AOTRANGTB.COM HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Thầy Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH I VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư Ư NG TH NG TRONG M T PH NG NG TH NG: Véctơ v = ( a1 ; a ) véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a v Véctơ n = ( a; b ) véc tơ pháp n (VTPT) c a (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá c a n Nh n xét: (∆) có vơ s véctơ ch phương vô s véctơ pháp n II PHƯƠNG TRÌNH Ư ng th i v ⊥ n NG TH NG Phương trình tham s : PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) có VTCP v = ( a1 ; a ) :  x = x + a1t  (t ∈ » )   y = y + a 2t  Phương trình t c: PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) có VTCP v = ( a1 ; a ) : x − x0 y − y0 = a1 a2 Phương trình h s góc: PT t (∆) v i h s góc a là: y = ax + b Phương trình t ng quát: PT t (∆) t ng quát: Ax + By + C = v i A + B > Nh n xét: (∆): Ax + By + C = v i A + B > có VTCP v = ( B; − A ) VTPT n = ( A; B ) Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i h s góc k là: y = k ( x − x ) + y Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTPT n = ( A; B ) là: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTCP v = ( A; B ) là: B ( x − x0 ) − A ( y − y ) = Phương trình t (∆) i qua i m M1(x1, y1), M2(x2, y2): x − x1 y − y1 = x − x1 y − y1 y Phương trình o n ch n i qua A(0; a), B(0; b) là: x + = a b 10 Phương trình chùm ng th ng: Cho ng th ng c t ( ∆ ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; ( ∆ ) : a x + b2 y + c = v i I = ( ∆1 ) ∩ ( ∆ ) ng th ng (∆) i qua I là: p ( a1 x + b1 y + c1 ) + q ( a x + b2 y + c2 ) = v i p + q > 11 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương III V TRÍ TƯƠNG I C A Ư NG TH NG  x = x1 + a1t  (t ∈ ») , (∆1) i qua M1(x 1; y1):   y = y1 + b1t  D ng tham s : x = x2 + a2t  (t ∈ ») (∆2) i qua M2(x 2; y2):  y = y + b2 t   N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v = ( a ; b2 ) ⇔ a1b2 − a b1 ≠ ( ∆ ) ∩ ( ∆ ) = i m I a1b2 − a b1 =  N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v = ( a ; b2 ) // M M ⇔  a1 ( y − y1 ) − b1 ( x − x1 ) ≠  (∆1) // (∆2) a1b2 − a b1 =  N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v = ( a ; b2 ) // M M ⇔  a1 ( y − y1 ) − b1 ( x − x1 ) =  (∆1) ≡ (∆2) ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )  D ng t ng quát:  ; ( ∆ ) : a x + b2 y + c = 0; n = ( a ; b2 )  a b1 b c1 c a1 D= ; Dx = ; Dy = a b2 b2 c c2 a2  D Dy  N u D ≠ ⇔ a1b2 − a b1 ≠ ( ∆ ) ∩ ( ∆ ) = i m I  x ;   D D  2 N u D = Dx + D y > ⇔ N u D = Dx = D y = ⇔ IV GÓC GI A Ư a1 a c1 = ≠ (∆1) // (∆2) b1 b2 c a1 a c1 = = (∆ 1) ≡ (∆2) b1 b2 c NG TH NG: D ng h s góc: ( ∆ ) : y = a1 x + b1 a − a2  Cho  Góc ( ∆ , ∆ ) = α ∈ [ 0; 90°] : tg α = 1 + a1 a ( ∆ ) : y = a x + b1  D ng t ng quát: ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 ) a1 a + b2 b2  Cho  ; cos α = 2 a1 + b12 a + b2 ( ∆ ) : a x + b2 y + c = 0; n = ( a ; b2 )  12 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài Phương trình ng th ng m t ph ng V KHO NG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH Kho ng cách t M0(x0, y0) Ư NG PH N GIÁC n (∆): ax + by + c = là: d ( M , ( ∆) ) = ( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 =  Cho  c t phương trình ( ∆ ) : a x + b2 y + c =  a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c =± 2 2 a1 + b1 a + b2 D u hi u Phân giác góc nh n a1a2 + b1b2 > a1a2 + b1b2 < a1 x + b1 y + c1 a12 = a1 x + b1 y + c1 a12 + b12 a2 =− a + b2 ng phân giác Phân giác góc tù a x + b2 y + c2 + b12 ax0 + by0 + c + b2 a2 x + b2 y + c 2 a + b2 a1 x + b1 y + c1 a12 =− + b12 a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c 2 a2 + b2 = a x + b2 y + c a12 + b12 2 a + b2 VI CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài Trên m t ph ng Oxy cho i m A(2;−2) Vi t phương trình ng th ng ∆ i qua i m M ( 3;1) c t tr c Ox, Oy t i B C cho tam giác ABC cân Gi i y G i B ( b; ) = ∆ ∩ Ox C ( 0; c ) = ∆ ∩ Oy suy (∆): x + = ( bc ≠ ) b c M (3;1) ∈ ( ∆) ⇒ + = , (1) Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB = AC b c b − = c + b = c + 2 ⇔ (b − 2) + = + ( c + 2) ⇔  ⇔ b − = −c − b = −c c = 2, b = y y V i b = c + : (1) ⇔ c = ⇔  ⇒ (∆ ) : x + = 1; (∆ ) : x + =1 2 −2 c = −2, b = V i b = −c : (1) ⇔ b = ⇒ c = −2 (lo i, trùng v i ( ∆ ) ) Bài Cho tam giác ABC có nh A(–1; –3) a Gi s hai ng cao (BH): x + y − 25 = , (CK): 3x + y − 12 = Hãy vi t phương trình c nh BC b Gi s ng trung tr c c a AB (∆): 3x + y − = G(4; – 2) tr ng tâm c a tam giác ABC Xác nh t a nh B C 13 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i a (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phương trình x − y + c = i m A ∈ ( AB ) ⇔ c = −1 ⇒ ( AB ) : x − y − = ( AC ) ⊥ ( BH ) nên ( AC ) có phương trình 3x − y + m = i m A ∈ ( AC ) ⇒ m = −12 ⇒ ( AC ) : x − y − 12 = B ≡ ( BH ) ∩ ( AB ) ⇒ T a 8 x − y − = c a B th a mãn h :  ⇒ B ( 2;5 ) 5 x + y − 25 = C ≡ (CK ) ∩ ( AC ) ⇒ T a 3 x − y − 12 = c a C th a mãn h :  ⇒ C ( 4; ) 3 x + y − 12 = y−5 Phương trình c nh BC (BC): x − = ⇔ x + y − 20 = 4−2 0−5 b (AB) ⊥ ( ∆ ) : 3x + y − = ch a A(−1;−3) ⇒ ( AB ) : 2( x + 1) − 3( y + 3) = hay ( AB) : 2x − y − = G i M trung i m AB suy t a c a M th a h : x B = 2xM − x A = 3 x + y − = ⇒ B ( 5;1) ⇒ M ( 2; −1) , ó:   2 x − y − =  yB = 2yM − y A =1  x A + x B + xC = 3xG  i m G(4;−2) tr ng tâm ∆ABC nên:   y A + y B + yC = 3yG  −1 + + x C = 12  xC =   ⇔ ⇔ ⇒ C ( 8; −4 ) V y B ( 5;1) , C ( 8; ) −3 + + y C = −6  y C = −4   Bài Cho (d ) : x + y + = 0; (d ) : x + y − = i m A ( 2;3) Tìm B ∈ (d ) C ∈ (d ) cho ∆ABC có tr ng tâm G ( 2; ) Gi i t B ( t1 ; −t1 − ) ∈ (d ) C ( − 2t ; t ) ∈ (d )  x A + x B + x C = 3xG  i m G(2; 0) tr ng tâm ∆ABC nên:   y A + y B + yC = yG  2 + t1 + − 2t = t1 − 2t = −3 t1 = −1 ⇔ ⇔ ⇔ V y B ( −1; ) , C ( 5;1) 3 − t1 − + t = t1 − t = −2 t = 14 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Bài Phương trình ng th ng m t ph ng Bài Cho (∆ ) : x − y + = ; (∆ ) : x + y + = i m M(2;1) Vi t phương trình ng th ng (d) i qua i m M c t (∆ ), ( ∆ ) l n lư t t i A, B cho M trung i m c a o n th ng AB Gi i i m A ∈ ( ∆ ) ⇒ A ( t1 ; t1 + 1) ; i m B ∈ ( ∆ ) ⇒ B ( t ; −2t − 1) x + xB = 2xM t1 + t = M(2; 1) trung i m AB nên:  A ⇔  y A + yB = yM t1 − 2t = ( ) ( ) ⇔ t1 = 10 , t = Suy A 10 ; 13 , B ; − ⇒ AB = − ( 2;5 ) 3 3 3 y −1 ⇔ 5x − y − = (d) qua M nh n AB làm VTCP có PT là: x − = Bài Cho (∆ ) : x − y + = ; (∆ ) : x + y − = i m M(–2; 0) Vi t phương trình ng th ng (d) i qua i m M c t (∆ ), ( ∆ ) l n lư t t i A B cho MA = MB Gi i i m A ∈ ( ∆ ) ⇒ A ( t1 ; 2t1 + ) ; i m B ∈ ( ∆ ) ⇒ B (t ; − t ) Suy ra: MA = ( t1 + 2; 2t1 + ) , MB = ( t + 2; − t ) t = t1 + = ( t + ) t − 2t =  1 MA = MB ⇔  ⇔ 1 ⇔ ⇒ MA = ( 3; )  2t1 + 2t = t = −  t1 + = ( − t )   y (d) qua M nh n MA làm VTCP có PT là: x + = ⇔ x − y + 14 = Bài Cho ∆ABC có n v t hai nh A(2;−7) phương trình m t ng cao m t trung nh khác l n lư t là: 3x + y + 11 = 0, x + y + = Vi t phương trình c nh c a tam giác ABC Gi i Nh n xét: Do A(2; −7) có t a khơng th a mãn phương trình m t hai ng th ng ã ng cao trung n không i qua A(2; −7) t (BH): 3x + y + 11 = (CM): x + y + = Ta có: B ∈ ( BH ) ⇒ B ( t ; − 3t − 11) G i M trung i m AB ó t a M 15 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương x A + xB t +  = xM =  2   y = y A + y B = −3 t − 18  M  2 A H M ) ( M ∈ ( CM ) ⇒ t + + −3t − 18 + = 2 C ⇔ t = −4 ⇒ B ( −4;1) B y+7 Phương trình ng th ng ch a c nh AB là: x − = ⇔ x + y + 13 = −4 − + (AC) ⊥ (BH): 3x + y + 11 = (AC) i qua i m A(2; −7) nên phương trình (AC) là: ( x − 2) − 3( y + 7) = ⇔ ( AC ) : x − y − 23 = i m C ≡ (AC) ∩ (CM) suy t a  x − y − 23 = C th a h :  ⇒ C ( 5; −6 ) x + y + = y −1 Phương trình c nh BC (BC): x + = ⇔ x + y + 19 = + −6 − Bài Cho ∆ABC có nh A(1; 2), ng trung n (BM): x + y + = phân giác (CD): x + y − = Vi t phương trình A Gi i i m C∈(CD): x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t ) ( ⇒ trung i m M c a AC M t + ; − t 2 i m M∈(BM): x + y + = ) B ( ) ⇒ t + + − t + = ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) 2 I D ng th ng BC M K C T A(1;2) k (AK) ⊥ (CD): x + y − = t i I ( i m K ∈ ( BC ) ) Suy (AK): ( x − 1) − ( y − 2) = ⇔ x − y + = x + y − = c a I th a h :  ⇒ I ( 0;1) Tam giác ACK cân t i C nên x − y + =  x = x I − x A = −1 I trung i m c a AK ⇒ T a c a K:  K ⇒ K ( −1; )  yK = 2yI − y A = T a y ng th ng BC i qua C, K nên có phương trình: x + = ⇔ x + y + = −7 + 16 Bài Phương trình ng th ng m t ph ng Bài Vi t phương trình ng th ng (∆) i qua M(4; 1) c t tia Ox, Oy l n lư t t i A B theo trư ng h p sau: a Di n tích ∆OAB nh nh t b T ng OA + OB nh nh t Gi i Gi s (∆) c t tia Ox t i A(a; 0) Oy t i B(0; b) (v i a, b > 0) y suy (∆): x + = Do M(4; 1) ∈(∆) nên + = ⇒ b = a ⇒ a > a b a b a−4 a Ta có: = + ≥ = ⇒ S OAB = OA.OB = ab ≥ 2 a b ab ab D u b ng x y ⇔ = = ⇔ a = 8; b = ⇒ (∆): x + y − = a b b OA + OB = a + b = a + a = a − + + ≥ ( a − 4) ⋅ + = a−4 a−4 a−4 D u b ng x y ⇔ a − = = ⇔ a = ⇒ b = ⇒ (∆) : x + y − = a−4 Bài L p phương trình ng th ng (∆) i qua i m M(2; 1) t o v i ng th ng (d): x + y + = m t góc 45 o Gi i Phương trình (∆) i qua i m M có d ng: A ( x − ) + B ( y − 1) = ( A + B ≠ ) ⇔ Ax + By − A − B = có vectơ pháp n n1 = ( A; B ) ng th ng (d) có VTPT n = ( 2; 3) n1 n = cos 45 o ⇔ n1 n 2 A + 3B A2 + B + = (∆) h p v i (d) m t góc 45 o thì: ⇔ ( A + 3B ) = 13 ( A + B )  (∆ ) : x + y − 11 =  A = 5B ⇔ 5B + 24 AB − A = ⇔  ⇒  B = −5 A  (∆ ) : x − y + = V y có hai ng th ng c n tìm (∆ ) : x + y − 11 = ; (∆ ) : x − y + = Bài 10 Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng Bi t A(1; 0), B(0; 2) giao i m I c a hai ng chéo n m ng th ng y = x Tìm t a nh C D Gi i 17 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Ta có: AB = ( −1; ) ⇒ AB = C Phương trình (AB) là: x + y − = D y=x I I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t; t ) I trung i m c a AC BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − ) B A H M t khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chi u cao) ⇒ CH = Ngoài ra: d ( C, ( AB ) ) = CH ⇔ V yt a ( ) ( ) t = ⇒ C ; , D ; 6t − 3 3 = ⇔ 3t − = ⇔   5 t = ⇒ C ( −1;0) , D ( 0; −2) ( ) ( ) c a C D C ; , D ; ho c C ( −1; ) , D ( 0; −2 ) 3 3 Bài 11 Cho A ( 0; ) , B ( 2; ) Tìm ( d ) : x − y + = i m M cho: a MA + MB có giá tr nh nh t b MA − MB có giá tr l n nh t Gi i B t f ( x, y ) = x − y + A  f ( A ) = −10  Ta có:  ⇒ f ( A) f ( B ) >  f ( B ) = −6  H M Suy hai i m A B n m phía A′ i v i ng th ng (d) G i A′ (d) M0 i x ng c a A qua (d) Ta có: MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B (c ( MA + MB ) = A′B , nh) t c ba i m A′, M , B th ng hàng ⇔ M = ( A′ B ) ∩ ( d ) ( AA′ ) ⊥ ( d ) ⇒ ( AA′ ) : x + y + C = A ∈ ( AA′ ) ⇒ C = −6 ⇒ ( AA′ ) : x + y − = G i H = ( AA′ ) ∩ ( d ) t a A′ 18 2 x + y − = c a H th a mãn h :  ⇒ H ( 2; ) x − y + = x ′ = 2xH − x A = i x ng v i A qua (d) nên ta có:  A ⇒ A′ ( 4; −2 )  y A′ = y H − y A = −2 Bài Phương trình ng th ng m t ph ng y+2 Phương trình ng th ng ( A′B ) x − = ⇔ x + y − 24 = 2−4 5+2 T a  x = 11 x − y + =  c a M th a h :  ⇔ ⇒ M 11 ; 19 x + y − 24 = 19  y =  ( Ta có: MA − MB ≤ AB (c ) nh) ⇒ max MA − MB = AB , t c ba i m M, A, B th ng hàng ⇔ M = ( AB ) ∩ ( d ) Phương trình ng th ng (AB) là: x + y − 12 = T a c a M nghi m c a h phương trình: x = x − y + =  ⇔  ⇒ M 5;  x + y − 12 = y =  ( ) Bài 12 Cho ( D1 ) : kx − y + k = ( D2 ) : (1 − k ) x + 2ky − (1 + k ) = a Ch ng minh k thay i ( D1 ) luôn qua m t i m c nh b Tìm giao i m c a ( D1 ) ( D ) suy qu tích giao i m k thay i Gi i a Ta có ( D1 ) t: k ( x + 1) − y = T a i mc nh mà ( D1 ) i qua x + = nghi m c a  ⇒ x = −1, y = V y ( D1 ) qua i m A(–1, 0) y = b T a giao i m c a ( D1 ) ( D ) nghi m c a h phương trình kx − y = − k  gi i h ta c x = − k , y = 2k  2 1+ k 1+ k (1 − k ) + 2ky = + k  V y ( D1 ) ∩ ( D )   = M  − k , 2k  1+ k 1+ k  2    ý x + y =  − k  +  2k  =  1+ k  1 + k  2 Do ó qu tích c a M ng trịn tâm O bán kính R = Bài 13 Trong m t ph ng Oxy, cho i m A(0; 1), B(2; 1) ng th ng d : ( m − 1) x + ( m − ) y + − m = ; d : ( − m ) x + ( m − 1) y + 3m − = a Ch ng minh d d c t b G i P giao i m c a d d , tìm m cho PA + PB l n nh t 19 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i ( m − 1) x + ( m − ) y + − m = m −1  a Xét  có: D = 2−m ( − m ) x + ( m − 1) y + 3m − =  Dx = m−2 2−m m −1 3m − ( Do D = m − ) = 4m − 14m + 12 ; D y = m−2 m −1 2−m m −1 3m − 2−m = 2m − m + = −2m + 4m − + > 0, ∀∈ » nên h phương trình có nghi m nh t V y d d luôn c t t i i m P ( pcm) b Tìm m T a PA + PB l n nh t D x 4m − 14m + 12  − 2m =2+ x = D =  2m − 6m + 2m − 6m + c a P là:   y = D y = −2m + 4m − = −1 + − 2m 2  D 2m − 6m + 2m − 6m +  2m − 2m − 4   Ta có: PA =  −2 + ; 2+  ⇒ PA = − 2 2m − 6m + 2m − 6m +  2m − 6m +  2m − 2m − 4   PB =  ;  ⇒ PB = 2m − 6m + m − m +  2m − 6m +  Suy ra: PA + PB = Theo b t ng th c Bunhiacơpski, ta có: ( PA + PB ) ≤ ( PA + PB ) = 16 ⇒ PA + PB ≤ ⇒ max ( PA + PB ) = , PA = PB ⇔ PA2 = PB ⇔ − t c m = 4 = ⇔ m − 3m + = ⇔  2m − 6m + 2m − 6m + m = 2 Cách 2: d d có vectơ pháp n là: n1 = ( m − 1; m − ) , n = ( − m; m − 1) Ta có n1 n = ( m − 1) ( − m ) + ( m − ) ( m − 1) = nên d ⊥ d t i i m P ý r ng A ∈ d , B ∈ d AB = 2 nên theo b t ng th c Bunhiacơpski ( PA + PB ) ≤ ( PA + PB ) = AB = 16 ⇒ PA + PB ≤ ⇒ max ( PA + PB ) = , ( ) t c PA = PB ⇒ ∆PAB vuông cân t i P ⇒ d , AB = 45 o Ta có: cos 45 o = n AB n1 n AB n1 ⇔ 2m − = ; ( n AB = (1,1) ) 2 ( m − 1) + ( m − ) 2 ⇔ ( 2m − 3) = 2m − 6m + ⇔ m − 3m + = ⇔ m = ∨ m = 20 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương II XÁC NH PHƯƠNG TRÌNH HYPECBOL THEO CÁC Y U T Bài VPTCT c a (H) i qua M ( 2, ) có tiêu i m F1 ( −3 5;0) ; F2 ( 5;0) Bài VPTCT c a (H) i qua M(2; 0) có tiêu i m F1(−4; 0), F2(4; 0) Bài VPTCT c a (H) i qua O(0; 0) có tiêu i m F1(−2; 0), F2(0; 3) Bài VPTCT c a (H) i qua M(5; −3) có tâm sai e = Bài VPTCT c a hypecbol (H) i qua M ( −4; − ) ;M ( 6;1) Bài VPTCT c a hypecbol (H) i qua M ( 6; ) bi t Bài VPTCT c a hypecbol (H) i qua M ( 3; ) bi t dài tr c th c b ng dài tr c o b ng   Bài VPTCT c a (H) i qua M 34 ;  M nhìn F1F2∈Ox dư i góc π  5 Bài VPTCT c a (H) i qua M( 10;9) M nhìn F1F2∈Ox dư i góc vng   Bài 10 VPTCT c a (H) i qua M ;  M nhìn F1F2∈Ox dư i góc 2π  3   Bài 11 VPTCT c a (H) i qua M − ;  M nhìn F1F2∈Oy dư i góc π  3  Bài 12 VPTCT c a (H) bi t dài tr c o b ng ti m c n ⊥ v i Bài 13 VPTCT c a (H) i qua M(24; 5) ng ti m c n là: x ± 12 y = Bài 14 VPTCT c a (H) i qua M(−2; 1) góc tù c a ng ti m c n 120° Bài 15 VPTCT c a (H) i qua M(6; 4) góc gi a ng ti m c n 60° Bài 16 Vi t phương trình t c c a hypecbol (H) có ng ti m c n 3x ± y = ng chu n x ± 16 = Bài 17 VPTCT c a (H) có hình ch nh t s v i elip (E): x + 16 y = 144 Bài 18 VPTCT c a hypecbol (H) có nh A(1; −1) n m tr c th c ng tròn ngo i ti p hình ch nh t s c a (H) (C): x + y − x − y − = 52 Bài III M T S ng Hypecbol BÀI T P TƯƠNG GIAO C A HYPECBOL y2 Bài Cho (H): x − = G i (d’) i qua O ⊥ (d): y = kx a Tìm i u ki n c a k (d) (d’) b Tính di n tích hình thoi v i c Xác nh k u c t (H) nh giao i m c a (d), (d’) (H) hình thoi y có di n tích nh nh t Gi i a Ta có: (d): y = kx ( d ′ ) : y = −1 x Ta có (d) c t (H) ch k x − k x = ⇔ ( − 4k ) x = 36 có nghi m ⇔ − 4k > 2  (d’) c t (H) ch x − x = ⇔  − 42  x = 36 có nghi m  9k k   Yêu c u toán ⇔ − 4k > 0, − 42 > ⇔ < k < ⇔ < k < k b V i < k < (d): y = kx c t (H) t i i m A, C phân bi t v i t a 2 x A = x C = 2 36 ; y A = y C = 36k ( d ′ ) : y = −1 x c t (H) t i i m k − 4k − 4k 2 2 B, D phân bi t v i x B = x D = 36k ; y B = y D = 36 9k − 9k − Ta có AC ⊥ BD t i trung i m O c a m i o n nên ABCD hình thoi 2 2 S ABCD = ⋅ S AOB = ⋅ OA.OB = x A + y A x B + y B = c 72 (1 + k ) ( − 4k )( 9k − ) ( − 4k )( 9k − ) ≤ ( − 4k ) + ( 9k − ) = (1 + k ) ⇒   2 S ABCD ≥ 144 D u b ng x y ⇔ − 4k = 9k − ⇔ k = ±1 V y Min S ABCD = 144 Bài Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho (H): x − y − = Tìm (H) nh ng i m nhìn o n n i hai tiêu i m dư i góc vng Tìm (H) nh ng i m nhìn o n n i hai tiêu i m dư i góc 60° Tìm (H) nh ng i m có t a ngun 53 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i (H): x − y − = ⇔ x − y2 = Ta có: a = 1, b = ⇒ c = 10 2 M(x0, y0) ∈ (H) ⇔ x − y = (1) i m M nhìn o n n i hai tiêu i m dư i góc vng nên M thu c ng trịn (C) ng kính F1 F2 , t c tâm O, R = F2 F2 = 10 2 2 ⇒ M∈(C): x + y = 10 ⇒ x + y = 10 K t h p v i (1) ⇒ x = 19 ; y = 81 10 10  190 10   190 10   190 10   190 10  ⇒ M1  − ,− , , ,− , M2 − , M3  , M4   10  10  10  10   10  10  10  10 b M(x0, y0) nhìn F1 F2 dư i góc 60° ⇒ F1 F22 = MF12 + MF22 − 2MF1 MF2 cos π ( ⇔ F1 F22 = ( MF1 − MF2 ) + MF1 MF2 ⇔ 4c = 4a + c x + a a c )( a x − a ) 2 ⇔ 40 = + 10 x − ⇔ x = 37 ⇒ y = ⋅ 27 10 10  370 30   370 30   370 30   370 30  ⇒ M1  − ,− , , ,− , M2 − , M3  , M4   10  10  10  10   10  10  10  10 c ý r ng n u i m M(x 0, y0) i m có t a (−x0, y0), (−x0, −y 0), (x0, −y0) ∈ (H) có t a ngun ∈ (H) i m nguyên V y ta ch c n xét trư ng h p x , y ≥ 2 Ta có: x − y = ⇔ ( x − y )( x + y ) = 3x0 − y0 = 1;3x0 + y =  x0 = ; y0 = ( lo¹i ) ⇔ ⇔ 3x0 − y0 = 3;3x0 + y0 =  x = 1; y =   0  V y i m có t a nguyên ∈(H) M1(1; 0), M2(−1; 0) y2 Bài Cho (H): x − = A(3; 2), B(0; 1) Tìm i m C∈(H) cho ∆ABC có di n tích nh nh t Tính giá tr nh nh t ó 54 Bài ng Hypecbol Gi i (AB): x − y − = AB = AB = G i C(x0, y0) ∈ (H) ⇔ 2 x0 y0 − = Ta có: S = ⋅ AB ⋅ d ( C , ( AB ) ) = x − y − ≥ x − y − 2 S d ng b t x0 − y0 = ⋅ ng th c ( ax − by ) ≥ ( a − b ) ( x − y ) , ∀ a, b, c, x, y ta có  x2 y2  x0 y − ⋅ ≥ ( − )  −  = ⇒ S ≥ ( − 1)    D u b ng x y ⇔ x = , y = hay C  ;   5  5 Bài Trong m t ph ng v i h t a y2 Oxy cho (H): x − = G i F m t 16 tiêu i m c a (H) ( x F < ) I trung i m c a o n OF Vi t phương trình ng th ng ti p xúc v i (H) i qua I Gi i ( ) Ta có: a = 16, b = ⇒ c = ⇒ F(−5; 0) ⇒ I − ; ( ) ng th ng (d) qua I: A x + + By = ( ) (d) ti p xúc (H) ⇔ a A − b B = A A ≠ ⇒ (d): Ax ± ( A + B > ) ⇔ Ax + By + A = ⇔ 39 A − 36 B = ⇔ B = ± 39 A ⇒ 39 39 Ay + A = ⇔ x ± y + = ⇔ x ± 39 y + 15 = 6 2 y2 Bài Cho Hypecbol (H): x − = a b Tính dài ph n ng ti m c n ch n b i ng chu n Tìm kho ng cách t tiêu i m c a (H) t i ng ti m c n Ch ng minh r ng: Chân ng ⊥ h t tiêu i m t i ng ti m c n n m ng chu n ng v i tiêu i m ó 55 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Gi i y2 (H): x − = có tiêu i m F1 ( c, ) , F2 ( −c, ) v i c = a + b a b 2 a Hai ng chu n c a Hypebol (H) tương ng ∆ 1,2 : x = ± a = ± c a + b2 G i H, K giao ng ti m c n y = b x v i ∆ , ∆ ó ta có a xH = a2 a +b , yH = Kho ng cách t ab a +b F1 ( c, ) 2 ⇒ OH = x H + y H = a ⇒ KH = 2OH = 2a bc − n y = ± b x hay bx ± ay = d = =b a a2 + b2 Ta có OH ( x H , y H ) ; F1 H ( x H − x, y H ) suy 2 OH , F1 H = x H ( x H − c ) + y H = x H + y H − c.x H = a − a = ⇒ F1 H ⊥ OH y2 Bài Cho Hypecbol (H): x − = Ch ng minh r ng tích kho ng cách a b t m t i m tùy ý (H) n hai ng ti m c n không i Gi i L y i m b t kỳ 2 x2 y2 ( H ) : x − y = ⇒ − = Vi t phương M ( x0 , y0 ) ∈ a2 b2 a2 b2 y trình hai ng ti m c n có dư i d ng x ± = kho ng cách t a b i mM n ng ti m c n 2 x0 y x0 y0 x0 y − + − 2 a b a b b = d d = × =a = a b 2 2 + a +b a +b + 1 + 2 2 2 a2 b2 a b a b a b y2 Bài Vi t phương trình (d) i qua M(0; 2) c t (H): x − = t i A, B phân bi t cho M trung i m AB 56 Bài ng Hypecbol IV CÁC BÀI TOÁN TIÉP TUY N HYPECBOL y2 Bài Cho (H): x − = CMR: a Ti p n c a (H) t i M(x0, y 0)∈(H) có a b phương trình: b i u ki n c n x0 x a − y0 y b2 =1 (∆): Ax + By + C = ti p xúc (H) a A − b B = C Vi t phương trình ti p n c a (H) trư ng h p: Bài (H): x − y = 20 h s góc ti p n k = Bài (H): x − y − = ti p n // (D): 3x + 2y − = Bài (H): x − y + 20 = ti p n ⊥ (D): 3x + 2y − = Bài (H): x = y + ti p n t o v i (D): x − 2y + = góc 45° Bài (H): x − y = ti p n i qua A(2; 3) Bài (H): x − y = ti p n cách tâm i x ng c a (H) kho ng Bài (H): 25 x − 16 y + 400 = ti p n i qua A(4; 1) Vi t phương trình ti p n chung c a ng cong sau: y2 Bài ( H ) : x − = (H2 ): y2 x2 − =1 2 y2 Bài 10 ( H ) : x − = ( E ) : x + y = y2 Bài 11 ( H ) : x − = ( C ) : x + y = 2 y2 y2 Bài 12 ( H ) : x − = ( H ) : x − =1 2 y2 y2 Bài 13 ( H ) : x − = ( E ) : x + =1 27 57 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương y2 Bài 14 ( H ) : x − = ( C ) : ( x + ) + y = 16 Bài 15 Vi t phương trình (H) bi t (H) có tr c trùng v i tr c t a xúc v i ng th ng: ti p ( ∆ ) : x − y − 16 = 0; ( ∆ ) :13x − 10 y − 48 = y2 Bài 16 Cho (∆): Ax + By + C = ti p xúc (H): x − = a b a F1, F2 tiêu i m, k F1H1 ⊥ (∆), F2H2 ⊥ (∆) CMR : F1 H ⋅ F2 H = −b b Ch ng minh r ng: H ng th ng (D): x cos t − y sin t + cos t + = ti p xúc v i (H) c nh y2 Bài 17 Cho (H): x − = ; A1, A2 a b n t i nh, ti p n (∆) b t kì c t ti p nh A1, A2 l n lư t t i i m M, N a CMR : y M y N = const b Tìm i m I ≡ A1 N ∩ A2 N y2 Bài 18 Cho (H): x − = Ti p n ti p i m t i M ∈ (H) c t ti m c n a b a M trung i m PQ t i P, Q Ch ng minh r ng: b ∆OPQ có di n tích khơng i M di ng (H) y2 Bài 19 Cho (H): x − = CMR : Ti p n ti p i m t i M b t kì ∈ (H) a b phân giác c a F1 MF2 y2 Bài 20 Cho (H): x − = Tính di n tích hình ch nh t có a b nh ∈ (H) có c nh // Oy i qua tiêu i m y2 Bài 21 Cho (H): x − = L y M ( x , y ) thu c nhánh bên ph i c a (H) a b không trùng v i nh c a (H) ng th ng qua M song song v i tr c tung c t tr c hoành t i P c t m t ng ti m c n t i Q G i E E′ giao i m c a ng tròn tâm O bán kính a v i ng ti m ó Ch ng minh r ng QE = MF 2, QE′ = MF 58 Bài ng Parabol Ư NG PARABOL I CÁC D NG PARABOL VÀ T X Tr c th c Phương trình y u t Parabol (2 ) y = px ; Tiêu i m F p ; ∈ Ox y p p Bán kính qua tiêu i m: M ∈(P) ⇔ MF = + xM F Ox p p O − y O (0; 0) I M Hình d ng Hypecbol (∆) O (0; 0) C x ( x p O p − F y b Bán kính qua tiêu (∆) x = −2 py ; Tiêu x Tâm sai e = Bán kính qua tiêu Y S ( ) Phương trình: ( y − b ) = p ( x − a ) ; Tiêu i m F ( a + p ; b ) ∈ (y = b) // Ox F S(a; b) y = b p p i m: M ∈(P) ⇔MF = + yM i m F 0; − p ∈ Oy p ng chu n (∆): y = p i m: M ∈(P) ⇔ MF = − yM Tâm sai e = ng chu n (∆): y = − x (∆) y p/2 Oy p ( 2) O −p/2 O (0; 0) Tâm sai e = ng chu n (∆): x = x = py ; Tiêu i m F 0; p ∈ Oy F p/2 Oy p Bán kính qua tiêu i m: M ∈(P) ⇔ MF = − xM y O (0; 0) ) y = −2 px ; Tiêu i m F − p ; ∈ Ox (∆) O F p − Ox Tâm sai e = ng chu n (∆): x = − X Tâm sai e = ng chu n (∆): x = a − O y S(a; b) x = a a x F X a Tiêu i m F ( a ; b + p ) ∈ (x = a) // Oy Tâm sai e = ng chu n (∆): y = b − S O Bán kính qua tiêu i m: MF = ( p − a ) + x M Phương trình: ( x − a ) = p ( y − b ) ; Y b p x p Bán kính qua tiêu i m: MF = ( p − b ) + y M 59 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương II XÁC NH CÁC Y U T C A PARABOL Bài VPT t c c a (P) v i Tiêu i m F(4; 0) nh g c t a Tiêu i m F(0; 2) ng chu n x = ng chu n y = 1/2 i qua A(−2; 1) nh n Oy làm tr c Nh n Ox làm tr c O bi t: i x ng X ch n y = x o n 2 Bài L p phương trình t c c a Parabol (P) Tr c Ox, kho ng cách t tiêu i m nh O bi t (P) có: n ng chu n b ng Tr c Oy, tiêu i m F(0; −1) Tr c Oy (P) i qua A(−1; 1) Tr c Ox (P) i qua A ( 2; −2 ) ng chu n 2x − = Bài Trong m t ph ng Oxy, l p PT c a Parabol (P) Tiêu i m F(3; 2), ng chu n tr c Ox nh S(2; 1), ng chu n tr c Oy ( ) Tiêu i m F − ; , ng chu n là: y + = Tiêu i m O(0; 0), ng chu n: 3x − 4y − 10 = Bài Trong m t ph ng Oxy, l p PT c a Parabol (P) nh S(−1; 1), tiêu i m F(2; 1) Tiêu i m F(2; −4), ng chu n: y − = nh S(−1; 2), ng chu n Oy nh S(1; −2), i qua O; tr c phương tr c t a Tr c ng x = 1, o n có nh S ∈ ng y + = (P) ch n y = x − m t dài Tr c Ox, (P) ch n Oy m t o n 2b kho ng cách t nh n g c O b ng a nh S ∈ (D): x − = 0, tr c phương Ox, (P) i qua A(2; −3) B(5; 3) 60 Bài ng Parabol Bài L p phương trình c a Parabol (P) có: Tiêu i m O, ng chu n: x − y − = nh S(2; 1), tiêu i m F(3; 2) nh S(1; 3), ng chu n (D): x − 2y = nh O, tr c Oy, tiêu i m F, dây AB = ⊥ Oy t i I trung i m OF Bài Trong m t ph ng Oxy cho (P): y = x Tìm M∈(P) có bán kính qua tiêu i m MF = 10; yM > Tìm thêm N∈(P) cho ∆OMN vng t i O Tìm A, B ∈ (P) cho ∆OAB u Bài Trong m t ph ng Oxy cho Parabol (P): y = px ( p > ) Tính dài dây MN ⊥ Ox t i tiêu i m F Tìm i m A, B ∈(P) cho ∆OAB u Bài VPT c nh c a m t tam giác n i ti p Parabol (P): y = x , bi t nh g c t a O tr c tâm c a tam giác tiêu i m c a (P) Bài Cho (P): x − y (D): x − y + = Tìm t a giao i m A, B c a ( P ) ∩ ( D ) Tìm M cung AB c a (P) cho t ng di n tích hai ph n hình ph ng gi i h n b i (P) hai dây MA, MB nh nh t Bài 10 Tìm i m M∈(P): y = 64 x cho kho ng cách t M n (D): x + y + 86 = nh nh t Bài 11 Cho (P): y = x (D): y = mx (m ≠ 0) ng (D) c t (P) t i M ≠ O ng (D’) ⊥ (D) c t (P) t i N ≠ O Ch ng minh r ng: ng th ng MN i qua i m c nh ∀m Bài 12 Cho (D): Ax + By + C = v i A + B > (P): y = px ( p > ) Bi n lu n theo A, B, C, p s giao i m c a (D) v i (P) Bài 13 Cho (P): y = x A(−1; 1), B(3; 9) Tìm M∈(P) cho di n tích ∆ABM t Max Bài 14 Trong m t ph ng Oxy cho hình vng ABCD có c nh AB n m (d): x − y − = nh C, D ∈ (P): y = x Tính c nh hình vng ABCD 61 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương III TI P TUY N VÀ CÁC BÀI TỐN NH TÍNH C A PARABOL III.1 Ti p n t i i m thu c Parabol M(x0, y0) ∈ (P1): y = px ⇒ (t): yy = p ( x + x ) M(x0, y0) ∈ (P2): y = −2 px ⇒ (t): yy = − p ( x + x ) M(x0, y0) ∈ (P3): x = py ⇒ (t): xx = p ( y + y ) M(x0, y0) ∈ (P4): x = −2 py ⇒ (t): xx = − p ( y + y ) III.2 K c n (∆): Ax + By + C = ti p xúc (P) ∆ (∆) ti p xúc (P1): y = px ⇔ pB = A.C (∆) ti p xúc (P2): y = −2 px ⇔ pB = −2 A.C (∆) ti p xúc (P3): x = py ⇔ pA = B.C (∆) ti p xúc (P4): x = −2 py ⇔ pA = −2 B.C Bài Vi t phương trình ti p n c a (P): y + x = t i giao i m c a (P) v i (C): x + y + x + y − = Bài Vi t PT ti p n c a (P): y = x // (D): 2x − y = Bài Vi t PT ti p n c a (P): x + y = v i h s góc k = Bài Vi t PT ti p n c a (P): x = 36 y i qua i m A(9; 2) y2 =1 Bài Vi t PT ti p n chung c a (P): y = 12 x elip (E): x + Bài Vi t PT ti p n chung c a (P): y = x (C): x + y − x − = Bài Cho (P): y + px = ( p > ) CMR : ∀m ∈ » t p  A  , m  k 2  c ti p n vng góc Vi t phương trình ng th ng i qua ti p i m ch ng minh i qua m t i m c nh Bài Cho (P): y = x Vi t PT ti p n c a (P) k t Ch ng minh r ng ti p n vng góc v i 62 i m A (−1; 2) Bài IV M T S ng Parabol BÀI T P M U MINH H A Bài Cho (P): y = px M ∈(P) y B ng (∆) i qua M c t Ox t i A, c t ti p n t i nh M H B c t A (P) t i M, N CMR : BA = BM BN n m O x N K Gi i K MH NK vng góc Oy ⇒ BA = BM = BN ⇒ BA = BM BN (1) OA MH NK MH NK OA 2 t x M = m ; x N = n ≠ m; x A = a ⇒ y M = pm , y N = pn Do ∆AMm ~ ∆ANn (m − a)2 (n − a)2 = ⇔ ( m − n ) ( mn − a ) = suy m − a = n − a ⇒ yM yN pm pn Do m ≠ n ⇒ mn = a ⇒ MH NK = OA (2) Suy BA = BM BN p p  Bài Cho (P): y = px ( p > ) có F  ;  ng chu n (∆): x = − 2  Ti p n (D) c a (P) t i M c t Ox, Oy t i N, I a CMR: I trung i m MN; FI ⊥ (D) i m b G i K ≡ ( D ) ∩ ( ∆ ) i x ng c a F qua (D) thu c (∆) ng th ng qua F ⊥ Ox c t (D) t i L CMR: FK = FL Gi i y K MG ⊥ (∆) ⇒ MG = NF Theo nh lý Pascal FMN = FNM ⇒ FM = FN ⇒ MFNG hình thoi Mà G, F cách p u Oy kho ng nên tâm hình thoi I ∈ Oy B G N −p/2 M L K I F O p/2 x (∆) Ta có LF ⊥ Ox ⇒ IFL = IGK ⇒ ∆IFL = ∆IGK ⇒ FL = GK mà K∈(D) trung tr c c a GF nên GK = FK ⇒ FK = FL 63 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Bài Cho (P) có tiêu i m F T i m I v ti p n IM, IN a CMR : FI = FM FN IM = FM FN IN M H b M t ti p n (d) tuỳ ý c a (P) ti p K I xúc (P) t i T c t IM, IN t i Q, Q’ FQ.FQ ′ CMR : không ph thu c v trí c a (d) FT n (P) y L F J x N Gi i Ch n h Oxy cho (D): y = px (p > 0) Theo nh lý Pascal ⇒ KMH = KMF ⇒ ∆KMH = ∆KML ⇒ MH = ML = x M Mà MF = x M + p = MH + OF ⇒ MF − MH = OF ⇒ FL = OF ⇒ ∆FKO = ∆KFL ⇒ KFL = KFO ⇒ MKF = 90° ⇒ OKF = KMF Tương t ta có: FJ ⊥ IN FNJ = FJO a FKI = FJI = 90° ⇒ IKFJ n i ti p ⇒ FKJ = FIJ , KIF = KJF ⇒ FMI = FIN , FIM = FNI ⇒ ∆FIM ~ ∆FNI ⇒ FI = FM = IM ⇒ FI = FM FN IM = FI ⋅ FM = FM FN FI IN FN IN FN FI b Coi d d1 ti p n xu t phát t Q, Q’ ⇒ FQ = FM FT FQ ′ = FN FT ⇒ FQ FQ ′ = FM FN FT = FI FT ⇒ FQ.FQ ′ = FI FT ⇒ FQ.FQ ′ = FI FT Bài Cho parabol (P): y = px ( p > ) Gi s chùm ng th ng ( ) i qua tiêu i m F c t (P) t i hai i m phân bi t M, N CMR: Tích kho ng cách t M, N n tr c hoành Ox khơng ph thu c vào v trí c a (∆) Gi i p  Xét (∆) i qua F  ;  c t (P) t i hai i m phân bi t M, N theo kh năng: 2  64 Bài ng Parabol p p  p  i ( ∆ ) : x = ; ( ∆ ) ∩ ( P) t i M  ; p  , N  ; − p  ⇒ d ( M ; Ox ) d ( N ; Ox ) = p 2 2  2  p  i (∆) : y = k  x −  , k ≠ T a  2 c a M ( x1 , y1 ) , N( x , y ) nghi m c a h :  y2  y = px −kp  x = 2p ⇔  ⇒ y1 y = = − p2  kp k y = kx −  ky − py − kp =    Ta có d ( M , Ox ) d ( N , Ox ) = y1 y = y1 y = − p = p Bài Cho parabol (P) y = px Gi s (P) l y i m A c nh hai i m B, C di ng có tung l n lư t a, b, c cho AB ⊥ AC CMR: ng th ng n i B, C i qua m t i m c nh Gi i Các i m A, B, C l n lư t có t a  A  a ;  2p   a, B b ;   2p    b, C  c ;c   2p  2       AB =  b − a ; b − a  // u  b + a ; 1 ; AC =  c − a ; c − a  // v  c + a ; 1  2p  2p 2p 2p         Do AB ⊥ AC nên AB AC = ⇔ −4 p (b + a ) ( c + a ) − a (1) +1= ⇒ c = a+b 4p2 ng th ng n i B, C có phương trình px − c = ( b + c ) y − ( b + c ) c (2)    4p2 4p2  Thay (1) vào (2) ta có: px −  b − − a y − ba + =0 a+b a+b    ⇔ p ( a + b ) x − ( b − a ) − p  y − ba ( a + b ) − p b = (3)   Gi s h (3) i qua i m nh I ( x, y ) v i m i b Khi ó: −b ( y + a ) + b ( px − p − a ) + pax + a y + p y = , ∀b y + a =  y = −a   2 ⇔  px = p − a = ⇔ ⇒ i mc x = a + 2p   2 2p   pax + a y + p y =   nh U  a + p; −a   2p  Bài Gi s hai parabol y = ax + b ; x = cy + d ( ac ≠ ) c t t i i m phân bi t Ch ng minh r ng: Các giao i m n m m t ng tròn Gi i Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com 65 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Gi s y = ax + b ; x = cy + d ( ac ≠ ) c t t i M k ( x k ; y k ) ( k = 1, )  yk b  y k = ax k + b  a = x k + a (1)   Ta có  ⇔  C ng v c a (1), (2) v i nhau:  x k = cy k + d  xk = y + d ( 2)  k c c  y k xk x y 2 2 + = xk + y k + b + d ⇒ xk − k + y k − k + b + d = a c a c c a a c ( ) ( ) = + − b − d Do hai parabol c t t i a c 2c 2a b n i m phân bi t nên + − b − d > T ó M k ( x k ; y k ) ( k = 1, ) a c 2c 2a ⇒ xk − 2c + yk − 2a ) ( n m ng trịn tâm I ; bán kính R = + − b − d 2c a a c 2c 2a Bài Vi t PT c nh tam giác n i ti p parabol (P): y = x bi t m t nh tâm O tr c tâm tiêu i m c a (P) HD: Tr c tâm F(2; 0), Vì OF ⊥ AB ⇒ A, B i x ng qua Ox G i A(x, y); B(x; −y) ⇒ OA ⊥ FB ⇒ A (10; ) , B (10; −4 ) Bài Cho (P): y = px ( p > 0) ; (D) i qua tiêu i m F c a (P) c t (P) t i M, N t ( Ox, FM ) = α [ 0; 2π] b CMR : HD: a FM = + = const FM FN a Tính FM, FN theo p, α c CMR : FM.FN nh nh t (D) ⊥ Ox p p ; FN = − cos α + cos α Bài Cho (P): y = px ( p > ) L y M∈(P) ≠ O G i N, K hình chi u c a M lên Ox, Oy CMR : i mc nh nh ng th ng i qua K ⊥ OM i qua m t ng th ng i qua K ⊥ NK i qua i m c ng th ng NK ti p xúc v i m t parabol c nh Bài 10 Cho (P): y = 4ax ( a > ) tiêu i m F G i M ∈ (P) Ti p n (d) c a (P) t i M c t Oy t i N ng th ng (∆) qua M ⊥ (d); K hình chi u c a F lên (∆) CMR : FN ⊥ MN FN = const K ∈ Parabol c FM 66 Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com nh ... =  1− k  Phương trình c nh (AB) là: x + y − = ⇒ R = d ( I , ( AB ) ) = 2 Phương trình ng tròn (C) là: ( x + 1) + ( y − ) = 29 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương Bài 13 L p phương trình... KI R2 JI R2 R2 i m J, K Phương trình ti p n chung c a (C1) (C2) phương trình ti p n i qua J, K c a (C1), (C2) Sau tìm c t a theo phương pháp sau: Cách 1: c a J K, ta vi t phương trình ti p n chung... y −β) 37 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương II XÁC NH PHƯƠNG TRÌNH ELIP THEO CÁC Y U T Bài Vi t phương trình elip (E) bi t tiêu i m F 1(−8; 0); F2(8; 0) e = 4/5 Bài Vi t phương trình elip