    GIẢI TÍCH I Ứng dụng đạo hàm, tích phân To live is to fight 1. Nguyễn Minh Nhật 2. Nguyễn Văn Sơn 3. Tống Văn Xuân 4. Nguyễn Đức Bình 2014 PRO XE QS1 5/24/2014 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. VíDụ2.42(trang152):Mộtbồnnướccóhìnhnónngượcvớibánkínhđáy 2m vàcao 4m . Nếunướcbơmvàobồnvớivậntốc 2 /m s thìvậntốcmứcnướcdânglênlàbaonhiêukhi mựcnướclà 2m . Lờigiải:    2m Hìnhvẽ H=4m r  h Gọi h làchiềucaomựcnước, r làbánkínhbềmặtnước, V làthểtíchnướchiệncó.Theo tínhchấtđồngdạngcủatamgiácdễdàngsuyrađược 4h r  4 h r    Tacó: 2 2 3 1 1 1 3 3 4 48 ( ) h V r h h h        3 2 . .(3 ) 48 48 dV dh dh h dt dt dt       Theogiảthiếttađãcó 2 dV dt  vàtại 2 h  thì: 2 2 2 (3.2 ). 0,64( / ) 48 dh dh m s dt dt       . VíDụ2.45:Điệntrởsuấtρtỷlệnghịchvớitínhdẫnđiệnvàđượcđotheođơnvịôm–mét (Ωm).Điệntrởsuấtcủakimloạiđãchophụthuộcvàonhiệtđộtheophươngtrình ( 20) 20 ( ) t t e      trongđótlànhiệtđộtheođộ o C,αgọilàhệsốnhiệtvà 20  điệntrở suấttại20 o C.Ngoạitrừnhiệtđộrấtthấp,điệntrởsuấtbiếnthiêngầnnhưtuyếntínhvới nhiệtđộ.VìvậynóichungcóthểxấpxỉbiểuthứctheokhaitriểnTaylorbậcnhấthoặcbậc haicủanótait=20. a)Tìmbiểudiễnxấpxỉtuyếntínhvàbậchaicủađiêntrởsuất. b)Vớiđồngtrabảngtacóα=0,0039/ o Cvà 20  =1,7×10 -8 Ωm. Lậpđồthịcủađiệntrởsuấtcủađồngvàxấpxỉtuyếntính,bậc2với-250 o C≤t≤1000 o C. c)Vớigiátrịnàocủat,xấpxỉtuyếntínhkhônglệchquábiểudiễnmũ1%. 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải: a)TheokhaitriểnTaylortạit=20tacó:     20 ( ) 1 20 t t       làbiểudiễnxấpxỉtuyếntính.   2 20 1 ( 2 ( ( 20)) 2 0) ! t t t               làbiểudiễnbậc2củađiệntrởsuất. b)Đồthịcủađiệntrởsuất:  Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉtuyếntínhcủađiệntrởsuất    Đồthịbiểudiễnchoxấpxỉbậchaicủađiệntrởsuất:  4 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.   c)Theođềbàicónghĩalàsaisố     2 1 20 0,01 2! t R       20 0,02 16,26 56,26 t t         ( o C)  Vídụ2.46.Nếusóngnướcvớibướcsóng L chuyểnđộngdọctheothânnướcđộsâu$d$ nhưHình2.34thì 2 2 tanh , 2 gL d v L    với v làvậntốctruyềnsóng. a) Đốivớinướcsâu,chỉrarằng 2 gl v    b) Đốivớinướcnông,dùngkhaitriểnMaclaurinvới tanh đểchỉrarằng .v gd  Như vậy,vớinướcnông,vậntốctruyềnsóngđộclậpvớibướcsóng. c) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylorđểchỉrarằng,nếu 10L d thìước lượng v gd làtốttrongkhoảng 0,024gL  Hìnhvẽ:   L   d Giải : a) Khinướcsâutứclà d   hay 2 d L     Mặtkhác lim 1. x x x x x e e e e        5 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Nênkhi d   thì 2 tanh 1 d L    Từđósuyra 2 gL v     b) Tacó: 2 2 2 2 2 sinh sinh .cosh cosh .sinh cosh sinh 1 ( ) cosh cosh cosh cosh ( ) x x x x x x x tanh x x x x x            Vậy 2 1 tanh (0) 1. cosh (0)     SửdụngkhaitriểnMaclaurinchohàm$\tanh$tathuđược: tanh'(0) 1 tanh tanh(0) . ( ) 0 . ( ) ( ) 1! 1! x x o x x o x x o x          Suyrakhi 0x  thì tanh x x  Ápdụngvới 2 0( 0) d x d L     tađược: c) 2 2 2 .tanh . 2 2 gL d gL d v gd v gd L L           d) SửdụngđánhgiásaisốtrongkhaitriểnTaylortacó 2 2 1 ( ) . 2! | | M R x x   2 ( )| |M Sup f x    Trongđó ( ) tanhf x x  Tasẽkhảosát ( ) | | f x  đểtìm 2 M  2 3 ( ) ( ( )) (cosh ) 2cosh .sinhf x f x x            4 2 3 ( ) | 2 3cosh .sinh cosh .cosh | ( ) f x x x x x         6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 2cosh (1 3tanh )x x     Do 2 2 10 . 10 5 d d L d L d         0, . 5 ( ) x     Do tanh x làhàmđồngbiếnnên 2 1 3tanh 1 3tanh( ) 0,0696 0 5 x        Nên ( )| |f x  làhàmđồngbiến Vậy 3 ( ) 2cos ( )siS n ( ) 0, u 768 5 p 5 | |f x h        Suyra 2 2 2 1 0,768 | ( ) | 0,15154 2! 2 M R x x x    Suyra 2 v tốttrongkhoảng 1 0,15154 . 0,024 2 2 Ld Ld R Ld      Vídụ2.48.Biếtrằng,cườngđộđượcchiếusángtừmộtnguồnsángnàođótỷlệthuậnvới cườngđộcủanguồnvàtỷlệnghịchvớibìnhphươngkhoảngcáchđếnnguồn.Hainguồn sángcườngđộnhưnhau,đặtcáchnhau 10 tácđộnglênđiểmPtrênđoạnABcáchđódmét. a)Tìmbiểuthứcchocườngđộđượcchiếusáng ( )I x tạiđiểmP. b)Khi 5 ,d m chứngtỏrằng ( )I x cựctiểutại 5,x  tứclàkhiPlàtrungđiểmAB. c)Xétlạicâua),b)trongtrườnghợp 10,d  chứngtỏcựctiểukhôngđạtđượctạitrung điểm. Hìnhvẽ A x P B  d   10m 7 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Giải : a) Gọicườngđộ2nguồnsánglàIthì 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) (10 ) (10 ) ( ) kI kI I x I x I x kI x d x d x d x d              Đặt 5x X  thì ( 5,5)X   và ( )I kIf X với   f X là 2 2 2 2 1 1 ( 5) ( 5) X d X d       Tasẽđikhảosát ( )f X   2 2 2 2 2 2( 5) 2( 5) '( ) [( 5) ] [( 5) ] X X f X X d X d            Đặt 2 2 2 2 ( 5) , ( 5) A X d B X d      Thì  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) [( 5) ( 5) ] [ ( ) 5( )( )] 2 [ ( ) 5( 20 )( )] 2 [100( ) ( )] f X X A X B X A B A B A B A B A B X A B X A B A B X A B A B A B                       Tacó 2 2 2 50 2A B X d    và 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 ( 5) 2 ( 5) ( 5) 2 ( 5) A B X d X d X d X d            4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 [( 5) ( 5) ] 2 [( 5) ( 5) ] 2 (2 300 1250) 2 (2 50) 2 ) X X d X X d X X d X d                 Từđótacó: 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 4 2 100( ) ( ) 200 5000 200 [2 (300 4 ) 2 100 1250] 2 (100 4 ) (3750 2 100 ) A B A B X d X d X d d X d X d d                     Trongtrườnghợp 5d  tacó: 8 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. 2 2 4 2 2 100( ) ( ) 2( 100 2500) 2[ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] A B A B X x X X X                 Vàtacóđược 2 2 2 4 [ 50(1 2)][ 5 2( 2 1)][ 5 2( 2 1)] ( ) X X X X f X A B           ( ) 0 f X   khi 0X  hoặc 5 2( 2 1) X     Tacóbảngbiếnthiên X -5 5 2( 2 1)  0 5 2( 2 1) 5 F’(X)  + 0 - 0  + 0 - F(X)   0,048 0,04 0,048 Từbảngbiếnthiêntarútrađượcgiátrịcựctiểucủa ( )I x đạtđượckhi 0X  haycũngnhư 5x   b) Xétvới 10d  thì: 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 100( ) ( ) 2 (100 4(10) ) (3750 2(10) 100(10) ) 2 500 6250 2( 250 3125) 0 ( 5,5) A B A B X X X X X X X                        Nhưvậy 4 2 2 2 4 ( 250 3125) (X) X X X f A B       ( ) 0 f X   chỉkhi 0.X  Tacóbảngbiếnthiên: X -5 0 5 f’(X)  + 0 - f(X)  f(0) Từđâytasuyravới 10d  thìgiátrịcựctiểucủa ( )I x khôngđạtđượctạitrungđiểm.   9 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân. Vídụ2.52.Khicábơivớitốcđộtươngđối v sovớinước,nănglượngsảnracủanótrênmột đơnvịthờigianlà 3 .v Ngườitathấyrằng,cádicưcốgắngcựctiểuhóanănglượngtổngthể đểbơimộtkhoảngcáchnhấtđịnh.Nếuvậntốcdòngnướclà a vàcábơingượcdòngnước ( )a v thìthờigiancầnbơiđượckhoảngcáchLlà L v a vànănglượngsảnralà 3 ( ) . , L E v qv v a   trongđó q làhằngsốtỷlệ. a) TìmgiátrịvlàmcựctiểuE. b) VẽđồthịcủaE (Kếtquảnàyđượckiểmnghiệmbằngthựcnghiệm:Cádicưbơingượcdòngnướcvới vậntốcgấprưỡilầnvầntốcdòngnước). Giải : 3 ( ) . . ( ) v E v qL qL f v v a     Takhảosát 3 ( ) v f v v a    2 2 3 2 2 3 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a v v v v a v f v v a v a         ( ) 0 f v   khi 1,5v a  Khi v a   thì ( )E v   Khi v   thì ( )E v   .Khi 1,5x a  thì 3 27 ( ) 4 E v qa  .Ta cóbảngbiếnthiên: v a 1,5a  f’(v)  - 0 + f(v)   3 27 4 a  Dựavàobảngbiếnthiêntathấykhi 1,5v a thì ( )E v đạtgiátrịcựctiểu. c) ĐồthịE: 10 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân.  Vídụ2.53.Đểkhảosátvậntốctruyềnâm 1 v ởmặttrên, 2 v ởmặtdướicủamạchđádộdày h (biếtrằng 1 2 v v ),ngườitachonổmìntạiđiểmPvàtínhiệughilạitạiđiểmQ,cách nhau$l$.TínhiệuđầutiêntruyềnquabềmặtQmất 1 T giây.Tínhiệutiếptheođược truyềntớiđiểmR,từRtớiS(R,Sthuộclớpdưới),rồitừSđếnQmất 2 T giây.Tínhiệu thứbaphảnquamặtdướitrungđiểmOcủađoạnRSvàmất 3 T giâyđểđếnQ. a) Biểudiễn 1 2 3 , ,T T T theo 1 2 , , , .l v v   b) Chứngtỏrằng, 2 T cựctiểukhi 1 2 sin . v v    c) Giảsử 1 2 3 1 , 0,26 , 0,32 , 0,34 .l km T s T s T s    Tìm 1 2 ,v v và .h  Hìnhvẽ: P v 1  Q         h   R v 2 S  Giải: a)Tacó 1 1 1 PQ l T v v    [...]... x ) Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 13 Hay  S   0,034 R 2 x 0,6     BÀI TẬP CHƯƠNG II.  Bài 40. Cho 1200cm 2 vật liệu để làm một chiếc hộp đáy là hình vuông và không có nắp, tìm  thể tích lớn nhất có thể của hộp.    x  Hình vẽ:    h      Giải: Gọi  x là độ dài cạnh đáy  và  h là chiều cao của hộp.   Từ đó nhờ vào giả thiết  4hx  x 2  1200 ta có mối quan hệ giữa  h và  x  là:  Giải tích. .. Thiết diện ngang tại chỗ cách đỉnh  x(m) là tam giác đều  cạnh  x  m  Tính thể tích của lăng.  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 22 Giải: Ta có:    V   V  3 2 x x  4 20  0 3 2 3 x3 20 2000 3 3 x dx   m   4 4 3 0 3 Bài 27:Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc  v  t 2e t m / s Tính quãng đường nó đi dược trong t giây đầu tiên?  Giải: Ta có  S  v(t )t   S  2 t  t e t 0... GE  GF Nên tam giác AIK đồng dạng ABC với tỷ lệ  1: 3  suy ra tỷ lệ về diện tích sẽ là 1: 9  đồng nghĩa với  S2 : S1  1: 9   Ta thu được:  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 24 ( ( (   1.cos30 1 3 ) 11  11   8 96 2 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 1 1 1 1   3  )   r12 1  3 1 3 3 1 2 3 ))   r ( 1 1 S  S1  3S 2  3S3    r12  3 2 r12  4 r12  3 3 2 1 ) ( ) ... Vận tốc của tên  lửa phóng thẳng đứng tại thời điểm  t được mô hình hóa bởi phương trình  v(t )   gt  vk ln m  rt ,  m Trong đó g là gia tốc trọng trường, t không quá lớn.  Nếu  g  9,8m / s 2 , m  30000kg , r  160kg / s, vk  3000m / s  tìm chiều cao tên lửa sau khi  phóng được 1 phút.  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 19 Giải : t Ta có  h  v(t )t  h   h   v(t )t   [  gt  v ln(...  Rs  0 3    Rs 2  Thay vào ta được kết quả của nguyên hàm:   r (r  R) 2 r 2  s2 dr  (1 r 3 2 2  ( R)r  r 2  R 2 3 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân ) r 2  s 2  Rs 2  dr r 2  s2 21 Do tích phân   r (r  R) 2 r 2  s2 dr  dr  r 2  s2 (1 r 3 2 là tích phân quen thuộc trong bảng nên ta dễ dàng tính được.  2  ( R) r  s 2  R 2 3 ) r 2  s 2  Rs 2 ln(r  r 2  s 2 )   Từ đó ta có kết quả: ... Hình vẽ:      x  20m  φ  Giải: Đặt  x là khoảng cách từ đỉnh thang tới đất thì ta có :  x  20sin  x  20sin     dx d sin   20   dt dt  dx d    20.cos  dt dt Tại thời điểm     6 thì vốc tốc góc biến thiên với tốc độ  dx   20cos 2  20 3   dt 6 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân d  2 Thay vào ta thu được  dt 15 Bài 42. Một quả khinh khí cầu, đầu tiên được bơm vào thể tích lên đến  30000m3... kết thúc thở ra, thường kéo dài  5s Vận tóc cực đại của khí là  V  l / s, vì thế nó được mô hình  2 t hóa bởi  v(t )  V sin Dùng mô hình này để tính thể tích khí K hít vào phổi tại thời điểm t,  5 áp dụng với V  0,5, t  2  Khi nào trong phổi có nhiều khí nhất?  Giải: Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 17 Ta có: t 2 x 5 2 t 5V 2 t dx  V cos  1  cos 5 2 5 0 2 5 0 Ví dụ 3.47. Trong một mẻ cấy, số lượng ban đầu của vi khuẩn là 500, số lượng này tăng lên ... rằng, tỷ lệ phần trăm của thể tích vật nổi trên mặt chất lỏng là 100 l   l b) Khối lượng riêng của băng và nước biển lần lượt là  917kg / m3 và 1030kg / m3 Tính tỷ  lệ phần trăm thể tích băng nổi trên mặt nước biển.  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 18 Giải: k  a) Trọng  lượng của vật là :  g m  g 0 V  g  0 S ( y )dy   h Do vật cân bằng nên ta lại có :  k 0 g l  g  h  S ( y )dy   h 0  g l  h k 0 S ( y )dy  g... mực nước dâng lên với vận  tốc bao nhiêu khi nước sâu  30cm ?   Hình vẽ:  80  x      A   B      C  30  D   Giải: Gọi thiết diện ngang của mực nước đang có trong máng là hình thang ABCD  , x là chiều cao  của hình thang , như vậy nó cũng là độ sâu của mực nước.  Ta có :  Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 16 V  S ABCD 10  ( AB  CD) x AB  0,3 10  5   2 x Mà theo tính chất đồng dạng ta có  x 50... Tìm nhiệt độ trung bình trong quãng thời gian từ  8h sáng đến  8h   12 tối.  Giải: Nhiệt độ trung  bình từ 8h sáng cho đến 20h là tổng nhiệt độ chia cho khoảng thời gian, cho  nên được tính bằng:  20 14 20  1  (50  14.sin 12t )dt  12 50t 8  12 cos 12t 12 8     1 20  8  20 8 ( ) 1 14 20 8 (1000  400)  cos  cos   12  12 12 Giải tích 1: Ứng dụng đạo hàm, tích phân 23  50  [ ] 14 1 1 14  ( )  50     2