CHƯƠNG : PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH §5.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢNCÁC CÁCH GIẢI BÀI TỐN ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.1 Các phương trình : Trong ba chương ta xác định ba mặt tĩnh học, hình học vật lý mơi trường đàn hồi tuyến tính đưa 15 hàm ẩn gồm : - Sáu thành phần ứng suất : σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx - Ba thành phần chuyển vị : u, v, w - Sáu thành phần biến dạng : εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx Để xác định mười lăm hàm ẩn ta có phương trình sau : Về mặt tĩnh học : a Hệ phương trình cân Navier-Cauchy: Hệ (2.1)  ∂σx ∂Tyx ∂Tzx ∂ u  ∂x + ∂y + ∂z + fx = ( ρ ∂t ) ;   ∂Txy ∂σy ∂Tzy ∂ 2v + + + fy = ( ρ ) ; (1)  ∂x ∂y ∂z ∂t   ∂Txz ∂Tyz ∂σz ∂2w + + + fz = ( ρ )  ∂y ∂z ∂t  ∂x b Các phương trình điều kiện biên theo ứng suất: Hệ (2.3) Về mặt hình học : a Hệ phương trình biến dạng Cauchy-Navier : Hệ (3.1) ∂u  εx = ;  ∂x  ∂v   εy = ; ∂y   ∂w ;  εz = ∂z  ∂v ∂u + ; ∂x ∂y ∂w ∂v γ yz = + ; ∂y ∂z ∂u ∂w γ zx = + ∂z ∂x γ xy = ( 2) b Các phương trình liên tục biến dạng : Hệ (3.12) (3.13) 3.Về mặt vật lý : 32 a Biểu thức biến dạng biểu diễn qua ứng suất : σ σ σ σ σ σ σ σ σ [ x − µ ( y + z )] ; E εy = [ y − µ ( x + z)] ; E εz= [ z − µ ( x + y)] ; E εx = 2(1 + µ ) Txy = Txy ; G E 2(1 + µ ) Tyz ; γyz = Tyz = G E 2(1 + µ ) Tzx γzx = Tzx = G E γxy = (3a) b Biểu thức ứng suất biểu diễn qua biến dạng : σx = λθ + 2Gεx ; Txy = Gγxy ; σy = λθ + 2Gεy ; Tyz = Gγyz ; σz = λθ + 2Gεz ; Tzx = Gγzx 5.1.2 Các cách giải tốn đàn hồi tuyến tính : * Về nguyên tắc 15 phương trình (1); (2) (3a) (3b) hoàn toàn cho phép xác định 15 hàm ẩn Để giải 15 phương trình ta cần thu gọn chúng số phương trình tương ứng với số hàm ẩn Những phương trình thu gọn phương trình để giải tốn Những ẩn số cịn lại tìm sau biết ẩn số Cách giải tốn theo chuyển vị: Nếu lấy chuyển vị làm hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ phương trình ba phương trình ba hàm chuyển vị u, v, w Cách giải toán theo ứng suất: Nếu lấy ứng suất làm hàm ẩn chính, cần thu gọn hệ thành sáu phương trình sáu ẩn ứng suất Cách giải hỗn hợp: Ngoài hai cách giải trên, số toán, ta sử dụng cách giải hỗn hợp, dùng phần hàm ẩn chuyển vị phần hàm ẩn ứng suất §5.2 CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐH THEO CHUYỂN VỊ Chọn u, v, w hàm ẩn : 5.2.1.Về mặt vật lý: Từ định luật Hooke tổng quát : σx = λθ + 2Gεx Txy = Gγxy Tzx = Gγzx (a) 5.2.2 Về mặt hình học: Từ phương trình quan hệ hình học Cauchy : 33 ∂u ; ∂x ∂v ∂u γyx = ∂x + ∂y ; ∂w ∂u γzx = ∂x + ∂z ; ∂u ∂u Thay (b) vào (a) ta có : σx = λθ + G +G ∂x ∂x εx = (b)  ∂v ∂u  +  ∂x ∂y     ∂w ∂u  +  Tzx = G   ∂x ∂z  Tyx = G   (c) 3.Về mặt tĩnh học: Từ phương trình cân tĩnh học Navier-Cauchy : ∂σx ∂Tyx ∂Tzx ∂2u + + + fx = (ρ ) ; ∂x ∂y ∂z ∂t (d) Thay (c) vào (d) ta có: ∂θ ∂2u ∂2u ∂2v ∂2u ∂2w ∂2u  ∂ u λ + G +G +G +G +G + G + fx = 0 ρ  ∂x ∂x ∂x ∂x∂y ∂y ∂x∂z ∂z  ∂t   ∂2 ∂θ ∂2 ∂2  ∂  ∂u ∂v ∂w   ∂ u ⇔ λ + G + + u + G  + + + fx =  ρ  (*)  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂x  ∂x ∂y ∂z   ∂t     2 ∂ ∂ ∂ + + : Toán tử vi phân Laplace Với ∇2 = ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w + + ∂x ∂y ∂z =εx+εy+εz =θ : Biến dạng thể tích tương đối (*)⇔ ∂θ (λ + G) + G∇2u + fx = ∂x Tương tự (λ + G) ∂θ + G∇2v + fy = ∂y (λ + G) ∂θ + G∇2w + fz = ∂z  ρ    ρ    ρ   ∂ u  ; ∂t   ∂ v  ; ∂t   ∂ w  ; ∂t   (5.1) 34 Hệ (5.1): Hệ phương trình LaMê : Khi thiết lập (5.1) xuất phát từ điều kiện cân quan hệ ứng suất biến dạng nên hệ (5.1) chứa số LaMê λ G Phương trình LaMê tổng hợp yêu cầu tĩnh học, hình học vật lý Giải (5.1) ta tìm u, v, w sau xác định biến dạng theo phương trình quan hệ hình học Cauchy xác định ứng suất theo định luật Hooke 4.Hệ quả: Từ phương trình LaMê tốn tĩnh, lực thể tích số ta có hệ sau: a Hệ : Đạo hàm phương trình hệ (5.1) theo biến x, y, z ta có : ∂ θ ∂u + G∇2 ∂x ∂θ ∂v + G∇2 ∂y = ; (λ + G) ∂x + (λ + G) ∂y =0; ∂w ∂θ ∂z (λ + G) ∂z + G∇ =0 (λ + G) ∇2θ + G∇2θ = ⇔ ∇2θ = (5.2) Do θ tỷ lệ với hàm tổng ứng suất S nên ta có : ∇2S = (5.3) Phát biểu hệ 1: Trong tốn tĩnh, đàn hồi tuyến tính đẳng hướng, lực thể tích hệ số hàm biến dạng thể tích hàm ứng suất tổng hàm điều hòa b Hệ : Xét phương trình (5.2) : (λ + G) ∂θ + G∇2u +fx = (a) ∂x Lấy đạo hàm bậc (a) theo biến x, y, z ta có : ∂ θ ∂ u (λ + G) ∂x + G∇2 ∂x ∂ θ + =0; ∂ u (λ + G) ∂x∂y + G∇2 ∂ y =0; 35 ∂ u ∂ θ (λ + G) ∂x∂z + G∇2 ∂z (λ + G) =0 ∂ ∇ θ + G∇2∇2u = (b) ∂x Theo hệ ta có : ∇2θ = thay vào (b) (b) ⇔ ∇2∇2u = Tương tự ∇2∇2v = (5.4) 2 ∇∇w=0 Phát biểu hệ 2: Trong toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính đẳng hướng, lực thể tích số hàm chuyển vị hàm trùng điều hòa c Ý nghĩa : Hệ cho phép ta đoán nhận sơ dạng nghiệm chuyển vị toán đàn hồi Tất nhiên điều kiện cần, điều kiện đủ chuyển vị phải thỏa mãn phương trình nêu 5.3 GIẢI BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI THEO ỨNG SUẤT Chọn ứng suất σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx làm hàm ẩn I Trường hợp lực thể tích số: Về mặt vật lý : Dựa vào định luật Hooke εy = Có σ σ σz)] [ y − µ( x + E (*) S = σx + σy + σz [ (1 + µ )σy − µS ] E εz = [ (1 + µ )σz − µS ] E 2(1 + µ ) γyz = Tyz = Tyz G E (*) ⇔ εy = Tương tự (a) Về mặt hình học :Dựa vào phương trình liên tục biến dạng : ∂ εy + ∂ εz = ∂ γyz ∂z 2 ∂y ∂y∂z (b) Thay (a) vào (b) ta có : (1 + µ) ∂ σy - µ ∂ S ∂z 2 ∂z +(1 + µ) ∂ σy ∂y 2 ∂2S ∂ Tyz - µ = 2(1 + µ) ∂y∂z ∂y 36  ∂ 2σy ∂ 2σz  ∂2S ∂2S  ∂ Tyz (1 +µ)  +  − µ  +  = 2(1 + µ) ∂y∂z ∂y  ∂z   ∂z  ∂y ⇔ (c) Về mặt tĩnh học : Dựa vào hệ phương trình cân tĩnh học Navier- Cauchy σ ∂ y ∂Tyx ∂Tzx + + fx = ; ∂x ∂y ∂z ∂Txy ∂ y ∂Tzy + + + fy = ; ∂x ∂y ∂z ∂Txz ∂Tyz ∂ z + + + fz = ; ∂x ∂y ∂z σ ∂Tyx ∂Tzx ∂ x σ ∂Txy ⇒ ∂y + ∂z = − ∂x − fx (1) + σ ∂Tzy ∂ y ∂Tyz ∂ z ∂Txz ⇒ ∂z = − ∂y − ∂x − fy (2) σ σ ⇒ ∂y = − ∂z − ∂x − fz (3) Lấy đạo hàm bậc (2) (3) theo y z ta có : σ + 2 ∂ Tzy ∂ y ∂ Txy =− − ∂z∂y ∂x∂y ∂y ∂ Tyz ∂y∂z =− ∂ σz − ∂ ∂z Txz ∂x∂z  ∂ 2σy ∂ 2σz  ∂  ∂ 2Txy ∂ 2Txz  ∂ Tzy = −   ∂y − ∂z  − ∂x  ∂y − ∂z     ∂z∂y     Thay (1) vào (4) ta có : σ σ σ σ (4) σ  ∂2 y ∂2 z ∂  ∂ x  (4) ⇔ ∂y∂z = − +  + ∂x  ∂x + fx  ∂y   ∂z    2 2 ∂ Tyz  ∂ x ∂ y ∂ z   (d) = − − ⇔ 2 ∂y∂z  ∂x ∂y ∂z    ∂ Tyz σ Thay (d) vào (c) ta có :  ∂ 2σx ∂ 2σy ∂ 2σz ∂ 2σy ∂ 2σz   ∂2 S ∂2 S  (1 + µ)  −  ∂x + ∂y + ∂z + ∂z + ∂y  − µ ∂y + ∂z  =0        2 2 2 2   ∂ σ x ∂ σ x ∂ σ x   ∂ σ x ∂ σ x ∂ σ x   ∂ σ x ∂ σ x ∂ 2σ x   ⇔ (1 + µ)   − − −  +  + +  +  + +    ∂y ∂z   ∂y ∂y ∂y   ∂z ∂z ∂z          ∂x  ∂2 S ∂2 S - µ +  ∂z ∂y    =0   Trong : ∇ = ∂ ∂x + (**) ∂ ∂y + ∂ ∂z S = σx + σy + σz 37 2  ∂ 2S ∂ 2S  ∂ S ∂ S (**) ⇔ (1 + µ) − ∇ x + +  − µ  +  = ∂y ∂z  ∂y    ∂z     2 2 ∂ S ∂ S ∂ S ∂ S  ∂2S ∂2S  + + µ +  − µ +  =0 ⇔ - (1 + µ)∇ σx + ∂z  ∂y  ∂y ∂z  ∂y  ∂z σ ⇔ - (1 + µ)∇ σx + ∂ S ∂x 2 ∂ S + ∂y ⇔ (1 + µ)∇ σx + ∂ S 2 + ∂ S ∂z 2 − ∂ S ∂x = 2 −∇ S = Theo Hệ (1) ta có ∇2 S = ∂x ⇔ (1 + µ)∇ σx + (1 + µ)∇2σy + ∂ S =0 =0 ∂x ∂ S ∂y (5.5) (1 + µ)∇ σz + ∂ S =0 ∂z ∂ S (1 + µ)∇ Txy + =0 ∂x∂y ∂ S (1 + µ)∇ Tyz + =0 ∂y∂z (5.6) ∂ S (1 + µ)∇ Tzx + =0 ∂x∂z Hệ phương trình (5.5) (5.6) phương trình để giải tốn đàn hồi theo ứng suất, tổng hợp điều kiện mặt tĩnh học, hình học vật lý mơi trường Giải (5.5) (5.6) có ứng suất sau tìm biến dạng theo định luật Hooke tìm chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy Hệ (5.5) (5.6) gọi hệ phương trình Beltrmi II Khi lực thể tích khơng phải số: ta nhận phương trình tương tự có vế phải khác : − µ  ∂fx ∂fy ∂fz  ∂ S ∂x ∇ σx + (1 + µ ) = − µ  ∂x + ∂y + ∂z  − ∂x ;   ∂x   2 ∂y − µ  ∂fx ∂fy ∂fz  ∂ S ∇ σy + (1 + µ ) = − µ  ∂x + ∂y + ∂z  − ∂y ;   ∂y   (5.7) 38 − µ  ∂fx ∂fy ∂fz  ∂ S ∂z ∇ σz + (1 + µ ) = − µ  ∂x + ∂y + ∂z  − ∂z ;   ∂z   (5.7) : Phương trình Beltrami-Michell * Hệ : Trường hợp fx, fy, fz = const Từ phương trình (5.5) Beltrmi, ta suy hệ tính chất n0 ứng suất Xét phương trình (1) hệ phương trình (5.5) : (1 + µ) ∇ σx + ∂ S ∂x = (1) Lấy đạo hàm bậc phương trình (1) theo x,y,z ta có : ∂ σx (1 + µ)∇2 ∂x ∂ + σx ∂ S + ∂x (1 + µ)∇2 ∂y ∂ 2 ∂ S + ∂x ∂y = σx (1 + µ)∇2 ∂z =0 ∂ S + ∂x ∂z = (1 + µ) ∇ ∇ σx + 2 ∂ S ∂x ∇2S = Theo hệ ∇2S = Ta có : ∇ ∇ σx = Tương tự ta có : ∇4σij = σij gồm có (σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx) → Ứng suất hàm điều hòa kép (trùng điều hịa, bi điều hịa) Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng hàm điều hoà kép ⇒ Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng tốn đàn hồi tuyến tính lực thể tích số hàm điều hòa kép: ∇4σij = ; ∇4ui = ; ∇4εij = (5.8) 2 5.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp thuận : phương pháp trực tiếp tính tích phân phương trình Lamê (5.1) giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami 39 (5.5) (5.6) hay Beltrami Michell (5.7) giải theo ứng suất với điều kiện biên xác định Phương pháp rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học phức tạp thực 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn phương trình bản, điều kiện biên (2.3) tìm ngoại lực tương ứng với chuyển vị hay ứng suất cho trước Phương pháp để tìm nghiệm phải thử nhiều hàm chọn, cồng kềnh có khơng thực Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp ta cho trước phần ngoại lực phần chuyển vị, tìm yếu tố lại từ điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn phương trình cân Phương pháp mềm dẻo, khắc phục khó khăn mang tính tốn học phương pháp thuận cồng kềnh phương pháp ngược Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều toán lý thuyết đàn hồi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải tốn thanh, tấm, vỏ Khi giải ta sử dụng nguyên lý Saint-Venant nguyên lý hiệu ứng cần cục ngoại lực.theo nguyên lý này, phần nhỏ vật thể có tác dụng hệ lực cân ứng suất phát sinh tắt dần nhanh đểm xa miền đặt lực Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy sợi dây chổ cắt tác dụng hệ lực cân Dựa vào qui luật vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục phát biểu theo cách khác nhau: “Tại điểm vật rắn cách xa điểm đặt lực trạng thái ứng suất, biến dạng vật phụ thuộc vào cách tác dụng lực” Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang 40 5.5 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt nghiệm toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có khơng Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị cho ta nhận hệ ứng suất hay chuyển hay ta nhận vài hệ nghiệm khác với điều kiện cho → * Nếu nhận vài hệ nghiệm nghiệm tốn lý thuyết đàn hồi cho đa trị * Định lý nghiệm : Nếu thừa nhận trạng thái tự nhiên vật đinh luật độc lập tác dụng lực nghiệm tốn lý thuyết đàn hồi Thực xét toán thứ lý thuyết đàn hồi Dưới tác ∗ ∗ ∗ dụng lực bề mặt f x , f y , f z Lực thể tích fx, fy, fz cho Giả thiết ta nhận hệ nghiệm ứng suất khác σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx Cả hai hệ ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân tĩnh học Cauchy điều kiện biên tĩnh học ∂σ x ∂T yx ∂Tzx + + + fx = ∂x ∂y ∂z * * ∂σ x* ∂T yx ∂Tzx + + + f x* = (a) ∂x ∂y ∂z ∗ f x = σx.l + Tyx.m + Tzx.n ∗ f x = σx.l + Tyx.m + Tzx.n (b) Tương tự viết cho phương trình cịn lại Trừ phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận hệ phương trình điều kiện Ví dụ viết cho phương trình thứ ta có : σ σx ) + ∂( x − ∂x ∂ ∂ (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= ∂y ∂z (σx - σx).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = (c) Theo nguyên lý cộng tác dụng ta xem ứng suất hệ phương trìnhh (c) hệ ứng suất khơng có lực thể tích lực bề 41 mặt Theo giả thiết trạng thái tự nhiên vật liệu, ứng suất phải Do : σx - σx = ; σy - σy = ; Tyx - Tyx = 0; Hay σx = σx ; σy = σy ; Tyx = Tyx Có nghĩa hệ ứng suất trùng Đó điều cần chứng minh! 42 ... vào cách tác dụng lực” Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang 40 5. 5 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt nghiệm toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng... thỏa mãn phương trình cân Phương pháp mềm dẻo, khắc phục khó khăn mang tính tốn học phương pháp thuận cồng kềnh phương pháp ngược Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều toán lý thuyết đàn hồi giải hoàn... biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng tốn đàn hồi tuyến tính lực thể tích số hàm điều hịa kép: ∇4σij = ; ∇4ui = ; ∇4εij = (5. 8) 2 5. 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp thuận : phương pháp