Trờng THPT đô lơng GV: Đặng Bá Bảy Một số toán tỷ số thể tích Ngày soạn: 28/10/2009 A Mục tiêu: - Rèn kỹ dựng thiết thiện tính diện tích thiết diện - Nắm đợc công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ - Vận dụng toán tỷ số thể tÝch cđa gãc tam diƯn vµo lµm bµi tËp tÝnh tû sè thĨ tÝch S B Néi dung: I C«ng thøc cÇn nhí: ThĨ tÝch khèi chãp: D A V= B.h H B: Diện tích đa giác đáy h: Độ dài đờng cao B C B C A D Thể tích khối lăng trụ: V=B.h B' B' Tû sè thÓ tÝch: Cho khèi chãp S.ABC A'∈SA, B'∈SB, C'∈SC A ' S B: DiƯn tÝch ®a giác đáy h: Độ dài đờng cao A' C' H ' D' C' S C A M VS ABC SA.SB.SC = VS A ' B 'C ' SA '.SB '.SC ' VS ABM SA.SB.SM SM = = * M∈SC, ta cã: VS ABC SA.SB.SC SC C B A B II Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a; AD=b Cạnh SA=2a hình chóp vuông góc với đáy M điểm nằm cạnh SA với AM=x (0x2a) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để thiết diện có diện tích lớn Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp hai phần tích Năm học 2009-2010 Trờng THPT đô lơng GV: Đặng Bá Bảy Hd: S Thiết diện hình thang vuông MNCB, vuông B M S MNCB = ( MN + CB) MB M * BM2=BA2+AM2 ⇒BM= a + x * ∆SMN ®ång d¹ng ∆SAD, N D A SM AD (2a − x).b = ⇒ MN = SA 2a VËy B C  2ab − bx b  2 2  2a + b  a + x = 4a (4a − x ) a + x 2  b XÐt hµm sè f ( x) = (4a − x) a + x (0≤x≤2a) 4a b  −2 x + 4ax − a  f '( x ) =   4a  a2 + x2  S MNCB =   x = a (1 + f'(x)=0 ⇔    x = a (1 −  ) ) Ta cã: f(0)=ab f(2a)= ab ≈ 1,118ab f( a (1 + 1 1 ) )= ab (3 − ) + (1 + ) 2 ≈ 1,134ab f( a (1 − 1 1 ) )= ab (3 + ) + (1 − ) 2 ≈ 0,96ab 1 ) ) + (1 + ) x = a(1 + 2 KÕt luËn: VËy víi x = a (1 + ) th× diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn lín nhÊt 2a 2b =V Gäi V lµ thĨ tÝch khèi chãp S.ABCD ⇒ VS ABCD = SA.S ABCD = 3 ⇒ Max f ( x) = ab .(3 − [ 0;2 a ] Gäi V1 lµ thĨ tÝch khèi S.MNCB V1=V(SMBC)+V(SMNC) VSMBC SM SB.SC SM 2a − x = = = VSABC SA.SB.SC SA 2a 1 V 2a − x V 2a − x a 2b (2a − x)ab VSABC= SA.dt ( ABC ) = 2a 2b = ⇒ VSMBC = = = 2a 2a Ta có Năm học 2009-2010 Trờng THPT đô lơng GV: Đặng Bá Bảy VSMNC SM SN SC SM SN  MN  (2a − x) V a 2b = = = = * Ta cã: ⇒ VSACD= = ÷ VSACD SA.SC.SD SA SD  AD  4a 2 2 (2a − x) a b (2a − x) b = ⇒ VSMNC= 4a 12 (2a − x)ab (2a − x ) b V1= VSMNCB= + 12 V ab (2a − x)ab (2a − x) b a 2b + = Ycbt ⇔ V1= = ⇔ ⇔ x2-6ax+4a2=0 12  x = a (3 + 5) > 2a (loai) ⇔  x = a (3 − 5) (t / m)  KÕt luËn: VËy x= x = a (3 − 5) th× (MBC) chia khối chóp thành phần tơng đơng Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Các mặt phẳng (ABC1) (A1B1C) chia lăng trụ thành phần Tính tỷ số thể tích phần Hd: A B Gäi V1= VC MNC ; V1= VC MNB A 1 1 V3= VC MNBA ; V4= VMNABB A C 1 Gäi V lµ thĨ tích lăng trụ M N VC A1B1C1 = V1 + V2 A' B' Mặt khác: V1 VC A1B1C1 = CM CN CC1 = CA1.CB1.CC1 C' V V V V = ; V2 = V − = 12 12 V3 = VC1 ABC − VCMNC1 = VCA1B1C1 − VCMNC1 = V2 ⇒ V1 = V3 = V V4 = V − V1 − V2 − V3 = 5V 12 VËy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5 Bµi 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, tâm O Đờng cao hình chóp SA=a M điểm di động SB, đặt BM=x (0