Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông với ( ) α cho trước. Gọi d là đường thẳng cần viết phương trình. Theo giả thiết ta có: d nhận VTPT của ( ) α làm VTCP tức là … Mặt khác: d qua M nên PTTS của d là: …. . (áp dụng công thức PTTS) Dạng 2: Tìm H là hình chiếu của M lên ( ) α - Gọi d là đường thẳng qua M và vuông với ( ) α … (đã có ở dạng 1) - Gọi H = ( ) d α I thì H là hình chiếu của M lên ( ) α . Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ ( ) d α      (Giải hệ bằng phương pháp thế) Dạng 3: Tìm M’ đối xứng với M qua ( ) α (Hay ( ) α là mặt trung trực của MM’) - Ta tìm H là hình chiếu của M lên ( ) α (đã có ở dạng 2) - Gọi M’ là điểm đối xứng cần tìm Suy ra H là trung điểm MM’. Áp dụng công thức trung điểm: x M’ = 2.x H - x M ; … … Dạng 4: Tìm hình chiếu của M lên đ.thẳng d có PTTS - Gọi H (…, …, …) thuộc d là điểm cần tìm - Ta có: MH uuuur = (…, …, …). Do H là hình chiếu của M lên d nên: MH uuuur . d u uur = 0 thu được t = … . Thế t vào H ban đầu thì có kết quả. Chú ý: H là hình chiếu thì MH = d (M; d) Dạng 5: Tìm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d - Tìm hình chiếu của M lên đthẳng d (theo dạng 4) - Do MM’ nhận H là trung điểm nên ta có: x M’ = 2.x H - x M ; y M’ = 2.y H - y M ; z M’ = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua M và vuông góc với đthẳng d. Ta có: ( ) α nhận VTCP của d làm VTPT tức là có: … Mặt khác ( ) α qua M nên phương trình là: A(x –x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 Dạng 7: Viết PT mặt phẳng chứa d và qua M Gọi ( ) α là mặt phẳng cần tìm. Ta có: d u uur và MM 0 là hai vectơ không cùng phương …. (Với M 0 là điểm trên d ) Nên VTPT của ( ) α là 0 , d n u M M α   =   uur uur uuuuuur . Mặt khác ( ) α qua M nên phương trình của ( ) α là: … … … Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 1 d M d M d M H d M H M' d M H M' d M Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn. ** Dạng 8: Viết PT mặt phẳng ( ) α chứa d và vuông với ( ) β - Gọi ( ) α là mặt phẳng cần tìm. Ta có d u uur và n β uur là hai vec tơ không cùng phương … . Suy ra VTPT của ( ) α là , d n u n α β   =   uur uur uur = (…; … ; … ) Mặt khác ( ) α qua điểm M 0 thuộc d nên phương trình là: … … ** Dạng 9: Viết PT mặt phẳng ( ) α chứa d và song song với đường thẳng ∆ - Gọi ( ) α là mặt phẳng cần tìm. Ta có d u uur và u ∆ uur là hai vec tơ không cùng phương … . Suy ra VTPT của ( ) α là , d n u u α ∆   =   uur uur uur = (…; … ; … ) Mặt khác ( ) α qua điểm M 0 thuộc d nên phương trình là: … … ** Chú y ù: Viết phương trình hai mặt phẳng ( ) α // ( ) β và lần lượt chứa d, ∆ thì Ta viết phương trình ( ) α chứa d đồng thời // ∆ sau đó viết ( ) β chứa ∆ và // d. Dạng 10: Viết phương trình d’ là hình chiếu của d lên (P) - Gọi A là giao điểm của d và (P). Tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P) - Lấy B thuộc d. Gọi H là hình chiếu của B trên (P) (xem dạng 2) - Theo yêu cầu bài toán thì d’ là đường thẳng qua A và H Chú ý: Nếu d // (P) ta lấy B thuộc d, tìm hình chiếu H Khi đó d’ // d và qua H. (Tức là có cùng VTCP và đi qua H) Dạng 11: Viết phương trình đ.thẳng ∆ qua M đồng thờiø vuông với d và d’ - Theo ycbt thì ∆ có VTCP là u ∆ uur = ' , d d u u     uur uur - Mặt khác ∆ qua M nên ta có PTTS là Dạng 12: Viết phương trình ∆ là đường vuông góc chung của d và d’ - Hai đường thẳng d và d’ có VTCP là , 'u u r ur Giả sử ∆ cắt d và d’ tại M, N. Suy ra M ( , , ) thuộc d và N( , , ) thuộc d’ suy ra MN uuuur = ( ; ; ) là VTCP của ∆ - ∆ là đường vuông góc chung của d và d’ . 0 . ' 0 MN u MN u  =  ⇔  =   uuuur r uuuur ur Từ đó tìm ra t và t’ suy ra MN uuuur = … Đường vuông góc chung qua M nhận MN uuuur làm VTCP nên có PTTS là … Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng nằm trong ( ) α và và cắt cả hai đường thẳng d, d’. Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 2 d d' A H B d d' N M Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn. - Gọi A, B là giao điểm của d, d’ với ( ) α . Khi đó tọa độ của A, B là nghiệm của 2 hệ … … … - Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm. Suy ra ∆ qua A, (hoặc B) Và nhận AB uuur làm VTCP nên phương trình là: … … Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d qua M, đồng thời cắt và vuông góc với ∆ (Gần dạng 4) Giả sử d cắt ∆ tại N ( , , ) ta có MN uuuur = ( , , ) Từ ycbt suy ra MN uuuur . u ∆ uur = 0 nên tìm được t = … suy ra MN uuuur = … Vậy d qua M và nhận MN uuuur làm VTCP nên có phương trình tham số … Dạng 15: Viết p.trình đ.thẳng d nằm trong ( ) α và vuông góc và cắt ∆ . Gọi giao điểm ∆ và ( ) α là M. Gọi a r là VTCP của d thì ta có a r vuông với n α uur và u ∆ uur nên lấy ,a n u α ∆   =   r uur uur Theo ycbt thì d qua M nên PTTS d là … … Dạng 16: Viết phương trình d qua M song song với (P) và cắt ∆ Giả sử d cắt ∆ tại N( , , ) thuộc ∆ Ta có MN uuuur = ( , , ). Do d // (P) nên MN uuuur . n α uur = 0 Thì thu được t suy ra MN uuuur = … Do đó d qua M và nhận MN uuuur làm VTCP nên có PTTS là … … Dạng 17: Viết phương trình d qua A, song song với (P) và vuông với ∆ Gọi d u r là VTCP của d. Theo giả thiết thì: d P u n⊥ r uur và d u u ∆ ⊥ r uur . Do đó ta chọn , d P u n u ∆   =   r uur uur = ( , , ) Mặt khác d qua A nên ta có PTTS là … … Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M, vuông với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2 . Giả sử ∆ cắt d 2 tại M 2 suy ra M 2 (…, …, …) thuộc d 2 . Ta có 2 MM uuuuur = ( , , ) là VTCP của ∆ (có chứa t’ của d 2 ) Do ∆ vuông với đường thẳng d 1 nên 2 MM uuuuur . 1 u ur = 0. Ta tìm được t’ từ đó tìm được 2 MM uuuuur . Nên đường thẳng ∆ có PTTS là * Dạng 19 : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng d 1 ; d 2 đã cho. - Gọi ∆ là đường thẳng cần viết phương trình. Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 3 d d' dt a A B d dta N M dta d A dta d M d dta N M d1 d2 dta B A M d1 d2 M2 M Trường THPT Nguyễn Du Giáo án: Hình học 12 – Chương trình chuẩn. - Giả sử ∆ cắt d 1 ; d 2 tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có: ,AM AB uuuur uuur cùng phương. Do đó thu được hệ … … … Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , ) Vậy ∆ qua M nhận AM uuuur làm VTCP nên có phương trình là …. * Dạng 20 : Viết p.trình đ.thẳng song song với ∆ cho trước và cắt hai đường thẳng d 1 ; d 2 đã cho. - Gọi 1 ∆ là đường thẳng cần viết phương trình. - Giả sử 1 ∆ cắt d 1 ; d 2 tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có: ,u AB ∆ uur uuur cùng phương. Do đó thu được hệ … … … Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , ) Vậy 1 ∆ là đường thẳng qua A và B. * Dạng 21: Viết phương trình đường thẳng vuông với ( ) α và cắt cả d 1 ; d 2 - Gọi 1 ∆ là đường thẳng cần viết phương trình. - Giả sử 1 ∆ cắt d 1 ; d 2 tại A( , , ) và B ( , , ) thì ta có: ,n AB α uur uuur cùng phương. Do đó thu được hệ … … … Giải hệ thu được t và t’ suy ra A( , , ) và B( , , ) Vậy 1 ∆ là đường thẳng qua A và B. Dạng 22: Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P) - Gọi A là giao điểm (nếu có) của d và (P). Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P) - Lấy M trên d (M khác A) ta tìm M’ đối xứng với M qua (P) - Đường thẳng d’ qua M’ và A có VTCP là 'M A uuuuur nên viết PTTS. Chú ý: - Nếu A khơng tồn tại (hệ vơ nghiệm) tức là d //(P) khi đó d’ qua M’ và song song với d * Các cách tính khoảng cách cần tham khảo thêm: 1. ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C α + + + = + + 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được qui về khoảng cách giữa M và ( ) α 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’khi đó viết được phương trình (P) … (theo dạng 9) Ta có: d (d,d’) = d ((P), d’) = d (M, (P)) với M thuộc d’ * Các cách tính góc cần tham khảo thêm: Gồm: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng ta dùng cos, góc giữa đường và mặt ta dùng sin. (Còn nhiều dạng khác nữa . . .) Giáo viên: Đinh Công Thi Trang 4 . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song được qui về khoảng cách giữa M và ( ) α 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d’ Gọi (P) là mặt. (theo dạng 9) Ta có: d (d,d’) = d ((P), d’) = d (M, (P)) với M thuộc d’ * Các cách tính góc cần tham khảo thêm: Gồm: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng ta dùng cos, góc giữa đường. uur = (…; … ; … ) Mặt khác ( ) α qua điểm M 0 thuộc d nên phương trình là: … … ** Dạng 9: Viết PT mặt phẳng ( ) α chứa d và song song với đường thẳng ∆ - Gọi ( ) α là mặt phẳng cần tìm. Ta