Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI SỞ GIÁO vị TrườngĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn DỤC VÀ THPT Ngô Quyền Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ DỤNG ÁP ĐỐN THỨC CƠ-SI DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG KĨ THUẬT TÌM ĐIỂM RƠI ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG Lĩnh vực nghiên cứu: Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG Quản lý giáo dục  Lĩnh vực nghiên cứu: dạy học mơn: TỐN Phương pháp  Quản lý giáo dục dục  Phương pháp giáo  Phương pháp dạy học mơn: TỐN Lĩnh vực khác:   Phương pháp giáo dục  Có đính kèm: Lĩnh vực khác:   Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Có đính kèm:  Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học: 2012-2013 -1-  Hiện vật khác www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai DỰ ĐỐN DẤU BẰNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ-SI (CAUCHY) ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Bất đẳng thức (BĐT) kiến thức khơng thể thiếu kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi BĐT áp dụng nhiều trong sống nói chung tốn học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, toán cực trị Đa số học sinh (HS) gặp BĐT thường hay lúng túng, nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải nào? Với vai trị giáo viên dạy Tốn 10, muốn HS lớp 10 tiếp cận số đề thi cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi, BĐT hay từ kiến thức bình thường, dễ hiểu - Chứng minh BĐT tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) biểu thức thực dãy hữu hạn bước biến đổi, đánh giá thông qua BĐT mà đảm bảo dấu “=” BĐT thời điểm Các sai lầm khó khăn HS hay gặp phải :  Theo thói quen làm BĐT chương trình, HS thường khơng kiểm tra dấu “=” BĐT có xảy hay khơng? Như thế, HS dễ mắc sai lầm áp dụng “vô tư” BĐT mà không xảy dấu “=”  HS lúng túng xuất phát từ đâu? Làm cách để suy luận BĐT cần dùng tốn Dự đốn dấu “=” bất đẳng thức Cơ-si kĩ thuật “suy ngược” logic Từ giá trị biến số BĐT dấu “=” dự đoán ban đầu, suy giá trị biến số BĐT thời điểm dùng BĐT để đánh giá, suy BĐT phù hợp sử dụng toán Hơn nữa, giúp kiểm chứng lại cách làm tốn có khơng? từ hạn chế, khắc phục sai lầm Tóm lại, kĩ thuật cho phép ta dự đoán, tránh sai lầm định hướng cách giải toán - Dự đoán dấu “=” bất đẳng thức Cô-si để chứng minh BĐT tìm GTLN, GTNN phương pháp đơn giản, dễ hiểu so với đa số phương pháp khác, phù hợp với HS lớp 10 Cho phép HS giải nhiều tốn BĐT mà khơng cần huy động tới kiến thức đạo hàm lớp 12 -2- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Một là, qua thực tế dạy học từ ghi nhận chúng tơi nhận thấy chương trình lớp 10 phần BĐT, số tập sách giáo khoa hạn chế thời lượng dành cho Hai là, sách giáo khoa, sách tập đại số hình học ban nâng cao ban khơng có BĐT u cầu dấu “=” xảy nào? Do đó, thơng thường làm BĐT HS khơng có thói quen thử lại dấu “=” có xảy hay khơng? Đây sai lầm HS thường gặp phải Do đó, tơi mạnh dạn làm SKKN với mong muốn tài liệu nhỏ giúp HS đỡ khó khăn gặp số BĐT có dạng III NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Cơ sở lí thuyết Theo chương trình sách giáo khoa ban nâng cao hành, HS học BĐT Cô-si số khơng âm Do đó, chúng tơi cố gắng biên soạn hệ thống tập, kĩ thuật giải dựa BĐT Cô-si số không âm, mục đích cho HS dễ hiểu  Bất đẳng thức Cô-si số không âm ab  ab Dấu "=" xảy  a = b Cho a, b  0, ta có:  Từ BĐT Cơ-si số khơng âm ta dễ dàng chứng minh BĐT Hệ sau: 1 1  (a  b)     với a, b  a b  a  b với a, b  (a  b) 11 1      với a, b  ab 4a b    Dấu “=” xảy  a=b  Bất đẳng thức Cô-si số không âm Cho a, b, c  0, ta có: abc  abc Dấu "=" xảy  a = b = c  Từ BĐT Cô-si số không âm ta dễ dàng chứng minh BĐT Hệ sau: -3- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng 1 Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai 1  (a  b  c)      với a, b, c  a b c   a 1 với a, b, c  b c abc 1 1 1       với a, b, c  abc 9a b c     Dấu “=” xảy  a=b=c Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho f ( x1 , x2 , , xn ) hàm n biến thực D  n : f :D  f ( x1 , x2 , , x n )  M ( x1 , x2 , , xn )  D   Max f  M   0 0 0 D ( x1 , x2 , , xn )  D : f ( x1 , x2 , , xn )  M   f ( x1 , x2 , , x n )  m ( x1 , x2 , , xn )  D   Min f  m   D 0 0 0 ( x1 , x2 , , xn )  D : f ( x1 , x2 , , xn )  M   Nhận xét:  Dấu hiệu để dùng BĐT Cô-si hệ biến BĐT không âm dương Điều giúp ta nhận định nhanh tốn có nên dùng BĐT Cơ-si hay khơng  Trung bình cộng số khơng âm ln lớn trung bình nhân chúng Do đó: +Để tìm GTNN biểu thức thường ta biến đổi tổng thành tích +Để tìm GTLN biểu thức thường ta biến đổi tích thành tổng  Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cách giải Đặc biệt, áp dụng nhiều lần bất đẳng thức Cô-si hệ dấu “=” phải đồng thời xảy với điều kiện biến  BĐT  “gộp” từ tổng số hạng thành số hạng  BĐT  “tách” từ số hạng thành số hạng B) Ứng dụng dự đốn dấu BĐT Cơ-si tìm GTLN, GTNN biểu thức chứng minh BĐT 1) Các sai lầm học sinh hay gặp phải Đa số làm BĐT HS thường hay gặp phải sai lầm Đáng nói HS khơng biết sai nào? Từ đâu? Sau ví dụ HS hay gặp phải sai lầm Đầu tiên Bài 4.22 trang 105 Sách tập đại số 10 ban nâng cao Bài Cho tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50 cm Hãy cắt bốn góc vng hình vng để gập lại theo mép cắt hộp (khơng nắp) tích lớn -4- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Sai lầm HS thường gặp: Gọi x (cm),  x  25 độ dài hình vng cắt Do V  (80  x)(50  x) x  (80  x)(50  x)4 x  Áp dụng BĐT Cô-si cho số 80  x  0,50  x  0, x  Ta có: (80  x )(50  x )4 x  (80  x )  (50  x)  x 130  3  130   130   130   (80  x)(50  x)4 x    V    Vậy MaxV    4  4    Nguyên nhân sai lầm: +Theo thói quen, HS khơng kiểm chứng lại dấu”=” BĐT xảy nào?  130  MaxV    80  x  50  x  80  50 (Vô lý) Do đó, dấu “=” khơng xảy 4  Bài Cho x  Tìm GTNN A  x  x Sai lầm HS thường gặp: Áp dụng BĐT Cô-si số không âm ta có A  x  1  x  Vậy Min A= x x Nguyên nhân sai lầm: +HS ngộ nhận Bài với hệ BĐT Cô-si cho số không âm trang 73 sách giáo khoa đại số 10 ban có phát biểu: a Tổng số dương nghịch đảo lớn a   2,a>0 +Theo thói quen, HS không kiểm chứng lại dấu”=” BĐT xảy nào? Cụ thể Min A=  x   x  (vơ lý) x  Do đó, dấu “=” khơng xảy x Bài Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  x2 Sai lầm HS thường gặp: x x Áp dụng BĐT Cô-si số khơng âm ta có A    Vậy MinA  xx 1  33  33  2 x 22x 4 3 -5- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Ngun nhân sai lầm: Cách giải mắc sai lầm dấu bất đẳng thức không xảy Bởi vì, dấu “=” xảy  x x    x  trái với giả thuyết x  2 x Bài Lập phương trình đường thẳng  qua Q(2;3) cắt tia ox,oy điểm M, N khác điểm O cho OM+ON đạt GTNN Trích từ Bài 10 trang 101 Sách tập hình học 10 ban nâng cao hành Sai lầm HS thường gặp: Gỉa sử M(m;0),N(0;n) với m,n>0 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn  : Do Q  2;3    x y   m n  1 m n 3 3 ,  0:  2 1  mn  24 m n m n m n m n Mặt khác OM  ON  m  n  mn  24  Áp dụng BĐT Cơ-si số Do đó, Min  OM  ON   Nguyên nhân sai lầm: Theo thói quen, HS khơng kiểm chứng lại dấu”=” BĐT xẩy nào? Cụ thể 2   Dấu “=” xẩy  m n  m  n  (Vô lý) Do dấu “=” khơng xẩy m  n  2) Khắc phục sai lầm, phân tích định hướng cách giải Kỹ thuật dự đoán dấu để tìm GTLN, GTNN biểu thức: B1: Dự đốn dấu “=” xầy ra: Dấu hiệu: +Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc GTLN, GTNN biểu thức thường đạt vị trí biên +Nếu biểu thức có tính đối xứng dấu “=” thường xảy biến +Nếu biểu thức khơng có tính đối xứng tuỳ theo tốn mà linh hoạt áp dụng Mục đích: Xác định giá trị biến GTLN, GTNN biểu thức dấu “=” dự đoán ban đầu -6- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai B2: Định hướng cách giải: Từ giá trị biến dấu “=” dự đoán ban đầu, ta suy giá trị biến BĐT tham gia đánh giá thời điểm dấu “=” xảy Mỗi phép đánh giá phải tuân theo nguyên tắc gía trị biến thuộc biều thức thời điểm dấu “=” xảy BĐT không thay đổi Nghĩa là, dấu “=” lần đánh giá phải giống dấu “=” dự đốn ban đầu Mục đích: Lập sơ đồ dấu “=”1 xảy gồm giá trị biến dấu “=” dự đoán ban đầu, thời điểm đánh giá, từ suy BĐT đánh giá Để hiểu áp dụng vào số toán cụ thể sau: Bài Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  x B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Ta có lưu ý: + Một là, biều thức có điều kiện x  + Hai là, hàm số f ( x )  x  hàm số đồng biến  2;   x Thật x1 , x2  (2; ) : x1  x2    x x   1  1  f ( x1 )  f ( x2 )   x1   -  x2     x1  x2      f ( x1 )  f ( x2 ) x1   x2    x1 x2  Do x nhỏ A nhỏ Dự đốn dấu “=” xảy x  Min A= B2:Định hướng cách giải: Biểu thức A có chứa tổng x , để tìm GTNN A x ta phải dùng BĐT mà đánh giá biến x phải triệt tiêu Do đó, nghĩ đến phép đánh giá tổng thành tích BĐT Cô-si số không âm +Không thể áp dụng BĐT Cơ-si cho số khơng âm x dấu “=” không xảy x (nguyên tắc dấu “=” không đảm bảo) Sơ đồ dấu “=”: Theo Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Trần Phương, NXB Tri thức gọi “Sơ đồ điểm rơi” Nhưng thuật ngữ “Sơ đồ điểm rơi” khơng định nghĩa chương trình Nên chúng tơi tạm gọi Sơ đồ dấu “=” với mục đich cho HS dễ hiểu -7- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai để áp dụng bất đẳng thức Cô-si số không âm x +Cho nên, ta phải tách x dấu “=” xảy Dấu “=” xảy x  , kết hợp với nhận xét ta sử dụng x x x1 BĐT Cơ-si cho cặp số  ,   2 2 , dấu “=” xảy    x  x   x   x  x (nguyên tắc dấu “=” đảm bảo) Gía trị x=2 dấu “=”    x   dự đoán ban đầu xảy không thay đổi so với sử dụng BĐT Cô-si số không âm Để tiện x     x2      1  x  A x chúng ta ta Vậy dùng nên sơ đồ phân dấu tích ‘=’ A xảy ra: sau: x 3x  x  3x        ta có lời giải tương ứng x 4 x 4 x Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương A x x , 0 x x 3x 3.2  x  3x    2   1  x 4 x 4 x 4 Dấu “=” xảy  x  hay x  Vậy MinA  x x Nhận xét: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  ,  ta chọn    x    cặp số sau:   x,   x,   x,        x x x       Bài Cho x, y  thỏa x  y  Tìm GTNN A  x  y  1  x y B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy Do A biểu thức đối xứng theo x, y nên dự đoán GTNN A x  y  -8- www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai B2: Định hướng cách giải + Từ Bài dấu “= “ xảy x  y  1  1 , ta phân tích A   x     y     x  y   1 đánh giá  x   ,  y   theo Bài    x  y x y     2 1 Do ta có Sơ đồ dấu “=” sau: x  y      2  1  2  2  x y Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si số không âm 1  1 1  A   x     y     x  y   x  y   x  y     x  y x y  Vậy MinA  Dấu “=” xảy  x  y  Nhận xét: Để giải tốn dùng BĐT Cơ-si số khơng âm, giới hạn chương trình nên dùng BĐT Cô-si số không âm Bài Cho x, y , z  : x  y  z  Tìm GTNN A  x  y  z  B1 : Dự đoán dấu ‘=’ xảy Do A biểu thức đối xứng với x, y, z nên MinA đạt x  y  z  B2:Định hướng cách giải Sơ đồ : x y z       2 1  x yz    2  1 1 2   2 x y z  Lời giải -9- www.DeThiThuDaiHoc.com 1   x y z www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm 1  1  1 1  A   x     y     z     x  y  z   x  y  z   x  y  z  x  y  z x y z  13  12   2 Vậy MinA  13 x  y  z  2 Nhận xét: Với kĩ thuật giải BĐT Cô-si số ta có tốn tổng qt hơn: Mở rộng Bài 3: Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1 1 A    x1  x2  x3   xn          với    n2  (  ,  ,   xn    x1 x2 x3 số cho trước, n  N * ) MinA     n  x1  x2  x3   xn   n Dễ dàng tìm GTNN cách làm dựa vào kĩ thuật dự đoán dấu “=” Bài Cho số thực x  Tìm giá trị nhỏ A  x  x2 B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Hàm số f ( x)  x  x2 đồng biến  2;   Thật x1 , x2  (2; ) : x1  x2   x2x      f ( x1 )  f ( x2 )   x1   -  x2     x1  x2    22  x1   x2    x1 x2   x1  x2   x12 x2  x1  x2    x1  x2    2    x1  x2      f ( x1 )  f ( x2 ) x1 x2  x12 x2    x  x x  4x  (Do    12 2  x12 x2  x12  x2  x1  x2  x1  x2 )  x2   x1 x2  x2  Do đó, x nhỏ A nhỏ Ta dự đốn MinA  x  B2: Định hướng cách giải +Không thể áp dụng BĐT Cô-si cho số x x , dấu “=” không xảy 2 x - 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng +Tách x x2 Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai để áp dụng BĐT Cơ-si số dấu “=” xảy x x x x +Sử dụng BĐT Cô-si cho số  , ,  cho x        x    x x x     x 2  Ta có sơ đồ dấu ‘=’ : x       8  1 1 x  x x Vậy A    + x ta có lời giải sau x2 Lời Giải: Áp dụng BĐT Cô-si số không âm ta có x x x 6.2  x x  6x A     3     8 x 8 8 x  Dấu “=” xảy  x  Vậy Min A= MinA  x  Nhận xét: Tương tự kĩ thuật giải BĐT Cơ-si số ta có tốn tổng quát hơn: Mở rộng Bài 4: Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn    1 1  A    x1  x2  x3   xn          với   2 n  (  ,  ,   xn  3  x1 x2 x3 số cho trước, n  N * ) MinA     n  x1  x2  x3   xn   n Bài Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  18 x B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy Do hàm số f ( x)  x  18 đồng biến  6;   nên x nhỏ A nhỏ Ta x dự đoán MinA  39 x  B2: Định hướng cách giải - 11 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai  x 36    36  Sơ đồ dấu “=” : x         24  9   x  Lời Giải: Áp dụng BĐT Cô-si số khơng âm ta có:  x 9  23x x 9 23x 23.36 A       33     39 24 x x 24 24  24 x x  24 Dấu “=” xảy  x2   x  Vậy GTNN A 39 24 x Bài Cho x, y, z  thỏa x  y  z  Tìm GTNN A  x  y  z  1   x y z B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy Do A biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán MinA đạt x  y  z  B2: Định hướng cách giải Sơ đồ :  2 x  y  z  1  x yz     8 1 2        x  y  z  Lời Giải: Áp dụng BĐT Cô-si số không âm Hệ  Ta được: 1  1  1  A   x2     y2     z   x  y  z  1   1   1  61 1    x2      y      z2         8x 8x   8y 8y   8z 8z   x y z    3 x2 1 1 1 9 27 27  3 y2  33 z2     8x 8x 8y 8y 8z 8z  x  y  z  4 Dấu “=” xảy  x  y  z  Vậy MinA  27 - 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Nhận xét: Tương tự ta giải toán tổng quát Mở rộng Bài 6: Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1  A    x12  x2  x32   xn          với   2  xn  n3  x1 x2 x3 (  ,  ,   số cho trước, n  N * ) MinA      n x1  x2  x3   xn  n n Bài Cho ba số thực dương x, y, z thỏa P  1   4 x y z Tìm GTLN 1   Đề thi Đại học khối A năm 2005 x  y  z x  y  z x  y  2z B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy Do P biểu thức đối xứng với x, y, z nên dự đoán Min P đạt x  y  z  B2: Định hướng cách giải Nhận thấy để P sử dụng giả thuyết 1    x y z 1 1 , , , phải tách thành tổng số hạng x  y  z x  y  z x  y  z 2x  y  z 1 , , Từ số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng, nghĩ đến Hệ  x y z BĐT Cơ-si số khơng âm Do 1   , (a, b  0) a b a b 1 1 1   1   1                 x  y  z  x  y    x  z    x  y   x  z   16  x y   z x     Dấu “=” xảy x=y=z không thay đổi so với x  y  z  ban đầu xảy (Đảm bảo nguyên tắc dấu “=” xảy ra) Lời Giải: - 13 - www.DeThiThuDaiHoc.com dấu “=” dự đoán www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Áp dụng Hệ  BĐT Cô-si số không âm 1 1 1   1   1                 x  y  z  x  y    x  z    x  y   x  z   16  x y   z x     1 1 1 1       x  y  z 16  x y y z    Tương tự: 1 1 1 1       x  y  z 16  x y z z    Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta có: P 1 1 4 4        1 x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z    Dấu “=” xảy  1     x  y  z  Vậy MaxP  x y z Nhận xét: Bằng kĩ thuật tương tự ta giải tốn mạnh  x, y, z  Mở rộng Bài toán 7: Cho  1  x  y  z   P 1   (  ,  ,   N * số cho trước)  x   y  z  x  y  z  x  y   z MaxP  x  y  z      Thậm chí tốn BĐT mà dấu không xảy biến Nếu dự đoán dấu xảy ra, làm  xy  12  1  121 Cmr:  x  y  z         yz   xy yz zx  xyz 12 Bài Cho x, y, z  :  B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy  xy  12 ,tại x  3, y  4, z   yz  Dự đoán GTNN A đạt  B2: Định hướng cách giải - 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Lời Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si số không âm ta có: x y x y    33  18 24 xy 18 24 xy x z x z    33  zx zx y z y z    33  16 yz 16 yz x z y x z y     44  12 xyz 12 xyz 13 x 13 y 13 x 13 y 13 13 13  2 2 12  18 24 18 24 18 24 13 y 13 z 13 y 13z 13 13 13  2 2  48 24 48 24 48 24 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được:  1  121      xy yz zx  xyz 12  x  y  z  2 (đpcm) Bài Cho tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50 cm Hãy cắt bốn góc vng hình vng để gập lại theo mép cắt hộp (khơng nắp) tích lớn Trích từ Bài 4.22 trang 105 Sách tập đại số 10 ban nâng cao hành Dự đoán dấu ‘=’ xảy Định hướng cách giải Gọi x (cm),  x  25 độ dài hình vng cắt Do V  (80  x)(50  x) x Để tìm GTLN V cần áp dụng BĐT Cô-si cho số: (80  x),  (50  x),  x  (80  x ). (50  x )  x  (80  x)   (50  x)   x 80  50     2   x  thoả : 3 +Một là,   2      2  +Hai là, dấu “=” xảy (80  x )   (50  x)   x  (80  x)   (50  x)   2   x - 15 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Do đó: Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai   2(n)   25 40    2      40(l )    Lời Giải: Gọi x (cm),  x  25 độ dài hình vng cắt (80  x)(100  x)6 x 12 Áp dụng BĐT Cô-si cho số 80  x  0,100  x  0, x  (80  x )  (100  x)  x Ta có: (80  x )(100  x )6 x   60 603  (80  x)(100  x)6 x  603  V   18000 Vậy MaxV  18000 12 80  x  100  x  x  x  10 Do V  (80  x)(50  x) x  Bài 10 Lập phương trình đường thẳng  qua Q(2;3) cắt tia ox,oy điểm M, N khác điểm O cho OM+ON đạt GTNN Trích từ Bài 10 trang 101 Sách tập hình học 10 ban nâng cao hành Lời Giải: Gỉa sử M(m;0),N(0;n) với m,n>0 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn  : x y   m n 2n   1 m  Mà m>0 nên n>3 m n n 3 2n   Mặt khác OM  ON  m  n  n n2    n  3  n3 n 3  n 3 Do Q  2;3         Áp dụng BĐT Cô-si số    ,  n  3  :     n  3     n  3   n 3  n 3  n 3  n   6(n) m   6   Dấu “=” xẩy       n  3   n  3    n 3    n   6(l )   n   Vậy Min  OM  ON    3) Một thành hai Kĩ thuật dự đoán dấu xảy cho phép dự đoán GTLN, GTNN biểu thức Cho nên từ tốn tìm GTNN, GTLN chuyển đổi thành chứng minh BĐT ngược lại Đối với người đề, linh hoạt chế từ toán thành toán khác mặt hình thức cho phong phú, nội dung cách giải - 16 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Cịn người học học biết hai Vậy nên, giáo viên cần giảng mà học sinh hiểu hai Áp dụng toàn SKKN Chẳng hạn từ Bài 11 Bài 11 Cho x, y  : x  y  Tìm GTNN : A  1  x y xy B1: Dự đoán dấu ‘=’ xảy ra: Do A biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán dấu xảy x y  MinA=4  2 2 x  y  x y   2       2  xy  B2: Định hướng cách giải: Sơ đồ : Lời Giải: Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương A 1  2 x y xy 1  2  4 2 x  y  xy  x  y   x  y  xy 2  x  y  xy Dấu “=” xảy   1  0; 0 x y xy x  y 1  x y Vậy MinA  Ta thay đổi Bài 11 dạng chứng minh BĐT ta Bài 12, phương pháp giải tương tự Bài 12 Cho x, y  : x  y  Cmr : A  1  4 x y xy Bài tập luyện tập  Chứng minh BĐT Bài Cho số thực x  Chứng minh x  Bài Cho x, y  : x  y  Cmr x  y  17  x 1  4 x y - 17 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Bài Cho x, y  Cmr Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai xy x y   x y xy Bài Cho x, y  thỏa x  y  Cmr xy  17  xy 1 1 1      50 y z t x Bài Cho x, y, z , t  : x  y  z  t  Cmr  x  y  z  t    Bài Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1     n       xn    x1 x2 x3 Cmr:   x1  x2  x3   xn     với (    n2  0; ,  ,   số cho trước, n  N * )  x y z yz z  x x  y 15       y z z x x y x y z Bài Cho số thực x  Cmr x   x 217 Bài Cho số thực x  Cmr x   x 1 1  97 Bài 10 Cho x, y, z , t  : x  y  z  t  Cmr  x  y  z  t         y z t x Bài Cho x, y, z  Cmr Bài 11 Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1     n3   x12  x2  x3   xn           Cmr xn  n  x1 x2 x3 với (   2  ;  ,  ,   số cho trước, n  N * ) n3 Bài 12 Cho x, y  thỏa x  y  Cmr   xy 1 x  y 1 Bài 13 Cho x, y  thỏa x  y  Cmr 2   xy  x y xy 1 Bài 14 Cho x, y  thỏa x  y  Cmr 3    20 x y x y xy  x3  y3  y3  z3  z  x3 Bài 15 Cho x, y, z  : xyz  Cmr P    3 xy yz zx (Đại học khối D năm 2005) Bài 16 Cho x, y  : x  y  Cmr: P x  y2 x  x  y3 y  3  7 2x 2y - 18 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai Bài 17 Cho x, y, z >0 x  y  z2  Cmr: P =  x, y , z.0 Bài 18 Cho  1 Cmr  x  y  z 1  2x  y  z  x y  z2 x  2y  z   y z2  x  z x2  y2 x  y  2z   3 Cho 2  x, y, z  Bài 19 Cho  1    4 x y z  Cmr 1    (  ,  ,   N * số )  x   y   z  x   y  z  x  y   z       x, y, z  Bài 20  x  y  z  Cmr x  y  y  z  z  x  33 Bài 21 Cho x, y , z  : x  y  z  Cmr x  y  y  z  z  3x   Tìm GTNN, GTLN Bài 22 Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  x Bài 23 Cho x, y  : x  y  Tìm GTNN A  x  y  Bài 24 Cho x, y  Tìm GTNN A  1  x y xy x y  x y xy Bài 25 Cho x, y  : x  y  Tìm GTNN A  xy  xy 1 1 Bài 26 Cho x; y; z  thỏa x  y  z  Tìm GTNN: P  x  y  z      x y z   Bài 27 Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1       xn   x1 x2 x3 Tìm GTNN A    x1  x2  x3   xn     với    n2  (  ,  ,   số cho trước, n  N * ) 2 x Bài 28 Cho x, y, z  : x  y  z  20 Tìm GTNN A  x  y  z   - 19 - www.DeThiThuDaiHoc.com  2y z www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngơ Quyền Biên Hồ-Đồng Nai x y z yz zx x y      yz zx x y x y z Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  x Cho số thực x  Tìm GTNN A  x  x Cho x, y, z , t  : x  y  z  t  Bài 29 Cho x, y, z  Tìm GTNN A  Bài 30 Bài 31 Bài 32 1 1 1     y z t x Tìm GTNN A   x  y  z  t    Bài 33 Cho x1 , x2 , x3 , xn  : x1  x2  x3   xn   1 1       xn   x1 x2 x3 2 2 Tìm GTNN A    x1  x2  x3   xn     với   2  (  ,  ,   số cho trước, n  N * ) n 1 x  y xy 1 Cho x, y  thỏa x  y  Tìm GTNN A  2   xy x y xy 1 Cho x, y  thỏa x  y  Tìm GTNN A  3   x y x y xy Cho x, y, z  : xyz  Tìm GTLN Bài 34 Cho x, y  : x  y  Tìm GTNN A  Bài 35 Bài 36 Bài 37 2   x3  y  y3  z  z  x3 P   xy yz zx Bài 38 Cho x y hai số dương thoả mãn P x y x2 2  x y y2  xy 2 Tìm GTNN biểu thức: 3  x 2y Bài 39 Cho x, y, z >0 x  y  z2  Tìm GTNN P =  x, y , z.0 Bài 40 Cho  1 Tìm GTLN P   x  y  z 1   x, y, z  Bài 41 Cho  1 Tìm GTLN    4 x y z  P x y  z2  y z2  x  z x  y2 1   2x  y  z x  y  z x  y  2z 1   (  ,  ,   N * số cho trước)  x   y  z  x  y  z  x  y   z - 20 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai  x, y, z  Bài 42 Cho  x  y  z  Tìm GTLN P  x  y  y  z  z  x Bài 43 Cho x, y , z  : x  y  z  Tìm GTLN P  x  y  y  z  z  x IV KẾT QUẢ Khi áp dụng chun đề cho HS 10 tơi thấy HS thích thú, đồng thời em đỡ lúng túng gặp dạng tập V BÀI HỌC KINH NGHIỆM Nếu có thêm thời gian mở rộng tơi nghĩ đề tài trở nên có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực việc rèn luyện phát triển tư góp phần giải nhiều dạng tốn q trình dạy học sinh nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nói riêng VI KẾT LUẬN - Áp dụng kĩ thuật dự đoán dấu “=” xảy bất đẳng thức Cô-si phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, hiệu cho lớp toán rộng BĐT, phù hợp với học sinh lớp 10 thi đại học - Kĩ thuật giải cho HS phát hiện, khắc phục sai lầm, dự đoán, đánh giá, định hướng cách giải toán - Hướng mở SKKN: Mở rộng với trường hợp Cô-si n số không âm , dấu ”=” BĐT Bunnhiacốpski, Mincốpski, BĐT phụ .thì SKKN mạnh với cơng tác bồi dưỡng HSG - Tuy nhiên, dạng phương pháp lựa chọn chưa hẳn tối ưu đầy đủ, chắn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt Rất mong có đóng góp q đồng nghiệp Mọi góp ý q thầy, vui lòng gửi địa mail:thangtatdo@yahoo.com VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Bài tập Hình học 10 ban nâng cao, năm 2006, Nhà xuất giáo dục Lê Anh Dũng, Tìm lời giải tốn bất đẳng thức, GTLN- GTNN nhờ dự đoán dấu bằng, Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Nguyễn Huy Đoan, Bài tập Đại số 10 ban nâng cao, năm 2008, Nhà xuất giáo dục - 21 - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Trần Văn Hạo, Đại Số 10 ban bản, năm 2007, Nhà xuất giáo dục Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Nhà xuất Tri thức www.hsmath.net www.mathvn.com VIII LỜI KẾT Để hoàn tất chuyên đề Tôi cảm ơn nhiệt tình giúp đỡ, tư vấn Cơ Lê Thanh Hà tổ trưởng, Thầy Lê Văn Đắc Mai tổ phó Bùi Thanh Hà Tổ Tốn Trường THPT Ngơ Quyền để tơi hồn thiện SKKN NGƯỜI THỰC HIỆN ĐỖ TẤT THẮNG - 22 - www.DeThiThuDaiHoc.com ... cao đẳng, đại học, đề thi học sinh giỏi, BĐT hay từ kiến thức bình thường, dễ hiểu - Chứng minh BĐT tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ nhất( GTNN) biểu thức thực dãy hữu hạn bước biến đổi,... abc 1 1 1       với a, b, c  abc 9a b c     Dấu “=” xảy  a=b=c Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho f ( x1 , x2 , , xn ) hàm n biến thực D  n : f :D  f ( x1 , x2 , , x n ) ... hướng cách giải: Từ giá trị biến dấu “=” dự đoán ban đầu, ta suy giá trị biến BĐT tham gia đánh giá thời điểm dấu “=” xảy Mỗi phép đánh giá phải tuân theo nguyên tắc gía trị biến thuộc biều thức