giềng, n là điểm nền và v là điểm vùng. Ban đầu có (n 0 , v 0 ) dựa vào đó ta tìm được (n 1 , v 1 ), qua trình này cứ tiếp tục. Tổng quát nếu có (n i , v i ) ta sẽ tìm (n i+1 , v i+1 ), sao cho n i và n i+1 là 8 láng giềng , v i và v i+1 là 8 láng giềng. 11 14 19 24 25 30 13 7 3 2 1 4 5 6 8 10 9 12 15 16 17 18 20 21 22 23 26 27 28 29 31 32 33 34 35 1 2 12 3 11 4 6 5 10 9 8 7 . 6 2 3 6 2 3 2 3 6 2 3 1 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 1 2 8 5 7 1 4 3 6 1 4 2 8 5 7 4 2 8 5 7 1 2 8 5 7 1 4 Bài giảng Xử lý ảnh 56 GV. Mai Cường Thọ Cải tiến thuật. 333 305 355 335 305 335 355 305 333 555 303 333 87 65 −−− − − = −− − −− = − − −−− =−− −−− = HHHH Trong đó H 1 , H 2 , H 3, …H 8 tương ứng với 8 hướng: 0 0 , 45 0 , 90 0 , 135 0 , 180 0 , 225 0 , 315 0 . Nếu ta kí hiệu ∇ i , i=1, 2, 8. cho n i và n i+1 là 8 láng giềng , v i và v i+1 là 8 láng giềng. 11 14 19 24 25 30 13 7 3 2 1 4 5 6 8 10 9 12 15 16 17 18 20 21 22 23 26 27 28 29 31 32 33 34