Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 2 PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương. 1.Cơ sở lí thuyết: Ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng minh được đúng. 2.Một số ví dụ minh họa Ta có thể biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương đương A.Biến đổi tương đương trực tiếp VD1: Cho a,b,c>0.Cmr: 22 2 22 2 22 2 b a c a c b c b a b a c a c b c b a            (1) Giải (1)  0)()()( 22 2 22 2 22 2             b a c b a c a c b a c b c b a c b a  0 ))(())(())(( 22 2222 22 2222 22 2222          baba cbcabcac acac babcabcb cbcb acabcaba  0 ))(( )()( ))(( )()( ))(( )()( 222222                baba bccbacca acac ababcbbc cbcb caacbaab                      ))(( 1 ))(( 1 )( ))(( 1 ))(( 1 )( 22222222 babaacac cbbc acaccbcb baab 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            cbcbbaba acca (2) Do a,b,c>0 nên nếu ba  thì:           0 ))(( 1 ))(( 1 0 2222 acaccbcb ba  0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            acaccbcb baab Nếu ba  thì:           0 ))(( 1 ))(( 1 0 2222 acaccbcb ba  0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            acaccbcb baab Như vậy ta luôn có: 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            acaccbcb baab Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 3 Tương tự: 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            babaacac cbbc 0 ))(( 1 ))(( 1 )( 2222            cbcbbaba acca Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên  (2) luôn đúng với a,b,c>0  đpcm. VD2: Cho   1;0,, cba .Cmr: 1)1)(1)(1( 1 1 1       cba b a c a c b c b a Giải: Do vai trò của a,b,c như nhau nên có thể giả sử: 1,,0   cba Đặt 1     cbaS  c S a a S a c b a      1 (1)  c S b b S b a c b      1 (2) Ta cm cho: 1 1 )1)(1)(1(    b a c cba (3)  0 1 1 )1)(1()1(          ba bac  0 1 1)1)(1( )1(          b a baabba c  0 1 11 )1( 2222     b a ababbabbabaababa c  0 1 )1( 2222     b a abbaabba c  0 1 ))(1( )1(      b a baab c .Điều này luôn đúng vì   1;0,, cba . Từ (1),(2),(3)  1 1 )1)(1)(1( 1 1 1                c S c c S c c S b c S a cba b a c a c b c b a  đpcm. VD3: Cho nn nn axaxaxaxp    1 1 10 )( có n nghiệm phân biệt,    nn ,2 . Chứng tỏ: 20 2 1 2)1( nnan  (1) Giải (1)  0 2 2 0 1 2)1( n n a a n           (2) Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 4 Do đa thức p(x) có n nghiệm phân biệt nên theo định lí Viet ta có: 0 1 21 : a a xxxA n   và 0 2 13221 : a a xxxxxxB nn   Ta có: BxxxxxA n i i n ji ji ji n i i n i i 2 1 2 1,1 2 2 1 2             (2)  nBAn 2)1( 2   nBBxn n i i 2)2)(1( 1 2        n i i Bxn 1 2 2)1(       n i n i ii ABxxn 1 1 222 2             n i n i i i xxn 1 2 1 2 .Điều này luôn đúng theo bđt Bunhiacopski với 2 bộ số ), ,,( 21 n xxx và )1, ,1,1( .Dấu bằng không xảy ra vì: 1 1 1 21 n xxx  (các nghiệm của p(x) phân biệt).  (1) luôn đúng  đpcm. B.Đặt ẩn phụ sau đó biến đổi tương đương VD1: CMR: cba ,,  ta có 333333444666666 )(23 cbacbacbaaccbba  (1) Giải (1)  )(23 222 4 22 4 22 4 22 ab c ca b bc a b ac a cb c ba  (2) Đặt ca b z bc a y ab c x 222 ,,  .Ta có: xyz=1 Khi đó (2) trở thành: )(23 111 222 zyx zyx   0)1()1)(1(2) 11 ( 22  xyyx yx (3) Vì xyz=1 nên tồn tại 2 số nhỏ hơn hay bằng 1 hoặc 2 số lớn hơn hay bằng 1  0)1)(1(    yx  (3) luôn đúng Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh. VD2: CMR: CBACBA coscoscos)cos1)(cos1)(cos1(     (1) Giải Ta luôn có: 1cos,cos,cos  CBA  0)cos1)(cos1)(cos1(     CBA Nếu ABC  vuông hoặc tù thì 0coscoscos  CBA .Khi đó (1) luôn đúng. Nếu ABC  nhọn  0coscoscos  CBA Khi đó (1)  1 cos cos1 cos cos1 cos cos1     C C B B A A (2) Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 5 Đặt 2 tan, 2 tan, 2 tan C z B y A x  Ta có (1)  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                 z z z z y y y y x x x x  1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2   z z y y x x  xyz z z y y x x 1 1 2 1 2 1 2 222    2 tan 2 tan 2 tan 1 tantantan CBA CBA   2 cot 2 cot 2 cottantantan CBA CBA  (3) Mặt khác: ABC   luôn có: CBACBA tantantantantantan    2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA  Từ đó (3)  2 cot 2 cot 2 cottantantan CBA CBA   2 tan 2 tan 2 tantantantan CBA CBA  (4) Ta có bổ đề sau: 2 ,0:,   yxyx  2 tan2tantan yx yx   ABC  nhọn  2 ,,0   CBA . Áp dụng bổ đề: 2 cot2 2 tan2tantan CBA BA    2 cot2 2 tan2tantan ACB CB    2 cot2 2 tan2tantan BAC AC    Cộng vế với vế ta có: ) 2 tan 2 tan 2 (tan2)tantan(tan2 CBA CBA   2 tan 2 tan 2 tantantantan CBA CBA  (đpcm) Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. 3.Bài tập áp dụng Bài 1: Với mọi a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ. CMR: 2 2 2 nmnmnnmm bababa     (1) HD: Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 6 (1)  0))((  mmnn baba luôn đúng do a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Bài 2: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 1,,0   cba .Cmr: accbbacba 222222 1  (1) HD: (1)  1)1()1()1( 222  accbba Mà )1()1()1()1()1()1( 222 accbbaaccbba  cabcabcba       11)1)(1)(1(        abccba (do 1,,0   cba ) Bài 3: Cho a,b >0.Cm: )(4))()(( 663322 babababa  (1) HD: (1)  ))(1(4))(1)()(1)(1( 632 a b a b a b a b  Đặt a b t  khi đó )1(4)1)(1)(1( 632 tttt  Bài 4: Cho cab ab ab ab cab ab ab ab 22         Cmr:        cba cbaf 1 , 1 , 1 max4),,( Bài 5: Cho a,b,c>0.Cm bất đẳng thức: )(2 222222 cba c ba b ac a cb       HD: áp dụng vd1.A PHƯƠNG PHÁP 2:Sử dụng tam thức bậc hai 1.Cơ sở lí thuyết: Xét )0()( 2  acbxaxxf , : acb 4 2  Xuất phát từ đồng nhất thức         2 2 4 ) 2 ()( a a b xaxf ta có các kết quả sau: Định lí 1:       0 0 0)( a xxf Định lí 2:       0 0 0)( a xxf Định lí 3:       0 0 0)( a xxf Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 7 Định lí 4:       0 0 0)( a xxf Định lí 5: 0)(  xf có nghiệm 0 21  xx Khi đó ))(()( 21 xxxxaxf  và           a c xx a b xx 21 21 Để chứng minh B A  ta viết biểu thức B A  thành tam thức bậc hai theo một biến số nào đó .Sau đó dựa vào các định lí về dấu của tam thức bậc hai suy ra điều phải chứng minh. 2.Các ví dụ minh họa VD1: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 36 3 a và 1  abc Cmr: cabcabcb a  22 2 3 (1) Giải (1)  0 3 3)()( 2 2  a bccbacb (2) Từ 1  abc  a bc 1  . Thế vào (2) ta có: 0 3 1 3)()( 2 2  a a cbacb (3) 0 3 12 3 412 22 2  a a a a a (do 36 3 a ). Theo định về dấu tam thức bạc hai (3) luôn đúng.  (1) luôn đúng.  đpcm. VD2: Giả sử CBA ,, là 3 góc của một tam giác không cân tai C.Biết rằng phương trình : 0sinsin)sin(sin)sin(sin 2  CBxACxBA (1) Có đúng một nghiệm thực.Cmr: 0 60B Giải Vì ABC  không cân tại C nên B A   BA sinsin  .Vậy (1) là pt bậc hai. Mặt khác 0sinsinsinsinsinsin       ACCBBA nên (1) có 1 nghiệm 1 1 x  nghiệm kia là: B A CB a c x sin sin sinsin 2    Vì (1) có đúng một nghiệm thực nên 21 xx   1 sin sin sinsin    B A CB  BCA sin2sinsin    2 cos 2 sin4 2 cos 2 sin2 BBCACA     2 sin2 2 cos BCA    1 2 sin20  B  2 1 2 sin0  B  0 30 2  B  0 60B  đpcm. VD3: Cho ABC  có độ dài 3 cạnh là a,b,c và diện tích S.Khi đó ta có: Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 8 0,34)1 2 ()12( 222  xScb x ax (1) Giải: (1)  0,3422 222222  xSxxcxbbxaxa  02)34(2 222222  bxScbaxa 0   x (2) Có 22222 )4()34( abScba  )434)(434( 222222 abScbaabScba  Theo định lí côsin: Cabbac cos2 222   Cabcba cos2 222  Xét SCabScba 34cos234 222  CabSCab sin 2 1 34cos2  )sin3(cos2 CCab  áp dụng Bunhiacopski ta có: 4)sin3(cos 2  CC  2sin3cos2  CC  abCCabab 4)sin3(cos24  Nên 0)434)(434( 222222  abScbaabScba  0   Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai  (2) luôn đúng  (1) được cm. Dấu ‘=’ xảy ra  3 sin 1 cos   CC  3tan C  0 120C VD4: Cho ABC  có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Cmr: )(12)(15)(2012152050 222222333 bacacbcbacbaabc  (1) Giải: Theo định lí hàm số cos ta có: Abcacb cos2 222  Bacbac cos2 222  Cabcba cos2 222  (1)  CabcBabcAababc cos24cos30cos4050     CBA cos24cos30cos4050     025cos245)cos6cos8(25       CBA  025cos245)cos6cos8(5 2  CBA (2) Coi 5 là ẩn có: 100)cos(96cos36coscos9664 22  BABBAAsos 100sinsin96coscos96cos36coscos96cos64 22  BABABBAA 100sinsin96sin36sin64100 22  BABA 0)sin6sin8( 2  BA  (2) luôn đúng.  (1) được cm. Dấu bằng xảy ra khi 0    4 3 sin sin  B A Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 9 VD5: Cho a,b,c thỏa mãn 0 22  ba và x,y thay đổi thỏa mãn cbyax   (1) CMR: 22 2 22 b a c yx   Giải Từ giả thiết 0 22  ba       0 0 b a Không mất tính tổng quát ta giả sử: 0  b Từ (1)  b axc y   .Do đó 2 222         b axc xyx   2222 2 2)( 1 cacxxba b  Đặt 2222 2)()( cacxxbaxf  Có 0 22  ba  22 22 22 )()( b a cb b a ac fxf      22 2 22 22 2 22 1 b a c b a cb b yx      đpcm. VD6: Cho 1 22  ba và 3   dc với   cba ,, CMR: 4 269   cdbdac Giải Đặt cdbdacS    Từ 3   dc  cd   3 .Nên )3()3( cccbacS      bcbac 3)3( 2  (*) Xét tam thức CBxAxxf  2 )( Nếu 0  A thì A BAC A B fxf 4 4 ) 2 ()( 2     (*)  4 )3(12 2    bab S  4 11)(6)( 2   baba S Đặt bat    2)(2)( 2222  babat  22  t Trên   2;2 hàm 116)( 2  tttf tăng  269)2()(  ftf Do đó 4 269  S  đpcm. 3.Bài tập áp dụng: Bài 1: Với n là số nguyên dương cho 2n số bất kì: nn bbbaaa , ,,,, ,, 2121 . Cmr:    n i ii n i i n i i baba 1 2 1 2 1 2 )())(( .Dấu bằng xảy ra khi nào? (Bất đẳng thức Bunhiacopski) Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 10 HD: Xét xbxaxf n i ii    0)()( 1 2 Viết lại: xbxbaxaxf n i i n i ii n i i    0)(2)()( 1 2 1 2 1 2 Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai  0   .  đpcm. Bài 2: Cho ABC  .Cmr x  ta đều có: )cos(coscos 2 1 2 CBxA x  (1) HD: (1)  xAxCBx  0)cos1(2)cos(cos2 2 Cm: 0 2 sin4 2 cos 2 cos4 222'     ACBCB Bài 3: Cmr nếu b,c,d là 3 số thực thỏa mãn bcd   ,thì với mọi số thực a ta có bất đẳng thức: )(8)( 2 bdacdcba  (1) HD Đưa (1) về bất đẳng thức bậc 2 ẩn a và chứng minh cho 0 '  Bài 4: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: )( 2 1 444222222 cbaaccbba  Cmr có thể dựng được một tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Bài 5: Cho x,y,z là 3 nghiệm của hệ:      4 4 zxyzxy zyx (1) Cmr: 3 8 ,,0  zyx HD: (1)       )(4 4 zyxyz xzy       44 4 2 xxyz xzy  y,z là hai nghiệm của phương trình: )2(044)4( 22  xxXxX Do x,y,z tồn tại nên (2) có nghiệm  0   Bài 6: Cmr : xyz zyx C z B y A x 2 cos 1 cos 1 cos 1 222   (1) với 0,,  zyx HD: Đưa (1) về bất phương trình bậc hai với ẩn là x và chứng minh cho 0   Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Cmr nếu 0    czbyax thì 0    cxybzxayz Bài 8: Cho ABC  với 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao cba hhh ,, với 2 cba p    ta có:                               cba cba hc bac hb acb ha cba ba hcc ac hbb cb haa p 2 )( 2 )( 2 )( )2()2()2( 2 )21( 22 [...].. .Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển A .Bất đẳng thức Cauchy 1.Cơ sở lí thuyết: Với n số không âm a1 , a 2 , , a n ta luôn có: n a1 a 2 a n  a1  a 2   a n Dấu bất đẳng thức xảy ra khi a1  a 2   a n n 2 .Các ví dụ minh họa 3 4 a, T  3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3 VD1... 3.3: Chứng minh x, y, z  0 có: (1  )(1  )(1  )  2  x y z 3 xyz PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp đánh giá qua các đại lượng trung gian 1.Cơ sở lí thuyết Để đánh giá A  B ta đánh giá A  C rồi chứng minh C  B  Thông thường ta đánh giá từng số hạng của một vế sau đó đáng giá cả vế và so sánh với vế kia  Trong một bất đẳng thức nếu vai trò các biến là bình đẳng như nhau,chúng ta có thể sử dụng phương. .. phương pháp đáng giá từng nhóm số hạng để chứng minh Giả sử A  B  C  A0  B0  C0  A  B  A0  B0 : Chọn và chứng minh  C  C0  A  B  A0  B0  C2 : Chọn và chứng minh  B  C  B0  C0 C  A  C  A 0 0  C 1 27 Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt  A  B  2 A0  C3 : Chọn và chúng minh  B  C  2 B0 C  A  2C 0  Tương tự cho chứng minh : ABC  A0 B0C0 2 .Phương pháp. .. 7a  33 2 Giải a, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+3b,1,1: a  3b  1  1 3 b  3c  1  1 Tương tự: 3 b  3c  3 c  3a  1  1 3 c  3a  3 Ta có: 3 a  3b  Cộng các vế bất đẳng thức trên ta được: 4( a  b  c)  6 3  3 vì a  b  c  theo giả thiết 3 4 1 Dấu bằng xảy ra  a  b  c  4 T  3 a  3b  3 b  3c  3 c  3a  b, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+7b,2,2 a ... và chúng minh  B  C  2 B0 C  A  2C 0  Tương tự cho chứng minh : ABC  A0 B0C0 2 .Phương pháp Sau đây chúng tôi đưa ra 2 phương pháp đánh giá qua các đại lượng trung gian 1)Biểu thức trung gian tìm được thông qua tính chất cơ bản của bất đẳng thức VD1: Chứng minh bất đẳng thức sau 3 8 15 n2 1      2  n  2, (n  2) 4 9 16 n Giải: 8 15 n2  1  2 9 16 n 1 1 1 1  A  1 1 1   1 2... a n a  a 2   a n m ( 1 ) n n Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức Nesbnit 3 biến bằng cách sử dụng bất đẳng Chebyshev Sáng tạo bất đẳng thức Phương pháp1 : Từ bài toán gốc thêm bớt điều kiện phát triển thành bài toán mới VD1: Xét bài toán sau: a2 b2 c2    a  b  c, a, b, c  0 (1) b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương có: Tương tự: a2 a2  b  2a   2a  b b b b2  2b  c c c2 ... a, b, c  0 và n nguyên dương.Cm: a n 1 b n1 c n1  n  n  abc bn c a 25 Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt Vd1.4: Khái quát hóa bất đẳng thức ở vd1,vd1.2,vd1.3,vd1.5 Cho n,m là các số nguyên dương , a, b, c  0 Cmr: a n  m b m n c m  n  n  n  am  bm  c m n b c a Giải Áp dụng bất đẳng thức côsi cho n+m số dương ta có: a mn a m n a mn   n  b m  (m  n)m... a n b1  b2   bn  n n n Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp 2 dãy cùng tăng a1  a 2   a n   chỉ số i sao cho: a1  a 2   ai  a  a ni 1   a n n Lấy b sao cho b1  b2   bi  b  bni 1   bn Gọi a  Cộng n bất đẳng thức lại ta có: n n n 0   a k bk  a  bk  b a k  nab k 1 k 1 k 1 n n (4) (vì na   ak ; nb   bk ) k 1 21 k 1 m Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum... tổng các tử số bằng không Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d có tổng bằng 4 Cmr: 1 1 1 1 1     2 2 2 2 3 11  a 11  b 11  c 11  d 24 1 Bất đẳng thức HD: http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 1 1 1 a 1   (a  1) 2 12 12 11  a 11  a 2 Bài 3: Cho n số ai  0, i  1,2, , n Cmr mọi số tự nhiên m ta có: m m m a1  a 2   a n a  a 2   a n m ( 1 ) n n Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức. .. b2 bn 2 .Các hệ quả: HQ1: Với 2 dãy số (a1 , a2 , , an ) và (b1 , b2 , , bn ) , bi  0, i  1,2, , n 2 2 2 a1 a2 an (a1  a 2   a n ) 2     b1 b2 bn b1  b2   bn HQ2: Với 2 dãy số (a1 , a2 , , an ) và (b1 , b2 , , bn ) , bi  0, i  1,2, , n Ta có: (a1  a 2   a n ) 2  n(a12  a 2 2   a n 2 ) Bất đẳng thức bunhiacopski thường được áp dụng để chứng minh bất đẳng thức đúng với các số . Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 2 PHƯƠNG PHÁP. số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng minh được đúng. 2.Một số ví dụ minh họa Ta có thể biến.                               cba cba hc bac hb acb ha cba ba hcc ac hbb cb haa p 2 )( 2 )( 2 )( )2()2()2( 2 )21( 22 Bất đẳng thức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt 11 PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển A .Bất đẳng thức Cauchy 1.Cơ sở lí thuyết: