y z x M N QP α β dy y v v ∂ ∂ + y x M1 P(x,y+dy) M(x,y) N(x+dx,y) U V dx d y N2 N1 P1 O dx x v v ∂ ∂ + dy y u u ∂ ∂ + dx x u u ∂ ∂ + CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG §3.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ. (Hình 3.1) + Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2). Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M 1 N 1 Q 1 P 1 . (Hình 3.2) - Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v. - Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua các vô cùng bé bậc cao là : u + dx. x u ∂ ∂ ; v+ dx. x v ∂ ∂ 15 - Điểm P(x,y+dy) có các chuyển vị theo phương x,y là : u + dy. y u ∂ ∂ ; v+ dy. y v ∂ ∂ - Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là ε x , ε y . - Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là γ xy = α+β. Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /ε x /<< 1; /ε y /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1 Sử dụng các công thức gần đúng : 1cos;1cos tgsin;sintg ≈β≈α β≈β≈βα≈α≈α 3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối : Ta có : MN MNNM 11 x − =ε (a) Trong đó : MN = dx M 1 N 1 = 21 21 11 NM cos NM NM ≈ α = Từ hình vẽ ta có : dx) x u 1(udx. x u udxNM 21 ∂ ∂ +=− ∂ ∂ ++= x u dx dxdxdx) x u 1( MN MNNM )a( 11 x ∂ ∂ = −+ ∂ ∂ + = − =ε⇔ Tương tự ta có : y v y ∂ ∂ =ε (b) 3.1.2.Tính biến dạng góc: γ xy = α+β Góc quay của cạnh MN sẽ là : α ≈ tgα = 21 21 NM NN = x) x u 1( v)dx x u v( ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ + = x u 1 x v ∂ ∂ + ∂ ∂ = x 1 x v ε+ ∂ ∂ Theo giả thiết biến dạng bé ta có ε x << 1 có thể bỏ qua ε x so với 1  α = x v ∂ ∂ 16 z y n K x dy dx dz M y z x M1 K1 Tương tự β = y u ∂ ∂ => γ xy = α+β= x v ∂ ∂ + y u ∂ ∂ (c) Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox. Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau : x(u) y(v) z(w)          ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ ∂ ∂ =ε ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ ∂ ∂ =ε ∂ ∂ + ∂ ∂ =γ ∂ ∂ =ε x w z u ; z w )1.3( z v y w ; y v y u x v ; x u zxz yzy xyx Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các chuyển vị theo phương toạ độ là bé. §3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG 3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ : Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z. Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ? (Hình 3.3) Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương n với các cosin chỉ phương là l,m,n. 17 Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz. l = cos ( x,n   ) = ds dx cóntoVéc  m = cos ( y,n   ) = ds dy (a) n = cos ( z,n   ) = ds dz +Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz) +Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w. +Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv; w+dw. Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w. du = x u ∂ ∂ .dx + y u ∂ ∂ .dy + z u ∂ ∂ .dz dv = x v ∂ ∂ .dx + y v ∂ ∂ .dy + z v ∂ ∂ .dz dw = x w ∂ ∂ .dx + y w ∂ ∂ .dy + z w ∂ ∂ .dz + Sau biến dạng MK trở thành M 1 K 1 = ds 1 trong đó : M(x,y,z) trở thành M 1 ( x+u, y+v, z+w). K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K 1 (x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw). + Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (b) + Chiều dài vi phân ds 1 sau biến dạng: ds 1 2 = (dx+du) 2 + (dy+dv) 2 + (dz+dw) 2 (c) Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds. Ký hiệu ε n là : ε n = ds dsds 1 − = ds ds 1 - 1  (ε n + 1) 2 = 2 2 1 ds ds  1+2ε n + ε n 2 = 2 2 1 ds ds  ε n = 2 2 2 1 ds2 dsds − (d) (Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua ε n 2 so với ε n ) Tính ds 1 2 = [dx + ( x u ∂ ∂ .dx + y u ∂ ∂ .dy + z u ∂ ∂ .dz)] 2 + + [dy + ( x v ∂ ∂ .dx + y v ∂ ∂ .dy + z v ∂ ∂ .dz)] 2 + 18 + [dz + ( x w ∂ ∂ .dx + y w ∂ ∂ .dy + z w ∂ ∂ .dz)] 2 . (e) Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao ( x u ∂ ∂ .dx+ y u ∂ ∂ .dy+ z u ∂ ∂ .dz) 2 ;( x v ∂ ∂ .dx+ y v ∂ ∂ .dy+ z v ∂ ∂ .dz) 2 ;( x w ∂ ∂ .dx+ y w ∂ ∂ .dy+ z w ∂ ∂ .dz) 2 so với x u ∂ ∂ ; y v ∂ ∂ ; z w ∂ ∂ (vì theo giả thiết biến dạng bé x u ∂ ∂ ; y v ∂ ∂ ; z w ∂ ∂ << 1) và rút gọn : (e)  ds 1 2 = (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) + 2 [( x u ∂ ∂ .dx 2 + y u ∂ ∂ .dxdy + z u ∂ ∂ .dxdz) + + ( x v ∂ ∂ .dxdy + y v ∂ ∂ .dy 2 + z v ∂ ∂ .dydz) + + ( x w ∂ ∂ .dxdz + y w ∂ ∂ .dydz + z w ∂ ∂ .dz 2 )].  ds 1 2 - ds 2 = 2 [( x u ∂ ∂ .dx 2 + y u ∂ ∂ .dxdy + z u ∂ ∂ .dxdz) + +( x v ∂ ∂ .dxdy + y v ∂ ∂ .dy 2 + z v ∂ ∂ .dydz) + + ( x w ∂ ∂ .dxdz + y w ∂ ∂ .dydz + z w ∂ ∂ .dz 2 )]. Theo (d) 2 2 2 1 n ds2 dsds − =ε => . ds dz . z w ds dydz . y w ds dxdz . x w ds dydz . z v ds dy . y v ds dxdy . x v ds dxdz . z u ds dxdy . y u ds dx . x u 2 2 22 22 2 2 222 2 n ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =ε⇔ Thay ds dz n; ds dy m; ds dx l === và biểu thức (3.1) vào ε n : ⇒ ε n = ε x .l 2 + ε y .m 2 + ε z .n 2 + γ xy .lm + γ yz .mn + γ zx .nl (3.4). ε n = ε x .l 2 + ε y .m 2 + ε z .n 2 + 2         ++ nl zx mn yz lm xy 222 γγγ Đặt xy xy γ γ = 2 ; yz yz γ γ = 2 ; zx zx γ γ = 2 ta có : 19 ε n = ε x .l 2 + ε y .m 2 + ε z .n 2 + 2( xy γ .lm + yzγ .mn + zxγ .nl) (3.5) Có thể viết dưới dạng toàn phương : ε n = [ ] nml           εγγ γεγ γγε zyzxz zyyxy zxyxx           n m l (3.6) + Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) : σ n = σ x .l 2 + σ y .m 2 +σ z .n 2 + 2(T xy .ml + T yz .mn + T xz .nl) (2.7) Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ. Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé. Ký hiệu : T ε Và được biểu diễn : T ε =           εγγ γεγ γγε zyzxz zyxxy zxyxx II. Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng : Tenxơ biến dạng Tε có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng Dε và Tenxơ cầu biến dạng T 0 ε.           εγγ γεγ γγε zzyzx yzyyx xzxyx =           − − − εεγγ γεεγ γγεε tbzyzx yztbyx xzxytbx z y +           ε ε ε tb00 0tb0 00tb T ε = D ε + T 0 ε . Với ε tb = ( ) zyx εεε ++ 3 1 : Biến dạng dài trung bình. D ε : đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử T 0 ε : đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử §3.3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé. Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau 20 và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính. - Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy. Ký hiệu các biến dạng chính là : ε 1 , ε 2 , ε 3 . => theo quy ước ε 1 > ε 2 > ε 3 . Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định từ phương trình sau : 0 )( )( )( Det nz yzzx zy ny xy zxyx nx =           ε−εγγ γε−εγ γγε−ε (3.7) Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính n σ : 0JJJ 3n2 2 n1 3 n =−ε+ε−ε (3.8) Trong đó        γε+γε+γε−γγγ+εεε= γ+γ+γ−εε+εε+εε= θ=ε+ε+ε= )(2J )(J J 2 xy z 2 zx y 2 yz x zxyzxy zyx3 zxyzxy xzzyyx2 zyx1 (3.9) Các hệ số J 1 , J 2 , J 3 trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục. Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm. Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực. * Tìm phương biến dạng chính : Sau khi có các biến dạng đường chính ε 1 , ε 2 , ε 3, ứng với mỗi ε i sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính ε i đó. )10.3( 0n)(ml 0nm)(l 0nml)( nz yzxz zy ny xy zxyx nx      =ε−ε+γ+γ =γ+ε−ε+γ =γ+γ+ε−ε Và phương trình: l 2 + m 2 + n 2 = 1 (3.11) Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính. Ba phương này trực giao với nhau ký hiệu các trục là 1,2,3. Tenxơ biến dạng chính được viết là : 21           ε ε ε = ε 3 2 1 00 00 00 T Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :      εεε= εε+εε+εε= ε+ε+ε= 3213 1332212 3211 J J J §3.4. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo 3 chuyển vị u, v, w. (Biểu thức 3.1). ε x = x u ∂ ∂ γ xy = y u x v ∂ ∂ + ∂ ∂ ε y = y v ∂ ∂ γ yz = z v y w ∂ ∂ + ∂ ∂ (3.1) ε z = z w ∂ ∂ γ zx = z u x w ∂ ∂ + ∂ ∂ - Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w. Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số. Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục. - Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số. Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau. Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant. Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier. 22 I. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng : 2 2 2 2 2 2 2 22222 . xyy v xx u yx v yxy u yxx v y u yx xy yx y x ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂∂ ∂ ε ε γ Tương tự ta có : zxzx zyyz yxxy zxx z yz z y xyy x ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ γεε γ ε ε γε ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )12.3( II. Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau: yx zx zx xy ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ γγ 22 =       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ z u x w yxx v y u zx 22 + =       ∂ ∂ ∂∂ ∂ x u zy . 2 +       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ y w z v x . 2 2 +       ∂ ∂ ∂∂ ∂ x u zy . 2 = 2 2 2 2 xzy yz x ∂ ∂ + ∂∂ ∂ γ ε ⇔       ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂       ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂∂ ∂ z xy y zx x yz zyx z xy y zx x yz yxz z xy y zx x yz xzy z y x γγ γγ γγ γ γ γ ε ε ε 2 2 2 2 )13.3( 2 2 Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các biến dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy- Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng. 23 . y N2 N1 P1 O dx x v v ∂ ∂ + dy y u u ∂ ∂ + dx x u u ∂ ∂ + CHƯƠNG 3 LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG 3. 1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z). Với các biến dạng là. εεε ++ 3 1 : Biến dạng dài trung bình. D ε : đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử T 0 ε : đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử 3. 3. BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH Trạng. các biến dạng góc bằng không. Những phương đó gọi là phương biến dạng chính. - Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng